Capítulo 3 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas En el ámbito de la Ingeniería, en particular, de la Edificación, es frecuente encontrar elementos constructivos sometidos a fuerzas paralelas, que comparten una dirección común, establecida bien por consideraciones de diseño o por la propia naturaleza de las fuerzas implicadas. En particular, todos los elementos están sujetos a la acción de la fuerza de la gravedad, los pesos de cada una de las partículas constituen un sistema de fuerzas paralelas. Por otro lado, en el tema precedente se supuso que los puntos de aplicación de las fuerzas estaban lo suficientemente separados unos de otros como para permitir discernirlos. Es decir, las fuerzas aplicadas sobre el sólido rígido eran de naturaleza discreta. Sin embargo, en muchas ocasiones, las fuerzas están distribuidas con continuidad sobre zonas del sólido objeto de estudio, de modo que un enfoque discreto ( fuerza a fuerza ) es de entrada inabordable. Estas breves consideraciones justifican la necesidad de disponer de los conceptos e instrumentos de cálculo necesarios para tratar estos otros sistemas de fuerzas presentes en la Edificación. 3.1. Sistemas de fuerzas paralelas Un sistema de fuerzas F 1, F 2,... F N, cuas rectas de acción pasan respectivamente por los puntos P 1, P 2,...P N es un sistema de fuerzas paralelas si i Fi = λ i u (fig. 3.1), donde u es un vector que tiene la dirección de todas las fuerzas. La resultante de un sistema de fuerzas paralelas se puede epresar como R = λ i u ( N = λ i ) u. (3.1) P i F i FIGURA 3.1: Un sólido rígido plano sobre el que actúa un sistema de fuerzas paralelas. sistema de fuerzas paralelas u 63
64 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas El momento de un sistema de fuerzas paralelas respecto al origen de coordenadas se puede epresar como M = P i λ i u = ( N λ i P i ) u, (3.2) donde P i es el vector que va del origen de coordenadas a un punto cualquiera P i de la recta de acción de la fuerza F i. Es decir, R es paralela a u M es perpendicular a u. Por lo tanto, los sistemas de fuerzas paralelas tienen invariante escalar igual a cero, aun cuando ni R ni M fuesen nulos. 3.1.1. Centro de un sistema de fuerzas paralelas Supongamos un sistema de fuerzas paralelas en la dirección u con R 0. Eiste algún punto del eje central de ese sistema que se pueda calcular sin conocer u? Si ese punto eistiera, siempre podríamos aplicar en él una fuerza deslizante cuas componentes coinciden con las de R que sería equivalente al sistema de fuerzas paralelas fuese cual fuese la orientación del sistema de fuerzas paralelas. Llamemos G a ese punto. Por ser un punto del eje central de un sistema de invariante escalar igual a cero R 0, sabemos que M G = 0, de manera que el momento en el origen de coordenadas (0, 0, 0), no es más que (usando el teorema del centro de reducción): M = G R ( N ) = λ i G u. (3.3) Comparando (3.2) (3.3), observamos que una posible solución es ( N ) λ i G = λ i P i. (3.4) Entonces, el vector posición del punto G vendrá dado por G = λ i P i. (3.5) λ i Nótese que aunque G es independiente de la dirección de las fuerzas, sí depende de los puntos P i donde se consideraron aplicadas las fuerzas. Por tanto, sólo podremos aplicar en G una única fuerza, equivalente al sistema de fuerzas e independiente su orientación, en tanto que no cambien los puntos P i de aplicación de las fuerzas. Para escribir las componentes cartesianas de G se suele emplear la notación G = G ı + G j + z G k. (3.6)
3.1 Sistemas de fuerzas paralelas 65 Si llamamos ( i, i, z i ) a las componentes cartesianas de los vectores de posición P i, entonces las componentes cartesianas de G se calcularán de la siguiente manera: G = G = z G = λ i i, (3.7) λ i λ i i, (3.8) λ i λ i z i. (3.9) λ i El punto G cuas coordenadas se calculan mediante las ecs. (3.7) (3.9) es lo que se denomina el centro de un sistema de fuerzas paralelas. PRBLEMA RESUELT 3.1: Consideremos el sistema de fuerzas formado por los pesos de tres partículas puntuales de 1kg colocadas en los vértices de un triángulo descritos por las coordenadas A( 3, 0)m, B (0, 0), C (0, 4)m. Calcula: (a) Las coordenadas del centro del sistema. (b) La ecuación del eje central. Supongamos ahora que el triángulo cambia de posición de manera que el vértice A pasa a estar en el punto A (0, 3)m, B permanece en el origen C pasa a estar en el punto C (4, 0)m. (c) Calcula la ecuación del eje central del sistema formado por los pesos de la partículas. Solución: (a) Los pesos de las partículas, P A, P B P C forman un sistema de fuerzas paralelas al vector j: P A = P B = P C = mg( j). Aplicando las epresiones (3.7) (3.8) teniendo en cuenta que, en este caso, λ A = λ B = λ C = mg, se obtiene G( G, G ) = ( 1, 4 3 )m. (b) Dado que los pesos forman un sistema de fuerzas paralelas, el eje central es la recta que pasa por el centro G es paralela a las fuerzas que forman el sistema. Por tratarse de un sistema de fuerzas verticales, el eje central será una recta vertical. Por tanto será la recta de ecuación = 1m.
