Introducción a la Teoría Algebráica de Números

Introducción a la Teoría Algebráica de Números M. Guadalupe García, Adriana Giacobbi y Noelia B. Ríos 17 de Septiembre de 2008 1

ÍNDICE Índice 1. Introducción 4 2. Preliminares 5 2.1. Anillos e Ideales...................................... 5 2.2. Módulos........................................... 8 2.3. Cuerpos y Extensiones................................... 9 2.4. Teoría de Galois...................................... 11 3. Extensiones integrales 14 3.1. Definiciones y propiedades básicas............................ 14 3.2. Clausura Integral...................................... 15 3.3. Ejercicios.......................................... 17 4. Extensiones cuadráticas de los racionales 20 4.1. Enteros algebraicos de Q( d)............................... 20 4.2. Cuerpos ciclotómicos.................................... 22 4.3. Ejercicios.......................................... 24 5. Normas y Trazas 26 5.1. Definiciones y propiedades básicas............................ 26 5.2. El sistema básico para la Teoría Algebraica de Números................ 29 5.3. Ejercicios.......................................... 30 6. El Discriminante 34 6.1. Definiciones y propiedades básicas............................ 34 6.2. Base dual.......................................... 36 6.3. Ejercicios.......................................... 38 7. Módulos y Anillos Noetherianos y Artinianos 42 7.1. Definiciones y propiedades................................. 42 7.2. Teorema de Jordan-Hölder para módulos......................... 45 7.3. Ejercicios.......................................... 47 8. Ideales Fraccionales 51 8.1. Definiciones y propiedades básicas............................ 51 8.2. Dominios de Dedekind................................... 52 8.3. Ejercicios.......................................... 54 9. Factorización única de Ideales en un Dominio de Dedekind 56 9.1. Definiciones y propiedades básicas............................ 56 9.2. Ejercicios.......................................... 58 Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 2 de 79

ÍNDICE 10.Aritmética en Dominios de Dedekind 60 10.1. Propiedades......................................... 60 10.2. El Grupo de Clases de Ideales............................... 61 10.3. Dominios de Dedekind y Teoría de Números....................... 62 10.4. Ejercicios.......................................... 63 11.Números p-ádicos 64 11.1. Enteros p-ádicos....................................... 64 11.2. Valor absoluto no arquimediano.............................. 65 11.3. Números p-ádicos...................................... 68 11.4. Ejercicios.......................................... 73 A. Apéndice 76 A.1. Teorema de Jordan-Hölder para grupos......................... 76 Departamento de Matemática - UNLP Hoja 3 de 79

1 INTRODUCCIÓN 1. Introducción La teoría general de anillos conmutativos es conocida como álgebra conmutativa. Una de las principales aplicaciones de esta disciplina es la teoría de números, la cual será introducida en este trabajo. Técnicas de álgebra abstracta han sido aplicadas a problemas de teoría de números por un largo tiempo, con el afán de probar el Último Teorema de Fermat. Como un ejemplo introductorio, vamos a considerar un problema para el cual un acercamiento algebraico funciona muy bien. Si p es un primo impar y p 1 mod 4, vamos a probar que p es suma de dos cuadrados, es decir p se puede expresar como x 2 + y 2, donde x e y son enteros. Como p 1 2 es par, se tiene que 1 es un residuo cuadrático (es decir, un cuadrado) mod p. (Formar pares de los números 2, 3, 4,..., p 2 con su inverso mod p y el par 1 con p 1 1 mod p. El producto desde 1 hasta p 1 es, mod p, 1 2... p 1 2 1 2... p 1 2 [ ] 2 y por lo tanto ( p 1 2 )! 1 mod p.) Si 1 x 2 mod p entonces p divide a x 2 + 1. Ahora, podemos considerar el anillo de enteros Gaussianos Z[i] y factorizar x 2 + 1 como (x + i)(x i). Como p no puede dividir a ninguno de los factores, p no es primo en Z[i] entonces podemos escribir p = αβ donde ni α ni β son unidades. Definimos la norma de γ = a + bi como N(γ) = a 2 + b 2. Entonces, N(γ) = 1 si y sólo si γ ± 1 o ±i, o sea si γ es una unidad. Luego, p 2 = N(p) = N(α)N(β) con N(α) > 1 y N(β) > 1, por lo tanto N(α) = N(β) = p. Si α = x + iy, entonces p = x 2 + y 2. Recíprocamente, si p es un primo impar y p = x 2 + y 2, entonces p es congruente con 1 mod 4. (Si x es par, entonces x 0 mod 4, y si x es impar, entonces x 2 1 mod 4. Observemos que x e y no pueden ser ambos pares o impares ya que p es impar.) Es natural conjeturar que podemos identificar aquellos primos que pueden ser representados como x 2 + d y 2, donde d es un entero negativo, trabajando en el anillo Z[ d]. Pero lo enteros Gaussianos forman un dominio íntegro, en particular un dominio de factorización única. Por otra parte, la factorización única falla para d 3 y el argumento previo colapsa. Dificultades de este tipo llevaron a Kummer a inventar ideales numéricos, los cuales más adelante se convertirán en ideales de la mano de Dedekind. Veremos que aunque un anillo de enteros algebraicos no necesita ser un DFU, la unicidad en la factorización de ideales siempre valdrá. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 4 de 79

2. Preliminares 2.1. Anillos e Ideales Definición 2.1.1. Un anillo R es un grupo abeliano con una operación multiplicación (a, b) ab, para todo a, b, c R, que satisface: 1. (ab)c = a(bc). 2. a(b + c) = ab + ac. 3. (a + b)c = ac + bc. Asumiremos siempre que R tiene un elemento neutro para la suma, que denotaremos por 0 R, y en algunos casos, una identidad multiplicativa 1 R que es única y que para todo a en el anillo verifica: 4. a1 R = 1 R a = a. Si a, b R son tales que ab = 0 pero ninguno de ellos es 0, diremos que R tiene divisores de cero. Llamaremos unidad a los elementos de R que tengan inverso multiplicativo en el anillo y R será un anillo conmutativo si para todo a, b R se tiene ab = ba. Definición 2.1.2. Diremos que el anillo R es un dominio íntegro, si es conmutativo y no tiene divisores de cero. Definición 2.1.3. El anillo R es un anillo de división, si todo elemento distinto de 0 es una unidad. Si además R es conmutativo, diremos que R es cuerpo. Definición 2.1.4. Sea R un anillo. Si existe al menos un entero positivo n tal que na = 0 para todo a en R, entonces se dice que R tiene característica n. Si no existe tal n, se dice que R tiene característica cero. Notar que la característica nunca es 1, ya que 1 R 0. Definición 2.1.5. Un subanillo S del anillo R es un subconjunto de él, que es cerrado por las operaciones de aditividad y multiplicación heredadas de R. Definición 2.1.6. Sea I un subconjunto de R. Consideremos las siguientes propiedades: 1. I es un subgrupo aditivo de R. 2. Si a I y r R, entonces ra I. 3. Si a I y r R, entonces ar I. Si I verifica 1) y 2), diremos que I es un ideal a izquierda, análogamente, si verifica 1) y 3) diremos que es un ideal a derecha. En el caso que se verifiquen las 3 propiedades, llamaremos a I simplemente ideal. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 5 de 79

