Introducción a la lógica matemática por Iván Cruz Aceves Existen diferentes situaciones en las que es indispensable reconocer cuando una situación o argumento, es o no válido, y es en estas situaciones en donde podemos recurrir a la Lógica. Cuando se habla de Lógica, es común realizar proposiciones que ayuden a analizar y estudiar las relaciones lógicas entre diversos objetos por medio de afirmaciones, las cuales por su parte pueden ser identificadas como sentencias evaluables capaces de tomar sólo 2 valores, sentencia falsa o sentencia verdadera, teniendo como única restricción que no pueden ser ambas a la vez. Proposición: Enunciado que puede clasificarse como falso o verdadero. Proposición Ambigua: Puede clasificarse de falsa o verdadera según la percepción de la persona. (San Román, 1990). Para una mejor conceptualización sobre proposiciones, se presentan los siguientes ejemplos: a) México se encuentra en el continente Asiático. Esta proposición es falsa debido a que México se encuentra en el continente Americano. b) 2 + 2 = 4. Esta proposición es verdadera ya que dos más dos es cuatro. c) 2n = número impar. Esta proposición es falsa debido que toda potencia de 2 siempre será par. d) Por qué debo aprender Inglés? Esta sentencia no es una proposición, ya que la clasificación depende de la percepción de la persona que va a evaluarla. e) La Física es más desafiante que la Filosofía. Esta sentencia se puede calificar como una proposición ambigua, ya que la calificación depende de la persona que la evalúe. 1
f) Correr hacia la meta. Esta sentencia no es una proposición, ya que no se puede clasificar como falsa o verdadera. g) 8 es menor que 9. Esta proposición es verdadera. h) 3 es mayor que 6. Esta proposición es falsa. i) 4 es menor que 6. Esta proposición es verdadera. j) Ayúdame. Esta sentencia no es una proposición, debido a que no se puede clasificar como falsa o verdadera. Después de haber analizado las proposiciones simples es momento de conocer las proposiciones compuestas. Proposición compuesta: Dos o más enunciados que se unen haciendo uso de conectores como: y, o, si entonces, si sólo sí, por mencionar algunos. (San Román, 1990). Algunos ejemplos de proposiciones compuestas son: a) Carlos tiene 25 años y Adriana tiene 30 años. La sentencia anterior podríamos descomponerla en dos proposiciones: 1.- Carlos tiene 25 años. 2.- Adriana tiene 30 años. b) Juan es menor que Pedro y mayor que Lourdes. En el enunciado anterior podemos observar dos proposiciones que serían: 1.- Juan es menor que Pedro. 2.- Juan es mayor que Lourdes. 2
c) Si Alejandro tiene promedio de 9 entonces obtendrá una beca. En el enunciado anterior podemos identificar dos proposiciones que serían: 1.- Alejandro tiene promedio de 9. 2.- Obtendrá una beca. d) Comes sopa de arroz o de pasta. Las dos proposiciones que podemos identificar serían: 1.- Comes sopa de arroz. 2.- Comes sopa de pasta. Cómo pudiste observar en los ejemplos anteriores las proposiciones pueden ser muy simples o complejas según lo que se desee expresar. Para facilitar la evaluación de las proposiciones compuestas podemos utilizar la lógica matemática, esta permite representar las proposiciones por medio de símbolos que facilitan su representación. Los símbolos utilizados en la lógica matemática son: Negación. ^ Y, AND. V O, OR. > SI ENTONCES, IMPLICACIÓN CONDICIONAL. < > SI SOLO SI, BICONDICIONAL. Ahora veamos cómo podemos representar mediante la lógica matemática las proposiciones: a) 10 es mayor que 5 y 20 es menor que 25. Esta sentencia es una proposición compuesta, y la podemos descomponer de la siguiente manera: 10 es mayor que 5. 20 es menor que 25. Ahora vamos a utilizar la lógica matemática para representar las proposiciones anteriores asignando a cada una de ellas una letra. Por lo general recurrimos a las letras p y q para representar las proposiciones: p= 10 es mayor que 5. q= 20 es menor que 25. 3
