Función Cuadrática *

Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática. Las funciones cuadráticas, a diferencia de las funciones lineales, son funciones en las que aparece la variable independiente (x) elevada al cuadrado, de ahí el calificativo cuadrática. La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola. Dependiendo de los valores que puedan tomar a, b y c, la función cuadrática puede variar su forma: Cuando b = 0 y c = 0, la forma de la función es y = ax 2 Cuando solo b = 0, la forma de la función es y = ax 2 + c Cuando solo c = 0, la forma de la función es y = ax 2 + bx Recuerde que la gráfica de la función f : R R, f(x) = x 2 es: Figura 1: Gráfica de f(x) = x 2 Sea g : R R, g(x) = ax 2 + bx + c una función cuadrática. Observe que completando cuadrados tenemos: ( y = ax 2 + bx + c y = a x 2 + b a x + c ) a con X = x + b 4ac b2 y B =. 4a ( = a x 2 + 2 ( = a x + b b x + b2 4a 2 b2 ) 2 + = ax 2 + B 4a 2 + c a 4ac b2 4a Así, podemos ver que la gráfica de cualquier función cuadrática es el resultado de trasladar horizontalmente, alargar o encoger y trasladar verticalmente. * Material preparado para Experiencia Docente en Matemática. eps2007. ) 1

Figura 2: Gráfica de función cuadrática: trasladada horizontalmente, verticalmente y encogida. 1. Aspectos Importantes Sea f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0. 1.1. Concavidad Si a > 0 cóncava hacia arriba. Si a < 0 cóncava hacia abajo. Figura 3: Cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo 1.2. Intersecciones con eje x Para encontrar las intersecciones con eje x debemos resolver f(x) = 0, es decir, se resuelve la cual sabemos que tiene como solución ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac La cantidad de intersecciones depende del valor de discriminante: = b 2 4ac Si > 0: Corta en dos puntos al eje x x 1 = b + b 2 4ac y x 2 = b b 2 4ac 2

Si = 0: Corta en un punto al eje x Si < 0: Corta en ningún punto al eje x x 1 = b Así, las intersecciones corresponden a (x 1, 0) y (x 2, 0) ó únicamente (x 1, 0). 1.3. Intersecciones con el eje y Para encontrar la intersección con el eje y basta calcular la imagen de 0, es decir, f(0). Así, si f(x) = ax 2 + bx + c entonces Siempre es el punto (0, c) Ejemplo 1.1 Grafique f(x) = x 2 2x 3 Solución. f(0) = a 0 2 + b 0 + c = c 1. Como a = 1, sabemos que la parábola es cóncava hacia arriba. 2. La intersección con el eje y es i.e. la intersección con el eje y es (0, 3) f(0) = 0 2 2 0 3 = 3 3. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos f(x) = 0. Podemos verificar que > 0, por lo tanto, corta al eje x en dos puntos. f(x) = 0 es decir, x = 1 y x = 3. x 2 2x 3 = 0 (x + 1)(x 3) = 0 Luego, las intersecciones con el eje x corresponden a ( 1, 0) y (3, 0). De aquí podemos ver que la gráfica de f(x) corresponde a Figura 4: Gráfica de f(x) = x 2 2x 3 1.4. Eje de Simetría Es la línea vertical que divide la parábola a la mitad. La ecuación del eje de simetría está dada por: x = b 3

1.5. Vértice Puede ser un punto máximo (cuando es cóncava hacia abajo) o punto mínimo (cuando es cóncava hacia arriba). ( ( )) b b V =, f Otra forma: V = ( b, ) 4a El vértice es el lugar donde el eje de simetría corta a la parábola. 1.6. Ámbito [ [ Si a > 0, el ámbito es 4a, + Si a < 0, el ámbito es ], ] 4a 1.7. Intervalos de Monotonía Para determinar los intervalos de monotonía de la función cuadrática, basta con analizar la concavidad de la parábola y encontrar la primera coordenada del vértice. Así, tenemos: a > 0: [ [ b f crece en, + ] f decrece en, b ] a < 0: ] f crece en, b ] [ [ b f decrece en, + Ejemplo 1.2 Para la función f : [2, + [ [2, + [, f(x) = (x 4) 2 + 2 determine: i. La preimagen de 11. ii. El vértice. iii. Determine los intervalos de monotonía. iv. El ámbito. Solución. i. Planteamos la ecuación f(x) = 11 y resolviéndola: (x 4) 2 + 2 = 11 x 2 8x + 16 + 2 11 = 0 x 2 8x + 7 = 0 x = 7, x = 1 Sin embargo, 1 no está en el dominio de f, así que la única preimagen de 11 es 7. 4

