Microeconomía Avanzada

Microeconomía Avanzada Federico Weinschelbaum Universidad de San Andres Marzo 2013 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 1 / 120

Introducción En el curso, vamos a analizar decisiones agentes desde dos enfoques. En ambos enfoques, partimos de un conjunto de alternativas X, las cuales son mutuamente excluyentes y representan el menú de opciones del que dispone el agente. 1 Agentes poseen preferencias. Decisiones se derivan de las preferencias. Ponemos restricciones a las preferencias y vemos restricciones en las decisiones. 2 Las decisiones son el objeto primitivo. Imponiendo restricciones de consistencia sobre esas decisiones que toman. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 2 / 120

Ejemplos 8 Master >< Trabajar Que voy a hacer cuando termine la licenciatura Viajar >: Fiaca Teoria del consumidor: Conjunto de Posibilidades de Consumo Decisiones bajo Incertidumbre: Conjunto de Loterias Teoría de los Juegos: Conjunto de Estrategias Disponibles. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 3 / 120

Enfoque de las preferencias Agentes tienen gustos sobre el conjunto X. Representados por una relación de preferencias %, % es una relación binaria, es decir, dado un par ordenado x, y 2 X X x y o x y O sea, x se relaciona con y o x no se relaciona con y. Esto nos permite comparar alternativas x, y 2 X einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 4 / 120

Enfoque de las preferencias II A partir de % se derivan dos relaciones binarias adicionales, a saber: Relación de preferencia estricta: x y, x % y ^ y x Relación de indiferencia: x y, x % y ^ y % x Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 5 / 120

Enfoque de las preferencias III Restricciones sobre las preferencias No permitimos cualquier clase de preferencias. Especí camente, pedimos supuestos de consistencia En particular, pediremos que % sean racionales, racionales,completas y transitivas. En términos matemáticos % es un orden débil o preorden. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 6 / 120

Enfoque de las preferencias III Restricciones sobre las preferencias De namos entonces estos conceptos. % es completa si 8x, y 2 X, x % y _ y % x (o ambas) % es transitiva si 8x, y, z 2 X tal que x % y ^ y % z entonces x % z Nótese que la completitud implica re exividad, es decir (no impusimos que x 6= y ) entonces 8x, x 2 X X, x % x. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 7 / 120

Enfoque de las preferencias IV Consecuencias de preferencias racionales sobre preferencias estrictas e indiferencia Analicemos en primera instancia la relación Es irre exiva: x x Es transitiva: si x y ^ y z entonces x z einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 8 / 120

Enfoque de las preferencias V Consecuencias de preferencias racionales sobre preferencias estrictas e indiferencia Veamos ahora las consecuencias sobre Es re exiva: x x Es simétrica: x y, y x Es transitiva: si x y ^ y z entonces x z einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 9 / 120

Enfoque de las preferencias VI Consecuencias de preferencias racionales sobre preferencias estrictas e indiferencia Además, se derivan dos propiedades más 1 Si x % y ^ y z entonces x z Proof. Sabemos que si y z entonces y % z ^ z y. x % y ^ y % z, lo cual por transitividad arroja que x % z. Que pasa si z % x. entonces z % x ^ x % y, lo cual por transitividad nos lleva a que z % y, lo cual es un absurdo Entonces x z 2 Si x y ^ y % z entonces x z einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 10 / 120

Enfoque de las preferencias VII Supuestos plausibles (es di cil discutirlos) Existen muchas ejemplos, situaciones donde claramente no se cumplen. No pensamos que esto no sea cierto. Vamos a estudiar casos que tienen consistencia y queremos ver hasta donde llegamos con esa consistencia. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 11 / 120

Enfoque de las preferencias VIII Ejemplos donde no se cumplen supuestos 1 Procrastination, hacerlo maniana, papeles en la o cina 2 Decisiones Agregadas (paradoja de Condorcet) A B C Juan 1 2 3 Pedro 2 3 1 Esteban 3 1 2 1 A B (2 a 1) 2 B C (2 a 1) 3 deberia ser A C (pero no lo es 1 a 2) 4 No hay transitividad 3 cigarrillos...21 0 20 4 Adicciones cambio en preferencias einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 12 / 120

Enfoque de las preferencias IX Función de Utilidad Que es una función de utilidad? U : X! R Representa a las preferencias % esto es x % y, U(x) U(y) Sabemos que si f : R! R, estrictamente creciente, entonces V f [U()] tambien representa las preferencias % es tambien una función de utilidad Solo nos interesa el orden. Es una medida ordinal no cardinal. No siempre existe U que representa a %. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 13 / 120

Enfoque de las preferencias X Existencia de función de utilidad y preferencias Proof. Si 9 % y estas se pueden representar por una función de utilidad, entonces % son racionales Debemos probar que % son completas y transitivas. Completas: 8x, y 2 X X, x % y _ y % x (o ambas). Sea U(x) 8 y U(y ). Dado que los reales son un conjunto ordenado, puede < U(x) U(y ), x % y ocurrir : U(x) U(y ), y % x : U(x) = U(y ), x y Transitivas: 8x, y, z 2 X X X tal que x % y ^ y % z entonces x % z. Ya que U() es una función de utilidad que representa %; U(x) U(y ) y U(y ) U(z). En los reales es transitiva. Luego, U(x) U(z). Entonces, x % z. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 14 / 120

Enfoque de las preferencias XI Existencia de función de utilidad y preferencias II Recíproca no es necesariamente verdadera. % racionales ; 9 U que las represente. Es válido imponiendo supuestos adicionales: restricción sobre el conjunto X (si fuera nito o si es in nito contable) o estableciendo condiciones sobre las relaciones de preferencias (racionalidad y continuidad). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 15 / 120

Enfoque de las decisiones Comencemos de niendo una estructura de decisión (β, C ()) donde: β es la familia de posibles conjuntos de elección B 2 β. (el conjunto de conjuntos presupuestarios) De este modo, B X ^ β P(X ), donde P(x) es el Conjunto de partes de X. /2 β ) β 6= P(x).(en teoria del consumidor claramente β 6= P(x) 0 siempre esta ) C () es la regla de decisión del agente, donde asumiremos como caso más general que es una correspondencia. una función C () : β! P(x) o, de otro modo, una correspondencia, C () : β! X. Pediremos que C (B) B 8B 2 β y, además, vamos a pedir adicionalemnte que C (B) 6= 8B. Si #C () = 1 es una función. Si no #C () > 1 son todas las alternativas que el individuo puede elegir einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 16 / 120