66 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas centro de gravedad También puede buscarse el eje central por otros procedimientos, tal como el siguiente: Nótese que la resultante del sistema es no nula que por el hecho de ser un sistema de fuerzas paralelas, su segundo invariante es nulo. Por tanto, el momento mínimo es nulo. Por otro lado, si se desliza a lo largo de su recta de acción la fuerza que está aplicada en C hasta colocarla en B (se recomienda hacer el dibujo para verlo) se suma con la fuerza que a había en B, el sistema puede reducirse a dos fuerzas paralelas con el mismo sentido, la de la derecha de doble módulo que la de la izquierda, separadas 3 m. El eje central debe ser una recta vertical tal que en sus puntos se anule el momento; por tanto, el eje central deberá estar entre ambas fuerzas al doble de distancia de la fuerza de la izquierda; tendrá entonces de ecuación = 1m, como antes dedujimos. (c) Al girar el triángulo, el centro del sistema pasa a tener coordenadas ( G, G ) = ( 4 3, 1)m. Como sabemos que el eje central es una recta vertical que pasa por el centro del sistema de vectores paralelos, su ecuación será ahora = 4 3 m. 3.2. Centro de gravedad centro de masa 3.2.1. Centro de gravedad El centro de gravedad de un sistema de partículas materiales es el centro del sistema de fuerzas formado por los pesos de las partículas. Consideremos el sistema formado por N partículas de pesos m 1 g 1, m 2 g 2,..., m N g N colocadas en los puntos P 1, P 2,..., P N ( g i es la aceleración de la gravedad en el punto P i ). Suponiendo que todas las g i son paralelas, g i = g i k, aplicando la definición (3.5), el vector posición del centro de gravedad vendrá dado por: m i g i P i G =, (3.10) m i g i cuas componentes cartesianas son: = ȳ = m i g i i, (3.11) m i g i m i g i i, (3.12) m i g i
3.2 Centro de gravedad centro de masa 67 z = m i g i z i, (3.13) m i g i siendo ( i, i, z i ) las componentes cartesianas de P i. 3.2.2. Centro de masa El centro de masa de un sistema de partículas materiales de masas m 1, m 2,..., m N colocadas en los puntos P 1, P 2,..., P N, es el punto G que viene dado por: m i P i G =, (3.14) m i cuas componentes cartesianas son: = ȳ = z = m i i, (3.15) m i m i i, (3.16) m i m i z i. (3.17) m i El centro de gravedad (3.10), supuesta la aceleración de la gravedad constante, coincide con el centro de masa de dicho sistema de partículas. Esta condición se cumple, con mu buena aproimación, para los cuerpos que se manejan habitualmente en Arquitectura Técnica. Para calcular el centro de masa de cuerpos continuos ( no sólo para conjuntos de puntos materiales aislados) basta sustituir los sumatorios en (3.15) (3.17), respectivamente, por integrales. Así, las coordenadas del centro de masa serían: dm M = dm, (3.18) M dm M ȳ = dm, (3.19) M z dm M z = dm, (3.20) centro de masa M
68 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas donde dm es ρ dv en una distribución volumétrica de masa, σ ds en una distribución superficial de masa, λ dl en una distribución lineal de masa. Las cantidades ρ, σ, λ son, respectivamente, las densidades volumétrica, superficial lineal de la correspondiente distribución de masa. Si la densidad de masa es constante diremos que el cuerpo es homogéneo. Para cuerpos homogéneos, las densidades que aparecen en (3.18) (3.20) se cancelan el centro de masa se convierte en una característica puramente geométrica del cuerpo recibe el nombre de centroide. En el caso de que nuestro sistema de puntos materiales sea un sólido rígido ( por tanto las fuerzas aplicadas, en este caso los pesos, se