Matemáticas I - Grupo 2 Tema 7: Optimización con restricciones. Extremos condicionados Motivación Supongamos que f : Ω R 2 R es la función que nos proporciona la altura de cada punto con respecto al nivel del mar. Es decir, la gráfica correspondiente a la función representa el perfil de un terreno o de una ciudad. Supongamos que el origen de coordenadas (0, 0) representa el centro de una determinada ciudad donde se quiere instalar una antena de radio. Por motivos de alcance de seguridad la antena ha de situarse a 10 km. del centro de la ciudad, para maximizar su eficacia es conveniente situarla en el punto de maor altitud. Por tanto, debemos plantearnos la siguiente pregunta: qué punto de los que se encuentran a 10 km. del centro de la ciudad se encuentra a maor altitud? Ω 10km (0, 0) x Figure 1: Ejemplo. Si formulamos el ejemplo anterior matemáticamente, nuestro problema sería hallar el máximo de la función altura f de entre todos los puntos (x, ) Ω que cumplan O, equivalentemente, d((x, ), (0, 0)) = 10. x 2 + 2 100 = 0. (1) La función f que queremos maximizar (o minimizar) se conoce como función objetivo. A la ecuación (1) se le llama ecuación de ligadura o restricción al máximo (o mínimo) que buscamos se le llama máximo (o mínimo) condicionado. 1
efinición 1. Máximos mínimos condicionados. Extremos condicionados. Sean f, g : Ω R 2 R. Se llama extremo condicionado de f sujeto a la restricción g = 0 al que se alcanza condicionado por la ecuación de ligadura g(x, ) = 0. Se denota: Máx. f(x, ) s.a g(x, ) = 0 o Mín. f(x, ) s.a g(x, ) = 0. Observación 1. Como en todos los conceptos explicados en este tema en los temas anteriores, la definición anterior se puede extender a funciones de más de 2 variables (f, g : Ω R n R). También se puede extender al caso en que tengamos varias restricciones o ecuaciones de ligadura. Método de los multiplicadores de Lagrange para el estudio de los extremos condicionados. Cuando nuestras funciones se comporten bien, es decir, sean continuas tengan derivadas parciales continuas, podemos hallar los extremos condicionados mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Sean f, g : Ω R 2 R dos funciones continuas con derivadas parciales también continuas. f será la función objetivo que queremos optimizar g la función que determina la ecuación de ligadura. Se define la función de Lagrange como λ se conoce como multiplicador de Lagrange. L(x,, λ) = f(x, ) + λg(x, ). Podemos buscar los puntos críticos de la función de Lagrange. Es decir, los puntos que verifiquen ( ) L(x,, z) = (x,, λ), (x,, λ), (x,, λ) = (0, 0, 0). λ Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema λ (x,, λ) = 0 (x,, λ) = 0 (x,, λ) = 0 (x, ) + λ (x, ) = 0 (x, ) + λ (x, ) = 0 g(x, ) = 0 El sistema anterior se conoce como sistema de Lagrange. Los candidatos a extremos relativos condicionados de f con respecto a la ecuación de ligadura g(x, ) = 0 son los puntos críticos de la función de Lagrange. icho de otra manera, una condición necesaria para que (x, ) sea un extremo relativo condicionado de f con respecto a g(x, ) = 0 es que exista un valor λ de modo que (x,, λ) sea un punto crítico de la función de Lagrange. El método anterior nos proporciona puntos candidatos a extremos relativos condicionados, pero no nos auda a decidir si esos candidatos son máximos relativos condicionados, mínimos relativos condicionados, o ninguna de las dos cosas. Para ello, existe una condición suficiente que involucra a las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrange. Sean f, g : Ω R 2 R dos funciones continuas con derivadas parciales de segundo orden también continuas. Supongamos que (x 0, 0, λ 0 ) es un punto crítico de la función de Lagrange 2