Figura 5: Gráfica de f(x) = (x 4) 2 + 2 ii. Para calcular el vértice, tenemos: f(x) = (x 4) 2 + 2 = x 2 8x + 18 Calculando la coordenada en x del vértice, denotado por V x = ( 8) 2 1 = 8 2 = 4, luego f(4) = 2. Por lo tanto podemos concluir que el vértice corresponde a (4, 2). iii. Si observamos en la gráfica de f, podemos ver que f es cóncava hacia arriba y que el vértice es (4, 2). Además, como discriminante es negativo, no interseca el eje x. Luego, la función es estrictamente decreciente en [2, 4] y estrictamente creciente en [4, + [. iv. En la gráfica podemos ver que el ámbito es [2, + [. Algunas Observaciones La imagen de un extremo del intervalo del dominio no tiene nada que ver con el ámbito. Esto es porque las funciones cuadráticas no son estrictamente crecientes (ni decrecientes), definidas en su domino máximo, sino que tienen un punto mínimo o máximo que es el vértice. Si restringimos el dominio a la parte de la gráfica en la que no está el vértice, las imágenes de los extremos jugarán un papel importante para encontrar el ámbito igual que en la función lineal. 2. Aplicaciones de las funciones cuadráticas Las funciones cuadráticas son de mucha utilidad para resolver los problemas de la vida cotidiana, en especial para maximizar y minimizar situaciones. Esto significa que podemos encontrar el valor máximo o mínimo de las condiciones del problema o situación. Para ello utilizamos el vértice. Ejemplo 2.1 La altura en metros de un objeto lanzado desde el suelo hacia arriba después de t segundos está dada por la ecuación h(t) = 96t 16t 2. 1. Calcule el tiempo en que vuelve al suelo. 2. Calcule la altura máxima. Solución. 1. Si el objeto vuelve al suelo es porque h(t) = 0. 5

Sustituyendo la ecuación h(t) = 96t 16t 2 16t 2 + 18t = 0 Resolviendo obtenemos t = 0 y t = 6. Pero t = 0 representa el momento en que fue lanzado el objeto, así que esa no es una solución válida. El objeto se vuelve al suelo después de 6 segundos. 2. Para la altura máxima se puede calcular la coordenada en y del vértice de la función 1 Se tiene que: Por lo tanto la altura máxima es 114m. h(t) = 16t 2 + 96t = 96t 16t 2 a = 16, b = 96, c = 0 = 96 2 4 ( 16) 0 = 9216 V y = 9216 4 ( 16) = 144 Figura 6: Gráfica de h(t) = 96t 16t 2 3. Inecuaciones Cuadráticas Una inecuación cuadrática es una inecuación del tipo ax 2 + bx + c 0 ó ax 2 + bx + c 0. Para resolver una inecuación de este tipo, consideremos 2 : Si a > 0 y < 0 entonces: Si a < 0 y < 0 entonces: ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c 0, S = R S = S = R S = Si a > 0 y = 0 entonces: ax 2 + bx + c < 0, S = { } b ax 2 + bx + c = 0, S = { } b ax 2 + bx + c > 0, S = R 1 Como en este ejemplo no habíamos calculado la coordenada en x del vértice, para calcular la coordenada en y es más fácil ir directamente a la fórmula. 2 Como ejercicio al lector, ilustre gráficamente cada caso. 6

Si a < 0 y = 0 entonces: Si a > 0 y > 0 entonces: Si a < 0 y > 0 entonces: ax 2 + bx + c > 0, S = { } b ax 2 + bx + c = 0, S = { } b ax 2 + bx + c < 0, S = R ax 2 + bx + c < 0, S = ]x 1, x 2 [ ax 2 + bx + c = 0, S = {x 1, x 2 } ax 2 + bx + c > 0, S = ], x 1 [ ]x 2, + [ ax 2 + bx + c > 0, S = ]x 1, x 2 [ ax 2 + bx + c = 0, S = {x 1, x 2 } ax 2 + bx + c < 0, S = ], x 1 [ ]x 2, + [ 4. Ejercicios 1. Para las siguientes funciones, determine: Las intersecciones con el eje x, si existen. Las intersecciones con el eje y. El vértice. Los intervalos de monotonía. El ámbito. a. f : R R, f(x) = 3x 2 + 7x 2 b. g : R R, g(x) = 2x 2 + 5x 2 c. h : R R, h(y) = 2y 2 + 3y + 2 d. s : [ 6, 2] R, s(x) = (2x 3)(x + 3) e. f : R R, f(x) = x x2 2 + 3 2. Encuentre, mediante una función, el área máxima que puede tener un rectángulo de perímetro 40cm. 3. Encuentre las preimágenes de 8 para la función g :], 0] R, g(x) = 2x 2 + 2x 4. 4. La demanda de un artículo está dada por la fórmula d = 1000 p, donde p es el precio del articulo. Encuentre el criterio de la función que modela el ingreso que obtiene el productor al fijar el precio p del artículo. 5. Si f(x) = 3x 2 + 2x + 4 es una función con dominio R. Encuentre el ámbito. 6. Encuentre la ecuación de una recta perpendicular a 2y + 6x 5 = 0 que contiene al vértice de la parábola y = 2x 2 6x + 3. 7. Para la función f : R R, f(x) = 4x 2 5x 6, encuentre los valores de x tales que f(x) 0. 8. Para la función f : R R, f(x) = x 2 4x 3, encuentre los valores de x tales que f(x) 0. 7

Referencias Bibliográficas [Go] Gómez, L. Matemática para bachillerato. PIMAS. San José-Costa Rica. 2007. [S-B] [Mo] Sancho, L., Blanco,R. Matemática para la Enseñanza Media. Ciclo Diversificado. Universidad de Costa Rica. San José-Costa Rica. 2007. Morera, R. Matemática para bachillerato 2005. Recopilación de ejercicios por tema y sus soluciones. San José-Costa Rica. 2005. [Va] Valverde, B. Funciones. Material preparado para clases de bachillerato. San José-Costa Rica. 2005. [St] Stewart, I. Concepts of Modern Mathematics. Dover Publications Inc. New York-USA. 1995. 8