comporten como vectores deslizantes), el centro de masa (o el centro de gravedad) es el punto en el que se puede aplicar el vector peso total para que sea equivalente al sistema de vectores peso con la particularidad de que su posición no depende de la dirección de los vectores peso (por tanto, no depende de la orientación del cuerpo con respecto a la superficie terrestre), ni del sistema de referencia elegido (aunque sus coordenadas serán distintas en sistemas de referencias distintos). La posición del centro de masa puede no coincidir con ningún punto material del sistema. Por ejemplo, en el sistema formado por cuatro masas iguales dispuestas en los vértices de un cuadrado, el centro de masa está en el centro del cuadrado. El centro de masa puede ser un punto eterior al sistema. Por ejemplo, en un sólido rígido plano homogéneo con forma de L el centro de masa puede no estar en ningún punto del sólido. 3.2.3. Centro de masa de cuerpos compuestos Sea un sistema de N puntos materiales de masas m i cuos vectores posición son P i. Dividamos mentalmente el sistema en dos partes, la formada por los S primeros puntos la formada por los restantes N S puntos. Es fácil ver que S m i = m i + m i. (3.21) Además, empleando (3.14), podemos escribir G m i = = m i P i S m i P i + i=s+1 i=s+1 m i P i. (3.22) Ahora bien, los S primeros puntos forman un subsistema cuo centro de masa G 1 está definido por: G S S 1 m i = m i P i. (3.23) De la misma manera, los restantes N S puntos forman otro subsistema cuo centro de masa G 2 está definido por: G 2 N i=s+1 m i = i=s+1 m i P i. (3.24)
3.2 Centro de gravedad centro de masa 69 Llamando podemos reescribir (3.22) como = + FIGURA 3.2: Para calcular el centro de masa de la figura de la izquierda se puede proceder dividiendo en las M 1 = M 2 = S m i, i=s+1 m i, (3.25) G = M 1G 1 + M 2G2. (3.26) M 1 + M 2 Esta propiedad es mu útil para el cálculo de centros de masa de sistemas compuestos a partir de otros cuo centro de masa sea sencillo de calcular. También es útil para el cálculo del centro de masa de sistemas que se puedan epresar como resta de sistemas sencillos. En el apéndice C se presentan los centros de masa de algunas líneas superficies planas homogéneas. 3.2.4. Momento estático. Teoremas de Arquímedes El momento estático de un sistema de puntos materiales respecto a un plano es la suma de los productos de las masas por sus respectivas distancias al plano. Las distancias van afectadas de un signo que depende de si las partículas están a un lado u otro del plano. Así, el momento estático de un sistema de N masas m i a distancias d i del plano Π vendrá dado por M Π = m i d i. (3.27) En el caso de sistemas continuos de densidad ρ = ρ(,, z), el momento estático respecto al plano Π vendrá dado por M Π = dρdv. (3.28) En el SI el momento estático se mide en kilogramo-metro (kg m). V El momento estático de un sistema de puntos materiales respecto a un cierto plano es igual al momento estático del centro de masa suponiendo que toda la masa del sistema estuviese concentrada en él. dos porciones de la derecha aplicando la ec. (3.26). momento estático
