Constante de un resorte Por Fernando Vega Salaanca El objetivo es encontrar experientalente la constante de un resorte, para lo cual ostraos varios procediientos..0 Con ayuda de la Ley de Hoo En este apartado utilizaos la Ley de Hoo. Suspendeos del resorte diversas asas y edios la elongación x del resorte. x = g () Representada de la siguiente anera se aprecia coo la ecuación de la recta Donde g es la pendiente. x = g () A continuación aparecen la tabla de datos y la gráfica x vs. Tabla ± % (g) x ± 0, (c) 30 00,4 00 4,8 300 6, 400 8, 00 0, 600,4 700 4,8 800 6,8 900 8,8 000,0 00,8 00 4,8 0 0 0 asa y = 0.00x + 0.4 0 00 400 600 800 000 00 400, g En todas las gráficas se expresa la ecuación para la curva de tendencia dadas por el coputador, pero no las utilizaos, sirve a anera de coparación. El érito de la práctica es hacer individualente el análisis.
La pendiente se puede hallar trazando una recta y hallando anualente la pendiente. En este ejeplo la calidad de los puntos ayudan. Sin ebargo usareos la función regresión lineal de un a calculador a científica coún. La regresión nos da la siguiente ecuación de una recta Con pendiente a = 0, 00. x = 0, 4 + 0, 00. (*) Asi que igualando la pendiente obtenida con la de la ecuación () teneos: g 977 = = 47700 = 47, 7. a 0, 00 c c ótese que heos estado usando 3 cifras significativas **. El valor de la gravedad para Bogotá es 9,77 /s (http://www.ptb.de/cartoweb3/sisproject.php). *Con la ecuación de la recta se puede dibujar sobre los puntos la recta teórica. **Efectivaente de () si toaos de la tabla una edida = 000 g y x =,0 0, c para calcular un resultado parcial obteneos de x = + x que Así que = 463. c 0, = 463 + 0, 0 = 908 900. c 3 cifras significativas = 46, ± 0,9.
. Análisis estadístico del error (análisis opcional) De teoría de errores se utilizan las siguientes expresiones para hallar la incertidubre en el resultado que acabaos de obtener, utilizando el étodo de ínios cuadrados. xy x xi x i X = Sx = yi x i Y = Sx = R a = b = Y a X S X X x y i i Rxy = X Y 3 a = S y a b = a S x + X S x < X> =60 < Y> =3.6 S x =966.6667 S y =0.8 R xy =446.666667 a =0.003469 b =0.444 a =0.000394396 b =0.906737 Resultados obtenidos para las expresiones de arriba con los datos de la tabla. ótese los valores de a y b que coinciden con los valores obtenidos. Ajustando las cifras significativas este es el resultado para la pendiente: ( 0, 00 0, 0004) g a = ± De la expresión a = a hallaos 0, 0004 = 47707 = 930 c 900 0, 00 Llegaos entonces a que nuestro resultado es: = ( 47,7 ± 0,9) c 0,9 00% =,8% 47,7
.0 Con ayuda del periodo En este apartado utilizaos la expresión para el periodo de una asa suspendida de un resorte. 4 T = π (3) Para reducir el error efectuaos 0 oscilaciones y registraos su tiepo t = 0 T. t = (4) Calculaos t y para utilizar en los siguientes nuerales. Tabla ± % ()g t ± 0, ()s t () s ( g) 00,9 66,4 600 4,3 04 4, 700, 3 6, 800 6, 6 8,3 900 7,3 99 30,0 000 8,6 346 3,6 00 9, 369 33, 00 0, 404 34,6 300, 44 36, 400,3 44 37,4 ótese que heos usado tres cifras significativas en las colunas calculadas.
. Usando la proporcionalidad de potencia Acoodaos la expresión (4) de tal anera que se nota de la fora n y = Cx que es una proporción de potencia, n t = tal que la constante () 40 π C =. (6) Graficaos t vs. Tenga en cuenta que la variable independiente es la asa y la variable dependeinte es el tiepo. 4 y = 0.79x 0.007 0 8 6 4 400 600 800 000 00 400 Con ayuda de la calculadora científica utilizaos la regresión de potencia y obteneos la parte constante C = 0,76 y el exponente n = 0,00. Despejaos de (6)., g = 4700 = 47,. C c Verificaos cuántas cifras significativas podeos usar. Usando el dato para la asa = 000 % g y t = 8,6 ± 0,s 40 40 000 = = = 498 ( π ) ( π ) t ( 8,6) 0, t = + = 498 0, 0+ = 70 700. t 8,6 = 4600 ± 700. Los ceros no son significativos. = 4,6 ± 0,7. c
. Usando la linealización del tiepo 6 Acoodaos la expresión (4) de tal anera que se nota de la fora y = a + bx que es una proporción lineal, para esto elevaos abos lados al cuadrado Llaando τ = t obteneos ( π ) 40 t = τ = ( ) Donde ahora claraente la constante de proporcionalidad (pendiente) es. b = ( ). (7) Graficaos t vs. 00 40 y = 0.3334x +.4 400 30 300 0 00 0 00 0 0 400 600 800 000 00 400 600, g Con ayuda de la calculadora científica usa do la regresión lineal obteneos la parte constante b = 0, 334. Despejaos de (7). ( π ) 40 = 473 = 47,. b c
.3 Usando la linealización de la asa 7 Acoodaos la expresión (4) de tal anera que se nota de la fora y = a + bx que es una proporción lineal, t = Llaando µ = obteneos t = µ Donde ahora claraente la constante de proporcionalidad (pendiente) es b = (8) Graficaos t vs. 4 y = 0.78x + 0.066 0 8 6 4 0 0.0.0 30.0 3.0 40.0, g Con ayuda de la calculadora científica usando la regresión lineal obteneos la parte constante b = 0, 79. Despejaos de (8). = 4706 = 47,. b c
3.0 Usando papel logarítico Con el uso del papel ilietrado se obtienen resultados rápidos y con el ínio de coputos, es una solución gráfica. Coo se encionó la ecuación (4) es tipo potencial. Si aplicaos logaritos obteneos Reeplazando Resulta ser la ecuación de la recta y = Ax log y = log A + B log x Y = log y; C = log A; X = log x. B. Y = C + BX. Ahora coparaos lo expuesto con la logaritización de (4) log t = log + n log (9) 8 (0) Se puede graficar log y vs log x y analizar la gráfica coo en los casos anteriores de linealización. Si en lugar de esto utilizaos directaente el papel logarítico, el papel linealiza por nosotros. A continuación teneos la gráfica hecha en coputador. 00 y = 0,79x 0,007 0 00 000 0000 En la siguiente página se uestra la gráfica que se debe obtener anualente en el papel logarítico. Se uestra el análisis gráfico y los resultados. (g)
9 0 9 8 7 6 4 3 Hallaos la pendiente log log, B = 0, log0 log 00 que corresponde aproxiadaente al exponente n = 0, 0 9 8 7 6 4 3 9 8 7 6 Si en la ecuación ( 9 ) haceos x =, obteneos directaente que y = A. Que es el intercepto. Intersepto A,7 Al coparar con la ecuación (0) A = 48 4 3 Este es el étodo ás ipreciso. Puede ser ás bien evaluativo. 0, 3 4 6 7 89 3 4 6 7 89 3 4 6 7 89 3 4 6 7 89 3 4 6 7 89 0, 0 00 000 (g)