2 PRELIMINARES 2.1.7. Teorema de correspondencia Sea I un ideal del anillo R. La aplicación S S/I genera una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los subanillos de R que contienen a I, y el de todos los subanillos de R/I. De la misma manera, también hay una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos ideales de R que contienen a I, y el conjunto de todos los ideales del cociente. La inversa de la aplicación es Q π 1 (Q), donde π es la aplicación canónica R R/I. 2.1.8. Definiciones y comentarios 1. a y b son números enteros congruentes módulo n si y sólo si n (b a). De este modo, (a b) es un elemento del ideal I n que consiste de todos los múltiplos de n en el anillo Z. Esto nos permite definir la congruencia módulo I n de la siguiente manera: a es congruente con b módulo I n si y sólo si (a b) I n. En general, si a y b son elementos de un anillo R e I es un ideal de R, diremos que a b mod I si y sólo si (a b) I. 2. Los enteros a y b son coprimos (ó primos relativos), si 1 puede ser expresado como combinación lineal de ellos. Equivalentemente se tiene que (a) + (b) = (1) = Z. En general, diremos que dos ideales I y J del anillo R son coprimos si I + J = R. Definición 2.1.9. Un ideal propio P en un anillo R se dice primo si para todos a, b R, ab P a P o b P. Definición 2.1.10. Un ideal M en un anillo R se dice maximal si M R y para todo ideal N tal que M N R entonces N = M ó N = R. Proposición 2.1.11. Sea f : R S es un homeomorfismo de anillos. Si J es un ideal primo de S, entonces f 1 (J) es un ideal primo de R. Teorema 2.1.12. Si f : R S es un homomorfismo de anillos, entonces el núcleo de f es un ideal de R. Recíprocamente, si I es un ideal de R, entonces la aplicación π : R R/I dada por r r + I es un epimorfismo de anillos cuyo núcleo es I. (La aplicación π se denomina epimorfismo canónico o proyección). Teorema 2.1.13. En un anillo conmutativo R con identidad, un ideal P es primo si y sólo si el anillo cociente R/P es un dominio íntegro. Teorema 2.1.14. Si R es un anillo conmutativo tal que R 2 = R (en particular si R tiene una identidad), entonces todo ideal maximal en R es primo. Teorema 2.1.15. Sea M un ideal de un anillo R con identidad. 1. Si M es maximal y R es conmutativo, entonces el anillo cociente R/M es cuerpo. 2. Si el anillo cociente R/M es un anillo de división, entonces M es maximal. Demostración. 1. Si M es maximal entonces, por teorema 2.1.14, M es primo, luego R/M es un dominio íntegro por 2.1.13. Por lo tanto, basta ver que si a + M M, entonces a + M tiene inverso multiplicativo en R/M. Ahora, a + M M implica que a / M, entonces M está contenido en Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 6 de 79

2.1 Anillos e Ideales el ideal M + (a). Como M es maximal, debe ser M + (a) = R. Luego, por ser R conmutativo, 1 R = m + ra, para algún m M y r R. Por lo tanto, 1 R ra = m M, luego, 1 R + M = ra + M = (r + M)(a + M). Entonces, r + M es un inverso multiplicativo de a + M. Luego, R/M es cuerpo. 2. Si R/M es un anillo de división, entonces 1 R + M 0 + M, por lo tanto 0 / M y R M. Si N es un ideal tal que M N, sea a N M. Luego, a + M tiene un inverso multiplicativo en R/M, es decir (a + M)(b + M) = 1 R + M. En consecuencia, ab + M = 1 R + M y ab 1 R = c M. Pero a N y M N, lo que implica que 1 R N. Por lo tanto, N = R. Luego, M es maximal. Corolario 2.1.16. Las siguientes condiciones sobre un anillo conmutativo R con identidad son equivalentes: 1. R es un cuerpo. 2. R no tiene ideales propios. 3. 0 es un ideal maximal de R. 4. Todo homomorfismo no nulo de anillos R S es un monomorfismo. 2.1.17. Factorización única Diremos que los elementos a y b de R son asociados si a = bu, para u una unidad de R. Un elemento no nulo a R, que no es una unidad, es denominado irreducible si no puede ser representado como producto de elementos de R que no son unidades, y primo si cuando divide un producto, debe dividir al menos uno de sus factores. Esto es, a bc entonces a b o a c. Se sigue de la definición, que si p es un elemento no nulo del anillo, entonces p es primo si y sólo si, (p) es un ideal primo. Si el anillo en cuestión es Z, entonces tenemos que las únicas unidades son 1 y 1. Además los elementos primos coinciden con los irreducibles. Esta propiedad en general no es cierta en un dominio íntegro arbitrario. Proposición 2.1.18. Si a es primo, entonces es irreducible. Pero la recíproca en general es falsa. Definición 2.1.19. Un dominio de factorización única (DFU) es un dominio íntegro R que satisface: 1. Todo elemento no nulo a R puede ser expresado como a = up 1... p n, donde u es una unidad y p i es irreducible para todo i. 2. Si a tiene otra factorización, digamos a = vq 1... q m, entonces m = n y cada p i es asociado a q i para todo i. (Después de reordenar los términos en caso que sea necesario). Teorema 2.1.20. R es un DFU si y sólo si R satisface la condición de cadena ascendente (cca) (es decir, si a 1, a 2,... pertenecen a R y (a 1 ) (a 2 )..., entonces para algún n tenemos que (a n ) = (a n+1 ) =...) y todo elemento irreducible de R es primo. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 7 de 79

2 PRELIMINARES Definición 2.1.21. Un dominio íntegro en el que todo ideal es principal, o sea está generado por un sólo elemento, es denominado dominio de ideales principales (DIP). Teorema 2.1.22. Si R es DIP entonces es DFU. Demostración. Consideremos (a 1 ) (a 2 )... y sea I = i (a i). Entonces I es un ideal, necesariamente principal por hipótesis. Si I = (b), se tiene que b pertenece a algún (a n ), entonces I (a n ). Por lo tanto, si i n tenemos que (a i ) I (a n ) (a i ). Luego, (a i ) = (a n ), para todo i n. De este modo, R satisface la cca sobre ideales principales. Ahora, supongamos que a es irreducible. Entonces (a) es un ideal propio, pues si (a) = R, 1 (a) y por lo tanto, a es una unidad. Por la cca sobre ideales principales, (a) está contenido en un ideal maximal I. Si I = (b), tenemos que b divide al elemento irreducible a, y b no es una unidad ya que I es propio. Por lo tanto, a y b son asociados, lo cual implica que (a) = (b) = I. Pero I, ideal maximal, es primo, entonces a es primo. Luego, por 2.1.20 R es DFU. Teorema 2.1.23. R es DIP si y sólo si R es DFU y todo ideal primo de R (no nulo) es maximal. Demostración. ) Por 2.1.22, sabemos que DIP implica DFU. Sea (p) un ideal primo no nulo de R. Luego, existe un ideal maximal (q) tal que (p) (q), de este modo q p. Como (q) es maximal q 1 R, entonces p y q son asociados. Por lo tanto (p) = (q) es maximal. ) Es suficiente con mostrar que todo ideal primo P es principal. Sea P un ideal primo no nulo y a P no nulo. Como R es DFU, a = p m 1 1... p mr r donde p 1, p 2,... son irreducibles de R. Como a P y P es primo, se sigue que p j P, para algún j. Luego, (p j ) P. Pero en un dominio de factorización única, todo elemento irreducible genera un ideal maximal, por lo tanto (p j ) = P. 2.2. Módulos Definición 2.2.1. Sea R un anillo. Un R-módulo es un grupo abeliano aditivo A junto con una función de R A A tal que para todo r, s R y a, b A: 1. r(a + b) = ra + rb. 2. (r + s)a = ra + sa. 3. r(sa) = (rs)a. Si R tiene identidad y 4. 1 R a = a, para todo a A, entonces A se dice R-módulo unitario. Si R es un anillo de división, entonces un R-módulo unitario es llamado espacio vectorial. Definición 2.2.2. Si B es un módulo sobre un anillo conmutativo con unidad R, se llama anulador de B sobre R al ideal I R dado por I = {r R/rb = 0, b B}. Un módulo se dice fiel si su anulador es el 0. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 8 de 79

