Ecuaciones de evolución para el p Laplaciano fraccionario. JULIO D. ROSSI con J. M. Mazón, J. Toledo (U. Valencia) http://mate.dm.uba.ar/ jrossi
Ecuaciones de evolución no locales. Sea J : R N R, radial, nonegativa, suave y tal que R N J(r)dr = 1. Ecuación de difusión no local u t (x, t) = J u u(x, t) = J(x y)u(y, t)dy u(x, t). R N
Ecuaciones de evolución no locales. Un posible modelo es pensar que u(x, t) es la densidad de individuos en x en tiempo t y J(x y) es la probabilidad de saltar de y a x. Entonces (J u)(x, t) = J(x y)u(y, t)dy R N es la tasa a la cual llegan individuos a x desde otros lugares y u(x, t) = J(y x)u(x, t)dy R N es la tasa a la cual dejan x para ir a otros lugares.
Dominios acotados. Problemas (1). Problemas de Neumann (flujo cero) u t (x, t) = J(x y)(u(y, t) u(x, t))dy, x Ω. Ω (2). Problemas de Dirichlet (densidad cero fuera) u t (x, t) = J(x y)(u(y, t) u(x, t))dy, x Ω, R N u(x, t) = 0 x Ω. Estas ecuaciones de difusión tienen propiedades parecidas a la ecuación del calor u t = u. beamer-tu-log
Laplaciano fraccionario. Para el Laplaciano usual u, aplicando la transformada de Fourier se tiene u(ξ) = ξ 2 û(ξ), y entonces resulta natural definir ( u) s por la formula ( u) s (ξ) = ξ 2s û(ξ). Para este operador hay una representación no local, s 1 u(x) = p.v (u(y) u(x))dy. R N x y N+2s
Nuestro problema. El problema de evolución para el p Laplaciano no local u t (x, t) = p.v B con núcleo singular J(x y) = J(x y) u(y, t) u(x, t) p 2 (u(y, t) u(x, t))dy 1, 0 < s < 1, 1 p <. x y N+sp Los tres problemas: - Cauchy - Neumann - Dirichlet Existencia y unicidad, Comportamiento asintotico, límites cuando s 1 (para recuperar problemas locales u t = div( Du p 2 Du)). beamer-tu-log
Obs. div( Du p 2 Du) es el operador asociado al funcional Du p F(u) = p. Análogamente s pu := p.v B J(x y) u(y) u(x) p 2 (u(y) u(x))dy está asociado con el funcional G(u) = 1 J(x y) u(y) u(x) p dy dx 2p B B beamer-tu-log
Resultados (Dirichlet) Teorema Para todo u 0 L 2 (Ω) existe una única solución fuerte u t (t, x) = s pu(t, x) en (0, T ) Ω, u(t, x) = 0 en (0, T ) (R N \ Ω), u(0, x) = u 0 (x) en Ω. Además, se tiene un principio de contracción: (u 1 (t) u 2 (t)) + (u 1,0 u 2,0 ) + t (0, T ). Ω Ω
Resultados (Dirichlet) Teorema Para q p 1 y u 0 L (Ω) L 2 (Ω) se tiene con C = C(Ω, N, s, p). u(t) q L q (Ω) C u 0 q p L (Ω) u 0 2 L 2 (Ω), t Para el problema de Neumann se tienen resultados similares, pero las soluciones van a la media del dato inicial, (u 0 ) Ω, ( u(t) (u 0 ) Ω L p (Ω) C u ) 1/p 0 L 2 (Ω). t
Resultados (Dirichlet). s 1 Consideramos el límite s 1 en estos problemas no-locales u t (t, x) = L p,s s pu(t, x), en (0, T ) Ω, u(t, x) = 0, en (0, T ) (R N \ Ω), u(0, x) = u 0 (x), en Ω, con L p,s = 2 K p,n (1 s), K p,n = 1 S N 1 S e N 1 1 σ p dh N 1 (σ). Teorema lim s 1 sup t [0,T ] u s (t) v(t) L 2 (Ω) = 0, donde v es la solución de v t (t, x) = p v(t, x), en (0, T ) Ω, v(t, x) = 0, en (0, T ) Ω, v(0, x) = u 0 (x), en Ω, beamer-tu-log
Resultados (Dirichlet). s 1 Vale el mismo resultado de paso al límite para el problema de Neumann. En este caso en problema límite es, v t (t, x) = p v(t, x), en (0, T ) Ω, v(t, x) p 2 v(t, x) ν(x) = 0, en (0, T ) Ω, v(0, x) = u 0 (x), en Ω.
