Métodos de Interpolación

Capítulo 5 Métodos de Interpolación 5 Interpolación Lineal Dados dos puntos (x k,y k )y(x k+,y k+ ), si se desea encontrar un valor de y para una x dada dentro de un intervalo, se utiliza la siguiente ecuación (por triángulos semejantes) (x, y) (x, y ) k+ k+ (x, y ) k k Figura 5: Interpolación lineal y despejando para y, tenemos y y k x x k = y k+ y k x k+ x k (5) ( ) yk+ y k y = y k + (x x k ) (5) x k+ x k 5 Polinomio de Interpolación Único Suponer que se tienen (n + ) pares de datos (x,y ), (x,y ),,(x n,y n ) representando (n + ) puntos de la gráfica de una función y = f(x), cuya forma explícita no se conoce Las x i, i =,,n se asumen con valores distintos, es decir, la función es continua El polinomio que se va a encontrar debe satisfacer las siguientes restricciones: P n (x i )=y i, i =,,n (53) 77

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro asumiendo un polinomio P n (x) delaforma P n (x) =a + a x + a x + + a n x n (54) Al tener que cumplir con las restricciones (53), se generan (n + ) ecuaciones en (n +)incógnitas; siendo éstas los coeficientes a i s: a + a x + a x + a 3 x 3 + + a n x n = y a + a x + a x + a 3 x 3 + + a n x n = y a + a x + a x + a 3x 3 + + a nx n = y = a + a x n + a x n + a 3 x 3 n + + a n x n n = y n (55) y en forma matricial: x x xn x x xn x x x n x n x n xn n a a a a n = y y y y n (56) Resolviendo el sistema encontramos los valores del vector a =[a a a a n ] T Ejemplo 5 Encontrar el polinomio de interpolación único para los valores: (, 763), (, 364) y (3, 5774) e interpolar el valor x = Solución 4 3 9 P (x) =a + a x + a x a a = 763 364 a = 43 495 a 5774 85 P (x) =43 + 495x +85x y evaluando para x = : P () = 384835 La figura 5 muestra los datos y la función de interpolación 53 Polinomio de Interpolación de Lagrange Las condiciones que se tienen son las mismas que para el polinomio único; sin embargo, la forma del polinomio cambia: P n (x) =y b (x)+y b (x)+y b (x)+ + y n b n (x) (57) donde b k (x) es un polinomio de grado n El polinomio P n (x) cumple con las siguientes restricciones: P n (x i )=y i, i =,,n (58) 78

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro 5 4 3 5 5 3 Figura 5: Datos de interpolación y función P (x) de interpolación Si desarrollamos el polinomio P n (x i ), tenemos: generando (n + ) ecuaciones: y b (x i )+y b (x i )+y b (x i )+ + y n b n (x i )=y i, i =,,n (59) y b (x )+y b (x )+y b (x )+ + y n b n (x ) = y y b (x )+y b (x )+y b (x )+ + y n b n (x ) = y y b (x n )+y b (x n )+y b (x n )+ + y n b n (x n ) = y n (5) Examinando las ecuaciones, se observa que si los b k (x) se definen como b k (x j )=δ kj = {, k = j, k j, (5) las ecuaciones se logran satisfacer Ya que cada b k (x) es un polinomio de grado n que tiene distintas raíces en x, x, x,, x k, x k+,, x n,éste se puede expresar de la siguiente forma: b k (x) =K k (x x )(x x ) (x x k )(x x k+ ) (x x n ) (5) y las constantes K k se pueden determinar evaluando b k (x) enx = x k ;ésto es: b k (x k )=K k (x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) (x k x n ) (53) Como sabemos que b k (x k )=delaecuación 5, esto nos lleva a despejar K k : K k = (x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) (x k x n ) (54) y sustituyendo en la definición de los b k (x) (ecuación 53), tenemos: b k (x) = (x x )(x x ) (x x k )(x x k+ ) (x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) (55) y variando k =,,n y sustituyendo en la definición del polinomio (ecuación 57): P n (x) = y (x x )(x x ) (x x n ) (x x )(x x ) (x x n ) + 79