2.3 Cuerpos y Extensiones 2.2.3. Primer Teorema del Isomorfismo Si f : M M es un morfismo de módulos, entonces: M Ker(f) = Im(f). 2.2.4. Segundo Teorema del Isomorfismo Sean S y T submódulos de M, y sea S + T = {x + y : x S, y T }. Luego S + T y S T son submódulos de M y S + T T = S S T. 2.2.5. Tercer Teorema del Isomorfismo Si N L M, entonces: M L = M/N L/N. Observación 2.2.6. Los teoremas del isomorfismo son análogos para el caso de anillos cambiando morfismo de módulos por morfismo de anillos y submódulos por ideales. Observación 2.2.7. Si N es un módulo arbitrario, podemos expresarlo como la imagen por un homomorfismo, de un módulo libre. Notar que por 2.2.3, todo módulo es un cociente de un módulo libre. 2.2.8. Teorema de correspondencia Sea N un submódulo del R-módulo M. La aplicación S S/N genera una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los submódulos de M que contienen a N, y el de todos los submódulos de M/N. La inversa de la aplicación es T π 1 (T ), donde π es la aplicación canónica M M/N. 2.3. Cuerpos y Extensiones Definición 2.3.1. Sea R un dominio íntegro, definimos como cuerpo cociente de R, (o cuerpo de fracciones de R), al cuerpo { a } K = b : a, b R, b 0. Observación 2.3.2. El cuerpo cociente K de un dominio íntegro R es el menor cuerpo que contiene a R. 2.3.3. Definiciones y comentarios En 2.1.17 definimos a un elemento irreducible de un anillo. Si R es un dominio íntegro, nos referiremos a un elemento irreducible de R[X] como un polinomio irreducible. Si R es un cuerpo, las unidades de R[X] son simplemente los elementos no nulos de R. En este caso un elemento irreducible es un polinomio que tiene al menos grado 1 y que no puede ser factorizado como producto de dos polinomios de grado menor. Un polinomio que no es irreducible se denomina reducible o factoreable. Salvo que quede claro, siempre diremos sobre que dominio el polinomio en cuestión es o no irreducible. Por ejemplo, el polinomio X 2 + 1 es irreducible sobre R[X], sin embargo es reducible sobre C[X]. Diremos además, que un polinomio es primitivo, si sus coeficientes son coprimos. Lema 2.3.4. Sea g Z[X] mónico. Si g = fh, con f, h Q[X] y f mónico, entonces f Z[X]. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 9 de 79

2 PRELIMINARES Teorema 2.3.5. Si R es un DFU entonces R[X] también lo es. Definición 2.3.6. Si E y F son cuerpos tales que F E, diremos que E es una extensión de F, y la denotaremos por E/F. Si E/F es una extensión de F, en particular E es un grupo abeliano con la adición, y está permitido multiplicar al vector x E por el escalar λ F y así tenemos una estructura de E como F -espacio vectorial. A la dimensión de este espacio vectorial la llamaremos grado de la extensión, y la denotaremos por [E : F ]. Si [E : F ] = n <, diremos que la extensión E/F es finita. Definición 2.3.7. Si E/F es una extensión, el elemento α E se dice algebraico sobre F si es la raíz de algún polinomio no constante, con coeficientes en F. Si α E no es algebraico sobre F entonces es trascendente (sobre F ). Definición 2.3.8. Una extensión E de un cuerpo F es llamada extensión algebraica, si todo elemento de E es algebraico sobre F. Teorema 2.3.9. Sean E, K, F cuerpos tales que E K F. Luego [E : F ] = [E : K][K : F ]. En particular, [E : F ] es finito si y sólo si [E : K] y [K : F ] son finitos. Teorema 2.3.10. Si E es una extensión finita de F, entonces es una extensión algebraica sobre F. Definición 2.3.11. Si E es una extensión de un cuerpo F y f F [X], diremos que f es split sobre E si f puede ser escrito como f(x) = λ (X α i ) (λ F ). α i E Diremos que E es un cuerpo split para f sobre F [X], si f es split sobre E pero no lo es sobre ningún subcuerpo propio de E que contenga a F. Teorema 2.3.12. Si α y β son raíces del polinomio irreducible f F [X] en una extensión E de F, entonces F (α) es isomorfo a F (β) vía un isomorfismo que lleva α en β y es la identidad sobre F. Definición 2.3.13. Un cuerpo F se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio irreducible en F [X] es lineal. Definición 2.3.14. Una extensión E de F es una clausura algebraica de F, si E es algebraico sobre F y E es algebraicamente cerrado. Teorema 2.3.15. Todo cuerpo K tiene una clausura algebraica. Dos clausuras cualesquiera de K son K-isomorfas. Corolario 2.3.16. Si K es un cuerpo y S es un conjunto de polinomios de grado positivo en K[X], entonces existe un cuerpo split de S sobre K. Observación 2.3.17. Dos cuerpos split cualesquiera de S sobre K, son K-isomorfos. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 10 de 79

2.4 Teoría de Galois Definición 2.3.18. Un polinomio irreducible f F [X] es separable si f no tiene raíces repetidas en un cuerpo split. En caso contrario diremos que f es inseparable. Si f es un polinomio arbitrario, no necesariamente irreducible, diremos que es separable si cada uno de sus factores irreducibles es separable. Si E/F es una extensión y α E, entonces α es separable sobre F si α es algebraico sobre F y el polinomio minimal min(α, F ) es un polinomio separable. Si todo elemento de E es separable sobre F, diremos que E/F es una extensión separable. Teorema 2.3.19. 1. Sobre un cuerpo de característica 0, todo polinomio es separable. 2. Sobre un cuerpo F de característica p, donde p es un número primo, el polinomio irreducible f es inseparable si y sólo si f 0. Observación 2.3.20. Toda extensión algebraica de un cuerpo de característica cero o de un cuerpo finito es separable. Lema 2.3.21. Si F K E y E es separable sobre F, entonces K es separable sobre F y E es separable sobre K. 2.4. Teoría de Galois Lema 2.4.1. Sea σ : E E un F -monomorfismo, y asumamos que el polinomio f F [X] es split sobre E. Si α es una raíz de f en E, entonces σ(α) también lo es. Luego σ permuta las raíces de f. Demostración. Sea f = n b i X i en F [X], tal que f(α) = 0. Como σ es un F -monomorfismo i=0 σ(b i ) = b i, i = 1,..., n y σ(α i ) = (σ(α)) i. Luego ( n ) n 0 = σ b i α i = σ ( b i α i) = i=0 i=0 n b i (σ (α)) i. Teorema 2.4.2. Sea E/F una extensión finita y separable de grado n, y sea σ una inclusión de F en C. Luego σ extiende exactamente n inclusiones de E en C. En otras palabras, hay exactamente n inclusiones τ de E en C tales que la restricción τ E de τ, coincide con σ. En particular, si σ = id F, hay exactamente n monomorfismos de E en C. Demostración. Por inducción. Si n = 1, E = F y no hay nada que probar. Asumamos ahora que n > 1 y tomemos α F E. Si f es el minimal de α sobre F, podemos considerar g = σ(f). Luego, cualquier factorización de g puede ser trasladada a una factorización de f y de este modo g es irreducible y separable sobre el cuerpo σ(f ). Si β es cualquier raíz de g, entonces existe un único isomorfismo entre F (α) y (σ(f ))(β), que mapea a α en β y coincide con σ en F. Ahora, si el grado de g es r, tenemos que [F (α) : F ] = gra(f) = gra(g) = r, entonces por 2.3.9 [E : F (α)] = n/r < n. Como g es separable, tiene exactamente r raíces distintas en C, entonces hay exactamente r posibles elecciones de β. Por hipótesis inductiva, en cada caso la inclusión de F (α) en C puede ser extendida a exactamente n/r inclusiones de E en C. Esto produce n inclusiones distintas de E en C que i=0 Departamento de Matemática - UNLP Hoja 11 de 79