Enfoque de las decisiones II Ejemplo 1 Sea X = fmicroeconomía, Macroeconomía, Econometríag. fmicroeconomía, Macroeconomíag β = fmicroeconomía, Macroeconomía, Econometría g C 1 ffmicroeconomía, Macroeconomíagg = fmicroeconomíag C 1 ffmicroeconomía, Macroeconomía, Econometríagg = fmicroeconomíag einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 17 / 120

Enfoque de las decisiones III Ejemplo 2 Sea X = fmicroeconomía, Macroeconomía, Econometríag. fmicroeconomía, Macroeconomíag β = fmicroeconomía, Macroeconomía, Econometría g C 2 ffmicroeconomía, Macroeconomíagg = fmicroeconomíag C 2 ffmicroeconomía, Macroeconomía, Econometríagg = fmicroeconomía, Macroeconomíag einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 18 / 120

Enfoque de las decisiones IV Si las opciones son Microeconomía, Macroeconomía, elijo Microeconomía. Cuando son Microeconomía, Macroeconomía, Econometría elijo Microeconomía o Macroeconomía. Es esto consistente? Si al principio elegi Micro. Luego es raro (incosistente) que elija Macro. Podria elegir Econometria o Micro y Econometria pero Macro? La Micro parecia que era mejor Vamos a poner algunas restricciones sobre la consistencia einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 19 / 120

Enfoque de las decisiones V Axioma Débil de la Preferencia Revelada (WARP) Estructura de decisión (β, C ())cumple con WARP Si x, y 2 B, x 2 C (B) ) 8B 0, x, y 2 B 0, y 2 C (B 0 ) entonces x 2 C (B 0 ) C 1 () cumple WARP C 2 () no cumple el WARP. C 2 ffmicroeconomía, Macroeconomíagg = fmicroeconomíag C8 2 ffmicroeconomía, Macroeconomía, Econometríagg = < fmicroeconomíag f Econometríag : fmicroeconomía, Econometríag Macro no puede estar. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 20 / 120

Enfoque de las decisiones VI Axioma Débil de la Preferencia Revelada (WARP) II Podemos De nir x % y, 9B 2 β : x, y 2 B ^ x 2 C (B), decimos x se revela al menos tan bueno como y. % no es necesariamente completa ni transitiva. Es di cil que se relacionen. Solo se relacionan si 9B 2 β, x, y 2 B ^ x 2 C (B) o y 2 C (B) (β, C 1 ()) no hay relación entre Macro y Econometria. fmicroeconomíag % fmacroeconomíag fmicroeconomíag % feconometriag x y, 9B 2 β : x, y 2 B ^ x 2 C (B) ^ y /2 C (B), decimos que x se revela estrictamente preferido a y Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 21 / 120

Enfoque de las decisiones V Axioma Débil de la Preferencia Revelada (WARP) III Podemos de nir de una manera alternativa WARP usando estas de niciones Siempre que x se revela al menos tan bueno como y. Entonces no puede ser que y se revele estrictamente mejor que x. Formalmente: x % y ) y x. (β, C 2 ()) no cumple WARP fmicroeconomíag fmacroeconomíag fmicroeconomíag feconometriag fmacroeconomíag feconometriag fmacroeconomíag % fmicroeconomíag Nota: WARP no es lo único que vamos a pedir. En Teoría del consumidor vamos a pedir mas supuestos. (Axioma Fuerte). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 22 / 120

Comparando los Enfoques Preferencias, Decisiones, Dos maneras de analizar las elecciones. Como se relacionan? Seria bueno, que sean equivalentes Preferencias Racionales () WARP Vamos a ver que Racionalidad =) WARP WARP;Racionalidad einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 23 / 120

Comparando los Enfoques I Reglas de decision derivadas de preferencias racionales Dado un B X con B 6=. los elementos preferidos en B. C (B, %) = fx 2 B : x % y 8y 2 Bg Asumimos que C (B, %) 6=, vale si sabemos que B es siempre nito o que B es cerrado y las preferencias continuas. Suponemos % y conjuntos B tales que C (B, %) 6= 8B 2 β. Dadas las preferencias % encontramos la estructura de decision generada por estas preferencias (β, C (, %)) Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 24 / 120

Comparando los Enfoques II Relación entre elección y racionalidad Comencemos de niendo una regla de elección racional (surge de % racionales): C (B, %) = fx 2 B : x % y 8y 2 Bg Proof. Si % racionales entonces (β, C (B, %)) cumple el WARP x, y 2 B y x 2 C (B, %). Además, x, y 2 B 0 y y 2 C (B 0, %). Entonces x % z 8z 2 B y, en particular, dado que y 2 B ocurre que x % y. Similarmente, y % w 8w 2 B 0, % transitivas, entonces x % w8w 2 B 0 Entonces x 2 C (B, %). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 25 / 120

Comparando los Enfoques III Relación entre elección y racionalidad II Nótese que esto propiedad puede reexpresarse por su contrarecíproco. Si la regla de decision no cumple WARP podemos a rmar que no hay preferencias que la puedan racionalizar. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 26 / 120

Comparando los Enfoques IV Relación entre elección y racionalidad III WARP ;agente sea racional Veamos un contraejemplo. Dada (β, C ()) que cumple WARP puede no haber preferencias que la racionalizan Sea X = fx, y, zg, β = ffx, yg, fy, zg, fx, zgg C (B) = ffxg, fyg, fzgg respectivamente. Dado que @B, B 0 : x, y 2 B ^ x, y 2 B 0, WARP se satisface trivialmente. No obstante, dado que x y, y z, debería ocurrir que x z, lo cual no ocurre. Luego, @ % racionales tal que C (B) = C (B, %). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 27 / 120

Comparando los Enfoques V Relación entre elección y racionalidad IV Podemos agregar condiciones adicionales a WARP para que haya % que racionalizan? Sin WARP sabemos que no. En el ejemplo, si fx, y, zg 2 β. β = ffx, yg, fy, zg, fx, zg, fx, y, zgg C (B) = ffxg, fyg, fzg,??g x 2 C (fx, y, zg) o y 2 C (fx, y, zg) o z 2 C (fx, y, zg)se viola WARP Agrandando β, WARP impone mas restricciones. Si β es su cientemente grande, WARP implica racionalidad. Se puede asegurar resultado de otras maneras (pedir mas que WARP). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 28 / 120