70 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas FIGURA 3.3: En general, un plano que pase por el centro de masa no divide al sistema mecánico en dos partes de igual masa ni de igual volumen ni de igual longitud. Arquímedes (Siracusa, hacia 287 a. de J. C.; Siracusa, 212 a. de J. C.): Es uno de los más grandes pensadores de la Antigüedad. En Matemáticas, entre otras cosas, determinó el área del círculo, el perímetro de la circunferencia un valor aproimado para π. En Física, es el fundador de la Estática (con las lees de las palancas) de la Hidrostática (con el teorema de Arquímedes). G En efecto, sea eligiendo un sistema de referencia cartesiano de manera que el plano coincida con Π, se puede escribir: M Π = = z = d m i z i m i G m i, (3.29) donde d es la distancia del centro de masa al plano Π. Por tanto, el momento estático respecto a cualquier plano que contenga al centro de masa es cero (a que d = 0) viceversa: cualquier plano de momento estático cero contiene al centro de masa. Consecuencia de la propiedad anterior son los llamados teoremas de Arquímedes, mu útiles para determinar el centro de masa de cuerpos homogéneos simétricos: Si un cuerpo homogéneo tiene un plano de simetría el centro de masa está en dicho plano. En efecto, basta con observar que un plano de simetría es un plano respecto al cual el momento estático del sistema de puntos materiales es nulo, por tener el sistema masas iguales a distancias iguales opuestas respecto al plano. Si un cuerpo homogéneo tiene un eje de simetría el centro de masa está en dicho eje. En efecto, basta con observar que cualquier eje de simetría es la intersección de dos o más planos de momento estático nulo. Si un cuerpo homogéneo tiene un centro de simetría dicho punto coincide con el centro de masa. En efecto, basta con observar que cualquier centro de simetría es la intersección de tres o más planos de momento estático nulo. En general, un plano de momento estático nulo (es decir, un plano que pase por el centro de masa) no divide al sistema mecánico en dos partes de igual masa ni de igual volumen ni de igual longitud; lo que es igual en ambas partes es la suma de los productos de las masas por sus correspondientes distancias al plano.
3.3 Sistema de fuerzas distribuidas 71 3.3. Sistema de fuerzas distribuidas 3.3.1. Densidad de carga Las fuerzas aplicadas al sólido rígido pueden ser de naturaleza discreta o continua, es decir, pueden estar aplicadas sobre puntos discretos o bien sobre una cierta región (por ejemplo, la fuerza que hace el viento sobre la fachada de un edificio se distribue en dicha fachada, o la fuerza que ejerce un pilar sobre su base está distribuida en su superficie de apoo). En este último caso se dice que las fuerzas están distribuidas en dicha región. En el caso de fuerzas distribuidas, la densidad de fuerza o densidad de carga es la fuerza que actúa por unidad de volumen (o por unidad de superficie o longitud, según el sistema de fuerzas esté distribuido sobre un volumen, una superficie o una longitud). En general, la densidad de fuerza es distinta en cada punto. Supondremos que se puede epresar como una función vectorial de las coordenadas cartesianas del punto, f(,, z) = f (,, z) ı + f (,, z) j + f z (,, z) k. (3.30) EJEMPL: La densidad de carga que corresponde a una fuerza total de F = 6 jkp repartida de modo uniforme a lo largo de 3m de longitud es f = 2 jkp/m. Como ocurría en los sistemas de fuerzas discretas, un sistema de fuerzas distribuidas también se puede reducir a una fuerza deslizante con las mismas componentes que la resultante aplicada en un punto cualquiera Q más un par cuo momento sea el momento en Q del sistema. Consideremos, por ejemplo, un sistema de fuerzas distribuidas en un cierto volumen V del sólido rígido. Sobre cada elemento infinitesimal de volumen dv actuará una fuerza d F = f dv. La resultante vendrá dada entonces por: el momento en Q del sistema por: R = df = f dv, (3.31) M Q = = V QP df densidad de fuerza densidad de carga V QP f dv, (3.32) donde P indica el punto de cada elemento de volumen dv.
