CONJUNTOS Y APLICACIONES CONCEPTOS BÁSICOS: DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos. n dos conjuntos, entonces se dice que es un subconjunto de, se escribe, si para todo elemento de se tiene que dicho elemento pertenece a. Matematicamente : OBSERVACIÓN: Si, son conjuntos, ; entonces se verifica que DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos son iguales si. OBSERVACIÓN: Si esta incluido en, pero no es igual a, lo escribiremos un conjunto. Se define el complementario en, lo representaremos como al conjunto : OBSERVACIÓN: DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de en, don de es un conjunto. Se representa por : 1
OBSERVACIÓN: es un subconjunto de cualquier conjunto es único. Es el mismo para todo conjunto un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de, es representa por :, como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de. Ha como mínimo dos, OBSERVACIÓN: es el número de elementos de es la cantidad de algo. n dos conjuntos. Se define El producto cartesiano de, se representa como, al conjunto : La intersección de, que se representa como, al conjunto La unión de, que se escribe como, al conjunto: OBSERVACIÓN: PROPIEDADES: Sea un conjunto, 2
subconjuntos de. Se verifica que: CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES: n dos conjuntos, entonces se dice que es un grafo de en si está incluido en, si. Se dice entonces que es una correspondencia de en, siendo el conjunto de salida el conjunto de llegada Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de. Nos indica como se relacionan los conjuntos mediante la correspondencia. una correspondencia. Se llama conjunto de definición de, se representa por, al conjunto. Si además 3
, entonces: EJEMPLO:, un conjunto; entonces una relación binaria en es una correspondencia de en OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria, entonces se escribe: DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto en el conjunto es una correspondencia OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe: una aplicación; entonces se dice que: Es inectiva si a elementos distintos, imágenes distintas: 4
Es supraectiva si todo elemento de es imagen de uno de : Es biectiva si es supraectiva e inectiva a la vez. una aplicación; entonces se define la función inversa de, se representada por, como la aplicación : OBSERVACIÓN: Claramente pertenece a las funciones un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, se representa por, como la aplicación: TEOREMA(de la biección): Si es biectiva, existe una función tal que: Es decir : Demostración: biectiva 5
biectiva inectiva, supraectiva inectiva Supongamos que Luego es inectiva supraectiva EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biectiva Es inectiva Sean 6
, Falso, luego es inectiva Es supraectiva Luego es supraectiva Por tanto es biectiva RELACIONES DE EQUIVALENCIA: un conjunto una relación binaria tal que: Entonces a se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento, se representa por o al conjunto : Al elemento se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de ( ). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, se representa por ( modificado por la relación ), al conjunto de las clases de equivalencia EJEMPLO: 7
Sean,,. es relación de equivalencia Sea Si, pues luego Sean Si, pues luego Sean Si, pues ;, luego: luego Por cumplirse las tres condiciones, es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es: Obsérvese que no se construa la clase de equivalencia del elemento, por coincidir con la del cero. 8
A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo. Se suele escribir : En el caso particular de : PROPOSICIÓN: Sea una relación de equivalencia en. Entonces:, pues Si, entonces, pues si Si, entonces : Sea Sea Luego Si, entonces : Supongamos, lo que es falso n dos conjuntos, una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA APLICACIÓN como la siguiente relación binaria: 9
Por tanto su conjunto cociente viene dado por: DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN: TEOREMA: Sean dos conjuntos, una aplicación cualquiera. Entonces se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones: Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, en su caso las características particulares: Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia. es aplicación, pues es supraectiva: Sea Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen. es aplicación, pues es inectiva: Sean 10
Si, pues es supraectiva: Sean es biectiva es claramente una aplicación inectiva. Sea, Luego la descomposición canónica es valida. EJEMPLO: Por tanto ALGEBRA DE BOOLE: un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(le de composición interna) a toda aplicación de en 11
DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna, donde son operaciones binarias en si se verifica: (Conmutatividad) (Asociatividad) (Distributividad) (Idempotencia) ( ) ( ) ( es el complementario de ) (Lees de Morgan (Involución) RELACIONES DE ORDEN:, una relación binaria en. Entonces se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:, una relación de preorden. Entonces se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que: 12
OBSERVACIÓN: Si es una relación de orden, se suele escribir o Al par se le llama conjunto ordenado., una relación de orden. Entonces se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que: En tal caso al par se la llama conjunto totalmente ordenado. Analogamente, si no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, al par se le llama conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO: Sea Es de orden Es sde orden total Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:. Si, pues,, luego Luego Por tanto 13
es de preorden Comprobamos ahora si es de orden total Por tanto es de orden Comprobamos ahora si es de orden total,, Por tanto es de orden parcial EJEMPLO: Sea Es de orden Es de orden total Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:. Si, pues,, luego 14
Luego Por tanto es de preorden Comprobamos ahora si es de orden total Luego Por tanto es de orden Comprobamos ahora si es de orden total Por tanto es de orden total ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO: un conjunto ordenado,. Entonces se dice que: es un máximo de si es un mínimo de si es una cota superior de si (Se dice que 15
está acotado superiormente) Análogo para cotas inferiores El supremo de, si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de Análogo para ínfimo. es minimal de si Análogo para maximal. OBSERVACIÓN: Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo. Si existe máximo, entonces existe un único maximal coincide con el máximo. Análogo para el mínimo minimal. significa que tan solo existe uno. Es decir, arb si a es el resto de dividir b entre m Todo elemento tiene imagen, la imagen de un elemento es única 16