2 PRELIMINARES extienden a σ. Pero si τ es cualquier inclusión de F en C que extiende a σ, entonces τ debe mapear a α a una raíz de g como en 2.4.1. Si hubiera más de n posibles τ, habría más de n/r posibles extensiones de al menos una de las inclusiones de F (α) en C, lo cual estaría contradiciendo la hipótesis inductiva. Definición 2.4.3. Una extensión algebraica E de un cuerpo F es normal sobre E (o simplemente extensión normal) si todo polinomio irreducible en F [X] que tiene una raíz en E es split en E[X]. Teorema 2.4.4. Una extensión E/F finita es normal si y sólo si todo F -monomorfismo de E en su clausura algebraica C es, en realidad, un F -automorfismo de E. Observación 2.4.5. En 2.4.2 y 2.4.4, se puede reemplazar la clausura algebraica por cualquier extensión normal fija de F que contenga a E. Además la implicación τ(e) E τ(e) = E es válida para cualquier F -monomorfismo τ y para cualquier extensión finita E/F sin necesidad que ésta sea normal. Teorema 2.4.6. La extensión finita E/F es normal si y sólo si E es un cuerpo split para algún polinomio f F [X]. Corolario 2.4.7. Sea F K E, donde E es una extensión finita de F. Si E/F es normal entonces E/K también lo es. Definición 2.4.8. E/F es una extensión de Galois si es una extensión normal y separable. Podemos decir también que E es Galois sobre F. Se sigue de 2.4.2 y 2.4.4 que si E/F es una extensión finita de Galois, hay exactamente [E : F ] F -automorfismos de E. Si E/F es una extensión finita y separable pero no es normal, al menos una F -inclusión de E en una clausura algebraica no es un automorfismo de E. En este caso el número de F -automorfismos de E es menor que el grado de la extensión. Definición 2.4.9. Si E/F es una extensión arbitraria, el grupo de Galois de la extensión, denotado por Gal(E/F ), es el conjunto de F -automorfismos de E. (El conjunto es un grupo con la composición de funciones.) Definición 2.4.10. Sea E una extensión finita de F, digamos, E = F (α 1,..., α n ). Si N E es cualquier extensión normal de F, entonces N debe contener todas las raíces de min(α i, F ), i = 1,..., n. Si f es el producto de estos polinomios minimales, entonces N debe contener el cuerpo split K de f sobre F. Pero K/F es normal por 2.4.6, entonces K debe ser la extensión normal más pequeña de F que contiene a E. Se denomina a K clausura normal de E sobre F. Definición 2.4.11. Sea G = Gal(E/F ) el grupo de Galois de la extensión E/F. Si H es subgrupo de G, el cuerpo fijo de H es el conjunto de elementos que quedan fijos por cualquier automorfismo sobre H, es decir, F(H) = {x E : σ(x) = x, σ H} Proposición 2.4.12. Sea E/F una extensión finita de Galois con grupo de Galois G = Gal(E/F ). Entonces, el cuerpo fijo de Galois de G es F. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 12 de 79

2.4 Teoría de Galois Demostración. Sea F 0 el cuerpo fijo de G. Si σ es un F -automorfismo de E, entonces por definición de F 0, σ deja fijos a todos los elementos de F 0. Luego, los F -automorfismos de G coinciden con los F 0 -automorfismos de G. Además, por 2.3.21 y 2.4.7, E/F 0 es Galois, y por 2.4.8 la cantidad de elementos del grupo de Galois de una extensión de Galois finita, coincide con el grado de la extensión. Luego, [E : F ] = [E : F 0 ] y por 2.3.9 resulta F = F 0. 2.4.13. Lema de Dedekind Si σ 1, σ 2,..., σ n son distintos homomorfismos de G a E (el conjunto de elementos no nulos de E), entonces los σ i son linealmente independientes sobre E. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 13 de 79

3 EXTENSIONES INTEGRALES 3. Extensiones integrales Si E/F es un cuerpo de extensión y α E, entonces α es algebraico sobre F si y sólo si α es raíz de un polinomio con coeficientes en F. Podemos considerar que el polinomio es mónico. 3.1. Definiciones y propiedades básicas En esta sección consideraremos que todos los anillos son conmutativos con identidad. Sea A un subanillo del anillo R y x R. Decimos que x es integral sobre A si x es raíz de un polinomio mónico f con coeficientes en A. La ecuación f(x) = 0 se llama ecuación de dependencia integral de x sobre A. Si x es un número real o complejo que es integral sobre Z, entonces x se denomina entero algebraico. Luego, para todo entero d, d es un entero algebraico, así como lo es cualquier raíz n-ésima de la unidad. Los polinomios mónicos son X 2 d y X n 1, respectivamente. En preparación para el próximo resultado sobre condiciones equivalentes a integralidad, notar que A[x], el conjunto de los polinomios con coeficientes en A, es un A-módulo, dado que la suma de polinomios es un polinomio, y multiplicar un polinomio por un elemento de A es otro polinomio sobre A. Proposición 3.1.1. Sea A un subanillo de R, con x R. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. x es integral sobre A. 2. El A-módulo A[x] está finitamente generado. 3. x pertenece a un subanillo B de R tal que A B y B es un A-módulo finitamente generado. Demostración. 1) 2) Si x es raíz de un polinomio mónico de grado n, f(x) = x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, entonces x n y toda potencia mayor de x se puede expresar como combinación lineal de potencias menores de x. Luego, { 1, x, x 2,..., x n 1} generan A[x] sobre A. 2) 3) B = A[x] es un A-módulo finitamente generado, x A[x] y A A[x]. 3) 1) Si β 1,..., β n generan B sobre A, entonces xβ i es combinación lineal de los β j, es decir n xβ i = c ij β j. Luego, si β es un vector columna cuyas componentes son los β i, I es la matriz j=1 identidad y C = [c ij ], entonces (xi C)β = 0, y si premultiplicamos por la matriz adjunta de xi C (como en la regla de Cramer), tenemos que [det(xi C)]Iβ = 0, entonces [det(xi C)]b = 0 para todo b B. Como B es un anillo con identidad, tomando b = 1 tenemos que x es raíz del polinomio mónico det(xi C) en A[X]. Luego, x es integral sobre A. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 14 de 79

