16/01/01 ÁLGEBRA Álgebra Unidad 4. El lenguaje algebraico. TEMA 4: olinomios Álgebra vs Aritmética La Aritmética siempre opera sobre números concretos. El Álgebra hace cálculos simbólicos en los que las letras ya no sólo representan números sino otras entidades matemáticas (vectores, funciones, matrices ), y las propiedades de las operaciones pueden diferir de las usadas con los números. Álgebra elemental. arte de las matemáticas en la que se usan las letras para expresar números de valor desconocido o indeterminado. Sus problemas están relacionados con las reglas para la transformación de expresiones y la solución de ecuaciones. Como para nosotr@s las letras representan números, las leyes de las operaciones con las expresiones algebraicas se basan en las leyes de las operaciones con números. Expresiones algebraicas Surgen de traducir a lenguaje matemático situaciones o enunciados en los que aparecen datos desconocidos o indeterminados que se designan por letras. Está formada por números y letras relacionadas mediante operaciones Las letras reciben el nombre de indeterminadas y cada uno de los sumandos se denomina término. El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica es el resultado de la expresión numérica que resulta de sustituir las indeterminadas por números. Traducir a lenguaje algebraico 1 1.El triple de un número más dos..la raíz cuarta de un número..el 80% de mi paga semanal. 4. /8 de la población. 5.El lado aumenta en 5 unidades. Tipos de expresiones algebraicas MONOMIO: a b BINOMIO: 7 x + 5 x y 7 TRINOMIO: 6 4 x y x y + OLINOMIO: 4 4x yz + x 7xz + 4y + 9 5 x + 8x 7x + x 5 1
16/01/01 Expresiones algebraicas que contienen el signo = IDENTIDAD: Se cumple para cualquier valor que tomen las incógnitas ECUACIÓN: ( x ) 1 = x Se cumple sólo para determinados valores de la incógnitas. x + = x + 4 a a = a + n m n m Monomio= coeficiente x parte literal Expresión algebraica que consta de un número llamado COEFICIENTE multiplicado por una o más indeterminadas elevadas a exponentes naturales, que forman la ARTE LITERAL del monomio. GRADO de la indeterminada: es el valor de su exponente. GRADO del monomio: es la suma de los grados de sus indeterminadas Monomios semejantes tienen sus partes literales iguales Qué es un Monomio? Es una expresión algebraica producto de un número llamado COEFICIENTE multiplicado por una o más indeterminadas elevadas a exponentes naturales, que llamamos la ARTE LITERAL del monomio. on ejemplos de monomios: Monomio: 45 x y z arte literal Como podemos definir el grado de un monomio? Coeficiente Grado de un monomio 45 x y z GRADO de la indeterminada: es el valor de su exponente. El grado de x es. El grado de y es. El grado de z es. GRADO del monomio: es la suma de los grados de sus indeterminadas. El grado del monomio es seis, porque +1+= 6. Monomios semejantes: Decimos que dos MONOMIOS son SEMEJANTES si tienen sus partes literales iguales: 1. Escribe varios monomios que sean semejantes.. Cómo piensas que se pueden sumar?.intenta sumar los monomios que hayas escrito anteriomente.
16/01/01 EJEMLO Copia y completa. Monomios semejantes: 6x y z 11x y z monomio 9x -5xy 5 1a b Coeficientes: 6, 11 arte literal: x y z Grado de la indeterminada x : Grado del monomio: ++1=6 coeficiente arte literal grado Valor numérico si: 7 5 7 m n X= x= e y= a=10 y b=1 m=0 y n=5 olinomio Expresión algebraica formada por sumas y restas de varios monomios no semejantes. (olinomio en su forma reducida) Cada monomio es un término del polinomio. El término de mayor grado recibe el nombre de término principal y el de grado cero se denomina término independiente o constante El grado del polinomio es el de su término principal, es decir el de mayor grado. Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio para x=a es el número que resulta de sustituir la x por a. x x x x = + 4 Su valor numérico para x = 1 ( 1) = 1 4 = 10 1 = 1 1 + 1 4 Ejemplos de polinomios. Algebra con papas: a x y yz + x + ) 5 7 9 Término de mayor grado: 5 Término principal: 5 x y x y b x x 4 ) 5 7 + 19 Término de mayor grado: 5x Término principal: 5x Grado del término principal: Grado del término principal:4 Grado del polinomio: Grado del polinomio: 4 Término independiente o constante: 9 Término independiente o constante: 19 Número de términos: 4 Número de términos: 4 4 http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ies diegogaitan/departamentos/departamentos/d epartamento_de_matemat/recursos/algebrac onpapas/recurso/index.htm
