CAPIULO 8 Nestas almas, cyas facltades peden compende la maallosa aqtecta del mndo, y med el cso de cada planeta agabndo, aún escalan tas el conocmento nfnto Chstophe Malowe. INEGRALE E UPERFICIE 8.. Paametacón de na spefce en R. 8.. Áea de na spefce en R. 8.. efncón y cálclo de na ntegal de spefce paa na fncón escala. 8.4. efncón y cálclo de na ntegal de spefce paa na fncón ectoal. 8.5. Integales de spefce oentadas. 8.6. eoema de tokes. 8.7. eoema de Gass. 8.8. Aplcacones.
8. PARAMERIZACIÓN E UNA UPERFICIE EN R. Al gal qe na ca en R pede se paametada po na fncón σ, defnda en R y cya magen es la epesentacón de la ca en el espaco tdmensonal. Así msmo na spefce en R pede se epesada como la magen de na fncón Φ defnda en R. Φ(, Φ (, U Φ (, Φ(, y efncón: Fga 8- Una spefce paametada es na fncón Φ (, ( (,, y(,, (, en R. onde (, y(,, (, Φ : U R R de la foma, tal qe s magen epesenta na spefce, son ss componentes. La fncón Φ es de tpo C (dfeencable, hasta ss deadas contínas en s domno U s cada na de ss componentes son tambén de tpo C en U. se fa en y en se obtenen las ectas epesentan las tayectoas Φ (, y, se poyecta como Φ,. Φ Φ ( y qe en R Φ espectamente, el pnto, ( (, ( (,, y(,, (, ( ( (,, y(,, (,, (, ( En el pnto o en calqe oto pnto, se peden taa los ectoes tangentes a cada tayectoa:
,,,, y se llaman ectoes tangentes elementales y peden ealase en calqe Φ,. hacemos el podcto c ente los ectoes tangentes elementales obtenemos: pnto de ( k El ecto se denomna ecto podcto elemental y epesenta n ecto Φ,. nomal a la spefce en calqe pnto de ( efncón: Vectoes angentes Elementales e dce qe na spefce es sae cando no tene pcos n pleges; esto se econoce matemátcamente cando el ecto podcto elemental es dfeente de ceo; entonces el pnto o los pntos donde el ecto podcto elementa es ceo la spefce es no sae. Eemplo 8- olcón: ado el cono + Φ, cos, sen, y paametado en foma clndca: ( (. emosta qe ésta es na paametacón no sae del cono en el ogen. Los ectoes tangentes elementales: ( cos,sen, ( sen, cos, Entonces el ecto podcto elemental:
cos sen sen cos ( cos, sen, cos + sen ( cos, sen, ealamos en pnto (,, (,, k, es dec cando La paametacón no es sae en el ogen Eemplo 8- olcón: Poba qe la paametacón sal de calqe fncón escala f : R R, cya gáfca es na spefce en R, es sempe sae. Paametamos la spefce de foma sal: Φ (, y (, f (, y Los ectoes tangentes elementales: f,, f y,, Entonces el ecto podcto elemental: y k f f f,, f La paametacón sal es sempe sae (,, 8. ÁREA E UNA UPERFICIE EN R. ada na spefce en R paametada po la fncón : R R Φ,,, y,,,. Φ de la foma ( ( ( ( (
Φ(, Φ (, + R y + Fga 8- Po smplcdad asmmos qe es n ectánglo, entonces ddmos a en,, n celdas. ea R el -ésmo ectánglo en la patcón con étces: ( ( +,, (, + y (, + +, n, n. se fa en y en se obtenen las ectas epesentan las tayectoas: ( Φ(, σ :, R σ ; [ + ] ρ ( Φ(, ; ρ :[, ] R + y qe en R Paa n segmento de ca my peqeño s longtd es apomadamente la magntd del ecto elocdad po lo cal tendemos paa cada tayectoa: ( ( ( ( ( ( l σ ' + σ ' l ρ ' + ρ' omando las epesones anteoes en foma ectoal y consdeando las defncones de los ectoes tangentes elementales: L L σ ' ρ ' ( ( ea el áea de la pocón de la spefce qe es la magen de la egón R, s y son ncementos nfntesmales, entonces pede consdease como n paalelogamo; s ecodamos qe el áea del paalelogamo geneado po dos ectoes es la noma de s podcto c, aplcando la anteo obtenemos: L L
