ACTIVIDADES PARA LA SESIÓN SEXTA AUTOR: Begoña Soler de Dios 1 Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas 1 besode@alumni.uv.es
Sesión 6 POLIEDROS ARQUIMEDIANOS 1. Qué se ve en la imagen? Cuántos trozos negros? Cuántos blancos? Cuántos hay en total, negros y blancos? En la imagen podemos ver una pelota que geométricamente se llama icosaedro truncado. Este poliedro se crea al truncar el icosaedro de forma que el corte se realiza por una distancia adecuada para que por cada cara del poliedro nos aparezca un polígono regular que tenga el doble número de lados que el polígono de las caras del poliedro. En este caso, al tratarse de truncar un icosaedro, las caras del poliedro de partida tenían tres caras por lo que al truncarse tendrá seis. Es decir, como cada hexágono corresponde a una cara del icosaedro, habrá veinte trozos blancos. Como los trozos negros son el resultado del corte del truncamiento, al truncarse por cada vértice habrá doce trozos negros. Es decir, en total habrá 32 trozos o caras. 2. Un modelo más sencillo: Con qué poliedro puede relacionarse? Qué se mantiene y cambia en la transformación? Cómo podemos determinar C, V, A de este sólido a partir del cubo? Esta figura es un cubo truncado y se obtiene al truncar, del mismo modo que en el apartado anterior, un cubo cortando sus vértices. Como en el cubo concurren tres caras en cada vértice, el resultado del corte será un triángulo. Tras la transformación se mantienen las caras del poliedro inicial pero con diferente número de lados, concretamente el doble y además aparecen ocho caras más que provienen de los vértices truncados. También sigue manteniéndose el orden de los vértices del poliedro, tres (dos polígonos que provienen de caras y un polígono que proviene del truncamiento del vértice). Para determinar C, V y A nos basamos en que se forma a partir del truncamiento del cubo. El número de caras del cubo es seis, al hacerse los cortes en cada uno de los vértices 2
obtendremos ocho caras más adicionales ya que el cubo tiene ocho vértices, es decir, nuestra figura tendrá seis caras que serán octógonos y ocho caras que serán triángulos (6+8=14). El número de aristas también lo podemos calcular a partir del cubo, habrá 36, las que provienen de los vértices del cubo más las que provienen de las caras originales. Es decir, habrá tres aristas nuevas creadas por cada truncamiento de un vértice del cubo, por lo que se añaden 3*8=24 aristas a las 12 iniciales del cubo. Finalmente también podemos calcular el número de vértices teniendo en cuenta que al truncarse un vértice surgen tres vértices nuevos por lo que 8*3=24 vértices. 3. Sigamos de manera sistemática: Qué tienen en común los poliedros de la figura? Estos poliedros tienen en común que se han obtenido a partir de sólidos platónicos truncándolos como se explica en el ejercicio uno. Es decir, el corte se realiza por una distancia adecuada para que por cada cara del poliedro nos aparezca un polígono regular que tenga el doble número de lados que el polígono de las caras del poliedro de partida. Los poliedros que aparecen en las figuras son el tetraedro truncado, el octaedro truncado, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado, que se obtienen cortando los vértices (tal y como se ha explicado anteriormente) del tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro respectivamente. 3
4. Hay otros poliedros con caras regulares? Hay otras posibilidades para cortar los vértices de los poliedros regulares de manera que por cada cara se siga obteniendo un polígono regular? Qué nuevos poliedros encontramos? Con qué poliedros regulares se relacionan? Qué características numéricas tienen? Qué otras propiedades tienen? En la última figura se muestran dos poliedros regulares y el cuboctaedro. Qué explicaciones das al nombre que tiene? Cómo nombras los sólidos de la última figura? Además de los sólidos platónicos y de los cinco truncados que hemos visto anteriormente, existen más poliedros con las caras regulares: cuboctaedro, icosidodecaedro pequeño rombicuboctaedro, gran rombicuboctaedro, pequeño icosidodecaedro, gran icosidodecaedro, cubo chato y dodecaedro chato. Sus características numéricas, propiedades y sus relaciones con otros poliedros aparecen en un documento anterior llamado Poliedros Arquimedianos (preg. 5 y 6 del pdf allí). En la figura inferior aparecen un dodecaedro, un icosaedro y un icosidodecaedro. El nombre icosidodecaedro es debido a que este sólido es la intersección del icosaedro y el dodecaedro. 4
