Núleo e Imagen de una Transformaión Lineal Departamento de Matemátias CCIR/ITESM 8 de junio de Índie 7.. Núleo de una transformaión lineal................................. 7.. El núleo de una matri la tenología............................... 6 7.. Inetividad de transformaiones lineales............................... 6 7.4. El Rango de una transformaión................................... 7 7.5. Supraetividad de transformaiones lineales............................ 7.6. Núleo e Imagen son subespaios................................... 7.7. Nulidad Rango de una Transformaión............................... 7.8. SEL a través del kernel el rango.................................. 4 7.9. Ejemplo lave.............................................. 4 7.. Núleo de una transformaión lineal Definiión 7. Sea T : V W una transformaión lineal. El núleo T es el subonjunto formado por todos los vetores en V que se mapean a ero en W. Ker(T ) = {v V T (v) = W } Ejemplo 7. Indique uáles opiones ontienen un vetor en el núleo de la transformaión de R en R definida omo + T = 5 8 5 dentro de las opiones:. v = ( ). v = ( 8 8). v = ( ) 4. v 4 = ( 7 ) 5. v 5 = ( ) 6. v 6 = (9 8 5) Soluión Antes de pasar a la verifiaión es onveniente observar que es posible enontrar una matri A tal que T () = A. Es deir apliar T a un vetor es equivalente a multipliar por una ierta matri A al vetor.
Empeemos on la dimensión de A: omo A se multiplia por la iquierda de R entones el número de olumnas de A es. Por otro lado omo el resultado A es un vetor de R entones el número de renglones de A es. Si requerimos que No es difíil ver es deir que + 5 8 5 + 5 8 5 A = = = 5 8 5 5 8 5 El vetor v está en el núleo de T debido a que T (v ) = Av = 5 8 5 El vetor v está en el núleo de T debido a que T (v ) = Av = 5 8 5 El vetor v no está en el núleo de T debido a que T (v ) = Av = 5 8 5 El vetor v 4 está en el núleo de T debido a que T (v 4 ) = Av 4 = 5 8 5 8 8 7 = = = = = = = El vetor v 5 no está en el núleo de T debido a que T (v 5 ) = Av 5 = 5 8 5 = 6 86 4 El vetor v 6 no está en el núleo de T debido a que T (v 6 ) = Av 6 = 5 8 5 9 8 5 = 6 54
Ejemplo 7. Determine el núleo de la transformaión de R en R definida omo + T = 5 8 5 Soluión Un vetor v = (a b ) pertenee al núleo de T si T (v) = es deir si: a + T ((a b ) ) = a 5 b 8 = ( en R ) 5 a b Por lo tanto para perteneer al núleo debe umplirse Reduiendo tenemos: Es deir a b a + = a 5 b 8 = 5 a b = = a / = b + 7/ = / 7/ = / 7/ Observe que el núleo de T en este aso es un espaio generado: / Ker(T ) = Gen 7/ Además la dimensión de Ker(T ) es lo ual oinide on el número de olumnas sin pivote en la reduida de A (La matri que define a la transformaión T ). Geométriamente en R este generado orresponde a la línea que pasa por el origen on vetor de direión (/ 7/ ) que es: / = 7/ = Ejemplo 7. Determine el núleo de la transformaión de R en R definida omo [ ] T + + = + + Soluión Un vetor v = (a b ) pertenee al núleo de T si T (v) = es deir si: [ ] [ ] a a + b + T (v) = = b = ( en R ) a + b +
Por lo tanto para perteneer al núleo debe umplirse a + b + = a + b + = Reduiendo tenemos: Es deir a b = b b a + b + = = b Es deir que el núleo de T en este aso es un espaio generado: Ker(T ) = Gen + Además la dimensión de Ker(T ) es lo ual orresponde al número de olumnas sin pivote de la reduida de la matri que define a T. Geométriamente en R este generado orresponde a un plano que pasa por el origen on vetor normal n = u u = ( ) que es: + + = + + = Ejemplo 7.4 Determine el núleo de T : R R. T = = [ + Soluión Sabemos que Ker(T ) es el onjunto de todos los vetores v =< > de R tal que T (v) = (en R ): [ ] [ ] ( ) T (v) = = = + Para resolver el sistema [ Cua soluión general es De ahí que Ker(T ) = ] = ] [ R = Gen Vemos que la dimensión de Ker(T ) es lo ual orresponde al número de olumnas sin pivote en la matri que define a T. Geométriamente en R esto orresonde a la reta = = 4 ]
