Introducción a la lógica Matemáticas Discretas Universidad de san buenaventura Cali
Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional) DISYUNCIÓN (v) La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas. p v q (se lee: p o q ) EJEMPLOS: p = El numero 2 es par q = la suma de 2 + 2 es 4 pvq: El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4 p = La raíz cuadrada del 4 es 2 q = El numero 3 es par pvq: La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par
.CONJUNCIÓN (^) La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas. Tabla de verdad de la conjunción p ^ q (se lee: p y q ) EJEMPLOS: p = El numero 4 es par q = Siempre el residuo de los números pares es 2 p^q: El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2 p = El número más grande es el 34 q = El triángulo tiene 3 lados p^q: El número más grande es el 34 y El triángulo tiene 3 lados Algunas proposiciones equivalentes a la proposición conjuntiva p q son: p y q p pero q p también q p además q p aunque q p sin embargo q
NEGACIÓN ( ) La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. Tabla de verdad de Negación EJEMPLOS p: 4 + 4 es igual a 9 p: 4 + 4 no es igual a 9 p: El 4 es un numero par p: El 4 no es un numero par Algunas proposiciones equivalentes a la negación de la proposición p son: No p. es falso que p. No es cierto que p.
CONDICIONAL ( ) El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p q Tabla de Verdad Condicional EJEMPLOS p: llueve q: hay nubes p q: si llueve entonces hay nubes p: Hoy es miércoles q: Mañana será jueves p q: Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemáticas y geometría, y existen varias maneras de enunciar p q. Algunas proposiciones equivalentes muy usuales son: Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemáticas y geometría, y existen varias maneras de enunciar p q. Algunas proposiciones equivalentes muy usuales son: Si p, entonces q p q q si p p sólo si q Si p, q Si p también q
p es suficiente para q q es necesario para p q con la condición de que p q cuando p q siempre que p q cada vez que p q se deduce de p p implica q BICONDICIONAL ( ) El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren. Tabla de Verdad Bicondicional EJEMPLOS p: 10 es un número impar q: 6 es un número primo p q: 10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo p: 3 + 2 = 7 q: 4 + 4 = 8 p q: 3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8 Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemáticas y geometría; existen varias maneras de enunciar p q, las cuales tienen el mismo significado: p si y sólo si q
q si y sólo si p Si p, entonces q, y recíprocamente Si q, entonces p, y recíprocamente p es una condición necesaria y suficiente para q q es una condición necesaria y suficiente para p p equivalente con q q equivalente con p El bicondicional es el último de los cinco conectivos que se usarán en este capítulo. La siguiente tabla muestra un resumen de todos los conectivos lógicos básicos definidos: Conectivo Símbolo Definición Conjunción y Disyunción (Inclusiva) o Negación no Condicional Si... entonces... Bicondicional... si y solo sí...