Comparando los Enfoques VI Relación entre elección y racionalidad V Sea (β, C ()) una estructura de elección tal que 1 WARP 2 β incluye a todos los subconjuntos de X 6= de hasta tres elementos Entonces 9 % tal que racionaliza la regla de elección C () relativo a β, es decir, C (B) = C (B, %) 8B 2 β y esta relación es única. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 29 / 120

Comparando los Enfoques VII Relación entre elección y racionalidad VI Proof. Candidata %. Vamos a ver que es racional y que C (B) = C (B, % ) 8B 2 β. % es racional Se encuentran los conjuntos de un único elemento, entonces la relación es re exiva. Completitud fx, y g 2 β 8x, y 2 X X, y C (B) 6= entonces x 2 C (fx, y g) _ y 2 C (fx, y g) o ambas Entonces, x % y ó y % x, ó ambas. % es completa. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 30 / 120

Comparando los Enfoques VIII Relación entre elección y racionalidad VII Proof. Transitividad: x % y ^ y % z, entonces x % z. B = fx, y, zg 2 β ^ C (fx, y, zg) 6= si x 2 C (fx, y, zg) demostrado trivial si y 2 C (fx, y, zg) ) x 2 C (fx, y, zg) por WARP si z 2 C (fx, y, zg) ) y 2 C (fx, y, zg) por WARP einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 31 / 120

Comparando los Enfoques IX Relación entre elección y racionalidad VIII Proof. C (B) = C (B, % ). C (B) C (B, % ) x 2 C (B) entonces ocurre que x % y 8y 2 B. Entonces, x 2 C (B, % ). C (B) C (B, % ). Nótese que, para esta parte de la demostración, no hemos utilizado el cumplimiento del WARP o de la racionalidad. C (B, % ) C (B) x 2 C (B, % ) sabemos que x % y 8y 2 B. 8y 2 B 9B y : x, y 2 B y ^ x 2 C (B y ). C (B) 6= 8B, entonces 9y 2 B : y 2 C (B), WARP) x 2 C (B). C (B, % ) C (B). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 32 / 120

Comparando los Enfoques X Relación entre elección y racionalidad IX Proof. Unicidad Si %6=% 0 tal que C (B, %) = C (B, % 0 ) = C (B) 8B 2 β x % y y, a su vez, que x 0 y fx, yg 2 β ^ x 2 C (fx, yg, %) ^ x /2 C (fx, yg, % 0 ). C (fx, yg, %) 6= C (fx, yg, % 0 ) einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 33 / 120

Comparando los Enfoques XI Relación entre elección y racionalidad X β = P(x) basarse en preferencias y en decisiones es lo mismo. Es equivalente. No es el caso en Economía. No hay Equivalencia Racionalizar a) C (B) = C (B, %) Podriamos pedir menos b) C (B) C (B, %). Lo que observamos C (B) no contradice C (B, %) Seria un criterio mas laxo. Si racionaliza a la a) tambien a la b). Si x % y, 8x, y entonces C (B, %) = B 8B 2 β, Todo es racionalizado por estas preferencias. En este caso, el WARP se cumple siempre habida cuenta que para todo conjunto se elige todo elemento. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 34 / 120

Teoría de la decisión del consumidor Economía de Mercado agentes consumidores decisión elegir una canasta de consumo (bienes y servicios). Supondremos que: Los consumidores son tomadores de precios Existe un0 número 1 nito de bienes x 1 x 2 Sea x = B C @. A 2 RL + canasta que debe elegir x L La especi cación del tipo de bienes que se incluyen en este vector es lo su cientemente general, pues puede incluir distintos bienes o el mismo bien variando tiempo, espacio, estado de la naturaleza Bienes agregados Pueden aparecer bienes que no estan en el mercado. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 35 / 120

Teoría de la decisión del consumidor II Conjunto de posibilidades de consumo X puede tener restricciones legales trabajo maximo 8 horas físicas (indivisibilidades). Supondremos en particular que: n o X = R L + = x 2 R L : x l 0 8l = 1,..., L R L + es convexo. x, x 0 2 R L + entonces x 00 αx + (1 α)x 0 2 R L +. donde α 2 [0, 1] Es mas facil conseguir resultados dada la convexidad. A veces agrupando conseguimos convexidad einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 36 / 120

Teoría de la decisión del consumidor III Conjuntos Presupuestarios A las limitaciones sicas se le suma que los consumidores puedan comprar las canastas Los bienes 0 que 1 elegirá el consumidor tendrán un precio p 1 p 2 p = B C @. A 2 RL + con p >> 0. Puede haber p < 0, males pero en p L gral los evitamos. Como ya mencionamos, los precios de estos bienes se encuentran más allá de la in uencia de los consumidores (gran cantidad de consumidores ayuda, no necesario ni su ciente). Restricción viene por ingreso. x es alcanzable si el costo de adquirirla no excede el ingreso w del consumidor: p 1 x 1 + p 2 x 2 +... + p L x L w Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 37 / 120

Teoría de la decisión del consumidor IV Conjuntos Presupuestarios II Canastas que son asequibles se denomina el conjunto presupuestario depende de p y de w. n o B p,w = x 2 R L + : p x w w p 2 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 38 / 120 w

Teoría de la decisión del consumidor V Conjuntos Presupuestarios III Se puede demostrar que B p,w es un conjunto convexo, es decir, si x, x 0 2 B p,w entonces x 00 αx + (1 α)x 0 2 B p,w.donde α 2 [0, 1] Para que B p,w sea convexo, X debe ser convexo. Si no es tomador de precios (precio depende de cantidad) puede no serlo. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 39 / 120

Teoría de la decisión del consumidor VI Demandas Regla de decisión del consumidor, conjunto de canastas denotado x(p, w). x(p, w) es una correspondencia de demanda x(p, w) : p w! P(B p,w ) en términos de función x(p, w) : p w! B p,w en términos de correspondencia Si #x(p, w) = 1 entonces hablaremos de una función de demanda. x(p, w) vamos a realizar dos supuestos: x(p, w) homogénea de grado 0 (no existe ilusión monetaria) Formalmente: x(p, w) 2 H 0 e implica que x(αp, αw) = x(p, w) 8α > 0. x(p, w) cumple con la ley de Walras tal que p x(p, w) = w 8p, w. (no signi ca que el individuo no ahorra, puede existir un bien que de namos como no consumo ) einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 40 / 120