72 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas carga plana recta f ( ) FIGURA 3.4: Densidad de carga f() de una carga distribuida perpendicularmente sobre el eje. FIGURA 3.5: Densidad de carga superficie de carga de una carga rectangular (arriba izda.) de una triangular (abajo izda.). Esas cargas son mecánicamente equivalentes a una única carga R cua ĺınea de acción pasa por centroide de la superficie de carga (dcha.). 3.3.2. Cargas planas rectas Una carga plana recta es un sistema de fuerzas paralelas con el mismo sentido distribuidas a lo largo de una línea recta. En este teto estudiaremos únicamente cargas planas aplicadas perpendicularmente a una recta. Por ejemplo, el peso de la nieve que se ha acumulado sobre una viga horizontal se puede estudiar como una carga plana de este tipo. Si suponemos que el eje de nuestro sistema de referencia coincide con la línea de la viga, la carga distribuida se representa por la función densidad lineal de carga, f(), que se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud (N/m en el SI). Representaremos esta función sobre el eje de nuestro sistema de referencia (fig. 3.4). En esta representación, a la superficie limitada por la densidad de carga se le llama superficie de carga. Esta superficie tiene dimensiones de fuerza puesto que en el eje horizontal tenemos longitudes en el vertical densidades lineales de carga. Según la forma que tenga la superficie de carga hablaremos de cargas rectangulares o uniformemente distribuidas, en las que la densidad lineal de carga es constante en todos los puntos (fig. 3.5 arriba izda.), triangulares o uniformemente variables (fig. 3.5 abajo izda.), trapezoidales, parabólicas, irregulares, etc. Las cargas planas que estamos considerando en este teto pueden representarse mediante un sistema de fuerzas paralelas de la forma d F = df ( j) = f()d( j). (3.33) Dado que la resultante del sistema es no nula, éste siempre puede reducirse a una fuerza única igual a la resultante aplicada en el centro del sistema. La resultante tendrá la misma dirección sentido que la carga distribuida su módulo se calcula como: R = df = f()d, (3.34) f ( ) f ( ) = = R R
3.3 Sistema de fuerzas distribuidas 73 donde la integral se etiende a la región de aplicación de la carga plana. Ahora bien, puesto que el integrando f()d representa el elemento de área ds bajo la curva f() (fig. 3.6), el módulo de la resultante del sistema de fuerzas es igual al área encerrada bajo la función f(), que es el área de la superficie de carga que suele denominarse carga total. Para hallar la coordenada del centro del sistema de fuerzas paralelas basta sustituir, en la epresión (3.7), el sumatorio de las fuerzas etendido a todas las fuerzas discretas por la integral etendida a las fuerzas infinitesimales df: df G = df f()d = f()d ds = ds =, (3.35) donde es la coordenada del centroide de la superficie de carga. Nótese que, al ser las fuerzas distribuidas verticales, conociendo la coordenada del centroide de la superficie de carga la línea de acción de la fuerza única equivalente al sistema queda perfectamente determinada, sin necesidad de determinar la coordenada ȳ (fig. 3.5 dcha.). PRBLEMA RESUELT 3.2: En la figura se muestra una viga sobre la que actúan dos sistemas de fuerzas distribuidas dos fuerzas puntuales. (a) Halla el módulo F de las fuerzas puntuales el valor de la carga total P t de la distribución triangular si queremos que el sistema completo de fuerzas sea nulo. (b) Calcula en ese caso, de dos formas distintas, el centro de fuerzas paralelas del sistema formado por todas las fuerzas distribuidas. (c) Es posible reducir el sistema de fuerzas distribuidas a una única fuerza aplicada sobre la viga? En caso afirmativo, calcula el valor punto de aplicación de dicha fuerza puntual. F P t P r 2 m 3 m 2 m 3 f r = 5 10 N/m F d f ( ) FIGURA 3.6: Densidad de carga f() de una carga distribuida perpendicularmente sobre el eje. El área sombreada, de anchura d, vale f() d. PRBLEMA RESUELT 3.2
