TEMA I: ESPUESTA TEMPOA DE OS x() SISTEMA y() IUITOS INEAES. Ecuaciones de las redes generales, lineales e invarianes con parámeros concenrados Ejemplo x() < y() < ircuio esable as ecuaciones a que dan lugar los circuios son: a) ircuios con elemenos resisivos, lineales e invarianes b) ircuios generales, lineales e invarianes con parámeros concenrados Ecuaciones algebraicas lineales de coeficienes consanes Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficienes consanes x() x() SISTEMA A y() y() A e/τ. Planeamieno de las ecuaciones del circuio Enrada acoada Salida acoada Exisen 3 méodos de análisis en los circuios de ipo general: ) Obención y resolución de las ecuaciones diferenciales del circuio. esolución en el dominio emporal. Ejemplo onclusión: ircuio esable ) Obención de las ecuaciones diferenciales del circuio y resolución de las mismas mediane ransformada de aplace. x() SISTEMA y() 3) Análisis a parir del circuio ransformado 3. Obención y resolución de las ecuaciones diferenciales del circuio. esolución en el dominio emporal 3. ircuio esable Diremos que un circuio es esable si responde de forma acoada a una enrada acoada. A A x() y() Enrada acoada Salida no acoada onclusión: ircuio inesable esp. Temporal esp. Temporal
3. espuesas libre y forzada. egímenes ransiorio y permanene Ejemplo Solución: Deerminar vo() > 0 en el circuio de la figura sabiendo que: V() v() = u() (V) vo(0) = V Vo() as condiciones iniciales (condiciones de conorno de la ecuación diferencial) exigirán ahora nuesra aención. Serán los valores de las ensiones en los condensadores y de las corrienes en los inducores (elemenos con memoria) y dan el esado de la energía almacenada por el circuio en el insane inicial. ) Obención de la ecuación diferencial descripiva del circuio V() i() i () i () i() = i () i () Vo() v() v 0 () δv 0 δ δv 0 δ = v 0 δv 0 δ v 0 = v v 0 = v. Solución de la ecuación diferencial homogénea Ecuación caracerísica: δv 0 δ v 0 = 0 p = 0 p = Por lo ano, la solución voh() de la ecuación diferencial homogénea será: v oh () = Ae A la solución de la ecuación diferencial homogénea se le denomina respuesa naural o libre del circuio. Su forma general será siempre Ae /. a consane A dependerá en cada caso paricular de las condiciones iniciales (I) del circuio y del ipo de exciación. 3. Solución paricular Se la denomina ambién respuesa forzada. esula de la ineracción enre la exciación y el circuio. a exciación fuerza al circuio a que proporcione una respuesa de la misma forma que ella en la mayoría de los casos. esp. Temporal 3 esp. Temporal 4
En nuesro caso: Es decir: δv 0 () δ v 0 () = v() v() = u() = > 0 δv 0 δ v 0 = Ensayando una solución de la forma v of = K endremos: Por lo ano: Es decir: 4. espuesa oal K = K = v of = V v 0 () = v oh () v of () = Ae que deberá saisfacer las I del circuio. Por lo ano: De ahí que Finalmene: Gráficamene: vo() v 0 (0 ) = v 0 (0 ) = = A A = v 0 () = e / 0 En redes esables definiremos régimen esacionario o permanene como el inervalo emporal en el que solamene se aprecia la respuesa forzada del circuio. En nuesro caso sería el represenado en la figura a parir de =. Podemos considerar que una exponencial decreciene difiere de su asínoa en el en una canidad menor del % al cabo de 4 consanes de iempo. Es decir, Ae /τ 0 para = 4τ. A su vez, régimen ransiorio es el inervalo emporal en el que se aprecia osensiblemene la presencia de la respuesa libre. En ese inervalo se adapan las I a la respuesa forzada. 