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro (x x )(x x ) (x x n ) y (x x )(x x ) (x x n ) + + (x x )(x x ) (x x k )(x x k+ ) y k (x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) + + (x x ) (x x n )(x x n ) y n (x n x ) (x n x n )(x n x n ) que es el polinomio clásico de interpolación de Lagrange Utilizando notación más compacta: P n (x) = Adicionalmente, podemos definir n k= yasí, al evaluarlo en x = x k, tendríamos: (56) y k (x x )(x x ) (x x k )(x x k+ ) (x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) (57) L k (x) =(x x )(x x ) (x x k )(x x k+ ) (58) L k (x k )=(x k x )(x k x ) (x k x k )(x k x k+ ) (59) y el polinomio de Lagrange lo podríamos representar de la siguiente forma: n L k (x) P n (x) = y k L k (x k ) k= (5) Ejemplo 5 Calcular el polinomio de interpolación de Lagrange para el siguiente conjunto de puntos: x i 33 66 y i 39 935 78 Solución Sustituyendo en la ecuación 5, se obtiene: L (x) P 3 (x) = y L (x ) + y L (x) L (x ) + y L (x) L (x ) + y L 3 (x) 3 L 3 (x 3 ) = (x 33)(x 66)(x ) ( 33)( 66)( ) + (x )(x 66)(x ) 39 (33 )(33 66)(33 ) + (x )(x 33)(x ) 935 (66 )(66 33)(66 ) + (x )(x 33)(x 66) 78 ( )( 33)( 66) y simplificando, obtenemos como resultado: P 3 (x) = 45937(x 33)(x 66)(x ) + 96446x(x 66)(x ) + 639x(x 33)(x ) + 935x(x 33)(x 66) = 743x 3 +439x +78x + 8

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro La aproximación es excelente si tomamos encuenta que los puntos se tomaron de evaluar la función exponencial e x En la figura 53 podemos obervar qué tanto la función evaluada como la aproximación por Lagrange es (para estos puntos) casi la misma 6 4 8 6 4 4 6 8 Figura 53: Puntos interpolados y polinomio de Lagrange obtenido 54 Polinomio de Interpolación de Newton El polinomio de interpolación de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma: P n (x) =c + c (x x )+c (x x )(x x )+ + c n (x x ) (x x n ) (5) donde los coeficientes c k,k=,,nse determinan al cumplir con las restricciones P n (x i )=y i, i =,,n Los coeficientes c k se pueden calcular en términos de: Diferencias finitas hacia adelante Diferencias finitas hacia atrás Diferencias finitas centradas 54 Diferencias Hacia Adelante Considere el conjunto de valores (x i,y i ),i=,,nlosvaloresy i se obtienen de evaluar una función f(x i ) Las diferencias se definen como: Δy i = y i+ y i, i =,,n (5) Estas diferencias reciben el nombre de diferencias de primer orden de f(x) sobre el intervalo (x,x n ) Ahora podemos definir las diferencias de las diferencias de primer orden, esto es, diferencias de segundo orden, como: Δ y i =Δ(Δy i )=Δy i+ Δy i, i =,,n (53) En general, para diferencias de orden k-ésimo, se tiene: Δ k y i =Δ k y i+ Δ k y i, i =,,n k (54) En general, se puede probar que ( Δ k k y = y k ) ( k y k + ) y k +( ) k y (55) 8