consdeamos A[ ] como la sma del áea de todas las patcones A n n [ ] Cando se toma n númeo de patcones n my gande entonces tendemos: [ ] A lm [ ] A n n n efncón: ada na spefce paametada po la fncón foma Φ (, ( (,, y(,, (, Φ : R R de la, sae en, tal qe s magen epesenta na spefce en R. Entonces el áea de está dada po la ntegal: A [ ] Eemplo 8- Enconta el áea de la spefce de la esfea + y + R. olcón: Paametamos la spefce sando coodenadas esfécas: (, ( R cos sen, Rsen sen, R cos Φ ; Los ectoes tangentes elementales: ( sen sen, R cos sen, ( R cos cos, R sen cos, R sen R Entonces el ecto podcto elemental: Rsen sen R cos sen R cos cos R sen cos R sen ( R cos sen, R sen sen, R sen cos El áea de la spefce de la esfea es: k
[ ] A A 4 4 4 4 4 R cos sen + R sen sen + R sen R sen R sen R [ cos] R [ ] 4R cos 8. EFINICIÓN Y CÁLCULO E UNA INEGRAL E UPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN ECALAR. En el capítlo anteo se estdaon las ntegales de tayectoa: se tenía na fncón escala contna f U R R σ t y t t la : y ( t ( (, (, ( σ t : a, b R R paametacón de na tayectoa en R, ( [ ] ntegal de tayectoa de f sobe σ es: b f s ( f o σ σ '( t t. Entonces la σ a Así msmo se encontaá na epesón qe pemta eala la ntegal de na fncón escala cya egón de ntegacón seá na spefce en R. ada na fncón f (, : U R R dfeencable y acotada en U, Φ y la paametacón sae de na spefce (, ( (,, (,, (, en R, Φ : R U R. dmos a en n celdas. Es dec qe la spefce ddda en n pocones. tomamos la -ésma pocón de spefce cya áea está defnda po. efnmos el podcto: (, y H f,
Al consdea la paametacón tendemos qe los pntos de la spefce se defnen de la sgente manea: (, y, Φ(, Paa na pocón de spefce my peqeña s áea es apomadamente: consdeamos H como la sma de todos los H H n n f ( Φ(, H : Cando se toma n númeo de patcones n my gande entonces tendemos: H lm H n n n ( Φ(, ( f o Φ efncón: f f d ea f ( U acotada en U, (, ( (,, y(,, (, Φ, na fncón escala defnda en R R : R U R, dfeencable y Φ de na spefce en R,. e llama ntegal de spefce de f en a la ntegal: ( f Φ f d o Eemplo 8-4 Eala la ntegal f f d del campo escala (, + y + (, ( cos, sen ; donde [,] y [, ] σ, ; y la spefce del helcode. olcón: etemnamos los ectoes tangentes elementales: ( cos,sen, ( sen, cos, Entonces el ecto podcto elemental:
cos sen cos ( sen, cos, cos + sen ( sen, cos, sen Resolemos la ntegal de acedo a la defncón: f d + + 8 f d cos t + k + 4 sen t + ( sen t, cost, ( + ambén se pede epesa la ntegal de línea de n campo escala tlando la paametacón sal paa la spefce de la sgente foma: f d f (, (, y cos onde es el ánglo ente el ecto nomal N y el ee.esta foma se sa cando la spefce es plana, poqe el témno cos es constante. emostacón: ea la spefce paametada de foma sal: Φ(, y (, f (, y N Entonces el ecto nomal seá: f f N y,, El podcto pnto ente el ecto nomal N y el ecto k: y Fga 8-
f f,, N k N (,, N N cos N cos cos k cos Reemplaando en la defncón de ntegal de spefce paa campos escalaes: (, (, y f d f y Eemplo 8-5 Eala la ntegal de spefce,,,,. étces (,,, ( y ( f (, (, y d cos, donde es el tánglo de olcón: etemnamos el ecto nomal: P (,, N y P (,, P (,, k N V V Fga 8-4 (,,