Ejemplo 7.5 Determine el núleo de T : R R. T = = + Soluión Sabemos que Ker(T ) es el onjunto de todos los vetores v =< > de R tal que T (v) = (en R ): Para resolver el sistema T (v) = + = El sistema tiene soluión únia es. Por tanto Ker(T ) = {} = Ejemplo 7.6 Indique la opión que desribe adeuadamente al onjunto B = { < > < > } respeto al núleo de la transformaión de R 4 en R 4 definida omo w T = w w 8 = 8 w 5 w 5 w A B C D E Es base para el núleo. Está en el núleo; pero no es LI ni no lo genera. Genera al núleo pero no es LI. Está en el núleo; es LI pero no lo genera. No es omparable on el núleo. Soluión Determinemos el núleo de T : 8 5 rref / 5
Por lo tanto los vetores del núleo tienen la forma = w Es deir Ker(T ) = Gen Comparemos ahora Gen{B} on Ker(T ): a) Gen{B} Ker(T )? Conluimos que sí:gen{b} Ker(T ). b) Ker(T ) Gen{B}? / / + rref rref + w / / / Conluimos que no:ker(t ) Gen{B}. De estos álulos (los que llevan B primero) también se dedue que: ) B es linealmente independiente. Por lo tanto la opión orreta es D: está ontenido en el núleo (a) no genera al núleo (b); B es li () 7.. El núleo de una matri la tenología Prátiamente la totalidad de los sistemas omputaionales que manejan matries vienen aompañados de funiones para manejar el kernel de una matri. En el aso de Maple la instruión nullspae(a) entrega una base para el núleo de la transformaión lineal T (X) = A X. Desafortunadamente para la TI Voage no aparee un omando similar. 7.. Inetividad de transformaiones lineales Una pregunta importante sobre funiones es si una funión dada es inetiva o también diho a. Reuerde que una funión es inetiva si no ha dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma evaluaión. Es deir es f es inetiva si sólo si f( ) = f( ) implia que =. Este onepto en las funiones lineales en espaios vetoriales tiene un omportamiento simple: f( ) = implia =. Es deir: Teorema 6
Sea T : V W una transformaión lineal. T es inetiva si sólo si Ker(T ) = {}. Note que en los ejemplos anteriores sólo la última funión fue inetiva. Notas En resumen: Para ver si un vetor está en el núleo de una transformaión lineal se debe apliar la transformaión. El vetor está en el núleo de T si sólo si T () =. Determinar el núleo de una transformaión lineal equivale a enontrar la soluión general de un SEL homogéneo. Para determinar el núleo de una transformaión debe enontrar la matri que define a la transformaión lineal resolver [A ]. Ha dos alternativas: el sistema tiene sóluión únia o el sistema tienen infinitas soluiones. En el aso de infinitas soluiones la fórmula general muestra al núleo omo un espaio generado donde el número olumnas sin pivote es la dimensión del núleo omo subespaio. En aso de tener soluión únia el núleo de T es el onjunto formado por el vetor ero. Para determinar si una transformaión lineal es inetiva todas las olumnas de la reduida de la matri que define a la transformaión lineal deben de tener pivote. 7.4. El Rango de una transformaión Definiión 7. Sea T : V W una transformaión lineal. El rango o imagen de T es el onjunto de todas las imágenes de T en W. R(T ) = {w W w = T (v) para algún v V } Es deir el rango es el subonjunto de W formado por aquellos vetores que provienen de algún vetor de V. Ejemplo 7.7 Indique uáles opiones ontienen un vetor en la imagen de la transformaión de R en R definida omo + 5 + T = 8 + + 6 4 dentro de las opiones:. v = ( ). v = ( 8 ). v = ( 5 6) 4. v 4 = (5 ) 5. v 5 = ( ) Soluión El vetor v = ( ) de R está en la imagen de T si eiste un vetor (a b ) en R tal que T ((a b ) ) = v. Es deir si es onsistente el sistema a + 5 b + = 8 a + b + 6 = a b 4 = Pero este sistema por ser homogéno es onsistente. Por tanto el vetor v sí está en la imagen de T. El vetor v = ( 8 ) de R está en la imagen de T si eiste un vetor (a b ) en R tal que T ((a b ) ) = 7
v. Es deir si es onsistente el sistema: a + 5 b + = 8 a + b + 6 = 8 a b 4 = Al reduir la matri aumentada se obtiene: 9/8 /4 por ser onsistente el sistema el vetor v sí está en la imagen de T. El vetor v = ( 5 6) de R está en la imagen de T si eiste un vetor (a b ) en R tal que T ((a b ) ) = v. Es deir si es onsistente el sistema: Al reduir la matri aumentada se obtiene: a + 5 b + = 8 a + b + 6 = 5 a b 4 = 6 9/8 /4 5 por ser onsistente el sistema el vetor v sí está en la imagen de T. El vetor v 4 = (5 ) de R está en la imagen de T si eiste un vetor (a b ) en R tal que T ((a b ) ) = v 4 es deir si es onsistente el sistema: a + 5 b + = 5 8 a + b + 6 = a b 4 = Al reduir la matri aumentada se obtiene: 9/8 /4 por ser onsistente el sistema el vetor v 4 sí está en la imagen de T. El vetor v 5 = ( ) de R de está en la imagen de T si eiste un vetor (a b ) en R tal que T ((a b ) ) = v 5 es deir si es onsistente el sistema: a + 5 b + = 8 a + b + 6 = a b 4 = Al reduir la matri aumentada se obtiene: 9/8 /4 por ser inonsistente el sistema el vetor v 5 no está en la imagen de T 8