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro Tabla 5: Diferencias hacia adelante Δy i Δ y i Δ 3 y i Δ 4 y i x i y i y i+ y i Δy i+ Δy i Δ y i+ Δ y i Δ 3 y i+ Δ 3 y i x y Δy Δ y Δ 3 y Δ 4 y x y Δy Δ y Δ 3 y x y Δy Δ y x 3 y 3 Δy 3 x 4 y 4 donde ( k i ) = k! i!(k i)! (56) es la fórmula del coeficiente binomial El método asume valores de x i equidistantemente espaciados, es decir, (x j x i )=(j i)h Deestaforma, se puede sustituir en las ecuaciones generadas (restricciones) para obtener: c = y c +c h = y c +c h +c hh = y c +c nh +c n(n )h + +c n n!h n = y n (57) Resolviendo el sistema anterior (sustitución hacia adelante) y utilizando la relación de diferencias hacia adelante de orden k-ésimo, se obtiene: c = y, c = Δy h, c = Δ y h,, c n = Δn y n!h n (58) y sustituyendo en el polinomio, obtenemos: P n (x) = y + Δy h (x x )+ Δ y h (x x )(x x )+ + Δ n y n!h n (x x )(x x ) (x x n ) (59) que aproxima a y = f(x) enelintervalo[x,x n ] Como se puede observar, los coeficientes del polinomio se pudieron obtener directamente de la tabla de diferencias y diviendo por k!h k Ejemplo 53 Para los datos proporcionados, calcular el polinomio de interpolación de Newton 8

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro Solución La tabla de diferencias resultante es x i y i Δy i Δ y i Δ 3 y i 3956 565 69 /3 3956 55 843 /3 94773 7755 788 pudiendo obtener los coeficientes c i s: Con esas diferencias, el polinomio quedaría como c = y = c = Δy h = 3956 =8683 3 c = Δ y h = 565 ( =743 3 ) c 3 = Δ3 y 6h 3 = 69 6( 3 )3 =7864 P n (x) =c + c x + c x(x 3 )+c 3x(x 3 )(x 3 ), realizando las multiplicaciones y simplificando, nos queda P n (x) =7864x 3 +4566x +3983333x + La figura 54 muestra los puntos a interpolar y la función interpoladora 6 4 8 6 4 4 6 8 Figura 54: Puntos a interpolar marcados con y el polinomio de Newton evaluado 55 Splines Cúbicos El objetivo de este método es el de colocar un polinomio de grado 3 en cada intervalo de datos, como se muestra en la figura 55, cumpliendo las siguiente condiciones: Debe haber certeza de que y i = f(x i ), x i <x i+ No se permite que haya dos x i s iguales i, y 83

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro P (x) i (x,y ) i+ i+ P (x) i+ (x,y ) i i Figura 55: Splines cúbicos para interpolación 3 Debe de existir en el sistema físico el concepto de velocidad y aceleración Sea P i (x) el polinomio de aproximación de la verdadera relación f(x) enelintervalo(x i,y i ) (x i+,y i+ ), con las siguientes restricciones: P i (x i+ )=P i+ (x i+ ), esto es, que los polinomios se unan, P i (x i+) =P i+ (x i+), misma pendiente en la unión, P i (x i+) =P i+ (x i+), misma concavidad en la unión Los polinomios tienen la siguiente forma: P i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) + c i (x x i )+d i, (53) x i x x i+, i =,,n Dado que para n datos hay (n ) intervalos, también hay (n ) polinomios Además, ya que conocemos la forma del polinomio, podemos calcular sus derivadas: P i (x i ) = d i (53) P i (x) = 3a i (x x i ) +b i (x x i )+c i (53) P i = 6a i(x x i )+b i (533) Y ahora, definiendo s i como la segunda derivada de f(x)evaluadaenx = x i, podemos calcular los coeficientes del polinomio igualando la ecucación 533 a s i : s i = P i (x i )=6a i (x i x i )+b i (534) de donde obtenemos que Ahora, evaluamos la ecuación 534 en x = x i+ : b i = s i (535) y sustituyendo la ecuación 535 para despejar Para determinar c i,seevaluap i (x) x=xi+ : s i+ = P i i+) =6a i (x i+ x i ) }{{} +b i (536) h i a i = s i+ s i 6h i (537) y i+ = P i (x i+ )=a i h 3 i + b ih i + c ih i + d i (538) 84

