Academia Sabatina OMPR 2009 14 de febrero de 2009 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA I 1 En un pueblo, la plaza tiene la forma de un cuadrilátero irregular como el de la figura. En sus esquinas hay cuatro parterres que son sectores circulares cuyo radio es de tres metros. El Alcaldía ha decidido plantar césped en ellos, lo que le cuesta 30 dólares el metro cuadrado. Cuánto tendrá que gastarse? 2 Una ciclista tiene que hacer un viaje de 120 km. Como sale con una hora de retraso sobre lo previsto debe viajar 4 km/h más deprisa de lo habitual, con objeto de llegar a tiempo. Cuál es la velocidad habitual de la ciclista? 3 Cada día María se comía el 20% de los dulces que estaban en su jarrita de dulces al comenzar el día. Al finalizar el segundo día, le quedaban 32 dulces. Cuántos dulces había originalmente en la jarrita? 4 En la biblioteca un tercio de los libros son de Matemáticas. Hay 30 libros de Lengua. Hay 24 libros de Ciencias Sociales. Hay tantos libros de ciencias Naturales como de Lengua. Cuántos libros hay en total en la biblioteca? 1
5 Si en una granja cada gallina pone dos huevos en tres días. Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas de esta granja pongan dos docenas de huevos? 6 Alex piensa en tres números. Si los agrupa de dos en dos las sumas que se obtienen son: 38, 44 y 52. Cuáles son esos números? 7 En las siguientes figuras hay tres, nueve y dieciocho rectángulos, espectivamente: Cuántos rectángulos hay en esta otra figura?: 8 En un cuadrado ABCD de lado 1m. Se traza AC. Se une el vértice D con el punto medio, M, del lado BC. Hallar el área sombreada. 2
9 Diofanto (S. IV dc) fue uno de los matemáticos que más fama dio a Alejandría. Un relato griego narra de forma concisa su vida. Fue muchacho durante 1/6 de su vida, durante 1/12 se dedicó a viajar, se casó 1/7 después, tuvo un hijo 5 años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió, 4 años después. Cuántos años vivió Diofanto? 10 ABC es un triángulo equilátero y BCDE es un cuadrado cuyo lado mide 2 cm. Si la circunferencia de radio r pasa por los puntos A, D y E como se muestra en la figura, halla justificadamente el valor de r. 11 Suponga que se quiere expandir la expresión (x + y + z) 16. Cuál es el coeficiente del término x 2 y 4 z 10? 12 Si m + n mn 2 2 = 1. Hallar m + n. 3 3 13 Hallar la suma 1 + 11 + 111 +... + 111... 1, si el último sumando es un número de n cifras. 14 Verificar que la siguiente igualdad es cierta 1 + 3 + 5 +... + (2n-1) = n 2 3
15 Probar que algún múltiplo positivo de 21 tiene al 241 como sus últimos tres dígitos. 16 Verificar que entre tres enteros positivos consecutivos hay uno divisible por 3. 17 Determine (si es que existe) un entero positivo n que resuelva la ecuación siguiente: 2 + 4 + 6 +... + 2n 2008 = 1+ 3+ 5 +... + (2n 1) 2007 18 Sea ABCD un paralelogramo de área 10 cm2, con AB = 3 cm y BC = 5 cm. Localizar E, F y G sobre los segmentos AB, BC y AD respectivamente, de tal manera que AE = BF = AG = 2cm.Sea H el punto de intersección del segmento CD con la línea paralela EF que pasa por G. Calcula el área del cuadrilátero EFHG. 19 La figura encerrada por tres semicírculos tangentes entre sí en sus extremos es llamada cuchillo del zapatero. Demuestre que su área es igual al área del círculo que tiene como diámetro el segmento BD, perpendicular al diámetro CA 4
20 Para qué valores de a, es (5a + 1) (3a + 2) divisible por 15? 21 Considérese la sucesión: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,... Cuál sería el término 2000? 22 En la figura se muestra un cuadrado de lado igual a uno. Si el CMN es un triángulo equilátero que se traza en el interior del cuadrado como se especifica en la figura, cuánto vale el área de dicho triángulo? 23 Cuál es el área de la región sombreada en la figura, en donde las circunferencias son todas de radio r? 5
24 Considere un cuadrilátero cualquiera con área igual a 5 y lados mayores o iguales a 2. Se tienen cuatro circunferencias de radio 1, con centro en cada uno de los vértices del cuadrilátero. Encontrar el área sombreada de la figura. 25 En la figura se muestran cuatro círculos de radio 1 dentro de un círculo más grande. Cuál es el área de la figura sombreada? 26 Hallar todos los valores naturales x, y, z que verifican simultáneamente x. y. z = 4104 x + y + z = 77 6
Misceláneas 1. Resolver = 14 + 2. Si y. Hallar el resto en el cociente 3. Simplificar (x - y) 4 + (1 - x + y) (1-y + x) (1 + x 2 2xy + y 2 ) 4. Factorizar 5. Hallar el valor de n si: 6. Si representa u numero de cuatro cifras, entonces +, Siempre es múltiplo de? 7. Hallar el mayor número entero tal que al dividirlo por 137 se obtiene un residuo que es el cuádruple del cociente. 8. Al naufragar un crucero en el cual viajaban 200 personas, se observa que de sus sobrevivientes 1/7 son zurdos, 2/5 son Portorriqueños y 1/3 son casados. Cuantos murieron? X + 1 X-1 9. Si = x 1 y = x + 1. Hallar 1 +1 10. Hallar x como suma o resta de radicales simples tal que x 2 + 2 = 5 7