Ejemplo 7.8 Determine la imagen de la transformaión lineal de R en R definida omo + 5 + T = 8 + + 6 4 Soluión El vetor v = (a b ) de R de está en la imagen de T si eiste un vetor ( ) en R tal que T (( ) ) = v es deir si es onsistente el sistema + 5 + = a 8 + + 6 = b 4 = Al formar la matri aumentada esalonar se obtiene: 5 a 8 a + b a + b + Por tanto (a b ) está en la imagen de T ssi el sistema anterior es onsistente ssi a + b + =. Esto ourrirá si sólo si a = / b + /. Es deir (a b ) está en la imagen de T si sólo si Por tanto a b = / b + / b R(T ) = Gen = b / / / + Geométriamente R(T ) es el plano a b = (o = ) en R Ejemplo 7.9 Determine la imagen de la transformaión lineal de R en R 4 definida omo T = + + + Soluión El vetor v = (a b d) de R 4 está en la imagen de T si eiste un vetor ( ) en R tal que T (( ) ) = v. Es deir si es onsistente el sistema + + = a = b + = = ó a b d / 9
En este ejemplo ilustraremos el uso de una ténia más efiiente que la usada en el problema anterior. La idea es que manejaremos sólo los oefiientes de a b d. De esta manera una epresión en estas variables la podemos representar por medio de un vetor renglón on uatro omponentes. Así a + b + 8 d se representa por ( 8) a se representa por ( ) a b d se representa por ( ) se representa por ( ) Con esta idea el sistema ua matri nos interesa revisar nos queda: Por tanto la matri aumentada representa un sistema onsistente si sólo si a = d b = d Resumiendo (a b d) está en la imagen de T si sólo si para d esalares. Por tanto a b d = R(T ) = Gen + d Nota Observe que tanto Ker(T ) omo R(T ) de una transformaión lineal T son onjuntos no vaíos implia que V Ker(T ) W R(T ). T ( V ) = W 7.5. Supraetividad de transformaiones lineales Una pregunta importante sobre funiones es si una funión dada es supraetiva o también diho sobre. Reuerde que una funión es supraetiva si para todo elemento en el odominio ha un elemento en el dominio que bajo la funión se transforma en él. Es deir es f es supraetiva si sólo si f() = a es onsistente para todo a en el odominio de f. en espaios vetoriales tiene un omportamiento simple: Teorema
Sea T : V W una transformaión lineal B = {v v... v m } un onjunto generador para V. T es supraetiva si sólo si Gen(T (v ) T (v )... T (v m )) = W. No que lo anterior implia que: Si T es supraetiva entones dim(v ) dim(w ). En partiular si por ejemplo T : R R 4 es lineal entones T no puede ser sobre! Notas En resumen: Para ver si un vetor está en la imagen de una transformaión lineal se debe ver si un sistema es onsistente. Para determinar el rango de una transformaión debe enontrar la matri que define a la transformaión lineal reduir [A I]. Si todo renglón tiene pivote la funión es supraetiva. Es deir todo vetor del odominio es imagen de un vetor en el dominio. Si ha renglones sin pivote en la parte iquierda se debe forar la onsistenia igualando a ero los elementos en la parte dereha de la reduida. El rango entones queda omo un espaio generado el ual es preisamente el espaio generado por las olumnas. Su dimensión será el número de pivotes en la reduida de la matri A. Para determinar si una transformaión lineal es supraetiva todos los renglones en la reduida de A deben de tener pivotes. 7.6. Núleo e Imagen son subespaios La propiedad fundamental del núleo del ontradominio es que ambos son espaios vetoriales: Teorema Sea T : V W una transformaión lineal. Entones Ker(T ) es un subespaio de V. R(T ) es un subespaio de W. Demostraión El núleo de T es subespaio Sean v v elementos del núleo de T un esalar ualquiera. Así T (v ) = = T (v ) por tanto: T ( v + v ) = T (v ) + T (v ) = + = probando que v + v está también en el núleo de T. Lo ual a su ve prueba que el núleo de T es un subespaio de V. La imagen de T es subespaio Sean w w elementos de la imagen de T un esalar ualquiera. Así T (v ) = w T (v ) = w para algunos v v en V por tanto: T ( v + v ) = T (v ) + T (v ) = w + w probando que w + w es imagen de v + v por onsiguiente w + w está también en la imagen de T. Lo ual a su ve prueba que la imagen de T es un subespaio de W