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro y si sustituimos las ecuaciones 537, 535 y d i, obtnemos: ( ) si+ s i y i+ = h 3 i 6h + s i i h i + c ih i + y i (539) pudiendo ahora despejar c i : c i = y i+ y i h i Para obtener s i, tomamos la frontera izquierda del polinomio i: y sustituyendo las ecuaciones 53, 53 y 533 para obtener 6h i h i 6 (s i + s i+ ) (54) P i (x i )=P i (x i ) (54) 3a i h i +b i h i + c i = c i (54) Una vez más, se sustituyen las ecuaciones 535, 537 y 54 ( ) si s i 3 h i + s i h i + y i y i h i 6 (s i + s i ) = h i y i+ y i h i h i 6 (s i + s i+ ) (543) y realizando las operaciones, agrupando y simplificando, generamos las siguientes ecuaciones (funciones de concavidades) h i s i +(h i + h i )s i + h i s i+ =6( yi+ y i h i i =,,(n ) ) + yi yi h i, (544) Las (n ) ecuaciones anteriores son en n incógnitas (las s i s son las incógnitas) Dado que nos faltan dos ecuaciones, se tienen las siguientes alternativaspara generarlas: Concavidad distinta al inicio y al final, s = K y s n = K n, Igual concavidad al inicio y al final, s = s n = K, y 3 Linealización de la segunda derivada: que simplificando, obtenemos: s 3 s = s s h h (545) s n s n = s n s n h n h n (546) h s (h + h )s + h s 3 = (547) h n s n (h n + h n )s n + h n s n = (548) Ejemplo 54 Igual h i Se tienen los siguientes puntos y se desea obtener el polinomio de interpolación mediante Splines Cúbicos 3 4 5 x 5 5 75 y 6449 843 7555 788 85

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro Solución Para este problema, h i = 5, i Procedamos a generar las ecuaciones utilizando la ecuación 544 y haciendo i =, 3, 4: ( 843 6449 5s +(5 + 5)s +5s 3 = 6 + 6449 ) 5 5 ( ) 7555 843 6449 843 5s +(5 + 5)s 3 +5s 4 = 6 + 5 5 ( ) 788 7555 843 7555 5s 3 +(5 + 5)s 4 +5s 5 = 6 + 5 5 Para generar las ecuaciones restantes, utilizaremos la alternativa número 3 (ecuaciones 545 y 546): 5s (5 + 5)s +5s 3 = 5s 3 (5 + 5)s 4 +5s 5 = Agrupando las ecuaciones anteriores, podemos expresar el sistema completo en forma matricial y resolverlo para encontrar: 5 5 5 s 55 5 5 s 5 5 s 3 5 5 s 4 = 37 6355 834 s = 488 344648 787536 5 5 5 s 5 344 Los coeficientes de los polinomios se obtienen evaluando las ecuaciones 537, 535 y 54 con los resultados de las concavidades Por ejemplo, para i =, tenemos: a = s s 488 55 = = 64378667 6h 6(5) b = s = 55 = 75756 c = y y h h 6 (s + s i+ ) = 6449 5 d = y = 5 [(55) + 488] = 833333 6 Prosiguiendo con el cálculo para i =, 3, 4, se generan los restantes valores de los coeficientes de los polinomios, los cuales se muestran en la tabla 5 La figura 56 muestra los puntos y los polinomios de splines cúbicos evaluados Tabla 5: Coeficientes de los polinomios de Splines Cúbicos i a i b i c i d i 64378667 75756 833333 64378667 44 578333 6449 3 9558667 734 6873333 843 4 9558667 393768 68396333 7555 86

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro 8 6 4 8 6 4 4 6 8 Figura 56: Puntos a interpolar y splines Ejemplo 55 Distinta h i Obtener los polinomios de interpolación mediante Splines Cúbicos para los siguientes puntos: x 54 64 995 96 37 y 8588 49 6433 54 53 493 Solución El número de puntos es n = 6 Proseguimos calculando los valores h i = x i+ x i, i =,,5: h =[ 4 6 39 74 ] Utilizando la ecuación 544, generamos las ecuaciones de concavidades (s i s) intermedias: 4 s + 966 s + 6 s 3 = 45944755 6 s + 96 s 3 + 39 s 4 = 659965 39 s 3 +84 s 4 + s 5 = 5786655 s 4 + 75 s 5 + 74 s 6 = 9888 Para generar la primera y última ecuación, utilizaremos la alternativa número 3 (ecuaciones 545 y 546): 4 s 3 4 s = 6 s 6 s s 6 s 5 = 74 s 5 74 s 4 Agrupando las ecuaciones anteriores, podemos expresar el sistema de ecuaciones completo en forma matricial 6 483 4 s 4 966 6 s 45944755 6 96 39 s 3 659965 = 39 84 s 4 5786655 75 74 s 5 9888 74 375 s 6 y al resolverlo, encontramos los valores de las concavidades: s T =[ 47663, 96459, 386637876, 87785, 5994, 7376754] 87