Teoría de la decisión del consumidor VII Demandas II Ya que x(p, w) 2 H 0, existe un grado de libertad. Se puede normalizar un elemento Tres normalizaciones más comunes son: p 1 = 1, i p i = 1, w = 1. Por ahora, asumiremos que #x(p, w) = 1. 0 1 x 1 (p, w) x 2 (p, w) Dado x = B C @. A y βw = fb p,w : p >> 0, w > 0g x L (p, w) (β w, x()) es una estructura de elección. β 6= P(X ), no incluye los subconjuntos de hasta tres elementos. No podemos asegurar que en caso de que valga el WARP los agentes sean racionales. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 41 / 120

Teoría de la decisión del consumidor VIII Estática comparada Función de Engel: demanda del individuo precios jos pero ingreso variable, x(p, w). A nes expositivos, asumimos diferenciabilidad. x l (p,w ) w de ne el efecto ingreso en el bien l. si x l (p,w ) w si x l (p,w ) 0 el bien l es normal w < 0 el bien l es inferior si todos los bienes son normales x(p, w) es normal. ver no pueden ser todos inferiores (por Walras) en gral mas agregados son normales baja calidad inferiores einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 42 / 120

Teoría de la decisión del consumidor IX Estática comparada II En forma matricial, 0 lo expresamos 1 como: D w x(p, w) = B @ x 1 (p,w ) w x 2 (p,w ) ẉ. x L (p,w ) w C 2 A RL einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 43 / 120

