Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 BOLILLA 9 Dinámica de fluidos Fluido: Se denomina así al sistema de partículas que a diferencia de los sólidos, no están unidas rígidamente y pueden moverse con una cierta libertad unas respecto de las otras. Esto le permite ceder a cualquier fuerza tendiente a alterar su forma, con lo que fluye adaptándose a la del recipiente. Esta designación engloba a la materia que se encuentra en los estados líquido y gaseoso. La diferencia entre el fluido líquido y el gaseoso radica en que las partículas que componen un líquido se encuentran más unidas que las de un gas; por esta razón, el volumen del líquido dentro de un recipiente, permanece constante con una superficie límite bien definida, mientras que el del gas no posee límite y se difunde en el aire disminuyendo su densidad. 1. Fluidos ideales La dinámica de fluidos trata del estudio de los fluidos en movimiento y constituye una de las ramas más complicadas de la mecánica, como puede comprobarse considerando ejemplos tan corrientes de movimiento de fluidos como un río desbordado o los remolinos del humo de un cigarro. Aunque sigue cumpliéndose la ecuación Fma en todo instante para cada gota de agua y cada partícula de humo, puede imaginarse la complicación que resultaría si tuviéramos que escribir las ecuaciones de movimiento de cada partícula. Sin embargo, el problema no es tan insoluble como parece a primera vista. Cuando se cumplen condiciones adecuadas, el movimiento de un fluido corresponde a un tipo relativamente sencillo, llamado currentilineo o estacionario. La figura 1 representa una porción de un tubo el cual un fluido se mueve de izquierda a derecha. Si el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por un punto tal como el a sigue exactamente la misma trayectoria que las partículas precedentes que pasaron por dicho punto. Estas trayectorias se llaman líneas de corriente, y en la figura se han representado tres de ellas. Si la sección transversal del tubo varía un punto a otro, la velocidad de cada partícula variará a lo largo de su línea de corriente; pero, en cualquier punto fijo del tubo, la velocidad de la partícula que pase por dicho punto es siempre la misma. Figura 1. Régimen estacionario La partícula que se encuentra ahora en a en la figura estará un momento mas tarde en b, moviéndose en dirección distinta con velocidad diferente, y en un momento posterior estará en c,
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 habiendo cambiado de nuevo su velocidad. Sin embargo, si fijamos nuestra atención en el punto b del espacio (al variar el tiempo), cada partícula que pase sucesivamente por b se moverá exactamente en la misma dirección y con igual velocidad que la que se encuentra ahora en dicho punto. Lo mismo pasara en a y c o en cualquier otro punto dentro del tubo. A causa de su viscosidad, cualquier fluido real tendrá una velocidad mayor en el centro del tubo que en las partes más alejadas de él. Por ahora suponemos que el fluido carece de viscosidad y que la velocidad es la misma en todos los puntos de una sección transversal. El movimiento de un fluido es del tipo estacionario siempre que la velocidad no sea demasiado grande, y los obstáculos, (estrechamientos, curvas del tubo, etc.) no sean tales que obliguen a las líneas de corriente cambiar su dirección bruscamente. Si no se cumplen estas condiciones, el movimiento es más complicado, llamado turbulento. El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: Fluido Ideal: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.-flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.. Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra. La figura representa un tubo por el cual circula un fluido de izquierda a derecha. Sea S 1 el área de la sección transversal en el punto (1) y v 1 la velocidad. Durante el tiempo t, las partículas del fluido que se encuentran inicialmente en (1) avanzarán una distancia v 1 t y atravesará la sección S 1 un volumen de fluido igual a S 1 v 1 t. El volumen de fluido que atraviesa por unidad de tiempo es, por tanto, igual a S 1 v 1. Análogamente, el volumen de fluido que atravesará por unidad de tiempo la sección S es S v. Si el fluido es incompresible, las cantidades que fluyen por unidad de tiempo a través de ambas secciones serán iguales y por lo tanto vale la siguiente expresión: Figura S 1 v 1 S v Sv constante