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro Tabla 53: Coeficientes de los polinomios de splines i a i b i c i d i 9866355 7363855 8556933 8588 986635 5985795 8884436 49 3 993744 693389375 69734 6433 4 98634948 4353694 35335 54 5 98634946 54595 9998984 53 Los coeficientes de los polinomios, que se muestran en la tabla 53, se obtienen de evaluar las ecuaciones 537, 535 y 54 en los valores de las concavidades, s i s, que acabamos de obtener La figura 57 muestra los puntos dados y los polinomios de splines cúbicos correspondientes para cada intervalo 8 6 4 4 6 8 4 - -4-6 -8 Figura 57: Puntos de interpolación y polinomios de splines 88

Capítulo 6 Métodos de Integración 6 Introducción En cálculo integral aprendimos que la integral definida I = b a f(x) dx (6) donde f(x) es una función continua sobre el intervalo [a, b], puede ser interpretada geométricamente como el área bajo la grafica de y = f(x) entre x = a y x = b Dividiendo el intervalo [a, b] enn subintervalos iguales [x i,x i+ ], cada uno de longitud h, obtenemos un conjunto de rectángulos de base h, alturaf(x i ), y área f(x i )h (ver figura 6) Entonces, el área bajo la gráfica de f(x) puede ser aproximada por la suma de las áreas de estos rectángulos También la integral definida se establece como: n I = lim f(x i )h (6) n i= f (x) a b x Figura 6: Integración mediante rectángulos Intuitivamente, se puede decir que una mejor aproximación se podría obtener si en lugar de rectángulos ajustamos trapecios; deestaforma,elárea entre x i y x i+ quedaría definida por: t i = h [f(x i)+f(x i + h)] (63) 89

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro y la suma de estos trapecios nos daría la integral: T = n i= h [f(x i)+f(x i + h)] (64) f (x) a b x Figura 6: Integración mediante trapecios 6 Regla Trapezoidal La integral puede ser obtenida a partir de: I = xn n f(x) dx = x i= xi+ x i f(x) dx (65) y aproximando f(x) enelintervalo(x i,x i+ )porelpolinomio de interpolación lineal (forma de Newton hacia adelante): P i (x) =y i + Δy i h (x x i) (66) integrando: xi+ xi+ [ I i = P(x) i dx = y i + Δy ] i x i x i h (x x i) dx (67) Para simplificar la integral, se introduce la variable u =(x x i )/h, donde además du = dx/h El rango de integración (x i,x i+ )enxse convierte en (, ) en la variable u I i = h [y i + uδy i ] du (68) = h [y i u + u Δy i [ = h y i + ] Δy i ] (69) (6) 9

