Sistemas de ecuaciones lineales en un centro TIC bilingüe (Inglés). Introducción Un punto clave en la enseñanza de las Matemáticas en un curso bilingüe, en inglés por ejemplo, es el de escoger qué contenidos del currículo son los más idóneos para estudiarlos en la lengua extranjera, en qué momento es más oportuno el trabajo de tales contenidos (en el de la introducción de nuevos conceptos, en la fase de realización ejercicios de desarrollo, en el tiempo dedicado al repaso y refuerzo de contenidos, etc.), qué enfoque metodológico se le va a dar y de qué recursos nos vamos a servir. En el caso del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, bien en 2º de ESO o bien en 3º de ESO, nuestra elección ha sido la de introducir por vez primera a nuestros alumnos en la resolución gráfica de los mismos a través de una serie de actividades con el programa wxmaxima, y ello porque: - Para potenciar la confianza en la propia evolución del aprendizaje que van realizando nuestros alumnos es necesario introducir procedimientos no vistos con anterioridad en la lengua materna. - Es una parte del tema que presenta menos dificultades de comprensión que otras. - El trabajo con gráficos y con el ordenador le confiere cierto atractivo a esta parte del tema y permite la asimilación conceptual prescindiendo de los trabajos de cálculo. Objetivos. Competencias básicas. Educación en valores. OBJETIVOS - Interpretar y resolver sistemas de ecuaciones lineales gráficamente. - Utilizar un programa de cálculo simbólico y de representación de funciones para resolver sistemas de ecuaciones lineales. - Conocer el vocabulario específico de los sistemas de ecuaciones lineales en inglés. - Asimilar un vocabulario esencial básico en inglés para el manejo de un programa. COMPETENCIAS BÁSICAS 1
a) Competencia en comunicación lingüística: - Adquisición la terminología básica empleada para describir y clasificar los distintos tipos de sistemas, tanto en español como en inglés. - Adquisición de un vocabulario básico informático que permita entender mensajes informáticos generales, tanto en español como en inglés. - b) Competencia de razonamiento matemático: - Clasificar distintos tipos de sistemas de ecuaciones haciendo uso de procedimientos gráficos. c) Competencia digital y tratamiento de la información: - Usar software de cálculo simbólico como ayuda en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y para representarlos gráficamente. d) Competencia para aprender a aprender. - Plantear nuevos sistemas de ecuaciones para resolverlos con ayuda del ordenador y con ello afianzar los conocimientos adquiridos sin necesidad de emplear gran cantidad de tiempo en los cálculos. e) Competencia para la autonomía e iniciativa personal - Ser capaz de leer un texto de forma comprensiva y seguir sus indicaciones para realizar con éxito una serie de procedimientos matemáticos e informáticos. EDUCACIÓN EN VALORES a) El fortalecimiento del respeto de los derechos humanos y de las libertades fundamentales se desarrollará valorando los siguientes aspectos: - Realización de las actividades en parejas, mostrando actitudes de colaboración y respeto a las opiniones y propuestas ajenas. - Al usar software libre en el aula estaremos fomentando valores como la solidaridad en el uso del conocimiento y valorando la libertad implícita que conlleva usar un software que puede modificarse y mejorarse libremente. b) La educación para el consumo se ve reforzada sin más que hacer patente a nuestros alumnos lo absurdo que es tener que pagar por algo (software privativo) cuando se puede tener gratis (software libre) c) La valoración del impulso de la sociedad del conocimiento y, en particular, la apuesta por la introducción de las TIC en el ámbito educativo en Andalucía queda reforzada al hacer que nuestros alumnos trabajen con Guadalinex, una plataforma que en gran medida ha sido desarrollada en Andalucía. El programa wxmaxima en un centro TIC Existen en el mercado excelentes programas de cálculo simbólico y representación de funciones, de entre los cuales Derive sea quizás el más conocido. Algunos programas comerciales de este tipo han presentado versiones reducidas pero excelentes para su uso en centros escolares que usen ciertos libros de texto con los que han suscrito un acuerdo de uso. En un centro TIC en el que no se quiera renunciar a escoger el libro de texto que parezca más idóneo, y en el que precisamos poder disfrutar de cuantas licencias de uso requiramos, se impone por razones económicas escoger un programa de software libre. Pero incluso si quisiéramos (y pudiéramos) dejar a un lado esta limitación económica, abogamos por transmitir a nuestros 2