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 donde S y v son el área de la sección y la velocidad en cualquier punto. Esta es la ecuación de continuidad para el movimiento estacionario de un fluido incompresible. Una consecuencia de esta relación es que la velocidad aumenta cuando la sección transversal disminuye, y viceversa. Otra manera de ver esta ecuación es utilizando la definición de caudal: Vol Caud (volumen sobre tiempo) t Donde el Vol S.l, sustituyendo en la ecuación anterior l l Caud S., reagrupando, Caud S. t t Como, l/t v, y utilizando que Sv constante, nos queda que: Caud Sv constante 3. Ecuación de Bernoulli La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la correspondiente al teorema de Bernoulli, que relaciona la presión, velocidad y altura en los puntos situados a lo largo de una línea de corriente. La figura 3 representa una porción de tubo en el cual se mueve, con movimiento estacionario, un fluido incompresible y no viscoso. La parte del tubo representada en la figura tiene primero una zona de sección recta A 1, seguida de otra de sección recta decreciente, para terminar con una tercera de sección recta A menor que A 1. Fijemos la atención en la porción de fluido representada por las dos partes rayadas oblicua y horizontalmente (en lo sucesivo llamado el sistema), y consideremos el movimiento de este sistema desde la posición representada en (a) a la indicada en (b). Figura 3 En todos los puntos de la parte ancha del tubo, la presión es p 1 la velocidad v 1. En todos los puntos de la parte estrecha, la presión es p y la velocidad v. Cuando la parte izquierda del sistema avanza una distancia l 1 paralela a la fuerza exterior p 1 A 1, se deduce que:
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 Trabajo realizado por el sistema p 1 A 1 l 1 la parte de la derecha avanza una distancia l mientras actúa una fuerza exterior p A en sentido opuesto. Por consiguiente, Trabajo realizado por el sistema -p A l Para mover el sistema de la posición (a) a la (b), ha de realizarse un trabajo por un agente exterior (una bomba, en este caso) igual a Trabajo neto realizado sobre el sistema p 1 A 1 l 1 -p A l. Pero A 1 l 1 y Al son los volúmenes de las porciones rayadas oblicuamente, los cuales son iguales puesto que el fluido es incompresible. Si m es la masa de cada una de estas porciones y ρ la densidad del fluido, se tiene: y, finalmente, A 1 l 1 A l m/ρ Trabajo neto (p 1 - p ) m/ρ Puesto que la energía cinética de la porción rayada horizontalmente experimenta ningún cambio en el paso del sistema de (a) a (b), se deduce que el incremento total de energía cinética del sistema se reduce incremento de la energía cinética de las partes rayadas oblicuamente, o sea: Incremento de energía cinética 1/mv - 1/mv 1. En la figura, donde el tubo se supone horizontal, no hay variación de energía potencial gravitatoria. En general, la porción rayada oblicuamente en (b) tendrá una altura distinta de la correspondiente porción rayada de igual forma en (a), y, por tanto, Incremento de energía potencial gravitatoria mgy - mgy 1 siendo y e y 1 las respectivas alturas de las porciones rayadas oblicuamente por encima de un plano horizontal arbitrario de referencia. En rigor, hay siempre alguna resistencia al movimiento de un fluido por un tubo. Si el tubo es liso, de gran diámetro y pequeña longitud, y si el fluido tiene poca viscosidad y fluye lentamente, la resistencia de rozamiento puede ser lo suficientemente pequeña para considerarla despreciable. Supondremos por ahora que se cumplen estas condiciones. Igualando entonces el trabajo neto realizado sobre el sistema a la suma de los incrementos de sus energías cinética y potencial gravitatoria se obtiene: m ρ 1 1 ( p p ) ( mv mv ) ( mgy ) 1 1 mgy1
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 Dividiendo por mg y reagrupando términos, resulta: p1 v1 g y 1 p v g y y puesto que los subíndices 1 y se refieren a dos puntos cualesquiera situados a lo largo del tubo, podemos escribir: p v g y cte (*) o si multiplicamos por ρg nos queda: ρ. v p ρ. gy cte Cualquiera de las Ecs. puede considerarse como la forma especial del teorema de Bernoulli aplicable al movimiento estacionario sin rozamiento. Obsérvese atentamente que p es la presión absoluta (no manométrica) y ha de expresarse en kilogramos por metro cuadrado, newtons por metro cuadrado. La densidad ρ tiene que expresarse entonces en unidades de masa por volumen, kilogramos por metro cúbico, respectivamente. Hecho esto, cada término del teorema de Bernoulli (*) tiene la dimensión de una longitud, y se denomina altura. El término p/ρg se llama altura debida a la presión; v /g es la altura debida a la velocidad, e y, la altura de cota. 4. Aplicaciones del teorema de Bernoulli. 4.1 Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales del teorema de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en todos los puntos; p. ej., la variación de presión con la profundidad de un fluido incompresible puede encontrarse aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos 1 y de la figura 4 (izq). Tenemos: P Pa (atmosférica); v 1 v 0 Si las alturas se miden desde el fondo, como es frecuente, entonces: p 1 p y1 a y o bien: p p y y p g ( ) h 1 a 1 a ρ. 4. Teorema de Torricelli La figura 4 (der) representa un líquido que sale por un orificio practicado en un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie del líquido en el depósito. Tómese un punto 1 en el orificio y un punto en la superficie. La presión en ambos