7.7. Nulidad Rango de una Transformaión Debido al resultado anterior el núleo la imagen de una transformaión lineal son espaios vetoriales. Como espaios vetoriales ellos tienen una dimensión asoiada. Estas dimensiones tienen nombre espeífios: Definiión 7. Sea T : V W una transformaión lineal. La nulidad de T es la dimensión de Ker(T ). El rango de T es la dimensión de R(T ). El siguiente resultado permite alular fáilmente la nulidad el rango de una transformaión matriial. Teorema Sea T : V W una transformaión lineal. matriial asoiada a A. Entones: Suponga que T orresponde a la transformaión Ker(T ) = V(A) = Espaio nulo de A R(T ) = C(A) = Espaio generado por las olumnas de A Nulidad(T ) = Nulidad(A) = Número de olumnas sin pivote en A reduida. Rango(T ) = Rango(A) = Número de olumnas on pivote en A reduida. Note que el resultado anterior india que para ualquier transformaión lineal T : V W dim(v ) = dim(ker(t )) + dim(r(t )) dim(r(t )) dim(w ) () Así por ejemplo: T : R 4 R lineal no puede ser inetiva pues 4 = dim(ker(t )) + dim(r(t )) dim(ker(t )) + por tanto dim(ker(t )) probando que Ker(T )) {}. T : R 4 R 8 lineal no puede ser sobre pues por tanto dim(r(t )) 4 probando que R(T ) R 8 4 = dim(ker(t )) + dim(r(t )) Ejemplo 7. Calule las bases para el núleo la imagen determine la nulidad el rango de T : R 4 R T (( w) ) = ( + w) Soluión De auerdo on el teorema previo basta epresar a T omo transformaión matriial obtener las bases para las olumnas el espaio nulo de su matri estándar A. A se epresa on A =
Como a está en forma esalonada reduida por operaiones de renglón los vetores {( ) ( ) ( ) } forman una base para Col(A) = R(T ) = R. Por otra parte {( ) } es una base para V (A) = Ker(T ). De modo que el rango de T es la nulidad es. Ker(T ) = {} A = sólo tiene la soluión trivial R(T ) = R m las olumnas de A generan a R m Ejemplo 7. Resuelva la siguiente euaión diferenial: ( ) () + () = 4 + 4 pensando el lado iquierdo de la euaión omo una transformaión lineal de P en P. Soluión Definamos T de P en P por T (p() = a + b + ) = ( )p () + p() = a a b + Viendo los polinomios omo vetores tenemos tenemos que la transformaión anterior queda: b + T b = a a = b a a El problema de resolver la ED se transforma enontrar un p() que umpla: T (p()) = 4 + 4. Es deir en enontrar ( b a) tal que = Formando la aumentada reduiendo tenemos: 4 4 b a 4 4 / Como el sistema es onsistente la primera onlusión es que sí eiste soluión en P. También vemos que ha infinitas soluiones las uales podemos alular: } = /b /b /b = b = b a = b = b a = a Y separando vetores La soluión general de la ED en P queda: b a = + b / () = + b (/ + ) b esalar libre
7.8. SEL a través del kernel el rango Veamos ahora el análisis de un SEL a la lu de los oneptos de núleo e imagen de una transformaión lineal. Supongamos que estamos resolviendo el SEL A = b. Si definimos la transformaión lineal T A () = A entones El sistema será onsistente si sólo si el vetor b pertenee a la imagen de T. Si el SEL es onsistente entones: el sistema tendrá soluión únia si sólo si el núleo de T se redue al vetor ero. Si son dos soluiones entones pertenee al núleo de T. Por tanto: Si el sistema tiene soluiones infinitas entones la soluión general tiene la forma = p + + + k k donde p es una soluión partiular... k onsituen un onjunto generador para el núleo. 7.9. Ejemplo lave Ejemplo 7. Suponga que usted es maestro de álgebra lineal le ha pedido a sus alumnos que resuelvan el SEL: 6 5 5 Analie las siguientes soluiones dadas por sus alumnos: José die que la soluión general es: = + 6 + 4 5 6 5 = 7 + La soluión partiular de José es j p =< > el generador de las soluiones al sistema homogéneo es: 5 j h = 6 Revisemos sus respuestas: 4
