Cinemática en 1D Área Física Resultados de aprendizaje Aprender a utilizar las ecuaciones cinemáticas en una dimensión. Relacionar las ecuaciones con situaciones reales. Contenidos 1. Introducción teórica. 2. Ejercicios resueltos. Debo saber Antes de empezar a ver los ejercicios resueltos: La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento relativo de las partículas. Llamaremos partícula a un punto matemático que no tiene extensión espacial (es decir, que no tiene tamaño) y que solo puede experimentar movimiento de traslación. Se dice que una partícula está en movimiento si su posición cambia con respecto del tiempo. En la siguiente figura se muestra una partícula que viaja desde el punto A hasta B en la dirección X (movimiento en una dimensión). Velocidad Figura 1. Partícula que viaja desde el punto A hasta el punto B. Consideremos la partícula de la Fig.1 que se mueve a lo largo del eje, desde una posición inicial hasta en un tiempo. La velocidad media (promedio) de la partícula está definida por: (1) Primera Edición - 2016 1
Donde es el desplazamiento de la partícula en un tiempo. Para determinar la velocidad instantánea de la partícula en algún punto vamos a hacer el intervalo de tiempo muy pequeño, entonces: (2) Aceleración En general, la velocidad de una partícula es una función con respecto al tiempo. Si la velocidad de dicha partícula se mantiene constante, entonces se dice que el movimiento es uniforme. Supongamos que la partícula se mueve desde el punto A con una velocidad inicial hasta el punto B llegando con velocidad final en un intervalo de tiempo (Fig.1), la aceleración promedio está definida por: Donde es la variación de velocidad en un tiempo. Para determinar la aceleración instantánea de la partícula en algún punto vamos a hacer el intervalo de tiempo muy pequeño, entonces: Hay que hacer notar que la aceleración indica que tan rápido cambia la velocidad, mientras la velocidad indica que tan rápido cambia de posición la partícula. Movimiento con aceleración constante Cuando una partícula se mueve con aceleración constante, entonces las aceleraciones promedio e instantánea son iguales. A continuación se utilizarán las definiciones de velocidad media (Ec.1) y aceleración media (Ec.2) para determinar ecuaciones que describen el movimiento de una partícula que se mueve con aceleración constante. Para simplificar la notación, se toma el tiempo inicial y el tiempo final, además la posición y la velocidad en el tiempo quedan expresados como y respectivamente. Entonces se puede escribir: (1.1) Primera Edición - 2016 2
(2.1) Si despejamos de la ecuación (2.1) obtendremos la velocidad en función del tiempo. (3) Luego de la ecuación (1.1) al despejar obtendremos: Puesto que la velocidad aumenta a una tasa uniforme, podemos escribir la velocidad promedio de la siguiente manera: (4) Si se combinan las dos últimas ecuaciones con la Ec.3 obtendremos: ( ) ( ) (5) Además si la despejamos en la Ec.3 tenemos, y lo reemplazamos en la Ec.5 tenemos: ( ) ( ) ( ) (6) Ahora tenemos las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) que relacionan posición, velocidad, aceleración y tiempo, con las cuales se puede describir cualquier movimiento con aceleración constante. Primera Edición - 2016 3
Ejercicio 1 Cuál es el desplazamiento de un auto que acelera desde 5 a 10 en 2? R: Primero determinaremos la aceleración del auto. Ahora encontraremos el desplazamiento a los 2 : Ejercicio 2 Un perro corre 120 alejándose de su dueño en línea recta en 8,4 y luego corre de regreso la mitad de esa distancia en una tercera parte de ese tiempo. Calcule: a) Su rapidez promedio. b) Su velocidad promedio. R: La distancia recorrida,, y el desplazamiento,, son respectivamente: Además el tiempo,, es, entonces: (a) Rapidez promedio: (b) Velocidad promedio: Ejercicio 3 Una bola de bolos que rueda con rapidez constante golpea los pinos al final de la mesa de 16,5 de longitud. El jugador escucha el sonido de la bola que golpea los pinos 2,5 después de que lanza. Cuál es la rapidez de la bola, suponiendo que la rapidez del sonido es 340? R: Primero calculamos el tiempo que demora el sonido en llegar hasta el jugador: Primera Edición - 2016 4
Ahora podemos determinar el tiempo de viaje de la bola: Luego determinamos la rapidez de la bola: Ejercicio 4 Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición como función del tiempo está dada por la ecuación, donde está dado en segundos y está en metros. a) Cuál es la velocidad de la partícula al cabo de 1,5? b) En qué tiempo la velocidad de la partícula será 50? c) Cuál es la aceleración de la partícula como función del tiempo? R: Como la velocidad es la derivada con respecto al tiempo, entonces: (a) Reemplazando el tiempo, tenemos: (b) Al despejar, tenemos: (c) Como la aceleración es la derivada con respecto al tiempo de la velocidad, entonces: Por lo tanto la aceleración es constante en el tiempo. Primera Edición - 2016 5