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 puntos es la atmosférica, Pa, ya que los dos se encuentran en comunicación con la atmósfera. Tomemos como plano de referencia el fondo del depósito. Si el orificio es pequeño, el nivel del líquido en el depósito descenderá lentamente. Por consiguiente, v es pequeña y la supondremos nula. Figura 4 Entonces: o sea: p v g p a 1 y1 a 0 ( y y ) gh v g 1 1 y es el teorema de Torricelli. Obsérvese que la velocidad de salida es la misma que la que adquiriría un cuerpo que cayese libremente, partiendo del reposo, desde una altura h. Si A es el área de la abertura, el volumen de fluido que sale d depósito por unidad de tiempo es: A. v A. gh Comentario: a causa de la convergencia de las líneas de corriente cuando se aproximan al orificio, la sección transversal de la corriente toma un comportamiento particular, las figura 5 muestran 3 tipos de orificios de descarga de sección circular. Se observa que su área de salida en general es menor que el área del orificio. Y en la Ecuación debería utilizarse el área de la sección mínima, llamada sección contraída. Para una abertura circular de bordes finos, el área de la sección contraída es, aproximadamente, el 65% del área del orificio. Figura 5
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 4.3 Contador de Venturi. Representado en la figura 6, consiste en un estrechamiento producido en un tubo y proyectado de forma que mediante una disminución gradual de la sección en la entrada, y un aumento también gradual en la salida, se evite la producción de remolinos y quede asegurado un régimen estacionario. Figura 6 El teorema de Bernoulli, aplicado a la parte ancha y al estrechamiento del tubo, da: p 1 1 1 ρ v1 p ρ.. v (el término que contiene y desaparece si el tubo es horizontal). Puesto que v es mayor que v 1, se deduce que p es menor que p 1. Esto es, la presión en el estrechamiento es menor que en el resto del tubo. La diferencia de presiones puede medirse disponiendo lateralmente tubos verticales, como indica la figura. Si h es diferencia de alturas del líquido en los tubos, se tiene: p 1 - p ρgh La disminución de presión en un estrechamiento encuentra muchas aplicaciones técnicas. El vapor de la nafta penetra en el tubo de aspiración de un motor de explosión por la baja presión producida en un tubo de Venturi al cual está conectado el carburador. La trompa de vacío es un tubo de Venturi a través del cual se obliga a pasar el agua, el aire penetra en la región contraída, que es donde el agua tiene menor presión. La bomba de inyección usada por las locomotoras de vapor para hacer penetrar el agua desde el ténder se basa en el mismo principio. Con frecuencia en los tubos de Venturi como el que se muestra en la figura 4, se emplea como se ha señalado para medir la velocidad o el caudal en una tubería. Si se combinan las ecuaciones de continuidad (V 1 A 1 V A ) y la de Bernoulli para encontrar la velocidad en la garganta, se tiene que: V ( p1 ρ 1 p) A A1 ó V ( p1 p) d ρ 1 D 4 Donde d es el diámetro e la sección contraída A y D es el diámetro de A 1
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 4.4 Tubo de Pitot. Figura 7 - Ejemplos de Tubos de Venturi En la figura 7 se ha representado un tubo de Pitot tal como se dispondría para medir la velocidad de un gas en un tubo. Un tubo manométrico abierto se conecta, como indica la figura, al tubo dentro del cual circula el gas. La presión en la rama izquierda del manómetro, cuya abertura es paralela a la dirección del movimiento del gas, es igual a la presión de la corriente gaseosa. La presión en la rama derecha, cuya abertura es perpendicular a la corriente, puede calcularse aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos a y b. Sea v la velocidad de la corriente, p la densidad del gas y P a la presión en el punto a. Naturalmente, la velocidad en el punto b es nula. Entonces: 1.v p p ρ b a Puesto que P b es mayor que P a, el líquido del manómetro se desplaza como indica la figura 7. Si ρ o es la densidad del líquido del manómetro y h la diferencia de alturas del líquido en sus ramas, tenemos: p p ρ gh Si esta ecuación se combina con la anterior, resulta: b a o gh p o 1 ρ.v de la cual puede deducirse v en función de magnitudes medibles.