74 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas Solución: FIGURA P2a: Resolución del apartado (a). (a) En la fig. P2a se indica a qué fuerzas se reducen los sistemas de fuerzas distribuidas triangular rectangular, cuáles son sus puntos de aplicación. Éstos se calculan sabiendo que se sitúan en el centroide de la correspondiente superficie de carga: el centroide del triángulo está a 1 3 de su base midiendo desde su altura, el del rectángulo a 1 2 de su base. La carga total de la distribución rectangular es P r = b h = 10 4 N. (P2.1) Nos piden hallar P t las fuerzas puntuales F de los etremos de forma que el sistema completo de fuerzas sobre la viga sea nulo. Eso significa imponer las siguientes condiciones: F = 0, (P2.2) MI = 0, (P2.3) donde hemos elegido el etremo izquierdo I como punto de reducción. Como todas las fuerzas son (paralelas) verticales coplanarias, elegimos los ejes coordenados de la fig. P2a, donde el eje vertical es el IY, el plano IXY es el que contiene todas las fuerzas que actúan sobre la viga, el eje perpendicular a ese plano es el IZ. De esa forma, teniendo en cuenta la figura, las únicas condiciones escalares no triviales que resultan son las dos siguientes: F = 0 : MIz : 2F P t P r = 0. P t 3 P r 6 + F 7 = 0. Sustituendo, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Resolviéndolo resulta: 2F P t 10 4 = 0, 7F 3P t 6 10 4 = 0. F = 3 10 4 N, P t = 5 10 4 N. (P2.4) (P2.5) (P2.6) (P2.7) (P2.8) (P2.9) (b) La primera forma de calcular el centro de fuerzas paralelas del sistema formado por todas las fuerzas distribuidas la resumimos en la fig. P2b. La segunda forma hace uso de la fórmula que determina en general al centro de fuerzas paralelas, en este caso fijándonos sólo en las dos cargas puntuales equivalentes a las distribuidas en la fig. P2a.
3.3 Sistema de fuerzas distribuidas 75 I G P t P r + = P + P t r G + = 7/2 m G F 7 m F 7/2 m FIGURA P2b: Forma gráfica de calcular del centro de fuerzas paralelas del sistema formado por todas las fuerzas distribuidas Así, el centro de fuerzas paralelas es el punto G( G, G ), con: G = P t t + P r r P t + P r = 5 104 3 + 10 4 6 6 10 4 = 7 m. (P2.10) 2 G = P t t + P r r P t + P r = 5 104 0 + 10 4 0 6 10 4 = 0 m. (P2.11) (c) Sí, por tratarse de un sistema de fuerzas paralelas ( M R=0) de resultante no nula ( R 0). La fuerza puntual equivalente F tot estaría aplicada en el eje central del sistema, del cual conocemos el punto G, tendría como componentes las de R: F tot = (0, 6 10 4 )N, aplicada en G( 7 2, 0)m. 2F =
76 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas Problemas propuestos 3.1. En la figura se muestra el techo en voladizo de un estadio deportivo, que junto a su soporte, se puede considerar como un sólido rígido de peso 200kN aplicado en el centro de gravedad, de coordenadas G(3, 5)m. En el techo AB se tiene una fuerza uniformemente distribuida debida a la nieve, de densidad de carga 5/8kN/m. En el lateral CD actúa perpendicularmente una distribución triangular de fuerzas debidas al viento, cua densidad máima de carga se produce en el punto C, donde su valor es 2/3kN/m. Finalmente, la tensión del cable en el punto A vale T = 112kN. (a) Reduce cada fuerza distribuida a una sola fuerza equivalente, indicando las componentes punto de aplicación de cada una. (b) Reduce el sistema formado por las fuerzas distribuidas, el peso la tensión a un sistema fuerza-par equivalente en el punto. (c) Reduce el sistema anterior a una única fuerza equivalente aplicada en el eje Y, indicando claramente las componentes de la fuerza las coordenadas de su punto de aplicación. (d) Halla la ecuación del eje central del anterior sistema de fuerzas. Nota: Considera cos53 = 3 5, sen53 = 4 5. T A 53 o C 1 m D PRBLEMA 3.1 8 m G (3,5) m 9 m B 1 m 3.2. La figura representa un soporte publicitario formado por un panel B unido rígidamente a una estructura metálica. La estructura metálica está apoada sin rozamiento en A. Sobre el panel actúa frontalmente la fuerza del viento, que puede tratarse como una distribución de fuerzas triangular, de modo que la densidad de fuerza en la zona superior es 200N/m. El peso del conjunto del panel de la estructura metálica es P = 700N, las coordenadas de su centro de masa en el sistema de referencia de la figura son G( 3 10, 6 5 )m. En las condiciones descritas, el módulo de la fuerza φ de reacción en el apoo es φ = 550N. (a) Determina la fuerza equivalente, F, ejercida por el viento sobre el panel e indica su punto de aplicación sobre el mismo. (b) Halla el sistema fuerza-par equivalente al sistema de fuerzas { F, P, φ} en el punto. (c) Reduce el sistema de fuerzas { F, P, φ} a una fuerza única aplicada sobre el panel, determina su punto de aplicación. (d) Calcula la ecuación del eje central del sistema de fuerzas { F, P, φ}. 200 N/m 1,2 m 4,5 m B G(3/10, 6/5) m A PRBLEMA 3.2 3.3. Sobre las paredes de un muro homogéneo de 2kN de peso actúa un conjunto de fuerzas distribuidas tal como se muestra en la figura. La densidad de carga máima de la distribución triangular de la izquierda es 80 3 kn/m, la carga total de la distribución triangular de la derecha vale 20kN la densidad de carga de la distribución rectangular es de 20 kn/m. (a) Calcula las coordenadas del centro de gravedad del muro.
