Distribución Exponencial Hay dos casos especiales importantes de la distribución gamma, que resultan de restricciones particulares sobre los parámetros α y β. El primero es cuando se tiene α = 1, entonces la distribución gamma se reduce a la distribución exponencial, con PDF: Esta ecuación es analíticamente integrable, de modo que la CDF está dada por: Un uso importante de la distribución exponencial en ciencias atmosféricas es en la caracterización de la distribución del tamaño de gotas de lluvia (Marshall-Palmer).
Distribución ji-cuadrada El segundo caso es la distribución ji-cuadrada (o chi-cuadrada), que son distribuciones gamma con parámetro de escala β = 2. Su PDF está dada por: donde el parámetro ν es conocido como los grados de libertad y se satisface que α = ν/2. Es muy utilizada en el contexto de pruebas estadísticas. Grados de libertad: es una medida del número de piezas de información independientes en las que se basa la estimación de un parámetro. Es igual al número de observaciones menos el número de estadísticos adicionales utilizados para el cálculo.
Distribución Lognormal Muchas variables no se distribuyen de manera gaussiana, sin embargo, aplicando alguna transformación es posible convertir los datos a una forma que esté distribuida de esa manera. La transformación logarítmica se aplica en muchos casos, en especial cuando el rango de las observaciones abarca varios órdenes de magnitud. Una variable aleatoria X cuyos logaritmos Y = ln(x) están distribuidos de manera normal, se dice que sigue una distribución lognormal cuya PDF es: donde y son la media y desviación estándar de Y. La relación entre estos parámetros y los de la variable original X es: En este caso la variable sigue una distribución Gaussiana estándar N(0,1).
Distribución Beta Los valores de algunas variables están restringidos al intervalo 0 <= x <= 1, como por ejemplo la nubosidad o la humedad relativa. La PDF de la distribución Beta es: Toma muchas formas dependiendo de los valores de sus dos parámetros p y q. Un caso especial de la distribución Beta es la distribución uniforme, cuando se tiene p = q = 1. Con excepción de algunos casos especiales, no se puede calcular la integral de la PDF para la distribución Beta.
Distribuciones de valores extremos Descripción del comportamiento de los valores más grandes en conjuntos de m valores. La estadística de valores extremos es de interés debido a que los procesos físicos que los generan, y los impactos sociales que producen, son también grandes e inusuales. La PDF de la distribución generalizada de valores extremos o GEV es: donde ζ es el parámetro de ubicación, β el parámetro de escala y κ el parámetro de la forma. La CDF se obtiene de la integración analítica de la PDF: Esta CDF puede invertirse para obtener los cuantiles:
Hay tres casos especiales, dependiendo del valor del parámetro de la forma κ: Distribución Gumbel (cuando κ tiende a 0): Para κ > 0 se tiene la distribución Frechet. Para κ < 0 se tiene la districución Weibull:
Período de retorno El resultado de un análisis de valores extremos es a menudo un resumen de cuantiles correspondientes a probabilidades acumuladas grandes, p.e., el evento con una probabilidad de ser excedido de 0.01. Estas probabilidades extremas pueden expresarse como períodos de retorno promedio, que pueden estimarse mediante la siguiente relación: Es función de la CDF evaluada en x y de la frecuencia de muestreo promedio ω. El período de retorno R(x) asociado con un cuantil x se puede interpretar como el tiempo promedio entre la ocurrencia de eventos de esa magnitud o mayores. No hay garantía de que un evento con período de retorno R ocurra dentro de un período particular de R años. Su probabilidad de ocurrencia será 1/R para cualquier año en particular.