N k N cos k cos N k N Resolemos la ntegal: d cos [ y] ( f d 6 8.4 EFINICIÓN Y CÁLCULO E UNA INEGRAL E UPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN VECORIAL. efncón: ea F ( ( F (,, F (,, F (,, na fncón ectoal defnda en U R R, dfeencable y acotada en U; Φ,,, y,,, de na spefce en R, ( ( ( ( ( Φ : R U R. e llama ntegal de spefce de F en a la ntegal: F d o ( F Φ ( Eemplo 8-6 ado el campo ectoal F ( + y + k, ; y la spefce de la semesfea speo de ado, cos sen,sen sen, cos, y Φ ( ( ; donde [ ] [, ]. Eala la ntegal F d. olcón: etemnamos los ectoes tangentes elementales:
( sen sen,cos sen, ( cos cos,sen cos, sen Entonces el ecto podcto elemental: sen sen cos cos cos sen sen cos sen ( cos sen, sen sen, sen cos Resolemos la ntegal de acedo a la defncón: F d ( Fo Φ ( ( cos sen sen sen sen cos ( sen [ cos ] F d k 8.5 INEGRALE E UPERFICIE ORIENAA. efncón: e consdean spefces oentadas aqellas qe tenen dos caas ben defndas, cando no es posble, la spefce es no oentada. Una spefce oentada tene dos ectoes nomales, no eteno y oto nteno (no qe enta y oto qe sale. Ambos ectoes nomales son opestos, es dec, tenen deccones contaas. Como eemplo amos a toma n plano qe es na spefce oentada ya qe tene dos caas ben defndas.
N N os paametacones del planos seían: φ φ (, ( (,, y(,, (, ( s, t ( ( s, t, y( s, t, ( s, t e tal manea qe el ecto nomal a la spefce, de acedo a cada paametacón seá: N N s t e obsea qe: N N Entonces al eala la ntegal de spefce de na fncón ectoal F : U R R : F N F N Fga 8-5 Camba de oentacón sgnfca camba el sentdo del ecto nomal. Una ceta paametacón pede pooca este efecto, entonces se debe toma en centa qe cando se camba la oentacón de la spefce se está cambando s sgno. Una spefce en el espaco pede se abeta o ceada. na spefce lmta n sóldo entonces se la denomna spefce ceada; caso contao, entonces se la denomna spefce abeta. Una spefce sae ceada pede esta fomada po la nón de aas spefces abetas saes, po eemplo el cbo ntao está fomado po 6 spefces abetas saes (planos: 6 5 y Fga 8-6 La ntegal de spefce en spefces como éstas es la sma de las ntegales de spefce de cada na de las spefces nddales qe la confoman.
ea el cbo ntao, entonces: 4 5 6 Entonces la ntegal de spefce de F en es: F d F d + F d + F d + F d + F d + 4 5 6 Eemplo 8-7 ado el campo ectoal F ( (, F d, ; y la spefce de la semesfea speo de ado. Calcla la ntegal de spefce F d : a.- Utlando la paametacón esféca. b.- Utlando la paametacón sal. olcón: a.- Φ (, ( cos sen,sen sen, cos Entonces el ecto podcto elemental: ( cos sen, sen sen, sen cos Resolemos la ntegal: F d ( Fo Φ ( ( cos sen sen sen sen cos ( sen [ cos ] F d b.- Φ (, y (, y Entonces el ecto podcto elemental: y y,, y y Resolemos la ntegal:
F d (, y y [ ] F d y, y y, La paametacón esféca camba la oentacón de la spefce y la sal no. 8.6 EOREMA E OKE. ea F n campo ectoal de R R ; contno e ntegable en. es na spefce paametada po la fncón Φ : R R defnda de la foma Φ (, ( (,, y(,, (,, donde na egón plana tpo, donde es el contono de oentado postamente, entonces: F ot F El teoema de tokes elacona n ntegal de spefce con na ntegal de línea en el contono de la spefce. Cmple la msma fncón qe el teoema de Geen sobe na spefce en R. La oentacón posta del contono se asme en el sentdo qe camnaía n obseado de pe con deccón ala N nomal eteo de la spefce de tal foma qe la spefce qede a s qeda y Fga 8-7 El teoema de tokes pemte eala na ntegal de spefce en fncón de na ntegal de línea, o ceesa; na ntegal de línea como na de spefce, dependendo de lo qe sea más fácl de esole.