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro y sustituyendo la relación Δy i = y i+ y i en la ecuación anterior, obtenemos: I i = h [y i + y i+ ] (6) concluyendo en: xn n n h f(x) dx = I i = x [y i + y i+ ] (6) i= i= Si ahora expresamos la ecuación anterior en forma expandida, obtenemos: T = h [y +y +y + +y n + y n ] (63) 63 Regla de Simpson /3 La regla requiere que n sea par: y se logra definiendo la integral como Q = h 3 [y +4y +y +4y 3 + +y n +4y n + y n ] (64) b n xi+ f(x) dx = f(x) dx (65) a i= x i y aproximando f(x) porunpolinomio de interpolación de orden sobre cada subintervalo (x i,x i+ ) El superíndice i en P(x) i denotaeli-ésimo par de ordenadas Si ahora obtenemos la integral de cada polinomio I i = = xi+ x i xi+ x i P i (x) dx [ y i + Δy ] i h (x x i)+ Δ y i h (x x i)(x x i+ ) dx (66) Para simplificar, hacemos u =(x x i )/h y du = dx/h; de esta manera, el intervalo (x i,x i+ )enxpasa a ser (, ) en u Sustituyendo, [ ] I i = h y i + uδy i + u(u ) Δ y i du (67) ( ) = h [uy i + u u 3 Δy i + 3 u Δ ] y i (68) = h [y i +Δy i + 3 ] Δ y i (69) y tomando en cuenta las relaciones Δy i = y i+ y i (6) Δ y i = y i+ y i+ + y i (6) y ahora agrupando términos, podemos obtener: I i = h 3 [y i +4y i+ + y i+ ] (6) El valor de la integral total en el intervalo (a, b) se logra sumando las integrales resultantes mediante la ecuación 6 de cada subintervalo Si hacemos esa sumatoria y la expandemos, resulta la Regla de Simpson 3 : I = h 3 [y +4y +y +4y 3 +y 4 + +y n +4y n + y n ] (63) 9

64 Regla de Simpson 3/8 c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro Esta regla es una derivación parecida a las anteriores, solo que ahora el polinomio de interpolación es de orden 3, n debe ser múltiplo de 3 y polinomio se ajustará entre 3 puntos, generando de esta manera, trios de subintervalos: (x 3i,x 3i+3 ) La integral de cada subintervalo quedaría como I i = x3i+3 x 3i P i 3(x) dx (64) Si al igual que en la sección anterior, introducimos la varibale u Después de haber integrado y sustituido las definiciones de las diferencias hacia adelante hasta de orden 3, podemos obtener la fórmula de la regla: I i = 3h 8 [y 3i +3y 3i+ +3y 3i+ + y 3i+3 ] (65) yasí obtener la Regla de Simpson 3 8 : I = 3h 8 [y +3y +3y +y 3 +3y 4 + +3y n + y n ]=Q 33 (66) Ejemplo 6 Se desea obtener el valor numérico de la siguiente expresión: I dx x = x =5 Solución Para (a) h =,(b)h =5 y(c)h =5 Regla Trapezoidal I = h [y +y +y + +y n + y n ] (67) [ (a) I = ] + =65 [ ] (b) I = 5 + (5) + =5347 (c) I = 5 [ ] + (5) + (5) + (75) + =58993 Para (a) h =5 y(b)h =5 (a) I = 5 3 (b) I = 5 3 [ + 4 (5) + ] =5463 Regla de Simpson 3 [ ] + 4 (5) + (5) + 4 (75) + =548 9

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro 8 8 6 6 4 4 4 6 8 (a) h = 4 6 8 (b) h =5 8 8 6 6 4 4 4 6 8 (c) h =5 4 6 8 (d) h =5 Figura 63: Integración mediante la Regla Trapezoidal para diferentes h 65 Método de Romberg El método se puede derivar con ayuda de los siguiente dos pasos: Calcular la suma de trapecios para b a f(x) dx, utilizando sucesivamente los intervalos dados por h = b a, h = h /, h = h /,, h k = h / k Aplicar interpolación lineal repetidamente (iterativamente) en la variable h, comenzando con los puntos (h,t ), (h,t ), (h,t ),,(h k,tk ), donde T k son la suma de trapecios con intervalo h k (k =,,,) Primeramente, calcular el área T para h = b a T = h [f(x )+f(x + h )] (68) Dividamos ahora el intervalo h alamitad,paraobtenerh = h / y calcular el área T de los trapecios resultantes T = h [f(x )+f(x + h )+f(x +h )] (69) Si volvemos a dividir el intervalo a la mitad, podemos obtener T : T = h f(x )+ j= f(x + jh )+f(x + h ) (63) 93