Ideas de las demostraciones. Usamos Teoria de Semigrupos. La idea para resolver u t + A(u) = 0 es considerar límites de discretizaciones (Euler implícito) u n+1 = u n τa(u n+1 ) Def. u es una solución Mild si es límite de estas aproximaciones cuando τ 0. Observemos que hay que asegurar que el problema u n+1 + τa(u n+1 ) = u n tiene una única solución. beamer-tu-log
Ideas de las demostraciones. Def A es accretivo si x ˆx x ˆx + τ(y ŷ), para τ > 0 y (x, y), (ˆx, ŷ) A. Se tiene A es acretivo si y solo si (I + τa) 1 es univaluado y no-expansivo para todo τ > 0 Si estamos en un espacio de Hilbert, A en H es accretivo si y solo si x ˆx; y ŷ 0 (x, y), (ˆx, ŷ) A, es decir, A es monótono.
Ideas de las demostraciones. Para asegurar existencia de solución de u n+1 + τa(u n+1 ) = u n hace falta la condición rango. Def A se dice m accretivo si A is accretivo y R(I + τa) = H τ > 0. Teorema (Crandall-Liggett) Si A es m accretivo, entonces hay solución mild (se dice que A genera un semigrupo de contracciones (e ta ), t 0 en D(A)).
Ideas de las demostraciones. Ahora hay que asegurar solución fuerte (la derivada temporal de una solución mild, u, existe). Teorema (Brezis-Pazy) Sea Φ : H (, + ] propio, convexo y debil semi-continuo tal que min Φ = 0, si u 0 D( Φ), entonces la solución mild de es una solución fuerte. u t + Φ(u) = 0, u(0) = u 0,
Ideas de las demostraciones. En nuestro caso tenemos A dado por Def A = D p,s (u, v) D p,s u, v L 2 (Ω) y u es solucion de { s p u = v en Ω, u = 0 en R N \ Ω. Obs: D p,s = D s p con Dp(u) s := 1 1 2p R N R N x y N+sp u(y) u(x) p dx dy.
Ideas de las demostraciones. Para ver que D p,s es m-accretivo in L 2 (Ω), hay que ver la condición rango L 2 (Ω) R(I + D p,s ). Para esto, dada f L 2 (Ω), la clave es considerar el problema variacional min Dp(u) s + 1 u 2 fu u L 2 (Ω) 2 y probar que tiene un único minimizante. Ω Ω
Ideas de las demostraciones. Para ver el decaimiento de las soluciones primero observamos que las normas L r decrecen con t, u(t) L r (Ω) u(τ) L r (Ω), t τ. Ahora usamos la siguiente desigualdad de Sobolev-Poincaré: RN u(t, x) p u(t, y) u(t, x) p dx C x y N+sp dy dx, Ω R N para obtener u(t, x) q dx C u 0 q p L (Ω) Ω R N RN u(t, y) u(t, x) p x y N+sp dy dx, beamer-tu-log
Ideas de las demostraciones. Entonces t u(t, x) q dx Ω C u 0 q p L (Ω) t 0 t 0 Ω R N u(τ, x) q dx dτ RN u(τ, y) u(τ, x) p x y N+sp dy dx dτ. Por otra parte, multiplicando por u la ecuacíon e integrando, se obtiene t 0 Y se concluye R N Ω RN u(τ, y) u(τ, x) p x y N+sp dτ u 0 2 L 2 (Ω). u(t, x) q dx C u 0 q p L (Ω) u 0 2 L 2 (Ω). t beamer-tu-log
Ideas de las demostraciones. Finalmente, para ver el límite s 1, consideramos los funcionales Φ s, Φ : L 2 (Ω) [0, [ dados por { 1 s RN Φ s (u) = L p,s Dp(u) s u(y) u(x) p = dxdy x y N+sp y Φ(u) := pk p,n R N { 1 u p p Ω y probamos la convergencia Mosco de los functionales Φ s a Φ
Ideas de las demostraciones. Es decir, probamos que u Dom(Φ) u n Dom(Φ s ) : u s u y Φ(u) lim sup Φ s (u s ); s 1 y si u s u entonces Φ(u) lim inf s 1 Φ s(u s ). Y gracias a esto y a un resultado general de Brezis-Pazy y Attouch concluimos la convergencia de las soluciones de los problemas de evolución lim s 1 sup u s (t) v(t) L 2 (Ω) = 0. t [0,T ]
Posibles continuaciones. Problemas (1). Totalmente no-local (con Gaston Beltritti) 0 = J(x y, t s) u(y, s) u(x, t) p 2 (u(y, s) u(x, t)) dy ds para x R N, t > 0. Con dato u(x, t) = f (x, t), x R N, t 0. (2). Límites cuando p (pilas de arena). u t (x, t) f (x, t) I s (u(x, t) con { 0 u(x) u(y) x y I s (u) = s, + si no. beamer-tu-log
Posibles continuaciones. Problemas (3). Problemas de frontera libre (diseño óptimo) (con Joao Vitor Da Silva) Min 1 J(x y) u(y) u(x) p dy dx, 2p con u(x) = 1 R N \ Ω, y con una restricción de volumen {u( ) > 0} Ω α.