IES Pade Poeda (Guadi UNI 9 GEOETRÍ FÍN RETS EN EL ESPIO EUIONES E L RET Una ecta queda deteminada po Un punto ( a a a Un ecto de diección ( ( ; se le llama deteminación lineal de la ecta Si X ( es un punto genéico de la ecta OX O X O Po tanto OX O ; R Ecuación ectoial de la ecta En coodenadas a a a ( ( ( R Haciendo aia el paámeto obtenemos todos los puntos de la ecta Opeando ( ( a a a e igualando coodenada a coodenada a a a R Ecuaciones paaméticas de la ecta espejando en estas ecuaciones e igualando a a a Ecuación en foma continua de la ecta pati de estas ecuaciones tenemos a a Opeando se llega a dos ecuaciones de la foma a a Ejemplo ada la ecta ( ; con ( ( Ecuaciones implícitas de la ecta a etemina sus distintas ecuaciones b etemina dos puntos de distintos de un ecto diecto distinto de 4 petenece a c etemina si el punto ( a Ecuación ectoial ( ( ( R epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín Ecuaciones paaméticas R Ecuación en foma continua Ecuaciones implícitas 9 b Si ( ( ( ( ( Si ( ( ( ( ( Oto ecto diecto ( ( ( 4 4 w w c Si sustituimos en las ecuaciones paaméticas (po ejemplo 4 no petenece a la ecta Ecuación de una ecta deteminada po dos puntos Una ecta también queda deteminada po dos puntos Una deteminación lineal es ( ; Es deci tomamos Ejemplo ados los puntos ( ( se pide a etemina las distintas ecuaciones de la ecta que pasa po b etemina utiliando la ecuación en foma continua si el punto ( petenece a dicha ecta a Hallamos un ecto diecto de la ecta ( Ecuación ectoial ( ( ( R Ecuaciones paaméticas R Ecuación en foma continua Ecuaciones implícitas b 4
IES Pade Poeda (Guadi POSIIONES RELTIVS E OS RETS EN EL ESPIO os ectas en el espacio pueden tene las posiciones elatias Estudio a pati del ango adas s en implícitas ( s ( b ( // s ( b adas dos ectas po sus deteminaciones lineales ( ; s( ; s ( Si s // s Son coincidentes o paalelas ( b secantes Si s oincidentes s ( Tomamos sustituimos en s Si s Paalelas se cuan en Si // s ( no es paalelo a ( b 4 el espacio s Nota Si det( s s se cotan alculamos Si s s se cuan ( b 4 4 4 4 Ejemplo etemina la posición elatia de los siguientes paes de ectas a ( ( ( R s b ( ( ( R s ( ( 4 μ( μ R μ c R s μ μ R μ d R s 4 μ μ R 4 μ a ( s ( // s Son coincidentes o paalelas Tomamos ( emos si petenece a s s Po tanto s son paalelas 4 b ( ( s Se cotan o se cuan Tomamos ( ( s ( det( s s c ( ( s se cotan a que ang( Se cotan o se cuan Tomamos ( ( s ( s epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi det ( s 4 s se cuan a que ang( s d ( ( // s s Son coincidentes o paalelas 4 emos si petenece a s Tomamos ( μ μ 4 4 μ μ 4 s s son coincidentes 4 μ μ 4 PLNOS EN EL ESPIO EUIONES EL PLNO Un plano queda deteminado po a a a Un punto ( os ectoes no paalelos (linealmente u u u independientes u ( ( llamados ectoes diectoes del plano ecimos que ( ; u es una deteminación lineal del plano Si X ( es un punto genéico del plano OX O X omo X es un ecto del plano X u μ Po tanto OX O u μ ; μ R Ecuación ectoial del plano En coodenadas ( ( ( μ( ; μ R Haciendo aia a a a u u u μ R obtenemos todos los puntos del plano Opeando ( ( a u μ a u μ a u μ coodenada e igualando coodenada a a a a u μ u μ u μ μ R Ecuaciones paaméticas del plano Eliminando los paámetos μ obtenemos Ecuación geneal o implícita del plano epatamento de atemáticas 4 loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi Foma de obtene la ecuación geneal o implícita del plano Paa elimina μ a pati de las ecuaciones paaméticas escibimos Es deci X u a u μ a u μ X u μ a u μ ang X u son linealmente dependientes ( Po tanto a a a u u u desaollando este deteminante obtenemos la ecuación implícita del plano es un ecto otogonal (pependicula al plano Se llama ecto nomal o caacteístico del plano Popiedad El ecto n ( emostación Si P ( p p p ( q q q Q son dos puntos abitaios del plano p p p q q q omo PQ( q p q p q p n ( entonces n PQ q p q p q p q q q p p p 44 44 44 444 ( ( ( ( Luego n PQ PQ es un