Teoría de la decisión del consumidor X Estática comparada III efecto precio del bien k en el bien l x l (p,w ) p l x l (p,w ) p k de ne el efecto del propio precio sobre el bien. en gral x l (p,w ) p l < 0 si ocurre x l (p,w ) p l > 0 entonces el bien l es Gi en. En forma matricial 0 x 1 (p,w ) x 1 (p,w ) D p x(p, w) = B @ p 1 x 2 (p,w ) p 1. x L (p,w ) p 1 p L x 2 (p,w ) p L.... x L (p,w ) p L 1 C 2 A RLxL Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 44 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XI Estática comparada IV De nimos ε l,k (p, w) x l (p,w ) p k p k como la elasticidad precio del x l (p,w ) bien k en el bien l. elasticidad ingreso es: ε l,w (p, w) x l (p,w ) w w x l (p,w ) Consecuencias de la ley de Walras y la homogeneidad de grado cero sobre la estática comparada einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 45 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XII en estática comparada I Partiendo de la homogeneidad de grado 0 L ε l,k (p, w) + ε l,w (p, w) = 0 8l = 1,..., L k=1 Entonces si el ingreso y los precios varían en 1%, las decisiones de consumo para cada bien no variarían. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 46 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XIII en estática comparada II Proof. x l (αp, αw) = x l (p, w) 8p, w, α Derivando con respecto a α L x l (αp,αw ) αp k p k + x l (αp,αw ) αw w = x l (p,w ) α = 0 k=1 evaluando en α = 1 L x l (p,w ) k=1 p k p k + x l (p,w ) w w = 0 (esto es Euler) podemos dividir por x l (p, w) L ε l,k (p, w) + ε l,w (p, w) = 0 k=1 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 47 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XIV en estática comparada III De nimos b k (p, w) = p k x k (p,w ) w el porcentaje de gasto en el bien l Partiendo de Walras L b k (p, w)ε k,w (p, w) = 1 k=1 La suma ponderada de las elasticidades ingreso es 1. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 48 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XV en estática comparada IV Proof. px(p, w) = w Derivando con respecto a w L x p k (p,w ) k w = 1 k=1 multiplicando y dividiendo x k (p, w) y w a cada uno de los términos L p k x k (p,w ) w k=1 x k (p,w ) w w x k (p,w ) = 1 L b k (p, w)ε k,w (p, w) = 1 k=1 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 49 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XVI en estática comparada V Partiendo de Walras L b k (p, w)ε k,l (p, w) + b l (p, w) = 0 k=1 Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 50 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XVII en estática comparada VI Proof. px(p, w) = w Derivando con respecto a p l L x p k (p,w ) k p l + x l (p, w) = 0 k=1 multiplicando y dividiendo dentro de la sumatoria por x k (p, w) y multiplicando todos los terminos por p l w L p k x k (p,w ) w k=1 x k (p,w ) p l p l x k (p,w ) + p l x l (p,w ) w = 0 L b k (p, w)ε k,l (p, w) + b l (p, w) = 0 k=1 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 51 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XVIII Efecto variación en el precio Dos bienes,ley de Walras cambio de precios tal que p 0 1 < p 1. Grá camente w p 2 w p 1 w p / 1 Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 52 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XIX Efecto variación en el precio El efecto puede descomponerse en un efecto sustitución e ingreso. (1) a (2)! efecto sustitución. De (2) a (3)! efecto ingreso w p 2 (1) (2) (3) w p 1 w p / 1 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 53 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XX WARP x (p, w) cumple Ley de Walras, homogeneidad de grado cero y #x (p, w) = 1. x (p, w) satisface el axioma debil. 8 (p, w), (p0, w0) Si px(p0, w0) w y x (p, w) 6= x (p0, w0) ) p0x(p, w) > w0 Si a los precios (p, w) podia comprar x(p0, w0) y no la elijo. x (p, w) % x(p0, w0) A los precios (p0, w0) no tengo que poder comprar x (p, w). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 54 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXI WARP II Grá camente WARP se cumple trivialmente Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 55 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXII WARP III Grá camente WARP se cumple Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 56 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXIII WARP IV Grá camente WARP se cumple Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 57 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXIV WARP V WARP no se cumple. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 58 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXV WARP VI WARP no se cumple. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 59 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXVI WARP y ley de demanda compensada Hasta aca vimos estatica comparada y WARP. Existe relación? x (p, w) (H 0 y Walras) cumple con el WARP si y solo si la siguiente propiedad se cumple Para todo cambio compensado de una situación inicial (p, w) a (p 0, w 0 ) = (p 0, p 0 x (p, w)), entonces (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] 0 y (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] < 0 siempre que x (p, w) 6= x (p 0, w 0 ) WARP efectuamos experimentos con variaciones en los precios e ingreso mientas que en la propiedad varían únicamente los precios. Ingreso queda automáticamente determinado. A primera vista, WARP parece más fuerte, veremos que son equivalentes. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 60 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXVII WARP y ley de demanda compensada II Proof. WARP ) Propiedad Si x (p, w) = x (p 0, w 0 ). Trivialmente (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] = 0 Si x (p, w) 6= x (p 0, w 0 ). (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] = p 0 x (p 0, w 0 ) p 0 x ( p, w) p x (p 0, w 0 ) + p x (p, w) sabemos que p 0 x (p 0, w 0 ) = p 0 x ( p, w) = w 0 (cambio compensado) (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] = w 0 w 0 p x (p 0, w 0 ) + p x (p, w) = p [x (p, w) x (p 0, w 0 )] (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] = w p x (p 0, w 0 ).(por Walras) x (p, w) y x (p 0, w 0 ) son alcanzables a los precios e ingreso (p 0, w 0 ) (y se elige x (p 0, w 0 )) entonces a los precios e ingreso (p, w) la canasta x (p 0, w 0 ) no debe ser factible. p x (p 0, w 0 ) > w. Entonces (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] < 0. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 61 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXVIII WARP y ley de demanda compensada II Proof. Propiedad)WARP Demostraremos el contrarecíproco, es decir, demostraremos que si se viola WARP entonces la propiedad se viola. La prueba tiene dos pasos 1 Siempre que se viola WARP)Se viola con igualdad 2 Si WARP se viola con igualdad )Se viola la propiedad einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 62 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXIX WARP y ley de demanda compensada II Proof. Propiedad)WARP Siempre que se viola WARP)Se viola con igualdad Se viola WARP si 9 (p 0, w 0 ) y (p 00, w 00 ) tal que x(p 0, w 0 ) 6= x(p 00, w 00 ) y p 0 x (p 00, w 00 ) w 0 y p 00 x (p 0, w 0 ) w 00. Queremos ver que si las dos son desigualdades estrictas. Tambien se va a violar para una con igualdad. p 0 x (p 00, w 00 ) < w 0 y p 00 x (p 0, w 0 ) < w 00. Por Walras, sabemos que: p 0 x (p 00, w 00 ) < p 0 x (p 0, w 0 ) p 00 x (p 00, w 00 ) > p 00 x (p 0, w 0 ) Sabemos que existe un α 2 (0, 1) que de ne un p αp 0 + (1 α) p 00 tal que: p x (p 00, w 00 ) = p x (p 0, w 0 ) w tenemos que: αw 0 + (1 α) w 00 > αp 0 x (p 0, w 0 ) + (1 α) p 00 x (p 0, w 0 ) = p x (p 0, w 0 ) = w = p x (p, w ) = αp 0 x (p, w ) + (1 α) p 00 x (p, w ) Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 63 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXX WARP y ley de demanda compensada III Proof. Resumiendo αw 0 + (1 α) w 00 > αp 0 x (p, w) + (1 α) p 00 x (p, w) Entonces alguna de las desigualdades (o ambas): 1 αw 0 > αp 0 x (p, w) ) w 0 > p 0 x (p, w) 2 (1 α) w 0 > (1 α) p 00 x (p, w) ) w 0 > p 00 x (p, w) Si 1., entonces p x (p 0, w 0 ) = w ^ p 0 x (p, w) < w 0. Si 2., entonces p x (p 00, w 00 ) = w ^ p 00 x (p, w) < w 00 Conclusión si el WARP es violado entonces también tendremos una violación del WARP con una al menos con igualdad. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 64 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXI WARP y ley de demanda compensada III Proof. Si WARP se viola con igualdad )Se viola la propiedad Entonces podemos ver que siempre que se viola WARP (p 0, w 0 ) a (p, w) tal que x (p, w) 6= x (p 0, w 0 ) y se da que p x (p 0, w 0 ) = w y p 0 x (p, w) w 0. p x (p 0, w 0 ) = p x (p, w) p 0 x (p, w) p 0 x (p 0, w 0 ) Restando el primero del segundo tenemos (p 0 p) x (p 0, w 0 ) (p 0 p) x (p, w) o similarmente (p 0 p) [x (p 0, w 0 ) x (p, w)] 0 O sea que se viola la propiedad einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 65 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXII ley de demanda compensada La propiedad mencionada puede ser reescrita como p x 0 ley de demanda para cambios en los precios compensados. WARP solamente asegura la ley de demanda para cambios compensados B pw WARP dice aca Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 66 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXIII ley de demanda compensada II p = (0, 0, 0, p l, 0, 0, 0) p x = p l x l Sube (baja) p l )baja (sube) x l WARP no dice nada en variaciones no compensadas. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 67 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXIV Matriz de Slutsky Si x (p, w) es diferenciable, cambio en los precios dp que es compensado, es decir, dw = x (p, w) dp. sabemos que dp dx 0 dx = D p x (p, w) dp + D w x (p, w) dw cambio en ingreso es compensado dx = D p x (p, w) dp + D w x (p, w) [x (p, w) dp] ) dx = [D p x (p, w) + D w x (p, w) x (p, w)] dp Sabemos que dp dx 0 dp [D p x (p, w) + D w x (p, w) x (p, w)] dp 0 De niendo S (p, w) D p x (p, w) + D w x (p, w) x (p, w) ) dp S (p, w) dp 0 8dp einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 68 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXV Caracteristicas de Matriz de Slutsky Matriz de Slutsky 2 3 S 11 (p, w) S 1L (p, w) 6 S (p, w) = 4.... 7. 5 S L1 (p, w) S LL (p, w) donde el elemento (l, k) es: s lk (p, w) x l (p,w ) p k + x l (p,w ) w x k (p, w) dp S (p, w) dp 0 ) S (p, w) es una matriz semide nida negativa no implica que la matriz sea simétrica, lo cual, es distinto en el enfoque de preferencias. Corolario matriz es semide nida negativa, tenemos que s ll (p, w) 0 Entonces si un bien es Gi en es inferior, x l (p,w ) p k + x l (p,w ) w x k (p, w) 0 si x l (p,w ) pl > 0 ) x l (p,w ) w < 0. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 69 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXVI Caracteristicas de Matriz de Slutsky ll Dado H 0 y Walras, tenemos que p S (p, w) = 0 y S (p, w) p = 0. p S (p, w) = p D p x (p, w) + p D w x (p, w) x (p, w) Walras p x (p, w) = w, entonces (diferenciando con respecto a w) p D w x (p, w) = 1. p S (p, w) = p D p x (p, w) + x (p, w) Diferenciando Walras con respecto al precio: p D p x (p, w) + x t = 0. Entonces, p S (p, w) = 0. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 70 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXVlI Caracteristicas de Matriz de Slutsky lli S (p, w) p = 0 S (p, w) p = D p x (p, w) p + D w x (p, w) x (p, w) p x (p, w) p = w H 0 ) D p x (p, w) p + D w x (p, w) w = 0 ) S (p, w) p = 0 einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 71 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXVIII Caracteristicas de Matriz de Slutsky lv p S (p, w) = 0 y S (p, w) p = 0 Entonces S (p, w) es singular, no posee inversa y además no es de nida negativa. WARP ) S (p, w) es una matriz semide nida negativa con S (p, w) p = 0 y p S (p, w) = 0 la recíproca no es verdadera hace falta vs (p, w) v < 0, 8v 6= αp. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 72 / 120