16/01/01 Operaciones con monomios SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Solo se podrán sumar o restar monomios semejantes de la siguiente forma: Se suman o restan sus coeficientes Se mantiene la misma parte literal La suma de monomios semejantes es otro monomio semejante a ellos. Si dos monomios no son semejantes, su suma no se puede simplificar y el resultado no es un monomio. Suma los monomios a) x y 5xz 7x y 14xz 4x y 5xyz + = = x y x y + x y xz xz xyz = 7 4 5 14 5 = 19xz 5xyz b) 5x 9x + x 5x 9x + 16x = = 5x + x + 16x 9x 5x 9x = = x 14x 9x Operaciones con monomios MULTILICAR o DIVIDIR Se multiplican o dividen por separado sus coeficientes y sus partes literales. OTENCIAS Se multiplica la base consigo misma tantas veces como indica el exponente Aplicamos las propiedades de las potencias: m n m n+ m n n m n n n x x = x x = x x y = x y MULTILICAR o DIVIDIR OTENCIAS Operaciones con monomios x y z xy 4 = x x y y 4 z = = 6 = 6 + 1 + 4 7 x y z x y z ( x y z) ( ) ( x ) ( y ) ( z) = = 6 9 = x y z = 7x y z Tarea del libro: Operaciones con monomios. ág. 61: Ej. 1,,,5 Operaciones con polinomios SUMAR Y RESTAR: Agrupamos sus términos semejantes y simplificamos. RODUCTO DE UN MONOMIO OR UN OLINOMIO Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. 4
16/01/01 SUMAR Y RESTAR: Operaciones con polinomios RODUCTO DE UN MONOMIO OR UN OLINOMI0: s) 5x x + 8 + x 6x 10 = = 7x 9x r) x 4x + 6 x 7x 4 = = + + 1x x 10 p) 4x x 7x 4 = = 1x + 8x + 16x 5 4 Operaciones con polinomios RODUCTO DE DOS OLINOMIOS Se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos los monomios del otro factor. Después, sumamos los monomios semejantes obtenidos. SACAR FACTOR COMÚN Se trata de extraer los factores comunes de todos los sumandos que forman el polinomio. El resultado será el producto de dos polinomios. Multiplicar polinomios Seguimos un orden: ( 5x x )( x x ) 5x ( x ) 5x x 5x x ( x ) x x x + + ( x ) + x + = + + + = + + + + + + 4 10x 1x x x 6 Sacar factor común Identificamos los factores comúnes: = ( ) ( ) + ( ) = ( + )( ) a)1x y 4xy 4xy xy 1 b x x x x x ) 5 5 5 c x x x x 4 ) + = + Tarea del libro: - Suma y resta de polinomios. - roductos de polinomios. - otencia de polinomios ág. 61: Ej. 4, 8,9,10 y 11. ág. 61: Ej. 1,1,14,15. ág. 6: Ej. 18,19. IDENTIDADES NOTABLES Igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor que tomen las incógnitas. Cuadrado de una suma: (a+b) = a +ab + b Cuadrado de una diferencia: (a-b) = a - ab + b Suma por diferencia: (a+b). (a-b) = a - b 5
16/01/01 IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma: (a+b) = a +ab + b Identificamos incógnitas : a = x; b = ( x x) x + = x + x + = 9x + 1x + 4 + = IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una diferencia: (a-b) = a - ab + b Identificamos incógnitas a = x b = ( x y ) = : ; 4 x = x x + = 4x 1x + 9 IDENTIDADES NOTABLES Suma por diferencia: (a+b). (a-b) = a - b a = ; b = x ( x y)( x y) 4 x + x = x = 9 4x + = Tarea del libro: - Identidades notables ág. 6: Ejercicios:0,1,,,4,5. ág. 6: Ej.6,7,. Trabajo para exponer en clase: Hasta el s XVll, cualquier relación matemática tenía que ser demostrada geométricamente, de modo que las indeterminadas eran concebidas como representación de su equivalente geométrico: x, x,x representaban un segmento, una superficie y un volumen respectivamente. Demostrar cual matematic@ del Renacimiento las identidades notables. División entre polinomios: División de un polinomio por un monomio División de un polinomio por un binomio Regla de Ruffini. Aplicación: Factorizar polinomios. 6
16/01/01 División de un polinomio por un monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio: 15 + 9 15 9 x x x x x x = + = x x x x 15 5 1 1 1 1 = x x + x = x x + División de un polinomio por un binomio Se opera de modo análogo a las divisiones con números pero operando con monomios: 4 6 + 7 x x x x + x x + 4 1 4 6 6x + 7 6x + 18 5 rueba de la división: Regla de Ruffini Dividendo = Divisor x Cociente + Resto 4x 6x + 7 = 4x + 6 x + 5 Nos es útil para: 1. Comprobar que hemos hecho bien la división.. ara entender el teorema del resto y el teorema del factor. ermite averiguar el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma: x a. ara el ejemplo a=. ( 4x 6x + 7 ) : ( x ) 4 6 + 7 1 18 4 6 5 Cociente :4x + 6 Resto :5 Regla de Ruffini Al dividir por un binomio de la forma: x a. Atención: a puede representar un número negativo. ara este ejemplo a=- ( 4x + 11x ) : ( x + ) 4 11 1 4 1 0 Cociente :4x 1 Resto :0 Ejercicios del libro: -Dividir polinomio por monomio: -ág. 65. Ej.. -División de polinomios. -ág. 65: Ej.4,5. -Regla de Ruffini: -ág. 65: Ej.6,7,8,9. 7
