LOS NÚMEROS COMPLEJOS Para una mirada sobre el origen y desarrollo histórico de los números complejos leer el siguiente documento páginas 8-13 CANTIDADES IMAGINARIAS Definición: Las cantidades imaginarias son las raíces de índice par de las cantidades negativas. Ejemplo Unidad imaginaria: La cantidad se le denomina cantidad imaginaria, según la notación de Gauss, la unidad imaginaria se representa por la letra i. Por lo tanto, i =, y por definición: i 2 = -1. Ejemplo: Potencias de la unidad imaginaria 1) i 1 = i 5) i 5 = i 4 *i = i 2) i 2 = -1 6) i 6 = i 4 *i 2 = -1 3) i 3 = i 2 *i = -i 7) i 7 = i 4 *i 3 = -i 4) i 4 = i 2 *i 2 = 1 8) i 8 = i 4 * i 4 = 1 Se observa que los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repite en periodos de 4 en 4 y estos valores son i, -1, -i, 1. Transformación de la potencia i m, donde m es un entero positivo Suponiendo que se desea calcular i m, donde m > 4: 1. Se divide m entre 4, de donde se tiene: m = 4q + r 2. i m = i 4q + r = i 4q *i r = (i 4 ) q *i r = i r Por tanto, i m = i r donde r = 0, 1, 2, 3 Ejemplo Calcular 5i 28, 4i 327 28 = 4*7 + 0, entonces q = 4, r = 0, i 28 = i 0 = 1, por lo tanto 5i 28 = 5*1 = 5
327 = 4*81 + 3, r = 3, i 3 = -i, por lo tanto, 4i 327 = 4*(-i) = -4i Ejercicios Calcular: 1. 2. 3. 4. NÚMEROS COMPLEJOS Definición: Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Si z = a + bi es un número complejo donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos. CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS Complejo real: Aquel cuya parte imaginaria es nula. Complejo puro: Aquel cuya parte real es nula. Complejo nulo: Aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria es nula. Complejos iguales: Son dos complejos que tienen igual sus partes reales e iguales sus partes imaginarias. Complejos conjugados: Son dos complejos que tienen igual su partes reales e iguales pero de signo contrario sus partes imaginarias. Por ejemplo: z 1 = a + bi z 2 = a bi Son dos complejos conjugados. Complejos opuestos: Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias pero de signos contrarios.
De donde: r (I) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO 1. Representación cartesiana Cálculo del argumento o ángulo α En el triángulo rectángulo de la figura Por lo tanto, (II) Apoyados en la figura, la forma polar de z = a + bi, será: Se realiza en un sistema de ejes rectangulares o cartesianos en donde el eje horizontal sirve para representar los números reales y el eje vertical para representar las cantidades imaginarias. Al plano formado por los ejes real e imaginario se le llama Plano de Gauus. 2. Representación polar o trigonométrica a + bi = rcos(α) + ri*sen(α) a + bi = r (cos(α) + isen(α)) Ejercicio: Expresar en forma polar el complejo: 8 + 6i Solución Se sabe que 8 + 6i = r(cos(α) + isen(α)) Para representar un complejo de esta manera es necesario conocer el radio vector, conocido con el nombre de módulo y el ángulo que forma éste con la parte positiva del eje horizontal. Cálculo del módulo: Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la figura se tiene: Luego 8 + 6i = 10(cos(37º) + isen(37º)) OPERACIONES CON COMPLEJOS Suma de complejos Para sumar dos o más complejos se sumas las partes reales y las partes imaginarias separadamente, así los números r 2 = a 2 + b 2
z 1 = a + bi z 2 = c di z 3 = z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Multiplicación de complejos El producto de números complejos puede ser: otro complejo, un imaginario puro o un número real. Para realizar el producto se consideran a los complejos como binomios. z 1 z 2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 En su forma polar = (ac bd) + (ad + bc)i En su forma polar z 1 z 2 = r 1 (cos α 1 + isen α 1 ) r 2 (cos α 2 + isen α 2 ) = r 1 r 2 (cos α 1 cos α 2 - sen α 1 sen α 2 ) + i(sen α 1 cos α 2 + cos α 1 sen α 2 ) = r 1 r 2 ((cos (α 1 + α 2 ) + i(sen(α 1 + α 2 ))) Propiedades del producto 1. El modulo del producto es igual al producto de los módulos de los factores 2. El argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores División de complejos El cociente de dos complejos, puede ser otro complejo, un imaginario puro o un número real. Para dividir dos complejos, se expresa el cociente en forma de quebrado y se racionaliza el denominador, multiplicando ambos miembros de la fracción por la conjugada del denominador. Hallar Propiedades del cociente 1. El módulo del cociente es igual al cociente de los módulos del dividendo y el divisor 2. El argumento del cociente es igual a la diferencia entre los argumentos del dividendo y el divisor Potencia de un complejo La potencia de un complejo puede ser, otro complejo, un número real o un número imaginario puro. Para efectuar la operación se aplica el desarrollo del binomio de Newton. Para potencias elevadas es conveniente potenciar en forma polar.