Problemas propuestos 77 (b) Calcula el sistema fuerza-par equivalente en el punto B del conjunto de fuerzas formado por el peso del muro las tres fuerzas distribuidas. (c) Razone si es posible reducir el sistema a una única fuerza equivalente en algún punto del tramo AB. 3 m A 2 m 2.95 m 1 m aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa B PRBLEMA 3.3 3.4. La placa de cimentación rectangular de la figura soporta las cargas de 6 columnas, cargas que consideraremos fuerzas puntuales aplicadas sobre la placa en la base cada columna. Calcula las fuerzas que deben ejercer las columnas A B para que el centro del sistema de fuerzas ejercidas por todas las columnas sobre la placa sea el centro geométrico de la misma. 200 kn z 50 kn B 30 kn 100 kn A 6 m 6 m PRBLEMA 3.4 6 m 3.5. Un sistema de fuerzas paralelas sobre un sólido rígido está constituido por F 1 = (1, 2, 3)N, aplicada en el punto P 1 (0, 1, 1)m; F2 = (3, 6, 9)N, aplicada en el punto P 2 ( 2, 1, 5)m; F 3 aplicada en el punto P 3 (3, 1, 1)m. (a) Determina las componentes de F 3, de forma que el centro G del sistema sea el punto de intersección del eje central del sistema con el plano coordenado Y Z. (b) En este caso, calcula las coordenadas del centro G del sistema de fuerzas. (c) Calcula el momento del sistema en el origen de coordenadas. (Se recomienda que se calcule directamente, además, se compruebe a partir del momento en G). (d) Comprueba que el invariante escalar del sistema es cero. 3.6. Sobre una viga recta horizontal de 10m de longitud se aplica el sistema formado por las siguientes fuerzas: Una fuerza puntual de módulo 10N, aplicada a 1m del etremo izquierdo de la viga, cua dirección forma 53 con la viga la empuja hacia abajo hacia la derecha. Una fuerza distribuida triangular normal a la viga orientada hacia abajo, que actúa en la zona de la viga comprendida entre los 2 m los 5 m medidos desde el etremo izquierdo de la viga, presenta una densidad de carga máima de 8 N/m en el punto situado a 5m del etremo izquierdo. Una fuerza de 16N normal a la viga orientada hacia abajo, distribuida uniformemente en la zona de la viga comprendida entre los 5m los 7m, medidos desde el etremo izquierdo de la viga. Una fuerza puntual de 4N normal a la viga orientada hacia abajo, aplicada a 8 m del etremo izquierdo de la viga. Considerando la viga como un sólido rígido: (a) Calcula el centro de fuerzas paralelas del sistema formado por las fuerzas distribuidas la fuerza puntual de 4N. (b) Es posible reducir ese sistema de fuerzas paralelas a una sola fuerza? En caso afirmativo, calcula su valor punto de aplicación. (c) Reduce el sistema de fuerzas total a un sistema fuerzapar equivalente en el etremo izquierdo de la viga. (d) Es posible reducir el sistema completo a una sola fuerza? En caso afirmativo, encuentra a qué distancia del etremo izquierdo puede aplicarse esa única fuerza equivalente calcula las componentes de dicha fuerza. Nota: Considera cos53 = 3 5, sen53 = 4 5. 3.7. La viga A de la figura, de peso despreciable, se usa para soportar una carga distribuida triangular con densidad de carga máima 10/3 kn/m, una carga puntual aplicada en A de valor F A = 10/3kN. En el punto B ha aplicada una fuerza de valor F B = 70/3kN. Teniendo en cuenta además las dimensiones el sistema coordenado que se muestran:
78 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas (a) Reduzca la carga distribuida a una única fuerza F C equivalente, indicando su punto de aplicación en la viga. (b) Calcule las coordenadas del centro de fuerzas paralelas del sistema S 1 formado por F C F A. Reduzca S 1 a una sola fuerza equivalente, indicando su punto de aplicación en la viga. (c) Reduzca el sistema de fuerzas S 2 formado por F A, F B F C a un sistema fuerza-par equivalente en el punto B. (d) Reduzca S 2 a una única fuerza equivalente, indicando su punto de aplicación en el eje X. Determine la ecuación del eje central de S 2. Nota: sen 53 4/5, cos53 3/5. L 6 m l 5 m l L F B B A Cuestiones PRBLEMA 3.7 3.1. Dado un sistema de fuerzas paralelas aplicadas sobre un sólido rígido con resultante no nula, podemos afirmar con toda seguridad que (a) el momento en cualquier punto es nulo. (b) eiste una infinidad de puntos en el espacio en los que el momento del sistema es nulo. (c) el centro del sistema es justamente el único punto en el cual el momento del sistema es no nulo. (d) la resultante es perpendicular al eje central del sistema. 3.2. En una viga rígida horizontal de 12m de longitud se distribuen 10 4 N de carga en los primeros 3m, otros 10 4 N de carga en los restantes 9 m, siendo ambas distribuciones de carga triangulares, como se muestra en la figura. F A 3.8. La figura representa un soporte rígido de grosor despreciable sometido a un sistema de fuerzas S formado por una distribución de fuerza rectangular de densidad de carga f 1 = (3/2)kN/m, una distribución de fuerza triangular cua densidad de carga máima vale f2 ma = 20 kn/m, una fuerza puntual de módulo F 3 = 4 kn. (a) Reduzca S a un sistema fuerza-par en el punto. (b) Determine una única fuerza F E equivalente a S aplicada en algún punto del tramo AB, indicando claramente las componentes de la fuerza las coordenadas del punto de aplicación. Justifique su respuesta los cálculos realizados. (c) Determine la fuerza el par que han de aplicarse en A para anular a S. Justifique su respuesta. Datos adicionales: A = 2 m, AB = 1,5 m; sen 37 3 5, cos37 4 5. PRBLEMA 3.8 Entonces, la carga total sobre la viga se puede reducir a una carga puntual de valor 2 10 4 N aplicada (a) a 3m del etremo izquierdo de la viga, donde termina una carga comienza la otra. (b) a 5,5m del etremo izquierdo de la viga. (c) en el centro de la viga. (d) en cualquier punto de la viga. I 3 m 9 m CUESTIÓN 3.2 D
Cuestiones 79 3.3. En la figura se muestra un sistema material formado por un cuadrado un cuadrante circular, ambos de igual masa. Sea E 1 E 2 ejes de simetría del cuadrado del cuadrante, respectivamente. Entonces, (a) el centro de masa del conjunto está ubicado en el punto de intersección de ambos ejes. (b) el conjunto de los dos cuerpos carece de centro de masa, pues no posee ningún eje de simetría global, pero sí posee centro de gravedad. (c) el centro de masa está situado en la ĺınea de contacto entre los dos cuerpos, pues sus masas son idénticas. (d) Ninguna de las otras respuestas es correcta. CUESTIÓN 3.3 E 2 E 1 3.4. Sea la placa cuadrada homogénea de la figura, de 8kp de peso. Si le quitamos la porción menos sombreada, el nuevo peso de la placa, de módulo 6kp, se aplicará en el punto (a) G( 1, 0)m. (b) G(1, 0)m. (c) G( 1 3, 0)m. (d) G( 1 3, 0)m. 2 2 m CUESTIÓN 3.4