Teoría de la decisión del consumidor XXXIX WARP y preferencias racionales WARP ; 9 preferencias racionales Preferencias racionales (vamos a ver)) S (p, w) es simétrica WARP puede ser con matrices S (p, w) que no son simétricas L=2 S (p, w) resulta simétrica S11 S 12 p1 0 = S 21 S 22 p 2 0 ) S 11 p 1 + S 12 p 2 = 0 ) S 12 = S 11p 1 p1 p 2 S 11 S 12 S 21 S 22 p 2 = 0 0 ) p 1 S 11 + p 2 S 21 = 0 ) S 21 = S 11p 1 p 2 S (p, w) es simétrica Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 73 / 120

Teoría de la Demanda Supuestos Asumimos consumidores poseen preferencias sobre canastas de bienes en el conjunto X con X R L + Relación de preferencias % % completas y transitivas X no esta acotado por arriba. Consumo de bienes en cantidades más grandes es siempre posible. Formalmente si x 2 X ^ y x ) y 2 X A los supuestos de completitud y transitividad, añadimos dos clases de supuestos adicionales sobre preferencias einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 74 / 120

Teoría de la Demanda II Supuestos de Deseabilidad Existen diversos supuestos de deseabilidad Monotonicidad Si x 2 X ^ y >> x ) y x Mejores De este modo, podríamos tener indiferencia ante un incremento en algunos de los bienes aunque no de todos Puede haber indiferencia en alguno de los bienes Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 75 / 120

Teoría de la Demanda III Supuestos de Deseabilidad II Monotonicidad fuerte Si x 2 X ^ y x ^ y 6= x ) y x Mejores Si se incremente la cantidad de al menos uno de los bienes y el resto no es menor, entonces esa canasta será preferida Esto implica que todos los bienes son bienes Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 76 / 120

Teoría de la Demanda IV Supuestos de Deseabilidad III No saciabilidad local si x 2 X ^ ε > 0 ) 9y 2 X tal que ky xk ε > 0 ^ y x Existe un y mejor Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 77 / 120

Teoría de la Demanda V Supuestos de Deseabilidad IV Se de ne como Conjunto de Indiferencia fy 2 X : y xg Conjunto al menos tan bueno como fy 2 X : y % xg No saciedad local Conjuntos de indiferencia no pueden ser super cies. Descarta la situación extrema donde todos los bienes son males todo el tiempo Aunque acepta que una canasta sea preferida a pesar de tener menos cantidad de bienes que la otra. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 78 / 120

Teoría de la Demanda VI Supuestos de Deseabilidad V Relación entre los supuestos Mejores Mejores Existe un y mejor Monótonas Monótonas Fuertemente No Saciedad Local Monotonicidad fuerte)monotonicidad)no saciabilidad local einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 79 / 120

Teoría de la Demanda VII Supuestos de Convexidad % muestra los trade o que el individuo esta dispuesto a hacer X debe ser convexo % es convexa en X si 8x 2 X ocurre que fy 2 X : y % xg es convexo Equivalentemente y % x ^ z % x ) αy + (1 α) z % x8α 2 [0, 1] La convexidad puede ser interpretada de dos modos: En términos de tasa marginal de sustitución no creciente. Cuanto mas tengo de un bien menos vale en términos relativos. En términos de gusto por la diversidad % es estrictamente convexa y % x ^ z % x ^ y 6= z ) αy + (1 α) z x8α 2 (0, 1) Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 80 / 120

Teoría de la Demanda VIII Existencia de una función de utilidad Recordando: existe función de utilidad ) % racionales. Recíproca no es necesariamente verdadera es decir: % racionales ;existe una función de utilidad que las representa Pueden existir preferencias racionales, estrictamente monótonas y estrictamente convexas y, aun así, no existir una función de utilidad racional Ejemplo preferencias lexicográ cas einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 81 / 120

Teoría de la Demanda IX Existencia de una función de utilidad II Preferencias lexicográ cas Sea X = R 2 +. Diremos que la relación de preferencias es lexicográ ca en caso de que: x % y, x 1 > y 1 _ [x 1 = y 1 ^ x 2 y 2 ] Se puede ver que son racionales, estrictamente monótonas y estrictamente convexas Las curvas de indiferencia son puntos No existe función de utilidad que las represente Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 82 / 120

Teoría de la Demanda X Existencia de una función de utilidad III Proof. 9U, 8x 1 9r (x 1 ) (racional) U(x 1, 2) > r(x 1 ) > U(x 1, 1) x 1 > x 0 1 ) r(x 1) > r(x 0 1 ) Para cada x 1 preciso un r(x 1 ) no hay tantos. De otra manera preciso un intervalo en los reales para cada real. Pero no hay tantos. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 83 / 120

Teoría de la Demanda XI Existencia de una función de utilidad IV Continuidad: No hay saltos en las preferencias si % racionales y continuas. Podemos asegurar existe una función de utilidad que la representa. % es continua en caso de que se preserven los límites. Es decir, para toda secuencia de pares f(x n, y n )g n=1 tal que x n % y n 8n ^ x = lím n! xn ^ y = lím y n n! Entonces x % y. De otra manera de de nir continuidad, está dada por, dado B(x) = fy 2 X : y % xg y W (x) = fy 2 X : x % yg son cerrados 8x 2 X. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 84 / 120