3.2 Clausura Integral Observación 3.1.2. Si A, B y C son anillos tales que C es un B-módulo finitamente generado y B es un A-módulo finitamente generado entonces C es un A-módulo finitamente generado. En efecto, si suponemos que C está generado por {y 1, y 2,..., y r } y B está generado por {z 1, z 2,..., z s }, entonces por ser C un B-módulo, C = r By j. j=1 Además, B es un A-módulo entonces s B = Az k. Luego, r r s C = By j = Az k y j. k=1 j=1 j=1 k=1 Lema 3.1.3. Sea A un subanillo de R, y x 1,..., x n R. Si x 1 es integral sobre A, x 2 es integral sobre A[x 1 ],..., x n es integral sobre A[x 1,..., x n 1 ], entonces A[x 1,..., x n ] es un A-módulo finitamente generado. Demostración. Si n = 1, x 1 R tal que x 1 es integral sobre A entonces, por 3.1.1, A[x 1 ] es un A-módulo finitamente generado. Supongamos que si x 1 es integral sobre A, x 2 es integral sobre A[x 1 ],..., x n 1 es integral sobre A[x 1,..., x n 2 ] entonces A[x 1,..., x n 1 ] es un A-módulo finitamente generado. Ahora, sea x 1 integral sobre A, x 2 integral sobre A[x 1 ],..., x n integral sobre A[x 1,..., x n 1 ]. Si tomamos C = A[x 1,..., x n ] y B = A[x 1,..., x n 1 ] entonces, por proposición 3.1.1., A[x 1,..., x n ] es un A[x 1,..., x n 1 ]-módulo finitamente generado y por hipótesis A[x 1,..., x n 1 ] es un A-módulo. Luego, por la observación, A[x 1,..., x n ] es un A-módulo finitamente generado. 3.1.4. Transitividad de Extensiones Integrales Sean A, B y C subanillos de R. Si C es integral sobre B, es decir cada elemento de C es integral sobre B, y B es integral sobre A, entonces C es integral sobre A. Demostración. Sea x C tal que x n + b n 1 x n 1 +... + b 0 = 0, con b i B. Entonces, x es integral sobre A[b 0,..., b n 1 ]. Cada b i es integral sobre A, entonces lo es sobre A[b 0,..., b n 1 ]. Por 3.1.3, A[b 0,..., b n, x] es un A-módulo finitamente generado. Por 3.1.1, parte 2), x es integral sobre A. 3.2. Clausura Integral Definición 3.2.1. Si A es un subanillo de R, la clausura integral de A en R es el conjunto A c de elementos de R que son integrales sobre A. Notar que A A c pues cada a A es raíz de X a. Definición 3.2.2. Decimos que A es integralmente cerrado en R si A c = A. Si decimos que A es integralmente cerrado sin hacer referencia a R, asumimos que A es un dominio íntegro con cuerpo cociente K, y A es integralmente cerrado sobre K. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 15 de 79

3 EXTENSIONES INTEGRALES Observación 3.2.3. Si x e y son integrales sobre A, como en la demostración de transitividad de extensiones integrales, se tiene que, por el lema 3.1.3, A[x, y] es un A-módulo finitamente generado. Dado que x + y, x y, x.y pertenecen a este módulo, son integrales sobre A por 3.1.1, parte 2). En conclusión, A c es un subanillo de R que contiene a A. Si tomamos la clausura integral de la clausura integral obtenemos A c. Proposición 3.2.4. La clausura integral A c de A en R es integralmente cerrada en R. Demostración. Por definición A c es integral sobre A. Si x es integral sobre A c y A c es integral sobre A entonces por transitividad, x es integral sobre A. Proposición 3.2.5. Si A es un DFU entonces A es integralmente cerrado. Demostración. Si x pertenece al cuerpo cociente K, entonces podemos escribir x = a b tal que a, b A son primos relativos. Si x es integral sobre A, entonces existe una ecuación de la forma ( a b ) n + an 1 ( a b ) n 1 + +a1 ( a b ) + a 0 = 0, con a i A. Multiplicando por b n, tenemos que a n + bc = 0, con c A. Luego, b divide a a n, lo cual no puede suceder pues a y b son primos relativos, a menos que b no tenga factores primos, es decir b es una unidad. Pero entonces x = ab 1 A. Definición 3.2.6. Un cuerpo numérico es un subcuerpo L de los números complejos C tal que L es una extensión finita de los racionales Q. Llamaremos a los elementos de L números algebraicos. La clausura integral de Z en L se denomina anillo de los enteros algebraicos (o simplemente enteros) de L. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 16 de 79

3.3 Ejercicios 3.3. Ejercicios 3.3.1. Mostrar que en la proposición 3.1.1 otra condición equivalente es: 4. Existe un subanillo B de R que es un A-módulo finitamente generado y xb B. Además, si R es un cuerpo podemos omitir que B es un subanillo, siempre que B 0. Demostración. 2) 4) Por hipótesis, A[x] es un A-módulo finitamente generado. Además, xa[x] A[x]. 4) 1) La demostración es análoga a 3) 1). Sin embargo, si R es cuerpo y B 0, entonces (xi C)β = 0 para todo β B implica que (xi C) = 0 (pues R no tiene divisores de cero). Por lo tanto, x es autovalor de C. Luego, [det(xi C)]Iβ = 0, β B. 3.3.2. Mostrar que en la proposición 3.1 la siguiente es otra equivalencia: 5. Existe un A[x]-módulo fiel B que está finitamente generado como un A-módulo. Demostración. 2) 5) A[x] es un A-módulo finitamente generado. Además como A es un anillo con unidad, A[x] también es un anillo con unidad 1 0. Si tomamos r I tal que r1 = 0, entonces r = 0 (pues por ser 1 unidad, 1r 0, r 0). Por lo tanto, A[x] es fiel. 5) 1) Si B un A[x]-módulo sabemos que xβ B y (xi C)β = 0, β B. Como B es fiel, debe ser xi C = 0, por lo tanto det(xi C) = 0 y x es integral sobre A. Sea A un subanillo de un dominio íntegro B, con B integral sobre A. En los problemas de 3.3.3 a 3.3.5 mostraremos que A es un cuerpo si y sólo si B lo es. 3.3.3. Supongamos que B es un cuerpo, y sea a un elemento no nulo de A. Entonces, como a 1 B, existe una ecuación de la forma (a 1 ) n + c n 1 (a 1 ) n 1 +... + c 1 a 1 + c 0 = 0, con c i A. Mostrar que a 1 A, probando así que A es cuerpo. Demostración. Sea a A, luego a n 1 [(a 1 ) n + c n 1 (a 1 ) n 1 +... + c 1 a 1 + c 0 ] = 0 entonces, a 1 + c n 1 + c n 2 a + c n 3 a 2 +... + c 1 a n 2 + c 0 a n 1 = 0. Por lo tanto, a 1 = c n 1 c n 2 a c n 3 a 2... c 1 a n 2 c 0 a n 1 A pues a n, c i A. Luego, A es cuerpo. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 17 de 79