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 Figura 8 Tubo de pitot El orificio del tubo de Pitot toma la presión total y la conduce a la conexión (a) en la sonda de presión. La presión estática pura se toma desde una parte lateral y se conduce a la conexión (b). La presión diferencial resultante es una presión dinámica que depende de la velocidad y que es analizada e indicada. Figura 9 - Anemómetro de Pitot con veleta Considerando la Viscosidad: 5. Regímenes laminar y turbulento. En la deducción del teorema de Bernoulli y de la ecuación de continuidad, se ha despreciado el efecto de la viscosidad. Figura 10. (a) Perfil de velocidad plano. (b) Régimen laminar. (e) Régimen turbulento. En consecuencia, las velocidades de todas las partículas de fluido situadas en una sección de un tubo eran iguales y el fluido avanzaba en conjunto por el tubo. En la figura 8 se representan, en
Facultad de Ciencias Curso de Introducción a la Meteorología 011 un instante determinado, los vectores velocidad de cierto número de partículas de fluido que se encuentran en una sección del tubo, cuando el fluido carece de viscosidad. La superficie determinada por los extremos de estos vectores es un plano, y se dice que el movimiento del fluido está caracterizado por un perfil plano de velocidad. Cuando el fluido es viscoso y la velocidad no demasiado grande, el movimiento será laminar y el perfil de velocidad tiene la forma representada en la figura 8 (b). La velocidad es máxima sobre el eje del tubo y disminuye hasta anularse en la pared. Hay, por tanto, una capa fina de fluido denominada capa limite. El movimiento laminar del fluido es análogo al de varios tubos de anteojo que deslizan uno respecto al otro, de los cuales el central es el que avanza más rápidamente, mientras que el exterior permanece en reposo. Cuando la velocidad excede de un cierto valor crítico, la naturaleza del movimiento se hace mucho más complicada. Se producen, al azar en el fluido corrientes locales e irregulares, denominadas vórtices o torbellinos, que originan un gran aumento de la resistencia al movimiento. Sin embargo, en cada punto de una sección transversal el fluido tiene una componente de velocidad hacia adelante, y el perfil de velocidad de estas componentes tiene la forma representada en la figura 8 (c). Un régimen de esta clase se denomina turbulento. 6. Número de Reynolds. La experiencia indica que hay una combinación de cuatro factores que determina cuándo el régimen de un fluido viscoso a través de un tubo es laminar o turbulento. Esta combinación se denomina número de Reynolds (Re) y se define mediante la expresión ρ. vd R e η Donde ρ es la densidad del fluido; v su velocidad media; η el coeficiente de viscosidad, y D, el diámetro del tubo. (La velocidad real no es misma en toda la sección del tubo, y la velocidad media se define como la velocidad uniforme que resultaría para la misma salida de líquido por unidad de tiempo) El número de Reynolds es un número abstracto, y, por tanto, su valor numérico es el mismo en cualquier sistema coherente de unidades: p. ej., para el agua a 0 C circulando por un tubo de 1 cm de diámetro, con una velocidad de 10 cm/seg, el número de Reynolds es igual a 1000. Todos los experimentos demuestran que cuando el número de Reynolds se encuentra entre 0 y 000 el régimen de un fluido viscoso es laminar, mientras que por encima de 3000 el régimen es turbulento. Entre los 000 y 3000 hay una zona de transición en el cual el régimen es inestable y puede pasar de un tipo a otro.