Teoría de la Demanda XII Existencia de una función de utilidad V % lexicográ cas no son continuas (si no estariamos en problemas) Supongamos que x n = 1 + n 1, 1 2 y y n = (1, 1). x n y n 8n. lím n! xn x = 1, 1 2 y lím y n y = (1, 1). n! y x. Teorema dice que % racionales y continuas ) existe una función de utilidad que las representa (al menos una es continua) Para la demostración, añadiremos que % estrictamente monótonas. Aunque este supuesto no es necesario, simpli ca la prueba Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 85 / 120

Teoría de la Demanda XIII Existencia de una función de utilidad VI Proof. Sea e = (1, 1,..., 1) y α 2 R + 8α 0 Sea B = fα 2 R + : αe % xg y W = fα 2 R + : x % αeg Dado % son continuas, B y W son cerrados. B [ W = R + (completitud) 0 2 W 8x 2 X debido a la monotonicidad) W 6= Si α es lo sifcientemente grande (mayor que el máximo de los componentes de x)α 2 B ) B 6= B \ W 6= ya que son dos conjuntos cerrados distintos del vacio y cubren conjuntamente R + que es conectado. α 2 B \ W ) αe s x einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 86 / 120

Teoría de la Demanda XIV Existencia de una función de utilidad VII Proof. #B \ W = 1 Si no. Entonces 9α 1, α 2 tal que α 1 6= α 2 y α 1, α 2 2 B \ W. α 1 e s x ^ α 2 e s x, de lo que se concluye que α 1 e s α 2 e. monotonicidad ) α 1 = α 2. Entonces existe un único escalar tal que αe s x De nimos U(x) = α x tal que α x e s x Es una función de utilidad ya que toma a cada x y le da un valor U(x) representa las preferencias α x α y, x % y Supongamos que α x α y (por monotonicidad) ) α x e % α y e. x s α x e ^ y s α y e, ) x % y Para el otro lado x % y ) x s α x e % y s α y e. por monotonicidad, tenemos que α x α y. Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 87 / 120

Teoría de la Demanda XV Existencia de una función de utilidad VIII No vamos a probar continuidad El que haya una continua no implica ni unicidad ni que todas las que la representan deban ser continuas % continuas no necesariamente son representadas por una función de utilidad diferenciable. Un ejemplo es el caso de las preferencias Leontief. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 88 / 120

Teoría de la Demanda XVI Propiedades de preferencias y funciones de utilidad Restricciones sobre % que se traducen en restricciones en la forma de la función de utilidad. Monotonicidad: implica que la función de utilidad es creciente Convexidad: implica que la función de utilidad es cuasicóncava Estricta convexidad: implica que la función de utilidad es estrictamente cuasicóncava Estas valen en todas las funciones de utilidad, son robustas a tranformaciones monotonas crecientes. Convexidad de las preferencias No implica concavidad de la función de utilidad. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 89 / 120

Teoría de la Demanda XVII Propiedades de preferencias y funciones de utilidad II A las % homotéticas y a las cuasilineales las podemos caracterizar por su de nición o si existe una función de utilidad con ciertas características Preferencias homotéticas: en caso de que x s y, αx s αy 8α 0.(pendiente curva de indiferencia (TMS) es constante en los rayos que parten del origen) Preferencias cuasilineales (respecto al bien 1): sea X = R R L + 1, se deben cumplir dos condiciones: si x s y ) (x + αe 1 ) s (y + αe 1 ) para e 1 = (1, 0,..., 0) ^ α 2 R el bien 1 es deseable: x + αe 1 x, 8α > 0 De esto, se derivan dos propiedades: % continua, monotona es homotética, existe una función de utilidad homogénea de grado uno que las representa. % continua, en R R L 1 es cuasilineal respecto a x 1, existe una función de utilidad que las representa de la forma x 1 + φ (x 2,..., x L ) Demostraremos solamente la primera relación einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 90 / 120

Teoría de la Demanda XVIII Propiedades de preferencias y funciones de utilidad III Proof. Si existe una función de utilidad homogénea de grado 1) Dado x s y ) u (x) = u (y) Entonces αu (x) = αu (y) ) u (αx) = u (αy) (por H 1 ) Entonces αx s αy. Ahora veamos el recíproco % homotéticas. Sabemos que 9u(x) tal que u (x) e s x tambien 9u (αx) tal que u (αx) e s αx. Por homoteticidad, sabemos que αu (x) e s αx pero tambien αx s u (αx) e. Entonces, αu (x) = u (αx) einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 91 / 120

Teoría de la Demanda XIX Propiedades de preferencias y funciones de utilidad IV Aca existe una función de utilidad que cumple con las propiedades Tambien existen mas pero No son todas Es distinto a las propiedades anteriores. Estas formas no son robustas a cualquier tranformación monótona creciente Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 92 / 120

Teoría de la Demanda XX El problema de Maximizacion de la utilidad (UMP) Dado X = R L + y % racionales, continuas y no saciadas localmente Sabemos que 9U continua que las representa Problema es elegir la canasta + preferida Sea p >> 0 ^ w > 0. El problema de maximización de la utilidad estará dada por: p x w max u (x) s.a. x 0 De nimos B p,w x 2 R L + : p x w Podemos reexpresarlo como: max u (x) s.a. x 2 B p,w Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 93 / 120

Teoría de la Demanda XXI El problema de Maximizacion de la utilidad (UMP) El problema tiene solución (Existencia de un máximo) p >> 0, w > 0 y U () es continua, el problema de maximización de utilidad posee al menos una solución Si p >> 0 y w > 0 acotado Dado U () es continua! B p,w es compacto, es decir, cerrado y Dado que toda función continua posee un máximo en un conjunto compacto tenemos el resultado Un ejemplo de cuando esto no se cumple es si tuvieramos: f (x) = x 1 con x 2 (0, 1) Esto ocurre tanto porque el conjunto es abierto, la función en 0 no está de nida Pero si la de nimos f (x) = x 1 con x 2 (0, 1] y f (0) = k.tampoco tiene un maximo. Esto se da porque f (x) no es continua. einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 94 / 120