3 EXTENSIONES INTEGRALES 3.3.4. Supongamos que A es un cuerpo, y sea b un elemento no nulo de B. Por la proposición 3.1.1, parte 2, A[b] es un espacio vectorial de dimensión finita sobre A. Sea f una A-transformación lineal sobre este espacio vectorial dada por multiplicar por b, es decir f(z) = bz, z A[b]. Mostrar que f es inyectiva. Demostración. Sean z, w A[b]. Si f(z) = f(w) entonces bz = bw. Por lo tanto, b(z w) = 0, y por ser A[x] un dominio íntegro (pues A[b] es un subanillo de B que es dominio íntegro), se tiene que z w = 0, es decir z = w. Luego, f es inyectiva. 3.3.5. Mostrar que f es suryectiva, y concluir que B es un cuerpo. Demostración. Sea f : A[b] A[b]. Sabemos que Por ser f inyectiva, dim(a[b]) = dim(nu(f)) + dim(im(f)). dim(a[b]) = dim(im(f)). Por lo tanto, f es suryectiva. Ahora, para 1 A[b] existe z A[b] tal que f(z) = 1, por lo tanto bz = 1 entonces z = b 1. Además, como A[b] es anillo conmutativo 1 = bz = zb. Luego, B es cuerpo (pues para cada elemento no nulo de B se puede definir una transformación f). En los problemas de 3.3.6 a 3.3.8, consideraremos A un subanillo de B, con B integral sobre A, Q un ideal primo de B y P = Q A. 3.3.6. Mostrar que P es un ideal primo de A, y que A/P puede considerarse como un subanillo de B/Q. Demostración. Veamos que P = Q A es un ideal de A. Sea p P y a A. Como A es subanillo de B tenemos que a B, entonces ap A y por ser Q ideal de B, ap Q. Luego, ap P. Veamos que P es primo. Si P = A entonces A Q, lo cual es absurdo ya que 1 A y Q es ideal. Luego, P A. Si consideramos la aplicación inclusión J : A B, tenemos que P = J 1 (Q) es la preimagen de un ideal primo por un homomorfismo de anillos, luego P es un ideal primo (2.1.11). Por otra parte, A es anillo y P es un ideal de A, por lo tanto A/P es anillo. Si consideramos la aplicación f : A/P B/Q dada por f(a + P ) = a + Q, está bien definida y es inyectiva entonces A/P puede considerarse como un subanillo en B/Q. 3.3.7. Mostrar que B/Q es integral sobre A/P. Demostración. Sea b + Q B/Q. Para b B existe un polinomio p = a n x n +... + a 1 x + a 0, con coeficientes en A tal que p(b) = 0. Por el ejercicio anterior, existe una inyección J : A/P B/Q tal que J(a i + P ) = a i + Q B/Q, es decir podemos identificar a cada elemento de A/P con un elemento de B/Q. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 18 de 79

3.3 Ejercicios Ahora, si cocientamos con Q, a n b n +... + a 1 b + a 0 = 0 a n b n +... + a 1 b + a 0 = 0. Luego, B/Q es integral sobre A/P. 3.3.8. Mostrar que P es un ideal maximal de A si y sólo si Q es un ideal maximal de B. Demostración. ) Si P es ideal maximal del anillo conmutativo A entonces A/P es cuerpo (2.1.15). Además, si Q es primo tenemos que B/Q es dominio íntegro (2.1.13), A/P es subanillo B/P (3.3.6) y B/Q es integral sobre A/P (3.3.7) entonces como A/P es cuerpo resulta B/Q cuerpo (3.3.4), por lo tanto B/Q es un anillo de división. Luego, Q es maximal. ) Si Q ideal maximal del anillo conmutativo B entonces B/Q es cuerpo. Además, por 3.3.6 A/P es subanillo del dominio íntegro B/Q y por 3.3.7 B/Q es integral sobre A/P, por lo tanto A/P es cuerpo (3.3.3) entonces A/P es anillo de división. Luego, por 2.1.15 P es maximal. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 19 de 79

4 EXTENSIONES CUADRÁTICAS DE LOS RACIONALES 4. Extensiones cuadráticas de los racionales En este capítulo determinaremos los enteros algebraicos de Q( d) = {a + b d : a, b Q}, donde podemos suponer sin pérdida de la generalidad que d es un entero libre de cuadrados, o sea, se puede escribir como producto de factores primos distintos. Un ejemplo es: ya que 12 = 2 2 3. Q( 12) = Q( 3), El polinomio minimal de d sobre Q es X 2 d, cuyas raíces son ± d, entonces Q( d)/q es normal (2.4.6) y además, por 2.3.20, es separable. Luego, Q( d)/q es Galois (2.4.8) y el grupo de Galois consiste de la identidad y del automorfismo σ(a + b d) = a b d para a, b Q. 4.1. Enteros algebraicos de Q( d) Lema 4.1.1. Si a y b son racionales, a + b d es un entero algebraico si y sólo si 2a y a 2 db 2 pertenecen a Z. Demostración. ) Si x = a + b d, σ(x) = a b d. Luego x + σ(x) = 2a Q y además xσ(x) = a 2 db 2 Q. Si x es un entero algebraico entonces es raíz de algún polinomio mónico f Z[X]. Pero como σ es un automorfismo f(σ(x)) = σ(f(x)) = σ(0) = 0, entonces σ(x) también es raíz de f y consecuentemente, un entero algebraico. Por 3.2.3 tenemos que 2a y a 2 db 2 resultan enteros algebraicos y como Z es algebraicamente cerrado (3.2.5), 2a y a 2 db 2 pertenecen a Z. ) Para la vuelta tenemos que a + b d verifica la ecuación (X a) 2 = db 2, lo que es igual a decir que a + b d es raíz del polinomio X 2 2aX + a 2 db 2, cuyos coeficientes, por hipótesis, están en Z. Observación 4.1.2. Si 2a y a 2 db 2 pertenecen a Z, 2b también pertenece a Z, ya que (2a) 2 d(2b) 2 = 4(a 2 db 2 ) Z = d(2b) 2 Z, y si suponemos que 2b no es entero tenemos que 2b = p q con p, q Z coprimos, de este modo, (2b) 2 = ( ) p 2 ( ) p 2 = d(2b) 2 = d, q q y como d es libre de cuadrados no se puede simplificar con q 2, lo cual contradice el hecho anterior. Por lo tanto, 2b Z. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 20 de 79