5. Deerminación de Vo( ) en el circuio a respuesa obenida, v 0 () = e /, oma el valor siguiene cuando : vo( ) = V Ese valor puede predecirse direcamene en el circuio. uando la exciación es consane en una red esable, la solución paricular será de la misma forma que la exciación: es decir, será consane. También lo serán las ensiones en los condensadores y las corrienes en los inducores. Si no lo fuesen, sus correspondienes inensidades (condensadores) y ensiones (inducores) variarían con el iempo, lo que esaría en conradicción con la suposición de ensiones e inensidades consanes en el circuio. < % τ= 4τ égimen esacionario esp. Temporal 5 esp. Temporal 6
ircuio esable con exciación consane a b v i v = V = ce δ v δ = 0 ( equilibrio ) a v b Ejemplo: y() = y() x()=0 y() I =0 espuesa a enradacero espuesa a esadocero (espuesa a las condiciones iniciales) (espuesa a la exciación x()) c d v i En nuesro caso: i = I = ce δi δ = 0 (equilibrio) c d i onsideremos el circuio aneriormene esudiado: v() Vo() v() = u() v 0 (0 ) = v 0 (0 ) = Deerminar v 0 () >0 Vo() Vo( ) v( ) = = V c.d.q 3.3. espuesa a enrada cero y respuesa a esado cero Exise un ipo de descomposición de la respuesa que es a menudo úil en el análisis de circuios. a respuesa del circuio se obiene por superposición de la respuesa a enrada cero y la respuesa a esado cero.. espuesa a esadocero Solución: onsideramos I=0. Es decir: v(0) = 0 V v 0 () = Ae Vo() Ecuación δv 0 δ v 0 (0 ) = v 0 (0 ) = 0 0 = A A = diferencial: v 0 = x() SISTEMA I 0 y() Por lo ano: v 0 () = ( e )u() esp. Temporal 7 esp. Temporal 8
. espuesa a enrada cero onsideremos v() = 0 V y la exciación del circuio la consiuirán sus I. 3.4 ircuios de er orden. espuesa a exciación consane.. ircuios de erorden v 0 (0)= V V 0 () Ecuación diferencial δv 0 δ v 0 = v() v()=0 Son los circuios con un solo elemeno almacenador de energía (bobina o condensador) V () Ecuación diferencial homogénea: 3. espuesa oal δv 0 δ v 0 = 0 v 0 () = Be v 0 (0 ) = v(0 ) = = B v 0 () = e esp. a esado cero v 0 () = v 0 () v 0 () = espuesa forzada e esp. a enrada cero e = e espuesa libre c.q.d. V n (). Expresión de la ensión vc() en erminales del condensador V V n Equivalene dethevenin V c ic Puede observarse que en la respuesa a enrada cero solamene se observa respuesa libre: respuesa del circuio a la energía inicial almacenada. Sin embargo, en la respuesa a esado cero se observan ano la respuesa libre como la forzada Voc eq Vc δv v oc () = eq i c v c = c eq v δ c (Ecuación diferencial de er orden) esp. Temporal 9 esp. Temporal 0
vc() = solución ecuación diferencial homogénea solución paricular a) Solución ecuación diferencial homogénea Ecuación caracerísica eq δv c δ v c = 0 p eq = 0 p = eq V Vn Vx v c () = Ae τ f[ v oc ] Por ano: v ch = Ae eq = Ae τ eq τ = ce. de iempo v x = k v k v k c v c = k v A'e τ k c f[v oc ] = superposición = M v M v A'e τ v oc = B v B v B n v n b) Solución paricular Por consiguiene: vcf = f [voc] v c = v ch v cf = Ae τ f[ v oc ] Si preendemos enconrar la ensión o inensidad de una rama cualquiera x, podremos subsiuir el condensador por una fuene de ensión vc(): onclusión: a forma de la respuesa libre A'e/τ es la misma en odas las ramas del circuio. a consane de iempo τ es el produco de la capacidad del condensador por la resisencia equivalene de Thevenin eq visa desde sus erminales. a consane de iempo es pues τ = eq. El produco de resisencia y capacidad iene dimensiones de iempo s = Ω F 3. Esudio a exciación consane Analizaremos los circuios de er orden con exciación consane sin planear la ecuación diferencial, siguiendo el procedimieno que se describe en los ejemplos siguienes. esp. Temporal esp. Temporal