Teoría de la Demanda XXII El problema (UMP) propiedades de x(p,w) La regla que asigna un conjunto de consumo óptimo para cada B p,w la denotaremos con x (p, w) y la llamaremos correspondencia de demanda walrasiana. En caso de que x (p, w) posea un único elemento, nos referiremos a ella como función de demanda walrasiana. X = R L + y % racionales, continuas y no saciadas localmente. Entonces x (p, w) cumple las siguientes propiedades Homogeneidad de grado cero: x (αp, αw) = x (p, w) 8α > 0 y p >> 0, w > 0 los problemas de maximización de utilidad para B p,w y B αp,αw son: max u (x) sa p x w max u (x) sa αp x αw Pero p x w, αp x αw o sea B p,w =B αp,αw Luego, las canastas factibles no varían y los dos problemas deben arrojar el mismo resultado. Estamos maximizando la misma función en el mismo conjunto Notar que no usamos ningún supuesto sobre la función de utilidad Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 95 / 120

Teoría de la Demanda XXIII El problema (UMP) propiedades de x(p,w) II Ley de Walras: p x (p, w) = w 8 (p, w) Si no fuera asi, 9 (p, w) tal que x 2 x (p, w) y p x < w. Por no saciedad, debe existir y lo su cientemente cercano a x tal que p y < w y cumple que y x. Pero entonces, x /2 x (p, w) lo cual era nuestro supuesto original. Convexidad: si % es convexa entonces x (p, w) es convexa Si existen x, x 0 2 x (p, w) sabemos que p x w y p x 0 w y u(x) = u(x 0 ) = u x 00 αx + (1 α) x 0 con α 2 [0, 1] queremos probar que x 00 2 x (p, w) u (x 00 ) u por convexidad % Además, p x 00 = p [αx + (1 α) x 0 ] ) p x 00 = αp x + (1 α) p x 0 w x 00 es alcanzable y ocurre que x 00 % x s x 0, por lo que x 00 2 x (p, w). einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 96 / 120

Teoría de la Demanda XXIV El problema (UMP) propiedades de x(p,w) III Si % estrictamente convexas #x (p, w) = 1 El argumento es similar a la demostración anterior La diferencia esta x 6= x 0, x 00 αx + (1 α) x 0 con α 2 (0, 1) entonces u (x 00 ) > u 8α 2 (0, 1). x 00 es alcanzable y ocurre que x 00 x s x 0. Esto contradice que x, x 0 sean canastas óptimas. % continuas, estrictamente convexas y localmente no saciadas entonces x (p, w), el cual es de por sí una función, es continua. % continuas,convexas y localmente no saciadas entonces x (p, w), es semicontinua por arriba einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 97 / 120

Teoría de la Demanda XXV El problema (UMP) condiciones de primer orden si agregamos u () es diferenciable, entonces x(p, w) puede ser caracterizadas a través de las condiciones de primer orden. Sea x 2 x (p, w) u(x ) x l λp l ^ x [ru (x ) λp] = 0 Lo cual implica que: x l = 0 _ u(x ) x l = λp l Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 98 / 120

Teoría de la Demanda XXVI Función de utilidad indirecta Cual es la máxima utilidad que se puede obtener en B p,w Sea v : p w! R y v (p, w) = u [x (p, w)] es la función de utilidad indirecta Propiedades de V (p, w) (dadas % no saciadas localmente) Homogeneidad de grado cero: v (p, w) = v (αp, αw) v (αp, αw ) = u [x (αp, αw )]. Pero x (p, w ) es homogénea de grado cero. Luego, u [x (αp, αw )] = u [x (p, w )] = v (p, w ). Estrictamente creciente en w: si w > w 0 ) v (p, w) > v (p, w 0 ) Sea w > w 0. Entonces, sabemos que B p,w 0 B p,w ) v (p, w ) v (p, w 0 ) no saciedad)walras x 2 x(p, w ) ) x /2 B p,w 0 ) v (p, w ) > v (p, w 0 ) No creciente en p l : p l < pl 0 con p j = pj 0 8j 6= l ) v (p, w) v (p 0, w) B p 0,w B p,w Observemos que no es decreciente ya que si 9x 2 x(p 0, w ) tal que x l = 0 entonces v (p 0, w ) = v (p, w ) Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 99 / 120

Teoría de la Demanda XXVII Función de utilidad indirecta II f(p, w) : v (p, w) vg es convexo 8v v (p, w) v ^ v (p 0, w 0 ) v (p 00, w 00 ) = (αp + (1 α) p 0, αw + (1 α) w 0 ) con α 2 [0, 1] queremos ver que v (p 00, w 00 ) v similarmente 8 x tal que p 00 x w 00, debe ocurrir que u (x) v p 00 x w 00 ) αp x + (1 α) p 0 x αw + (1 α) w 0 Entonces a) p x w _ b) p 0 x w 0 Si a) x 2 B p,w por lo que u (x) v (p, w) v Si b) x 2 B p 0,w 0, por lo que u (x) v (p0, w 0 ) v Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 100 / 120

Teoría de la Demanda XXVII El problema de minimización del gasto EMP min p x sa u (x) u x 0 Similarmente al UMP este problema tambien tiene de solución de manera general Llamaremos h (p, u) a las x que solucionan de este problema. La misma puede ser una correspondencia tal que h : p R! P(X ) e (p, u) a la función de gasto evaluada en la solución de este problema donde e : p R! R + y se encuentra de nida por e (p, u) p h (p, u) Weinschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 101 / 120

Teoría de la Demanda XXVIII Relación entre UMP y EMP Dos relaciones. Supondremos que u () es una función de utilidad continua que representa % no saciadas localmente. x es óptimo en el UMP cuando w > 0 entonces x es óptimo en el EMP cuando se encuentra sujeto a u u (x ). Además, e (p, u) = p x = w Si x maximiza la utilidad pero no minimiza gasto Tiene que 9 un x 0 tal que u (x 0 ) u (x ) y además p x 0 < p x w Ya que hay no saciedad local, 9 x 00 lo su cientemente cercano a x 0 tal que u (x 00 ) > u (x 0 ) y p x 00 < p x Esto implica que x 00 2 B p,w y u (x 00 ) > u (x ), lo cual contradice la optimalidad de x en UMP. Si x resuelve EMP, entonces e (p, u) = p x. Asimismo, debemos notar que x resuelve el UMP y, por ley de Walras, ocurre que p x = w. Luego, e (p, u) = w einschelbaum Universidad de San Andres () Microeconomía Avanzada Marzo 2013 102 / 120