16/01/01 Descomposición de polinomios. Teorema del resto. Teorema del factor. Raíz de un polinomio. Factorización de un polinomio. Teorema del resto El resto de la división de un polinomio entre (x-a) coincide con el valor numérico del polinomio en x=a. Sabemos que el resto de (4x -6x+7):(x-) es 5 x = x x + 4 6 7.or el teorema del resto: = + = + = 4 6 7 6 18 7 5 Fácil de entender si usamos la prueba de la división: x x + = x + x + 4 6 7 4 6 5 Sustituyendo en el segundo miembro x=: x = 4x + 6 x + 5 = 4 + 6 + 5 = 18 0 + 5 = 5 Teorema del factor: Un polinomio tiene como factor (x-r) si el valor numérico del polinomio en x=r es cero. Decimos que r es una raíz del polinomio si (r)=0 Decimos que el polinomio es divisible por (x-r) El polinomio se podrá escribir: (x)= (x-r) C(x) ( x) = x 5x + 6 = + = 5 6 0 luego x=es una raíz del polinomio. or tanto se podrá factorizar de la forma: = 5 + 6 = ( ) x x x x C x C x lo podemos calcular por Ruffini. Búsqueda del cociente C(x) por la Regla de Ruffini: ( x 5x + 6 ) : ( x ) 1 5 + 6 6 1 0 Cociente : x Resto=0 verdad? Así la factorización será de la forma: = 5 + 6 = ( ) ( ) x x x x x x x x Ejemplo completo: 5 6 0 luego x= es una raíz del polinomio. = 5 + 6 = ( ) = 5 + 6 or tanto se podrá factorizar de la forma: x x x x C x C x lo podemos calcular por Ruffini. O bien darnos cuenta de que: = + = = 5 + 6 = 0 luego x=e Así la factorización será de la forma: = 5 + 6 = ( ) ( ) x x x x x sotra raíz del polinomio. Cuidado con: el coeficiente del término principal al factorizar. Nos planteamos factorizar este polinomio ( x) = ( x 5x + 6) pero dado de esta forma: ( x) = x 15x + 18 Las raíces enteras del polinomio estarán entre los divisores de 18: ± 1, ±, ±, ± 6, ± 9, ± 18 robamos : = 15 + 18 = 0 ( ) = 15 + 18 = 0 olinomiodegradodos, máximo dos raíces: or tantola factorización será: ( x) = x 15x + 18 = ( x )( x ) orqué hemos añadido el ""? cuántos polinomios de º grado tienen de raíces "" y ""? 8
16/01/01 Buscar raíces enteras: Las raíces enteras de un polinomio se encuentran entre los divisores del término independiente. El número máximo de raíces coincide con el grado del polinomio. x x x = 5 + 6 los divisores de 6 son: -1,1,-,,-,,-6,6 1 1 5 1 6.Luego"1"no es raíz del polinomio. = + = = 5 + 6 = 0.or tanto"" es raíz del polinomio. = 5 + 6 = 0.or tanto"" es raíz del polinomio. odemos factorizarlo: x = x 5x + 6 = x x Factorizar un polinomio Un polinomio es irreducible si no se puede expresar como producto de otros de menor grado. or ejemplo: x +1, x +x+1 Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de factores de la forma (x-a) y polinomios irreducibles de grado dos. = 5 + 6 = ( )( ) x x x x x = 1 = ( 1)( + + 1) Q x x x x x rocedimiento para factorizar un polinomio: 1. En primer lugar, buscaremos las raíces enteras que pueda tener, preguntándome: Qué valores de x anulan el polinomio?. Hecho esto, iremos reduciendo el grado del polinomio por Ruffini.. Cuando el grado del polinomio reducido sea dos, podemos aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado si se nos han acabado las raíces enteras encontradas. 4. or último, escribimos el polinomio como producto de los factores obtenidos. Ejemplo: Nos planteamos factorizar este polinomio ( x) = 8x 14x 7x + 6 1º ) Las raíces enteras del polinomio estarán entre los divisores de "6": ± 1, ±, ±, ± 6 robamosysólo""anulaelpolinomio: = 8 14 7 + 6 = 0 º)Reducimos grado por Ruffini: ( 8x 14x 7x + 6 ) : ( x ) 8 14 7 + 6 16 4 6 8 0 + Así la factorización queda de momento: Cociente : 8x x Resto=0 verdad? = 8 14 7 + 6= ( ) ( 8 + ) x x x x x x x + º)robaría de nuevo ""en 8x x y c omo es distinto de cero: 1 Resuelvo la ecuación de segundo grado:8x + x = 0de soluciones x=- y x = 4 1 or tanto la factorización será:8x 14x 7x + 6 = ( x ) 8 x + x 4 Tarea del libro: - Descomposición factorial de un polinomio. ág. 67: Ej. 47,48,50,5,5. Si quieres practicar y reforzar o ampliar: ág. 70 y pág. 71. TODOS. 9