4.1 Enteros algebraicos de Q( d) Corolario 4.1.3. El conjunto B de enteros algebraicos de Q( d) con d libre de cuadrados puede ser descripto de la siguiente forma: 1. Si d / 1 mod 4, entonces B consiste de todos los números de la forma a + b d, con a, b Z. 2. Si d 1 mod 4, entonces B consiste de todos los números de la forma u 2 + v 2 d con u, v Z y con la misma paridad. Observación 4.1.4. Por ser d entero libre de cuadrados, la condición en 1 se reduce a los casos d 2 mod 4 ó d 3 mod 4. Demostración. 1. Veamos que si a + b d es entero algebraico entonces a, b Z. Por 4.1.1 y 4.1.2 sabemos que 2a, 2b y a 2 db 2 son enteros, entonces (2a) 2 (2b) 2 d 4 Z, más aún, como (2b) 2 d Z y d es libre de cuadrados, se tiene que b = p 2 con p Z y (2a)2 p 2 d 0 mod 4, además como d 2 ó d 3 mod 4, a debe ser entero y p par, ya que si suponemos que p es impar, existe k Z tal que p = 2k + 1, entonces (2a) 2 (2k + 1) 2 d 0 = 4a 2 (4k 2 d + 4kd + d) 0 = 4 (a 2 k 2 d + kd) d 0 mod 4, }{{} Z lo cual es absurdo porque d es libre de cuadrados. Por lo tanto p es par, lo que implica que b Z. 2. Por 4.1.1 los enteros algebraicos de Q( d) son de la forma u 2 + v 2 d con u, v Z y u 2 4 + d v2 4 Z, o sea u 2 dv 2 0 mod 4, entonces u y v tienen que tener la misma paridad, más aún el caso en que ambos son impares ocurre si d 1 mod 4, y el caso en que ambos son pares es equivalente a decir que u 2, v 2 Z. Podemos expresar este resultado de manera más conveniente. Para ello mostraremos más adelante que el conjunto de enteros algebraicos de cualquier cuerpo numérico L es un Z-módulo libre de rango n = [L : Q]. Una base para este módulo es llamada base integral. Teorema 4.1.5. Sea B como en el corolario anterior. 1. Si d / 1 mod 4, entonces 1 y d forman una base integral de B. 2. Si d 1 mod 4, entonces 1 y 1 2 (1 + d) forman una base integral para B. Demostración. 1. Por 4.1.3 sabemos que 1 y d generan B y como d es irracional, son linealmente independientes. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 21 de 79

4 EXTENSIONES CUADRÁTICAS DE LOS RACIONALES 2. Por 4.1.3 ahora tenemos que 1 y 1 2 (1 + d) son enteros algebraicos, bastaría con ver que generan B y que son linealmente independientes. Consideremos 1 2 (u + v d) donde u y v tienen la misma paridad, luego con u v 1 2 (u + v d) = ( u v 2 ) 1 + v [ 1 2 (1 + d) 2 y v enteros. Finalmente, para la independencia lineal consideremos a, b Z y la ecuación [ 1 a + b 2 (1 + ] d) = 0. ], Luego, 2a + b + b d = 0 lo cual fuerza a que a y b sean iguales a 0. 4.2. Cuerpos ciclotómicos Definición 4.2.1. Una extensión ciclotómica de F es un cuerpo split E de f(x) = X n 1 sobre F. Las raíces de f son denominadas raíces n-ésimas de la unidad, y forman un subgrupo multiplicativo del grupo E de elementos no nulos de E. Este subgrupo es cíclico. Observar además que toda extensión ciclotómica es normal (2.4.6). Definición 4.2.2. Una raíz n-ésima de la unidad es primitiva si es de orden n en E. Definición 4.2.3. El n-ésimo polimonio ciclotómico ψ n (X) es definido como el producto de los términos X ω, donde ω varía entre todas las raíces n-ésimas primitivas de la unidad, en C. De este modo, una raíz n-ésima de la unidad es una raíz d-ésima primitiva de la unidad, para d cualquier divisor de n. Luego X n 1 es el producto de todos los polinomios ciclotómicos ψ d (X), con d divisor de n. En particular, si n = p r es una potencia de un número primo, como los divisores de p r son de la forma p s con s r, se tiene que : ψ p r(x) = Xpr 1 X pr 1 1 = tp 1 t 1 = 1 + t +... + tp 1, donde t = X pr 1. Si X = 1, entonces t = 1, lo cual implica que ψ p r(x) = p. Supongamos que F es un cuerpo de característica p y p n. Si ω es una raíz n-ésima de la unidad tenemos que 0 = ω n 1 = (ω n 1) p, entonces el orden de ω debe ser menor que n. Para evitar que esto suceda, consideraremos F de manera tal que su característica no divida a n. Luego f (X) = nx n 1 0, entonces por 2.3.19 f es separable y consecuentemente E/F es Galois. Como hay n raíces n-ésimas de la unidad distintas, debe existir una que sea primitiva, para esa raíz ω tendremos que E = F (ω). Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 22 de 79

4.2 Cuerpos ciclotómicos Si σ es cualquier automorfismo en Gal(E/F ) y ω es una raíz n-ésima primitiva de la unidad, entonces σ(ω) = ω r, donde ω r también es una raíz n-ésima primitiva de la unidad y además n y r son coprimos. Observación 4.2.4. Si ω n = e 2πi/n es una raíz n-ésima primitiva de la unidad, se tiene que: 1. ω 2 2n = e2(2πi/2n) = e 2πi/n = ω n. 2. ω n+1 2n = e πi(n+1)/n = e πi e πi e πi/n = ω 2n. Podemos deducir de 1) que Q(ω n ) Q(ω 2n ), más aún, se puede ver que Q(ω n ) = Q(ω 2n ) (ejercicio 4.3.4). Esto nos muestra que en general los cuerpos ciclotómicos no se comportan de igual manera que las extensiones cuadráticas de Q, ya que las extensiones Q( d) con d libre de cuadrados son todas distintas (ejercicio 4.3.2). Departamento de Matemática - UNLP Hoja 23 de 79

4 EXTENSIONES CUADRÁTICAS DE LOS RACIONALES 4.3. Ejercicios 4.3.1. Mostrar que si L = Q(α), donde α es una raíz del polinomio cuadrático irreducible X 2 + bx + c (b, c Q), entonces L = Q( d) para algún entero d libre de cuadrados. Demostración. Si α es raíz del polinomio cuadrático X 2 + bx + c, entonces α 2 + bα + c = 0 = α = b ± b 2 4c 2 = Q(α) = Q( b 2 4c), como b 2 4c Q existen p, q Z coprimos, tales que b 2 4c = p q. Luego b 2 4c = p q = 1 q 2 p q = Q( b 2 4c) = Q( pq). Por otro lado, como p y q son coprimos, podemos decir que p = ux 2 y q = vy 2 con x, u, v, y Z y u, v libres de cuadrados y coprimos. De este modo tenemos que, pq = xy uv = Q( pq) = Q( uv). Por lo tanto, existe d = u v entero libre de cuadrados, tal que L = Q( d). 4.3.2. Mostrar que las extensiones cuadráticas de Q( d), con d libre de cuadrados, son todas distintas. Demostración. Sean d y d enteros libres de cuadrados distintos. Si Q( d) = Q( d ), entonces existen a, b Q tales que d = a + b d = d = (a + b d ) 2 = d = a 2 + 2ab d + b 2 d = (a 2 + 2ab d + b 2 d ) Z, pero (a 2 + b 2 d ) Q, entonces 2ab d Q lo cual es posible sólo si a = 0 y b = 1, y en ese caso d = d. Por lo tanto, si d d se tiene que Q( d) Q( d ). 4.3.3. Mostrar que dos extensiones cuadráticas de Q que no son distintas son Q-isomorfas. Demostración. Supongamos que tenemos un isomorfismo φ : Q( d) Q( d ), entonces existen a, b Q tales que φ( d) = a + b d. Luego φ(d) = a 2 + b 2 d + 2ab d, lo cual es absurdo, ya que la imagen de d por cualquier Q-isomorfismo es el mismo d. 4.3.4. Mostrar que si n es impar, entonces Q(ω n ) = Q(ω 2n ). Demostración. Veamos la doble inclusión. ) Si ω n = e 2πi/n es una raíz n-ésima primitiva de la unidad, por 4.2.4 sabemos que ω 2 2n = ω n, lo cual implica que Q(ω n ) Q(ω 2n ). Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 24 de 79