L(x,, λ) = f(x, ) + λg(x, ), definamos como el determinante = 0 (x 0, 0 ) (x 0, 0 ) (x 0, 0 ) 2 (x 0, 0, λ 0 ) (x 0, 0, λ 0 ) (x 0, 0 ) (x 0, 0, λ 0 ) 2 (x 0, 0, λ 0 ) Entonces, si > 0, en el punto (x 0, 0 ) la función f alcanza un máximo relativo condicionado con respecto a la ecuación de ligadura g(x, ) = 0. Si < 0, el punto (x 0, 0 ) es un mínimo relativo condicionado de la función f con respecto a la ecuación de ligadura g(x, ) = 0. Sin embargo, si = 0 el criterio no decide la naturaleza del punto. Este criterio sólo sirve para clasificar extremos relativos condicionados. En caso de que el criterio no decida, o de que queramos determinar los extremos absolutos, debemos estudiar la naturaleza del punto mediante otros métodos: 1. Interpretando geométricamente el enunciado. 2. espejando una de las incógnitas de la ecuación de ligadura sustituéndola en f(x, ). e este modo, habremos reducido el problema al de optimizar una función de una variable podremos utilizar los métodos a conocidos en este caso. Ha que tener en cuenta que el problema que nos puede surgir en este caso es que, al sustituir la ecuación de ligadura en f(x, ) podemos obtener una expresión bastante más complicada que la original. Por otro lado, si sustituimos una variable, tenemos que estar atentos del dominio de la variable que quede.. Razonando que toda función continua en un conjunto compacto alcanza al menos un máximo un mínimo absoluto. Por tanto, si tenemos una relación de todos los puntos candidatos a extremos en un conjunto compacto, para hallar los máximos mínimos absolutos nos bastará con hallar el valor de la función f en todos esos puntos. El valor más alto (más bajo respectivamente) que obtengamos corresponderá con el máximo (mínimo) absoluto.. Anexo: Conjuntos compactos. La noción de conjunto compacto es un concepto matemático que requiere técnicas abstractas de una rama de las matemáticas conocida como Topología. No vamos a estudiarlo con detalle, pero si quiero daros una definición intuitiva de un conjunto compacto en R 2 para que los podáis reconocer. efinición 2. Conjunto compacto. Un conjunto A R 2 es un conjunto compacto si es un conjunto cerrado acotado. Un conjunto A R 2 es un conjunto acotado si existe un disco abierto o cerrado de modo que A, es decir, si se puede meter dentro de una bola. Por otro lado, intuitivamente un conjunto es cerrado si contiene a toda su frontera. Es decir, si todos los puntos que están en la frontera del conjunto pertenecen al conjunto. Así, de los conjuntos representados en las Figuras 2, A 1, A, A 5 A 7 son conjuntos cerrados. Ha
A 1 A 2 A A Figure 2: Ejemplos de conjuntos acotados. A 5 A 7 A Figure : Ejemplos de conjuntos no acotados. que tener presente que esto sólo es una definición intuitiva, la noción de conjunto cerrado es en realidad mucho más compleja abstracta. Por tanto, los únicos conjuntos compactos de las Figuras 2 son A 1 A. Observemos que A 1 es un conjunto 2-dimensional: la región de plano encerrada por una elipse junto con la propia elipse, mientras que A es una curva, un objeto 1-dimensional. Ejemplos Ejemplo 1. Calcular los extremos relativos de la función f(x, ) = x+ sobre la elipse x 2 +2 2 = 1. En notación matemática, el problema que se nos plantea es: Máx. x + s.a x 2 + 2 2 = 1 Mín. x + s.a x 2 + 2 2 = 1. Para resolver el ejemplo siguiendo la teoría anterior, definiremos g(x, ) = x 2 + 2 2 1. En primer lugar, tenemos que considerar la función de Lagrange L(x,, λ) = f(x, ) + λg(x, ) 1 = x + + λ(x 2 + 2 2 1), hallar sus puntos críticos. Estos puntos críticos son la solución del sistema de ecuaciones: (x,, λ) = 1 + 2xλ = 0 (x,, λ) = 1 + λ = 0 λ (x,, λ) = x2 + 2 2 1 = 0 1