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro f (x) T T T T T T a b x Figura 64: Proceso iterativo dedel Método de Romberg y si continuamos diviendo a la mitad el intervalo, tendríamos la fórmula general: T k = h k k f(x )+ f(x + jh k )+f(x + k h k ) (63) j= hasta que h k sea una suficientemente pequeña subdivisión del intervalo original h Elprocedimientocomputacional genera una secuencia de sumas de trapecios T, T, T,, T k que convergen al valor de la integral definida b f(x) dx de tal manera que a b lim T k = f(x) dx (63) k Se puede demostrar que el error de integración numérica por la Regla Trapezoidal es de orden h (O(h )), donde h es el tamaño del intervalo Dicho error lo podemos escribir como sigue: E k = I T k = b a f ( x)h k, x (a, b) (633) y de igual manera, si utilizamos un intervalo h k+ = h k /, el error es: E k+ = I T k+ = b a f ( x)h k, x (a, b) (634) Si ahora, f ( x) yf ( x) son promedios de los valores de f (x) en los intervalos h k y h k+, respectivamente, se puede asumir que f ( x) = f ( x) Asumiendo lo anterior, podemos escribir las relaciones de la siguiente forma: a T k = I + g(x)h k (635) T k+ = I + g(x)h k+ (636) donde g(x) = b a f ( x) = b a f ( x) Si ahora resolvemos para I premultiplicando la primera relación por h k+ y la segunda por h k, obteniendo: T k h k+ = Ih k+ + g(x)h k h k+ (637) T k+ h k = Ih k + g(x)h k+ h k (638) 94

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro y restando la primera ecuación de la segunda y resolviendo para I, tenemos: I = T k+ h k T k h k+ h k h k+ (639) Si ahora consideramos los puntos (h k,tk )y(h k+,tk+ ) como puntos en una gráfica, teniendo h como abscisa y T como ordenada Si hacemos pasar una línea recta por ellos para extrapolar hasta h =,es decir, cuando la línea corte el eje de las ordenadas, tendríamos: T k = T k+ h k T k h k+ h k h k+ (64) y sustituyendo h k+ = h k /, la ecuación anterior se reduce a: T k k+ 4T T k = (64) 3 que es exactamente la ecuación a la que habíamos llegado anteriormente Además, se puede demostrar que la ecuación anterior es equivalente a la regla de Simpson de intervalo h k+ (teniendo un error de h 4 )ylafórmula que se obtenga es equivalente a la cuadratura cerrada de Newton-Cotes de intervalo h k+ Geométricamente, se puede interpretar como la interpolación lineal de puntos de Simpson extrapolando hasta h 4 De esta manera se puede obtener una fórmula para interpolaciones lineales repetidas de los puntos del trapecio en la variable h y extrapolando hasta h = conla siguiente fórmula: T k m = T k+ m h k T k m h k+m h k h k+m (64) pudiendola reducir con la sustitución de h k+ = h k / para obtener la fórmula básica del algoritmo de Romberg para integración numérica: Tm k = 4m Tm k+ T m k 4 m (643) Ejemplo 6 Utilice el método de Romberg para evaluar la siguiente integral definida utilizando un ɛ =5 y una δ =5 x e x dx Solución Primeramente, se calculan las dos primeras sumas trapezoidales para h =yh =5 yseaplicaelmétodo de Romberg: h T k 359494 T k T k T3 k 5 8856666 7783385 5 7659633 789837 783396 5 788977 783458 788339 788849 La convergencia se va efectuando para todos los elementos de una misma fila, es decir, se calculan T y T para obtener T,elcualsería el último elemento a calcular de esa fila Posteriormente, si no se cumple con el error establecido, se calcula la siguiente suma trapezoidal, T y con este otro elemento ya se pueden calcular: T y T El proceso continua hasta que la interpolación haya convergido para el error, ɛ, especificado 95

c 997 6 Dr Horacio Martínez Alfaro 5 5 5 5 5 5 4 6 8 z (a) 4 6 8 z (b) 5 5 5 5 5 5 4 6 8 (c) 4 6 8 z (d) Figura 65: Trapecios y función a integrar Los trapecios generados sobre la gráfica de la función son los que se muestran en la figura 65 La solución analítica es: x e x dx =e x ( x x + ) =78888 96