Ejemplo =0 V V() V(0)=0 (V) epresenación gráfica v() 0.63 < % Solución: Deerminar v() >0 s (τ) 4τ τ = v() = A Be τ = A Be solución paricular A ce Ejemplo v(τ) = e τ = τ = e 0,37 0,63 V v( ) = A En el circuio: V i=0 v( ) v( ) = V Por lo ano: A= V v()=be / (V) Por ora pare: v(0 ) = v(0 ) = 0 = B B = El disposiivo D de la figura es un circuio abiero para V < VT=65 V. Una vez que V alcanza la ensión umbral se compora como una resisencia de valor on = kω, siempre que la corriene i sea mayor o igual a Ig = 0 ma. Deerminar la expresión analíica de v() y represenar gráficamene dicha ensión. Obener finalmene el periodo T de la ensión v(). 90 V =0 = MΩ =0µF i V() D Finalmene: v()=e / (V) > 0 esp. Temporal 3 esp. Temporal 4
Solución: ) Inervalo 0 < < I = 0: v(0 ) = v(0 ) = 0 v < v T D esá en circuio abiero álculo de i( ) ( ) τ i() = i( ) Be = i( ) Be 00( ) τ = eq =0 3 0 5 =0 s MΩ / /kω kω 90 V v() = v( ) ke 0 V() v(0 ) = 0 v( ) = 90 v(0 ) = v( ) k k = v(0 ) v( ) = 90 v() = 90 90e 0 = 90( e 0 ) (V) 90 65 ) Inervalo < < v() D esá conduciendo. τ = = 0 6 0 5 =0 s 90 V álculo de i() MΩ i( ) V( ) 90 V i( ) = MΩ kω 90 MΩ = 9 0 5 A i( ) = v( ) kω = 65 V kω = 65mA Por ano: v( ) = v ( ) = 65 V De aquí que: k Ω B = i( ) i( ) = 65 0 3 9 0 5 65 0 3 i() = 9 0 5 65 0 3 e 00( ) = MΩ i 65 ma i() 90 V =0µF V k Ω v( ) = 65 V 0 ma esp. Temporal 5 esp. Temporal 6
3) Inervalo < < 3 El disposiivo D vuelve a comporarse como un circuio abiero: 65 V v() 9 0 65 e00 9070e /0 90 V MΩ 0µF V v( )=0mA k Ω = 0 V 0 V k T k 3 v() = v( ) Me ( ) τ v( ) = 90 τ = 0 s Por lo ano: (V) 90 65 0 M = v( ) v( ) = 0 90 = 70 v() = 90 70e ( ) 0 v() 4) epresenación gráfica de v() >0 3 El periodo T de la señal vendrá dado por En nuesro caso: Por ora pare: T = k ' k '' 9 0 65 e 00 k ' = 0 00 k ' ' k = ln 0 65 = 0 ln 65 0 90 70e '' k 0 = 65 '' k 0 = ln 5 4 '' k = 0 ln 4 5 ompacando las gráficas aneriores en una sola endremos la Finalmene: represenación siguiene: T = k '' k ' k '' = 0 ln 4 5 s De forma equivalene, la frecuencia f vendrá expresada por: f = T = 0 ln 4 5 Hz esp. Temporal 7 esp. Temporal 8
Ejemplo 3: ) ircuio en el subinervalo 0 < < Para el circuio de la figura represenar gráficamene v() y vo() en el inervalo (, ). V V 0µF =0 00 kω 0 kω V 0 kω V0 V v () 0µF i() 00 k Ω a) v c () = A Be τ = A Be b) vc( ) τ = = 0 5 0 5 =s 6 0 k Ω V(0 ) 0 k Ω V 0 () i( )=0 Solución: ) ircuio en =0 V c ( ) 00 kω V c ( ) = 0 V vc(0 ) 0µF 0 00 kω 0 6 0 kω v(0) 0 kω V0(0) Por ano: De aquí que: c) Vc(0) 0 = A vc() = B e vc(0) = vc(0) = V Por consiguiene, vc() = e v(0 ) = 0 6 = 6 v 0 (0 ) = V v c (0 ) = V De aquí que: v() = e 6 (V) > 0 esp. Temporal 9 esp. Temporal 0