Es j p soluión al sistema original? Por onvenienia haemos: A j p b: A j p b = 7 = 7 4 omo no da el vetor ero onluimos que la soluión partiular dada por José no lo es. La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluiones al sistema homogéneo asoiado? Por onvenienia on los vetores en j h formamos una matri que representamos también por j h realiamos el produto A j h ; omo obtenemos una matri de eros onluimos que en la soluión de José la fórmula efetivamente da soluiones al sistema homogéneo. La pregunta que abe ahora es si aaso las da todas. Cuando apliamos rref a A vemos que tiene olumnas sin pivote por tanto la dimensión del espaio nulo de A es. Como al apliar rref a la matri j h tiene tres pivotes onluimos que el onjunto j h es linealmente independiente está dentro del núleo tiene tres elementos; por tanto debe ser base para el núleo. Por tanto en la fórmula de José la parte asoiada a la soluión a la homogénea es adeuada. María die que la soluión general es: 7 = 7 + 6 + 5 + La soluión partiular de María es m p =< 7 7 > el generador de las soluiones al sistema homogéneo es: 5 m h = 6 4 Revisemos sus respuestas: Es m p soluión al sistema original? Por onvenienia haemos: A m p b: omo sí da el vetor ero onluimos que la soluión partiular dada por María sí lo es. La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluiones al sistema homogéneo asoiado? Por onvenienia on los vetores en m h formamos una matri que representamos también por m h realiamos el produto A m h ; omo obtenemos una matri de eros onluimos que en la soluión de María la fórmula efetivamente da soluiones al sistema homogéneo. La pregunta que abe ahora es si aaso las da todas. Cuando apliamos rref a A vemos que tiene olumnas sin pivote por tanto la dimensión del espaio nulo de A es. Como al apliar rref a la matri m h tiene dos pivotes onluimos que el onjunto m h es linealmente dependiente está dentro del núleo; por tanto no puede ser base para el núleo. Por tanto en la fórmula de María la parte asoiada a la soluión a la homogénea es inompleta. 4 5
Resumiendo; la fórmula de María no genera todas las soluiones al sistema. Luis die que la soluión general es: = 8 + 6 + 5 + La soluión partiular de Luis es l p =< 8 > el generador de las soluiones al sistema homogéneo es: l h = 6 5 Revisemos sus respuestas: Es l p soluión al sistema original? Por onvenienia haemos: A l p b: omo sí da el vetor ero onluimos que la soluión partiular dada por Luis sí lo es. La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluiones al sistema homogéneo asoiado? Por onvenienia on los vetores en l h formamos una matri que representamos también por l h realiamos el produto A l h ; A l h = 7 6 9 7 omo obtenemos una matri on dos primeras olumnas de eros una terera que no es de eros onluimos que en la soluión de Luis la fórmula da algunas soluiones al sistema homogéneo (las que tienen = ) pero también da otros vetores que no son soluión (los que tienen ). Por tanto la soluión de Luis es parialmente orreta parialmente inorreta. Carolina die que la soluión general es: = + 6 + 5 + + 4 4 6
La soluión partiular de Carolina es p =< > el generador de las soluiones al sistema homogéneo es: 5 4 h = 6 4 Revisemos sus respuestas: Es p soluión al sistema original? Por onvenienia haemos: A p b: omo sí da el vetor ero onluimos que la soluión partiular dada por Carolina sí lo es. La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluiones al sistema homogéneo asoiado? Por onvenienia on los vetores en h formamos una matri que representamos también por h realiamos el produto A h ; obtenemos una matri on uatro olumnas de eros. Esto nos india que la fórmula orrespondiente a sistema homogéneo entrega soluiones al sistema homogéneo. Por otro lado al apliar rref a h obtenemos tres pivotes una olumna sin pivote. Así el espaio generado en la fórmula de Carolina orrespondiente a las soluiones a la homogénea tiene dimensión lo que iguala la dimensión previamente alulada. Esto nos lleva a onluir que se generan todas las soluiones a la homogénea. Que se tenga una olumna sin pivote india que el vetor que entró en tal olumna es redundante en la soluión dada por Carolina. Resumiendo; la fórmula de Carolina es orreta al generar todas las soluiones al sistema de euaiones aunque el último vetor puede omitirse sin pérdida. 7