ecto abitaio de dicho plano (po se abitaios P Q Se tiene po tanto que n es un ecto otogonal al plano Ejemplo Escibe la ecuación ectoial paaméticas e implícita del plano que pasa po el punto ( con ectoes diectoes u ( ( Ecuación segmentaia del plano Ecuación ectoial ( ( ( μ( ; μ R a b c μ con a b c Ecuaciones paaméticas μ R Siendo ( a μ ( b Ecuación implícita ( c los puntos de cote del ( ( plano con los ejes 4 Ejemplo eigua si los dos sistemas de ecuaciones siguientes epesentan sendos planos en caso que así sea indica un punto dos ectoes diectoes de cada uno a b μ μ μ R μ μ R μ 4 8μ epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi a El plano pasa po el punto ( tiene po ectoes diectoes ( ( a que son linealmente independientes b l se los ectoes u ( 4 ( 8 epesentan ningún plano Ejemplo eigua si los puntos P ( ( linealmente dependientes no Q petenecen al plano dado po las ecuaciones paaméticas siguientes μ μ μ R μ alculamos la ecuación geneal del plano ( P P? Q? Q Ejemplo 4 etemina la ecuación geneal del plano que contiene el punto ( con ectoes diectoes u ( ( Llamamos a ese plano entonces 4 Ejemplo ada la ecuación geneal del plano detemina tes puntos del plano una ecuación ectoial amos aloes a dos de las incógnitas despejamos la tecea Si ( Si ( Si ( alculamos su ecuación ectoial ( ( μ ; μ ( ( ( ( R EUIÓN E UN PLNO QUE PS POR TRES PUNTOS NO LINEOS Tes puntos no alineados deteminan un plano Paa ello tomamos como deteminación lineal ; del plano ( Ejemplo Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos ( ( ( Necesitamos un punto po ejemplo dos ectoes diectoes del plano ( 4 ( ( ( ( 4 μ( ; μ R u epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi Si queemos obtene la ecuación geneal del plano 4 EUIÓN E UN PLNO ONOIO UN PUNTO Y UN VETOR NORL Ejemplo alcula la ecuación del plano que pasa po el punto ( n ( nomal al plano Po se n un ecto nomal al plano su ecuación geneal es de la foma omo P Po tanto P siendo el ecto Nota Resuele el Ejemplo 4 de la página anteio obteniendo el ecto nomal n u EUIÓN E UN PLNO QUE ONTIENE UN RET Y UN PUNTO EXTERIOR ELL ada ( ; tomamos el punto de su ecto diecto Obtenemos el ecto P P; P Entonces ( P contiene a la ecta ompobamos pimeo que el punto P no petenece a la ecta e la ecta obtenemos ( ( calculamos P ( 4 4 ( ( ( μ( 4 4 ; μ R Si queemos obtene la ecuación geneal del plano Ejemplo etemina la ecuación del plano que pasa po el punto ( 4 4 epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi Estudio a pati del ango ( ( b ( // ( b ( ( b secantes 4 POSIIONES RELTIVS E OS PLNOS n ( ados dos planos n ( Si Si Si epatamento de atemáticas 8 loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín Fíjate os planos paalelos o coincidentes oincidentes tienen sus ectoes nomales popocionales En caso contaio son secantes n // n coincidentes o paalelos Paalelos n // n secantes ó ó Secantes (Se cotan en una ecta Fíjate En este último caso las dos ecuaciones implícitas de los planos foman la ecuación implícita de la ecta que deteminan Ejemplo Los planos 4 4 son 4 4 coincidentes puesto que Obsea que n n Ejemplo Los planos 4 son paalelos puesto que Obsea que n n 4 Ejemplo Los planos 4 son secantes puesto que Obsea que en este caso n // n (no son popocionales OTENIÓN E L RET EN L QUE SE ORTN OS PLNOS Se necesita un punto un ecto diecto paa obtene una deteminación lineal de la ecta Ejemplo Halla la ecuación de la ecta intesección de los planos 4 4 ª Foma Se esuele el SEL paa obtene dos puntos de la ecta un ecto diecto SI 4 4 F F Tomo Fíjate (ota foma Ecuaciones paaméticas de 9 9 Si ( ( Si ( R Po tanto ( ( 9 ( R