Construyendo nuevamente la proposición original utilizando los símbolos de la lógica matemática quedaría de la siguiente manera: p y q o bien p ^ q. b) Si hace mucho calor entonces hay juego de fútbol. Identificación de las proposiciones simples. Hace mucho calor. Hay juego de futbol. Asignación de las proposiciones a una letra del alfabeto. p = Hace mucho calor. q = Hay juego de futbol. Conversión de la proposición en símbolos lógicos. p -> q. c) Si Juan no va a jugar en la noche, no podrá ganar dinero. Identificación de las proposiciones simples. Juan va a jugar en la noche. podrá ganar dinero Asignación de las proposiciones a una letra del alfabeto. p = Juan va a jugar en la noche. q = Podrá ganar dinero. Conversión de la proposición en símbolos lógicos. Debido a que ambas proposiciones aparecen negadas en la sentencia inicial deberán aparecer de igual manera en la conversión. p -> q. d) Vamos al cine solo si me pagan. Identificación de las proposiciones simples. Vamos al cine. Me pagan. Asignación de las proposiciones a una letra del alfabeto. p = Vamos al cine. q = Me pagan. Conversión de la proposición en símbolos lógicos. p <-> q Hasta este momento hemos conocido cómo convertir una proposición compuesta utilizando la lógica matemática. Ahora estudiaremos cómo evaluar una proposición compuesta haciendo uso de las tablas de verdad que utiliza la lógica matemática. Antes de conocer las tablas de verdad es importante retomar que una proposición puede clasificarse como falsa (0) o verdadera (1). 4
Tablas de verdad Negación. p p 0 1 1 0 Tabla 1. Tabla de verdad de la negación. ( y / and ). p q p ^ q 0 0 0 0 1 0 Tabla 2. Tabla de verdad del operador AND. ( o / or ) p q p v q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Tabla 3. Tabla de verdad del operador OR. Implicación / Si entonces p q p -> q 0 0 1 0 1 1 Tabla 4. Tabla de verdad de la implicación. Bicondicional / Si sólo si. P q p <-> q 0 0 1 0 1 0 Tabla 4. Tabla de verdad del operador bicondicional. Ahora utilizaremos las tablas de verdad para evaluar las proposiciones por ejemplo: 1) Si tenemos la proposición : 10 es mayor que 5 y 20 es menor que 25. 5
Dado que se tiene como conector y deberemos utilizar la tabla correspondiente a ese símbolo lógico que sería: ( y / and ). p q p ^ q 0 0 0 0 1 0 Tabla 2. Tabla de verdad del operador AND. Ahora bien tenemos que: p= 10 es mayor que 5. (verdadero). q= 20 es menor que 25. (verdadero). Por lo que verificaremos los valores asignados al último renglón de la tabla obteniendo que p^q es verdadero. 2) Si tenemos la proposición: México pertenece al continente americano y ha ganado un mundial. Dado que el conector que se está utilizando es y deberemos aplicar la tabla: ( y / and ). p q p ^ q 0 0 0 0 1 0 Tabla 2. Tabla de verdad del operador AND. Ahora bien tenemos que: p= México pertenece al continente americano. (verdadero). q= Ha ganado un mundial. (Falso). Por lo que verificaremos los valores asignados al penúltimo renglón de la tabla obteniendo que p^q es falso en este caso. Utilizando las tablas de verdad podremos generar una cantidad infinita de combinaciones y basta con apoyarnos en las tablas para determinar si una proposición compuesta es falsa o verdadera. Algunos ejemplos de lo anterior son: p q p ^ q (p^q) p ^ q 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 Tabla 5. Uso del operador AND y la negación. 6
p q p v q (p v q) p ^ q 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 Tabla 6. Uso del operador OR y la negación. En caso que nuestra proposición estuviera compuesta por tres proposiciones se tendrían que considerar las posibles combinaciones para poder determinar la tabla de verdad de la proposición a evaluar tal como se muestra en la siguiente tabla. Determinar la tabla de verdad para la proposición: p^q^r. p q r p^q^r 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 Tabla 6. Tabla de verdad para la preposición p^q^r. Como pudiste darte cuenta al incrementar las variables el número de combinaciones también se incrementan. La fórmula para determinar la cantidad de combinaciones de una tabla de verdad según el número de variables es igual a: Combinaciones = 2 n Donde n es el número de variables o proposiciones que se desean evaluar. Es importante tomar en consideración que las tablas de verdad son de gran utilidad para demostrar la veracidad de una proposición. 7
Referencias Gutiérrez, E. y Larios, R. (1998). Fundamentos de Matemáticas y Lógica. [Versión electrónica]. México: Instituto Politécnico Nacional. Disponible en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG. Johnsonbaugh, R. y Palmas, O. (1999). Matemáticas discretas. [Versión electrónica]. México: Prentice Hall. Disponible en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG. San Román, J. (1990). Lógica matemática y computabilidad. [En línea]. Recuperado el 5 de noviembre de 2011 en http://books.google.com.mx/books?id=tjnbpzdctb8c&printsec=frontcover&hl=es &source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=fals 8