( Con un cálculo estándar podemos comprobar que las soluciones del sistema anterior son (x,, λ) = ),, (x,, λ) =,,. Por tanto, los candidatos ( a extremos relativos de f(x, ) = x + sobre la elipse x 2 + 2 2 = 1 ) ( ) son los puntos (x, ) =, (x, ) =,. Para determinar la naturaleza de dichos puntos calculamos el determinante: 0 (x 0, 0 ) (x 0, 0 ) 0 2x 0 0 (x 0, 0, λ 0 ) = (x 0, 0 ) (x 2 0, 0, λ 0 ) (x 0, 0, λ 0 ) = 2x 0 2λ 0 0 (x 0, 0 ) (x 0, 0, λ 0 ) (x 2 0, 0, λ 0 ) 0 0 λ 0 = 1λ 0 (x 2 0 + 2 2 0) = 1λ 0, puesto que x 2 0 +22 0 = 1 por ser (x 0, 0 ) un punto de la elipse. Sustituendo en los puntos críticos obtenidos vemos que ( ),, = > 0,,, = < 0. ( ) Por tanto en, se alcanza un máximo relativo condicionado en relativo condicionado. ( ), un mínimo Ejemplo 2. Justificar la existencia hallar los extremos absolutos de la función f(x, ) = x 2 sobre el conjunto A = {(x, ) R 2 : x 0, 0, x 2 + 2 1}. La función f(x, ) = x 2 es una función continua por ser polinómica el conjunto A es (0, 1) A x = 0 x 2 + 2 = 1 (0, 0) (1, 0) = 0 x Figure : Conjunto A. compacto como podemos observar en la Figura (es un conjunto cerrado acotado). Por tanto f alcanza sobre A al menos un máximo un mínimo absoluto. Para hallar el máximo el mínimo 5
absoluto basta con encontrar todos los puntos candidatos a extremos evaluar la función en dichos puntos. ebemos distinguir tres tipos de puntos: puntos en el interior del recinto, puntos en la frontera por último los puntos dónde la frontera deja de ser diferencialbe o vértices : 1. Puntos en el interior del recinto. Hallaremos estos puntos calculando los puntos críticos de f(x, ) = x 2 sin restricciones quedándonos con los que efectivamente pertenezcan al interior. Los puntos críticos de f(x, ) = x 2 son las soluciones del sistema: (x, ) = 2 = 0 (x, ) = 2x = 0 La única solución al sistema es el punto (x, ) = (0, 0), que es un vértice del conjunto tal como podemos observar en la Figura, luego no pertenece al interior. 2. Puntos en la frontera. Tenemos que distinguir tres tramos distintos en la frontera: x = 0, = 0 x 2 + 2 = 1. En cada caso, hallaremos los puntos candidatos a extremos resolviendo el correspondiente problema de extremos condicionados, quedándonos con los puntos que pertenezcan al recinto. (a) Tramo de la frontera x = 0. En este caso tenemos g(x, ) = x, luego la función de Lagrange es L(x,, λ) = x 2 + λx. Sus puntos críticos son las soluciones al sistema } (x,, λ) = 2 + λ = 0 (x,, λ) = 2x = 0 λ (x,, λ) = x = 0 Es decir, todos los puntos del tipo (x,, λ) = (0,, 2 ). Estos puntos representan todo el tramo de frontera cuando 0 1. Observemos también que sobre estos puntos la función f se anula.. (b) Tramo de la frontera = 0. En este caso tenemos g(x, ) =, luego L(x,, λ) = x 2 + λ. Sus puntos críticos son las soluciones al sistema (x,, λ) = 2 = 0 (x,, λ) = 2x + λ = 0 λ (x,, λ) = = 0 Es decir, todos los puntos del tipo (x,, λ) = (x, 0, 0). e nuevo estos puntos representan todo el tramo de frontera cuando 0 x 1, sobre ellos la función f se anula. (c) Tramo de la frontera x 2 + 2 = 1. En este caso g(x, ) = x 2 + 2 1, por tanto L(x,, λ) = x 2 + λ(x 2 + 2 1).
Sus puntos críticos son las soluciones de (x,, λ) = 2 + 2λx = 0 (x,, λ) = 2x + 2λ = 0 λ (x,, λ) = x2 + 2 1 = 0 e la segunda ecuación deducimos que = 0 o λ = x. Si = 0, sustituendo en las otras ecuaciones obtenemos que x = ±1 λ = 0. El único punto que pertenece al recinto es el (1, 0), aunque es un vértice. El valor de λ es indiferente, no lo necesitamos no nos aporta información adicional. Por otro lado, si λ = x, con ) un cálculo estándar podemos obtener los puntos críticos (x,, λ) =,,, (x,, λ) =,,, (x,, λ) =,, (x,, λ) =,,. El único ( ) punto que pertenece al recinto es el (ignorando el valor de λ).,. Vértices. Son los puntos (0, 0), (1, 0) (0, 1), aunque los tres puntos han aparecido a en los apartados a) b) Juntando ( todo lo que hemos visto hasta ahora tenemos como candidatos a extremos absolutos el ) punto,, los tramos de frontera {(x, 0) : 0 x 1} {(0, ) : 0 1}. Evaluando la función f en dichos puntos tenemos: ( ) f, = 2 9 Por tanto, en (, ( f(x, 0) = f(0, ) = 0 x, R. ) la función f alcanza sobre A su máximo absoluto sobre los tramos de frontera {(x, 0) : 0 x 1} {(0, ) : 0 1} su mínimo absoluto. 7