Ejercicio 5 Un conductor distraído viaja con una velocidad de 18 [ ] cuando se da cuenta de que adelante hay una luz roja. Su automóvil es capaz de desacelerar a razón de 3,65 [ ]. Si le toma 0,2 aplicar los frenos y está a 20 de la intersección cuando ve la luz, será capaz de detenerse a tiempo? R: Primero calcularemos la distancia que recorre el camión en el tiempo de reacción del conductor: Es decir, sigue avanzando 3,6 antes de empezar a frenar. Ahora calcularemos la distancia a la que se detendrá mientras frena (se detiene cuando ): Finalmente, como se encuentra a solo 16,4 de la luz roja, no alcanza a detenerse a tiempo. Ejercicio 6 Suponga un vehículo que se aproxima a un cruce, cuando de repente el semáforo enciende la luz amarilla. La velocidad del móvil en ese momento es de 55 [ 5,15 [ ] y su mejor desaceleración es de ]. Si su reacción para pisar el freno tiene una duración de 0,75, cuál sería la mejor opción para evitar un accidente antes de que el semáforo encienda la luz roja, en el caso de que la distancia restante al cruce y la duración de la luz amarilla fuera: a) 40 y 2,8, frenar o continuar a 55? b) 32 y 1,8, frenar o continuar a 55? R: Lo primero es convertir la velocidad, para trabajar en las mismas unidades: Existen dos posibles casos: i) El conductor alcanza la intersección con velocidad constante. Donde es la posición inicial, que establecemos en el origen (o sea ), y la velocidad inicial que es constante. Primera Edición - 2016 6
ii) Durante el tiempo de reacción el vehículo se mueve a velocidad constante: Al final de la desaceleración, la velocidad será cero, por lo tanto, el tiempo que se demoró en frenar será: Durante este tiempo la posición del móvil es: Ahora analizamos los dos casos: (a) Como en 2,6 logra cruzar, es mejor seguir con velocidad constante. (b) Como en 2,1 el semáforo ya cambió a luz roja, entonces será mejor que el conductor frene. Pero la distancia de frenado es de 34,4, distancia mayor que 32, o sea, no logrará frenar en la distancia adecuada. Nota: Si en este caso, el conductor acelera, es posible que pase a tiempo la intersección. Ejercicio 7 Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, la cual alcanza su altura máxima a los 2 segundos después de haber sido lanzada. Luego comienza su descenso hasta golpear el suelo 8 segundos después de haber sido lanzada. Encuentre: a) La velocidad con la cual la piedra fue lanzada. b) La máxima altura que alcanza la piedra sobre la azotea. c) La altura del edificio R: Consideraremos la altura inicial (altura del edificio) y la velocidad inicial con la que fue lanzada la piedra. Primera Edición - 2016 7
(a) En la altura máxima la velocidad de la piedra es cero, entonces: (b) A partir de la velocidad inicial, podemos determinar la altura máxima sobre la azotea ( ) transcurridos los 2. (c) Sabemos que a los 8 la piedra golpea el suelo, por lo que en este momento su posición. Ejercicio 8 Un jugador atrapa una pelota 3,2 después de lanzarla verticalmente hacia arriba. Con qué velocidad la lanzó y qué altura alcanzó la pelota? R: Se define la dirección positiva hacia arriba, y se toma la altura inicial, además como la pelota vuelve a la mano del jugador, entonces la altura final será. La aceleración tomará el valor de [ ], entonces: Calculamos la velocidad inicial con que se lanza la pelota: Ahora calculamos la altura máxima de la pelota, donde la velocidad final la expresión:, entonces, usando Primera Edición - 2016 8
Ejercicio 9 Se deja caer una pelota desde la parte superior de un acantilado de 50 de altura. Al mismo tiempo, se lanza una piedra cuidadosamente dirigida directo hacia arriba desde la parte inferior del acantilado con rapidez de 24 [ determine a que altura sobre el acantilado ocurre la colisión. ]. Considerando que la piedra y la pelota chocan en algún punto, R: Se define la dirección positiva hacia arriba como se muestra en la Fig.2. Figura 2. Sistema del ejercicio 9. Las ecuaciones que representan la altura de la pelota y la piedra en función del tiempo son: Puesto que los objetos colisionan a la misma altura, entonces: Primera Edición - 2016 9
Como ya tenemos el tiempo en que se produce el impacto, reemplazamos en la ecuación de para saber la altura en la cual ocurre la colisión. Ejercicio 10 Calcule el tiempo en el que un atleta permanece en el aire cuando salta una distancia vertical de 0,9. Considere la aceleración de gravedad como. R: Consideramos la velocidad inicial y la posición inicial. Como la velocidad en la altura máxima es cero, entonces: Si reemplazamos en la ecuación de itinerario obtenemos: Pero como el tiempo que permanece en el aire es el doble, debido a que tiene que bajar, entonces Responsables académicos Corregida Editorial PAIEP. Si encuentra algún error favor comunicarse a ciencias.paiep@usach.cl Primera Edición - 2016 10