Eemplo 8-8 olcón: Vefca el teoema de tokes paa la spefce del paabolode semesfea ntaa speo tlando la fncón ectoal ( ( F,,. Como podemos obsea en la fga 8-8 el poblema nos pde esole dos ntegales na ntegal de línea cya egón de ntegacón es la ca qe lmta la semesfea y na ntegal de línea cya egón de ntegacón es la spefce de la semesfea. Po tatase de esole na ntegal de línea es conenente calcla s oto paa detemna s el campo ectoal es n campo conseato otf y k (,, y Fga 8-8 Paametamos la ca qe lmta la spefce: ( t ( cost,sen t, ; t [, ] : σ Resolemos la ntegal de línea acedo a la defncón:
F ( sen t,, cost ( sen t,cost, F t cos t sen t t 4 sen t t Ahoa esolemos aplcando el teoema de tokes, paa lo cal tenemos qe esole n ntegal de spefce, entonces paametamos la spefce: Φ (, y (, y Entonces el ecto podcto elemental: y F (, (,, (, ( y ( cos sen ( cos + sen cos sen ( 4 + 6 6 ot F F sen + cos 8.7 EOREMA E GAU. ea F n campo ectoal de R R ; contno e ntegable en Ω. ea Ω es na egón tpo 4 en R, Ω es s contono, na spefce oentada ceada qe lmta a Ω, entonces:
Ω F Ω d F V El teoema de Gass elacona n ntegal tple con na ntegal de spefce en el contono de la egón. Como los teoemas anteoes elacona las ntegales en n todo y en s contono. Eemplo 8-9 olcón: Vefca el teoema de Gass paa eala F n es la spefce ceada detemnada po + y 4, donde,. Utlando el campo ectoal F(, ( 4, y, y. Como podemos obsea en la fga 8-9 el poblema nos pde esole na ntegal de spefce en na spefce ceada. Po lo qe podemos esole el pmea como na ntegal de spefce o aplcado Gass y esolendo na ntegal tple. ado qe el poblema nos pde qe lo esolamos de ambas maneas, pmeo esolemos como na ntegal de spefce: Fga 8-9 Paa esole la ntegal en toda spefce debemos ddla en tes pocones de spefce, paameta cada spefce y oenta ss ectoes nomales al eteo, como se ndca en la fgaa 8-9. Entonces la ntegal de spefce en la spefce total seá:
F F + F + F Resolemos paa la spefce, paametamos la spefce y hallamos el ecto podcto c elemental: (, y (, ; + y 4 (,, : Φ y El ecto podcto c elemental está en deccón contaa del nomal eteo: N (,, Calclamos la ntegal: F ( 4, y, (,, Ahoa esolemos paa la spefce, paametamos la spefce y hallamos el ecto podcto c elemental: (, ( cos,sen, ;, ( cos,sen, : Φ El ecto podcto c elemental concde con el nomal eteo: N ( cos,sen, Calclamos la ntegal: F ( 4( cos, ( sen, ( cos,sen, ( 6cos 6sen 6 6 + cos sen + cos sen 6 + sen + cos cos 4
Fnalmente esolemos paa la spefce, paametamos la spefce y hallamos el ecto podcto c elemental: (, y (, ; + y 4 (,, : Φ y El ecto podcto c elemental concde con el nomal eteo: N (,, Calclamos la ntegal: F 4 6 ( 4, y,( (,, 4A [ ] 4( 4 Po lo tanto la ntegal de spefce en la spefce total seá: F F + F + + + 6 F 48 F Ahoa esolemos aplcando el teoema de Gass, paa lo cal tenemos qe calcla el degente del campo ectoal y esole na ntegal tple:
( ( [ ] ( cos 8 8 sen 8 8 sen 8 6 sen 8 sen 4 4 sen 4 4 4 4 d + + + Ω Ω V y V F F 48 F 8.8 APLICACIONE.