IES Pade Poeda (Guadi ª Foma n n es un ecto diecto de la ecta n 4 4 n ( ( 4 i 4 j k i j k ( Un punto de la ecta lo calculamos como en la pimea foma esoliendo el SEL 9 9 R sí se obtiene ( po tanto ( ( ( POSIIONES RELTIVS E UN RET Y UN PLNO ª Foma Útil si tanto como ienen dados en implícitas Sean onsideamos las matices asociadas al sistema fomado po las tes ecuaciones ( b Si ang( ang( b S La ecta cota al plano en un punto Paa calcula el punto se esuele el SEL Si ang( ; ang( b S I Recta paalela eteio al plano Si ang( ang( b S I Recta contenida en el plano Ejemplo eigua la posición elatia de la ecta el plano 8 9 En el caso de que sean secantes halla el punto de cote 9 ( b 8 ang ang b S ( ( La ecta cota al plano en un punto epatamento de atemáticas 9 loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi El punto de cote seá la solución del sistema plicamos el método de ame paa halla dicho punto 9 9 9 8 8 8 4 ; ; 4 Luego el punto de cote es ( 4 ª Foma Útil si ienen dados po sus deteminaciones lineales Sean ( ; ( u ; onsideamos el ecto Si u son linealmente independientes es deci ang( u Recta plano se cotan en un punto P ( P Si u son linealmente dependientes es deci ang( u Si u son linealmente independientes Recta paalela al plano ( // Si u son linealmente dependientes Recta contenida en el plano ( ; el Ejemplo etemina la posición elatia de la ecta ( ( ( R plano ( ( ( μ( 4 ; μ R 4 ang ( u a que o poque u son linind Po tanto la ecta estaá contenida en el plano o seá paalela a él ; ( ( ( 4 4 u son linealmente independientes La ecta es paalela al plano ª Foma Útil si iene dada po una deteminación lineal en implícitas Sean ( ; n ecto nomal al plano Si n Recta paalela o contenida en el plano Si Recta contenida en el plano Si Recta paalela al plano Si / n Recta plano se cotan en un punto (secantes podemos utilia esta foma tomando n u Nota Si ( ; u epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín
IES Pade Poeda (Guadi epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín POSIIONES RELTIVS E TRES PLNOS ados los planos ( ( ( n n n onsideamos las matices asociadas al sistema fomado po las tes ecuaciones ( b Si ( ( S b ang ang Los tes planos se cotan en un punto Si ( ( ambos paalelos uno secante a os dos dos a Secantes ; I S b ang ang Si ( ( ( paámeto ependiente de I S b ang ang Tienen una ecta en común ambos uno secante a os coincidentes ecta planos secantes en una tes Los Si ( ( ; I S b ang ang ambos uno paalelo a os coincidentes Planos paalelos distintos Si ( ( I S b ang ang (ependiente de paámetos Planos coincidentes Ejemplo Estudia la posición elatia de los planos dados po las siguientes ecuaciones a b a ( ; ang
IES Pade Poeda (Guadi epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín ( b ( b ang eteminamos si eisten planos paalelos no son paalelos no son paalelos no son paalelos Luego se cotan dos a dos b ( ; ang ( b ( b ang eteminamos si eisten planos paalelos son paalelos no son paalelos son paalelos secantes a HZ E PLNOS HZ E PLNOS PRLELOS Se llama ha de planos paalelos al conjunto de planos paalelos a uno dado Un plano ( n detemina un ha de planos paalelos R K K K ; Obsea Todos tienen el mismo ecto nomal ( n Ejemplo etemina la ecuación del ha de planos paalelos al plano continuación halla el plano del ha que contiene el punto ( La ecuación del ha de planos paalelos es R K K K El alo de K paa el que contiene el punto es el que cumple K K La ecuación del plano seá
IES Pade Poeda (Guadi HZ E PLNOS SENTES Se llama ha de planos secantes al conjunto de planos que contienen a una ecta llamada aista del ha ados los planos que se cotan en una ecta cualquie oto plano que contenga a la ecta se puede pone como combinación lineal de a que la ecta es solución común a las tes ecuaciones de los planos que foman un SI Po tanto el ha queda deteminado po dos planos distintos su ecuación es ( μ( ; R μ μ μ μ Esta ecuación equiale a ( ( ; R Ejemplo Halla la ecuación del ha de planos que contiene la ecta escibe la ecuación del plano del ha que contiene el punto ( La ecuación del ha de planos secantes es ( ( El alo de paa que contenga el punto es el que cumple ( ( ( 4 4 La ecuación del plano seá 4 4 ( ( epatamento de atemáticas loque III Geometía en el Espacio Pofeso Ramón Loente Naao Unidad 9 Geometía fín