TRUNCAMIENTO, SECCIONES Y SIMETRÍAS DE LOS POLIEDROS REGULARES 7. Qué forma tiene la sección del cubo perpendicular al eje que pasa por vértices opuestos y equidista de ellos? Puedes dar diferentes tipos de respuesta más o menos visuales. Por ejemplo, para responder te puedes basar en las figuras siguientes. Responde también a esta actividad de otras maneras. Situándonos en una de las esquinas del cubo y cortamos esa esquina con un ángulo apropiado de modo que la sección producida será un triángulo equilátero. Si seguimos moviéndonos mediante planos paralelos al corte primero realizado, evidentemente, aparecerán triángulos mayores hasta que se llegue a los vértices, ese será el triángulo equilátero mayor. En el caso de seguir haciendo cortes las secciones se convertirán en hexágonos irregulares, llegando un momento en el que el hexágono será regular y nuevamente volverán a ser irregulares hasta que se llegue a los vértices del cubo, de donde aparece nuevamente el triángulo equilátero de partida. 8. Planos de simetría (PS) y ejes de rotación (ER) de los poliedros regulares. Determinas los PS y ER de cada uno de los poliedros regulares. Razonar la forma que tienen, cuántos hay de cada tipo y las relaciones que hay entre ellos (los planos de simetría y los ejes de rotación). Indicar también la forma de otras secciones que dividen al poliedro regular en dos partes iguales pero que no son planos de simetría. -Planos de simetría: CUBO: 1. Hay planos paralelos a pares de caras opuestas. 3 5
OCTAEDRO: TETRAEDRO: 2. Hay planos que pasan por pares de aristas opuestas. 6 1. Planos perpendiculares al segmento que une pares de vértices opuestos. 3 2. Planos de simetría que pasan por puntos medios de pares de aristas opuestas. 6 1. Contienen una de sus aristas y pasa por el punto medio de otra. 6 OCTAEDRO e ICOSAEDRO: 1. Pasan por un par de aristas opuestas y cortan por el punto medio a otro par de aristas opuestas. 15 Tres de estos planos de simetría son perpendiculares dos a dos, como ocurre en el modelo de las simetrías del cubo y del octaedro. -Ejes de rotación: CUBO y OCTAEDRO: Como las caras del cubo se corresponden con los vértices del octaedro, cabe pensar que los ejes se corresponden. 1. El octaedro tiene 3 ejes de rotación de orden 4, uno por cada par de vértices opuestos. Cada uno es perpendicular a un plano de simetría del octaedro. En el caso del cubo pasa por los centros de caras opuestas. 2. Pasan por vértices opuestos del cubo. Hay 4 de este tipo y son de orden 3. En el caso del octaedro pasará por los centros de sus caras. Estos ejes no son perpendiculares a ningún plano de simetría. Y sus cuatro posibles secciones serán hexagolanes regulares. 3. Pasan por puntos medios de aristas opuestas. Hay seis y son de orden dos. Cada uno de ellos será perpendicular a un plano de simetría, que en el cubo pasa por pares de aristas opuestas, y en el octaedro por puntos medios de pares de aristas opuestas. DODECAEDRO e ICOSAEDRO: 1. 6 ejes de rotación de orden 5: Pasan por los centros de las caras del dodecaedro o por los vértices opuestos del icosaedro. El plano perpendicular de cada uno de ellos los corta en una sección de decágono regular. 2. 10 ejes de rotación de orden 3: Pasan por los centros de las caras del icosaedro y por vértices opuestos del dodecaedro. El plano perpendicular a cada uno de ellos corta al dodecaedro en hexágonos regulares y al icosaedro en un dodecágono no regular. 6
3. 15 ejes de rotación de orden 2: Pasan por puntos medios de aristas opuestas y son perpendiculares a planos de simetría del poliedro. Los 4 ejes de rotación de orden 3 del cubo y octaedro están dispuestos exactamente de la misma manera que 4 ejes de rotación de orden 3 del dodecaedro e icosaedro. Los tres ejes de rotación de orden 4 del cubo y del octaedro están dispuestos exactamente de la misma manera que 3 ejes de rotación de orden 2 del dodecaedro e icosaedro. TETRAEDRO: 1. 3 de orden 2: Pasan por puntos medios de aristas. 2. 4 de orden 3: Pasan por un vértice del tetraedro y el centro de la cara opuesta. Siete de estos ejes se cortan exactamente de la misma manera que siete del cubo. RELACIÓN ENTRE EJES Y PLANOS DE SIMETRÍA: En las rectas donde se cortan planos de simetría hay ejes de rotación que tienen un orden que coincide con el número de planos que se cortan en esa recta. REFERENCIAS: Guillén G, Poliedros, Ed. Síntesis 7