2. Calcular a sabiendo que es un imaginario puro 3. Halle el modulo del complejo Propiedades de la potencia 1. El módulo de la potencia, es la potencia del módulo de la base. 2. El argumento de la potencia, es el argumento de la base multiplicado por el exponente. Raíz de un complejo La raíz de un complejo es otro complejo puro o real, se opera con la forma polar Donde k = 0, 1, 2,, n 1. Propiedades de la raíz Taller 1. El módulo de la raíz es la raíz del módulo del radicando 2. El argumento de la raíz, es el argumento del radicando incrementado en 2k, dividido entre el índice 1. Efectuar
FÓRMULA DE EULER Donde, representa un número complejo en el círculo unitario de ángulo. Para una demostración de ésta relación se recomienda visitar el siguiente enlace La fórmula de Euler permite usar una notación más corta para expresar los números complejos. Si z = z ( z = z ), entonces A partir de la anterior fórmula podemos definir algunas operaciones: - i z = 2 complementario z = 2( 2. Halle = - 45 0 Ángulo ) forma polar Forma de Euler Si Para k = 0 Si n > 0 es un número entero, Para k = 1 Con k = 0, 1, 2,..., n 1 Ejemplos 1. Expresar en su forma exponencial o de Euler
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Este capítulo lo trabajaremos con el libro guía Álgebra Lineal. Stanley I. Grossman S. Sexta Edición POTENCIACION Def: Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo índica otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le llama potencia. Potencia = (base) exponente Ejemplo: 2 7 = 2*2*2*2*2*2*2 = 128 5 5 = 5*5*5*5*5 = 3125 En general a n = a*a*a*a*a* *a n factores LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES 1. Multiplicación de potencias de bases iguales. Se escribe la misma base, y como exponente se escribe la suma de los exponentes. 3. Exponente Cero. Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. 4. Exponente negativo. Toda cantidad diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la misma expresión pero con exponente hecho positivo. 5. Potencia de un producto. Se eleva cada factor a dicha potencia 6. Potencia de un cociente. Se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. Ejemplo 2. División de potencias de bases iguales Se escribe la misma base, y como exponente se escribe la resta de los exponentes. Ejemplo 7. Potencia negativa de un cociente. Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva y se procede como el caso anterior.
8. Potencia de potencia. Se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de los exponentes. 11. Raíz de un producto. Se extrae la raíz a cada factor. Observación: 12. Raíz de un cociente. Se extrae tanto la raíz de numerador como la del denominador. 9. Raíz de una potencia. Se escribe la misma base y como exponente, la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. Ejemplos. 13. Introducción de un factor en un radical. Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y se introduce como factor en la cantidad subradical. Observación: 10. Exponente fraccionario. Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. 1. 2. 3. 4. 5. Ejercicios: Calcular el valor de:
6. 7. 8. Resolver 9. Resolver 10. Resolver