1.9 Sustituciones diversas 49

1.9 Sustituciones diversas 49 1.9 Sustituciones diversas En ocasiones tenemos ecuaciones diferenciales que no corresponden a ninguna forma de ecuación conocida, donde, para resolverlas fácilmente recurrimos a una sustitución para adecuarla a una forma conocida. Es decir, se transforma una ecuación dada en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Definición 1.9.1 Ecuación Homogénea Cuando una ecuación f tiene la propiedad f ( t, t) = t α (, ) (1) Para cualquier número real α, se dice que f es una función homogénea de grado α, donde este concepto de homogeneidad es diferente, al mencionado con anterioridad. [1] Ejemplo 1.9.1 Siendo f (, ) = obtener f ( t, t ) Es una ecuación homogénea de grado, a que al sustituir por t, t tenemos f ( t, t) ( t) t Desarrollando = () f ( t, t) t t = () Factorizando f ( t, t) = t ( ) quedando de la forma (1) Ejemplo 1.9. Siendo f(, ) = + 5 obtener f ( t, t ) Sustituendo por t, t obtenemos f( t, t) = ( t) t + 5 (4) Desarrollando el lado derecho del igual de (4), f t t t t (, ) = + 5

1.9 Sustituciones diversas 50 Factorizando t, f( t, t) = t ( ) + 5, donde podemos observar que no se cumple la α propiedad de (1), f ( t, t) = t (, ) Definición 1.9. Ecuación Diferencial Homogénea Una ecuación diferencial de primer orden M(, ) d+ (, ) d = 0 (5) Es homogénea si los coeficientes M En otras palabras sí a su vez son homogéneos del mismo grado. M ( t, t) = t α M (, ) (6) tt (, ) = t α (, ) (7) Además de ser homogéneas son de grado α, también es posible utilizar una sustitución de = u (8) = v (9) Donde sus derivada serían d = ud + du d = vd + dv respectivamente, u v son nuevas variables dependientes, de tal manera que podamos reducir una ecuación homogénea a una ecuación separable de primer orden. Ejemplo 1.9. Resolver la siguiente ecuación + d+ d = 0 Identificamos M = + = Sustituendo por t por t, tenemos que M = ( t) + ( t) (10) = ( t) ( t)( t) (11)

1.9 Sustituciones diversas 51 Factorizando t de (10) (11), resulta = ( + ) = t ( ) como en (1) M t Observamos que ambas funciones son homogéneas, por lo que es una ecuación diferencial homogénea como (5). Podemos utilizar una sustitución tal como (8), = u donde d = ud + du, Sustituendo en la ecuación diferencial, ( + u ) d + ( u)( ud + du) = 0 = u Desarrollando, + + + = 0 d u d ud u d du udu Simplificando d + ud + du udu = 0, factorizando (1 + ) + (1 ) = 0 u d u du Despejando 1 1 u d = du, realizando la división del cociente del lado derecho del 1+ u igual 1 d = 1 du 1+ u (1) Integrando (1), ln = u ln(1 + u) + ln( c) O bien ln u + ln(1 + u) = ln( c) Sustituendo restituendo (8), u =, nos queda ln(1 ) ln ln( c) + + + = (1) Despejando + = ln, simplificando c ( + ) = ln c O bien e = ( + ) c

1.9 Sustituciones diversas 5 Reacomodando obtenemos como resultado + = ce La incógnita sería cual sustitución se realizaría?, la respuesta sería observando a M, tomamos la que sea mas simple. Ejemplo 1.9.4 Resolver la siguiente ecuación ( ) d+ d = 0 Observamos que es más simple, entonces usamos = u (14) Por lo que d = ud + du Sustituendo en la ecuación ( u) d + ( ud + du) = 0 Desarrollando d ud + ud + du = 0, simplificando d + du = 0 (15) Separando variables de (15), d = du, reacomodando los términos tenemos que 1 d = du (16) Integrando ambos lados del igual de (16), resulta ln = u + c, aplicando el antilogaritmo ln u c e = e + Restituendo el valor de (14), u =, nos quedaría c = e +, o bien reacomodando La solución sería = e c

1.9 Sustituciones diversas 5 Ejemplo 1.9.5 Resolviendo un problema de valor inicial d = para (1) = d Acomodando la ecuación para observar los coeficientes de los diferenciales d= d, nos quedaría = 0 (17) d d De (17), identificamos M = = Donde podemos utilizar (9), = v, por lo que como referencia, entonces hacemos una sustitución tal como = v (18) d = vd + dv (19) Sustituendo (18) (19) en la ecuación diferencial tenemos ( + ) = 0 v vd dv v d (0) Desarrollando las operaciones vd v vd + dv v dv v d = 0 (1) 4 4 4 vd v d + dv v dv v d = 0, simplificando 4 4 4 vd+ dv vdv= 0 4 4 4 4 Reacomodando v d = v 1 dv, dividiendo entre v ambos lados del igual d (1 v ) Separando variables = dv, reacomodando 4 v d 4 1 = v d v v () Epresando la integral de ambos lados d 4 = v dv dv v

1.9 Sustituciones diversas 54 1 Integrando obtenemos v ln = ln( v) + ln( c), o bien ln( v) + v = ( c) Restituendo el valor ln = v o bien v 1 = de (9), tenemos ( v) 1 ln + = c, resultando v 1 + = c () Multiplicando por obtenemos ln + = c Sustituendo condiciones iniciales = 1 = en (), tenemos 1 ln(1) + c = 1 Por lo que 8 c =, de tal manera que la solución sería ln 1 8 + =