1 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 1. (VALE POR UN PUNTO) El costo para producir un par de zapatos es de $5700 y depende de la materia prima y de la mano de obra. Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra. Cuál es el costo de la materia prima y la mano de obra? SOLUCIÓN Con base en la información suministrada, he decidido asignarle una variable al costo de la mano de obra, la llamare x. De acuerdo a lo anterior y en relación a lo expresado en el problema, puedo construir las siguientes ecuaciones: x mano de obra 3x materia prima x3x 5700 4x 5700 5700 x 4 x 145 mano de obra $145 materia prima $475

de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01. (VALE POR UN PUNTO) El precio de cuatro manzanas y dos peras es $810. El de una manzana y tres peras $315. Encontrar el precio de una manzana y una pera. SOLUCIÓN Con base en la información suministrada por el problema, asigno las siguientes variables: precio _ manzanas x precio _ peras y Expresando lo relatado en el planteamiento del problema con base en las variables asignadas: 4xy810 1 x 3y 315 Se obtuvo un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, la cual solucionare por el método algebraico de eliminación: 4xy 810 x 3y 3154 4xy 810 4x1y 160 10y 450

y 450 10 3 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 45 Reemplazando el valor de y en la ecuación <1> para obtener el valor de x: x3y 315 x 3 45 315 x 135 315 x 315 135 x 180 precio _ manzanas 180 precio _ peras 45 3. (VALE POR UN PUNTO) Debido a un aumento en el costo de la materia prima, una fábrica se vio precisada a aumentar el precio de sus artículos de $50 a $500. lo que hizo disminuir las ventas de 400 a 80 artículos. Suponiendo que la demanda es lineal. Cuántos artículos venderá si decide fijar un nuevo precio de $3000. SOLUCIÓN Con base en la información suministrada por el problema, asigno las siguientes variables:

4 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 precio _ articulos x articulos _ vendidos y Expresando lo relatado en el planteamiento del problema con base en las variables asignadas: x1, y1 50, 400 x, y 500,380 Con base en el hecho de que la demanda se comporta de forma lineal, procedo a calcular la magnitud de la pendiente: y y1 m x x 1 380 400 m 500 50 0 m 50 5 Habiendo obtenido la magnitud de la pendiente, utilizare la función pendiente y procederé obtener la ecuación de la línea recta que representa el comportamiento de la demanda del artículo. Utilizare la magnitud de la pendiente y una de las dos coordenadas suministradas:

5 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 x, y 50, 400 1 1 y y1 m x x1 m 5 y 400 x 50 5 y 400 x 50 5 y 400 x180 5 y x180 400 5 y x 580 5 La anterior es la ecuación de la línea recta que representa el comportamiento de la cantidad de artículos vendidos con respecto al precio de cada artículo. Si el nuevo precio de cada artículo es de x=3000, podre obtener la cantidad de artículos vendidos al reemplazar el valor en la función lineal obtenida:

6 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 y 3000 580 5 y 40 580 y 340 La conclusión es que si el precio del artículo se fija en $3000, se venderán 340 artículos. 4. (VALE POR DOS PUNTOS) Con base en las siguientes coordenadas en plano cartesiano: 1,3 ;,4 ; 5,5 a) Hallar la ecuación de la función de grado dos que pasa por las tres coordenadas dadas. b) Hallar la coordenada del vértice, concluir si es un máximo o un mínimo. c) Hallar las coordenadas donde la función corta al eje x. d) Dibujar un boceto de la gráfica. SOLUCIÓN Con base en la información suministrada por el problema y en relación a la función cuadrática (función de grado dos), podre obtener con base en cada una de las coordenadas suministradas; un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: ax bx c y Reemplazando una a una las coordenadas suministradas en la

7 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 ecuación general, obtendré el sistema de ecuaciones lineales: 1,3 a 1 b 1 c 3, 4 a b c 4 5,5 a 5 b 5 c 5 a b c 31 4a b c 4 5a 5b c 5 3 Procedo a solucionar por el método algebraico de eliminación: Elimino c de la ecuación <1> y <>: a b c 31 4a b c 4 a b c 3 4a b c 4 3a3b1 4 Elimino c de la ecuación <1> y <3>:

a b c 31 5a 5b c 5 a b c 3 5a 5b c 5 4a4b 5 8 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 Agrupo las ecuaciones <4> y <5> para eliminar la variable a: 3a 3b 18 4a4b 4a 4b 8 4a4b 8b 6 6 3 b 8 14 Reemplazando el valor de b en la ecuación <4>. 3a3b 1 3 3a 3 1 14

9 3a 1 14 9 3a 1 14 14 9 3a 14 5 3a 14 5 a 4 9 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 Con base en el valor de a y b encontrados, reemplazo en la ecuación <1> para obtener el valor de c: ab c 3 5 3 3 4 14 c 5 3 c 3 4 14

16 5 9 c 4 130 65 c 4 1 La ecuación de la función cuadrática es: 10 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 5 3 65 y x x 4 14 1 y 0.1190 x 0.14 x 3.095 Para hallar las coordenadas del vértice, utilizare la siguiente ecuación: x v x v b a 3 14 5 4

y v y v v La coordenada del vértice es: 3 14 9 xv 1.8 5 5 4 11 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 5 9 3 9 65 4 5 14 5 1 5 81 3 9 65 4 5 14 5 1 y.1309 x, y 1.8,.1309 v v Es un mínimo con base en que a>0 y eso implica que es cóncava hacia arriba. Para hallar las coordenadas donde la función corta al eje x, utilizare la solución de la ecuación cuadrática: x b b 4ac a Analizando primero el factor discriminante: b 4ac

1 de 1 Manizales, 9 de Agosto de 01 3 5 65 4 14 4 1 3 5 65 4 1.480 14 4 1 Con base en el hecho de que el discriminante es negativo, puedo concluir que la función no toca el eje x y por ser cóncava hacia arriba está por encima del eje x. 14 1 10 8 6 4 0-8 -6-4 - 0 4 6 8 10 1