4.3 Ejercicios ) Si consideramos n impar, entonces existe k Z tal que n + 1 = 2k. Como por 4.2.4 tenemos que ω2n n+1 = ω 2n, luego ω 2n = ω2n 2k = (ω2n) 2 k = (ω n ) k Q(ω n ). Por lo tanto, para n impar, Q(ω n ) = Q(ω 2n ). 4.3.5. Si a es un entero algebraico, mostrar que el polinomio minimal de a sobre Q tiene coeficientes en Z. Consecuentemente, un entero algebraico que pertenece a Q, pertenece a Z. (El polinomio minimal de r Q sobre Q es X r.) n Demostración. Como a es un entero algebraico, existe un polinomio mónico f = α i x i con α i Z, ( i = 0,..., n) tal que f(a) = 0. Si m a Q[X] es el polinomio minimal de a en Q[X], por Cayley-Hamilton existe h Q[X] tal que f = m a h. Como f y m a son ambos mónicos, por (2.3.4) se tiene que m a Z[X]. Como consecuencia tenemos que si r Q es un entero algebraico, el polinomio X r pertenece a Z[X], con lo cual r Z. 4.3.6. Dar un ejemplo de una extensión cuadrática de Q que también sea un cuerpo ciclotómico. Demostración. Una extensión cuadrática de Q que es también una extensión ciclotómica es: Q( ( 3) = Q 1 2 + 1 ) 3, 2 i=0 donde ω = 1 2 + 1 2 3 es una raíz 3-ésima primitiva de la unidad. 4.3.7. Una base integral para el anillo B de enteros algebraicos de un cuerpo numérico L es, en particular, una base para L sobre Q. Demostración. Sea dim(b) = n y {b 1,..., b n } una base para B. Si tomamos α i = β i γ i n β i, γ i Z y γ i 0, para cada i = 1,..., n, tales que α i b i = 0, entonces n α i b i = i=1 Sea γ = γ 1... γ n el denominador común, entonces 1 γ n i=1 n γ j β i b i = 0 = i=1 j i i=1 β i γ i b i = 0. n γ j β i b i = 0, i=1 j i Q, con pero para cada i = 1,..., n, j i γ j β i es entero. Luego, como {b 1,..., b n } es una base para B, γ j β i = 0 para todo i. Esto es posible sólo si β i = 0 i = 1,..., n, ya que γ i 0 y Z es un j i anillo sin divisores de cero. Por lo tanto los b i son n vectores linealmente independientes sobre Q, y como dim(l/q) = [L : Q] = n, podemos concluir que {b 1,..., b n } es una base para L sobre Q. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 25 de 79

5 NORMAS Y TRAZAS 5. Normas y Trazas 5.1. Definiciones y propiedades básicas Si E/F es un cuerpo de extensión de grado n, entonces podemos ver a E como un espacio vectorial de dimensión n sobre F, y las herramientas del Álgebra Lineal básica son válidas. Si x es un elemento de E, podemos estudiar la F -transformación lineal m(x) dada por la multiplicación por x, esto es, m(x)y = xy. Definición 5.1.1. Definimos la norma y la traza de x, relativas a la extensión E/F como N[E/F ](x) = det [m(x)] y T [E/F ](x) = T r [m(x)]. Escribiremos N(x) y T (x) si E/F es conocido. Si la matriz A(x) = [a ij (x)] representa m(x) con respecto a alguna base de E sobre F, entonces la norma de x es el determinante de A(x) y la traza de x es la traza de A(x). Definición 5.1.2. Definimos el polinomio característico de x como el polinomio característico de la matriz A(x), esto es, char[e/f ](x) = det [XI A(x)], donde I es la matriz identidad de orden n. Si E/F es conocido, escribiremos char(x). Ejemplo 5.1.3. Sea E = C, F = R y {1, i} una base de C para R. Si x = a + bi tenemos Luego, (a + bi)(1) = a(1) + b(i) y (a + bi)(i) = b(1) + a(i). ( ) a b A(a + bi) =. b a La norma, traza y polinomio característico de a + bi son N(a + bi) = a 2 + b 2, T (a + bi) = 2a, char(a + bi) = X 2 2aX + a 2 + b 2. El cálculo es exactamente el mismo si E = Q(i) y F = Q. Notar que el coeficiente de X es T (x) y el término constante es N(x). En general, se sigue de la definición de polinomio característico que char(x) = X n T (x)x n 1 +... + ( 1) n N(x). (Los únicos términos que multiplican X n 1 en la expansión del determinante son a ii (x), para i = 1,..., n. Tomando X = 0 podemos ver que el término constante de char(x) es ( 1) n det A(x).) Lema 5.1.4. Si E es una extensión de F y x E, entonces N(x), T (x) y los coeficientes de char(x) pertenecen a F. Si a F, entonces N(a) = a n, T (a) = na, char(a) = (X a) n. Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 26 de 79

5.1 Definiciones y propiedades básicas Demostración. La primera afirmación se sigue del hecho de que las entradas de la matriz A(x) están en F. La segunda es válida porque si a F, la matriz que representa la multiplicación por a es ai. Es natural buscar una conexión entre el polinomio característico de x y el polinomio minimal de x sobre F. Proposición 5.1.5. char[e/f ](x) = [min(x, F )] r donde r = [E : F (x)]. Demostración. Si r = 1, E = F (x). Por el Teorema de Cayley Hamilton, la transformación lineal m(x) satisface char(m(x)), y dado que m(x) es la multiplicación por x, x es raíz de char(m(x)). Luego, min(x, F ) divide a char(x). Pero cada uno de los polinomios tiene grado n; con lo cual el resultado se sigue. En el caso general, sea {y 1,..., y s } una base de F (x) sobre F, y sea {z 1,..., z n } una base de E sobre F (x). Entonces {y i z j } ij forma una base de E sobre F. Sea A = A(x) la matriz que representa la multiplicación por x en la extensión F (x)/f, entonces xy i = a ki y k, y x(y i z j ) = a ki (y k z j ). k k Ordenamos la base de E/F como {y 1 z 1, y 2 z 1,..., y s z 1 ; y 1 z 2, y 2 z 2,..., y s z 2 ;... ; y 1 z r, y 2 z r,..., y s z r }. Entonces m(x) es representada en E/F como A 0... 0 0 A... 0...... 0 0... A Luego, char[e/f ](x) = [det(xi A)] r. Corolario 5.1.6. Sea [E : F ] = n, y [F (x) : F ] = d. Sean x 1,..., x d las raíces de min(x, F ) en un cuerpo split (contando multiplicidad). Entonces y d N(x) = ( x i ) n/d, i=1 T (x) = n d d i=1 x i char(x) = [ d (X x i )] n/d. i=1 Demostración. La fórmula para el polinomio característico se sigue de 5.1.5. Si evaluamos char(x) en X = 0, obtenemos ( 1) n N(x) (ver 5.1.3), entonces d d N(x) = ( 1) n ( 1) n ( x i ) n/d = ( x i ) n/d. i=1 Departamento de Matemática - UNLP Hoja 27 de 79 i=1