alumnos la filosofía del sofware libre lo que al fin y al cabo es intentar ganarlos para una causa justa: que el conocimiento, en este caso informático, esté disponible en la formación de los jóvenes con independencia de sus condiciones económicas o de la parte del mundo en que por suerte les haya tocado vivir. Por otro lado teníamos que buscar un programa de software libre que tuviese una versión para Guadalinex, el sistema operativo Linux con el que trabajan los ordenadores de los centros TIC en Andalucía. Y pidiéndole algo más al programa, y teniendo presente que la mayoría de nuestros alumnos disponen de un ordenador personal en casa con el sistema operativo Windows, debíamos encontrar un programa que tuviese una versión para Guadalinex y otra versión de semejantes características para Windows. El programa de software libre wxmaxima con licencia GNU-GPL cumple las especificaciones anteriores, tiene un entorno gráfico amable y resulta ser además un potente programa de cálculo simbólico que puede acompañar a nuestros alumnos en contenidos y cursos de matemáticas bastante avanzados. Para utilizar este programa lo configuraremos previamente para que la lengua en la que aparecen todos los menús e instrucciones sea la inglesa. Para su uso más avanzado recomendamos el siguiente manual que puede localizarse fácilmente por Internet: J. Rafael Rodríguez Galván, J. Rafael.(2007). Maxima con wxmaxima:software libre en el aula de matemáticas. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Cádiz. Oficina de Software Libre de la Universidad de Cádiz ACTIVIDADES EN INGLÉS USANDO WXMAXIMA Los alumnos realizarán las siguientes actividades con wxmaxima por parejas en cada ordenador, simplemente siguiendo las instrucciones que se dan. 1.- SYSTEMS WITH UNIQUE SOLUTION. We are going to use wxmaxima to solve linear equations systems and to draw the associated straight lines onto a coordinate plane as a graphing method to find the solution of the system. Let s begin with this determined compatible system: x 2y = - 4 3x + 2y = 12 STEPS: a) In the menu bar display the pull-down option Equations and select the option Solve linear system... 3
b) Then a dialogue box appears asking you to put the Number of equations ; in the white field put number 2 and click on the OK button. c) A new dialogue box appears. Write the first equation of the system in the white field with label Equation 1 using * to multiply, write the second equation of the system in the white field with label Equation 2, and finally write x,y in the white field with label Variables to indicate the names of the variables of your system. Click on the OK button. d)the solution of the system (x=2 and y=3) will appear on the screen in the form you can see in the image below: 4
e) Each linear equation of the system determines a straight line in the xy-plane. As you already know when the two equations are consistent there is a unique solution ( one value for variable x and another value for variable y), and this unique solution is the intersection of the two straight lines. Let s now get the graph of this linear system. To represent the first equation as a straight line start solving the first equation for y in terms of x. To do that, display the pull-down option Equations in the menu bar and select the option Solve. In the dialogue box that appears write the first equation in field Solve equation(s) and write y in the field for variable(s) because we want to solve the first equation for y in terms of x. 5
In this way we obtain the linear function related to the first equation: Y = (x+4)/2 as you can see in the image below: Then we do the same for the second equation to obtain the function related to the second equation: y= -(3x-12)/2 6
f) Then in the menu bar display the pull-down option Plotting and select the option Plot 2D. In the dialogue box that appears: - In field Expression(s) write the two expressions you found in step e) separated by, and using * as the multiplication sign. - In fields Variable x from and Variable y from you can choose for example the range -10 to 10. - In field Ticks you can leave number 10. - Click the drop down Format to choose the alternative gnuplot. - Click the drop down Options to choose the alternative set zeroaxis; - Click on the button OK. 7
A new window will be opened and will show you the graph of the system. 8
The intersection point of the two straight lines is the unique solution of this system. You can put the cursor above this intersection point to get the coordinates of the solution writen in the left corner of the graph. 2.- UNSOLVABLE (OR INCOMPATIBLE) SYSTEMS. As you already know there are systems which haven t a solution: they are called unsolvable systems or incompatible systems, and their equations are inconsistent. Let s use wxmaxima to find out that the following system is unsolvable: x 2y = - 4 2x - 4y = 5 STEPS: a) Following steps a) d) of activity 1 we get the following result on screen: 9
Thus, there is no solution, the system is incompatible. b) To represent the graph of this system we do what we did in steps e) and f) of activity 1.As the system has no solution, there is no intersection point either. So the straight lines must be parallel, as shown in the graph below: 10
3.- UNDETERMINED SYSTEMS. As you know undetermined systems are those systems that have infinite solutions: for each given value of y there is a value of x satisfying that (x,y) is a solution of the system. Let s solve the following system using wxmaxima: x 2y = - 4 2x - 4y = - 8 STEPS: a) Following steps a) d) of activity 1 we get the following result on screen: which tell us the system is undetermined and the equations are dependent. If you give any value to variable y (that s what means y=%r1) if you give variable x the value 2%r1-4 you will have a solution of the system. So, you have infinite solutions for this system. b) To represent the graph of this system we do what we did in steps e) and f) of activity 1. In this case both straight lines are the same, as shown in the graph below: 11
Finally we recommend you to invent your own linear systems, trying to imagine the position of the straight lines before solving then with the computer. 12