3) epresenación gráfica de v() y vo() a) v( ), i( ) (V) 6 0 6 v() V i( ) i( )= / V( ) V( ) = 0 e 6 = 0 Por lo ano: v( ) = 0 = A =ln vo() (V) 0 De aquí que Análogamene b) v(0 ), i(0 ) v() = B e/τ i() = De τ = De τ i( ) = = Ejemplo 4 V =0 Deerminar v() e i() > 0 i() v() i(0 ) = 0 A V i(0 ) = i(0 ) = 0 i(0) = 0 v(0) Por ano: v(0 ) = i(0 )= V i(0 ) = 0 (A) De ahí que: v(0 ) = = B Solución v() = A Be τ Solución paricular A ce i(0 ) = 0 = D D = Por consiguiene: v() = e τ i() = ( e τ ) (A) esp. Temporal esp. Temporal
c) onsane de iempo ondensador Inducor Solución a la ecuación diferencial homogénea τ = τ = Ausencia de exciación V i V v v = 0 δi δ i = 0 δi δ i = 0 Ecuación caracerísica: p = 0 G = G = ) epresenación gráfica v() τ=/ 4τ i() v() = e / i() = ( e / ) p = / < % i h () = De = De / = De τ Por ano: Ejemplo 5 τ=/ 4τ τ = Deerminar v() e i() en el circuio de la figura en el subinervalo (0, ). Observación i() v() Exise una relación dual enre la consane de iempo del condensador y la del inducor en circuios de er orden. v() v() 0 T i(0) = 0 A T > 4τ (T > 4 ) esp. Temporal 3 esp. Temporal 4
Solución: ) Subinervalo 0 < <T En ese subinervalo el circuio propueso coincide con el analizado en el problema anerior. Por consiguiene las formas de onda de v() e i() serán las siguienes: v() v() = e / Por ora pare: Por lo ano: De aquí que: i(t ) = = k i() = e ( T ) / v() = δi δ = ( T ) δ δ (e ) = ( ( T ) )e = e ( T ) Observación: i() τ=/ 4τ T Verificación en el circuio: v(t ) = e ( T ) =T = / v(t ) = i(t ) = i(t ) = = c.d.q τ=/ ) Subinervalo T< < i(t )= / 4τ T 3) epresenación gráfica de v() e i() en el subinervalo 0 < < v() e / i() V() i(t ) = i(t ) = τ T i() = ke ( T ) τ = ke ( T ) / e T / No hay exciación: Solamene habrá componene de la respuesa libre esp. Temporal 5 esp. Temporal 6
i() ( e ) ( T ) e 0 v() e T T 3 T 4 T τ T T τ e ( T ) Ejemplo 6 Expresión analíica y represenación gráfica de v() e i() en el circuio de la figura. / i() ( e ) ( T ) e i() v() 0 T T 3 T 4 T v () Solución V() 0 T T 3 T 4 T i(0)=0 T > 4τ Se raa del ejemplo anerior en el que la exciación de un sólo pulso ha sido subsiuida por un ren periódico de pulsos. as señales v() e i() endrán, por ano, las formas de onda siguienes: 3.5 ircuios de º orden. Deerminación de las derivadas de las variables en el insane inicial En los circuios de º orden exisen dos elemenos almacenadores de energía independienes. a ecuación diferencial descripiva del circuio es de º orden. Por ano, para su complea resolución se requiere conocer el valor inicial de la variable que aparece en la ecuación diferencial, así como el valor inicial de su primera derivada. Ejemplo Deerminar i() > 0 en el circuio de la figura: 4 (3) () () =0 i() / Vc() Vc(0)=0 V i(0)=0 A Unidades (V, Ω, H, F) esp. Temporal 7 esp. Temporal 8
Solución: Se raa de un circuio de º orden: exisen dos elemenos almacenadores de energía independienes. a) ircuio para > 0 4 i() KV: 4 = v v v 4 = i δi δ / V V / 0 i(λ) δλ Vc() Por ora pare: δi = [ Ae cos( ϕ) Ae sen( ϕ)] δ =0 =0 = = A cos ϕ A sen ϕ = m A ϕ = ±90º, cos ϕ = 0, sen ϕ = ± c) Obención de δi en el circuio δ =0 En =0: 4 0 V (0) = i=0 = =/ 0 δ δ 0 = δi δ δ i i ecuación diferencial hom ogénea δ ecuación caracerísica p p = 0 p, = ± 4 8 Por ano i() será de la forma: = ± 4 i() =A e cos( ϕ) (A) = ± j Por ora pare: Por consiguiene: v (0) = 4 V v (0 ) = δi δ = 0 δi δ =0 = δi δ =0 = = 4 = A b) Deerminación de las consanes A y ϕ i(0 ) = i(0 ) = 0 = A cosϕ cosϕ = 0 ϕ = ±90º d) Expresión analíica de i() i() = 4e cos( 90 o ) = 4e sen solución única i() = 4e cos( 90 o ) = 4e sen esp. Temporal 9 esp. Temporal 30