y propiedades de materiales anisótropos Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 1
Propiedades de materiales anisótropos Muchos usos tradicionales y avanzados de los materiales se basan en que una o varias de sus propiedades físicas f son diferentes en diferentes direcciones (no tienen simetría a rotacional) Es decir, son anisótropos Pero pueden ser homogéneos o heterogéneos según n que posean o no simetría translacional. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 2
Ejemplos de materiales anisótropos A A Difusión diferencial en electroforesis Materiales laminados sección A-A Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 3
Propiedades de materiales anisótropos en un tratamiento interesa que la difusión perpendicular a la piel sea mayor que paralela a la misma Difusión de medicamentos a través de la piel Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 4
Propiedades de materiales anisótropos en una protección solar interesa que la difusión perpendicular a la piel sea pequeña Difusión de medicamentos a través de la piel Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 5
Propiedades de materiales anisótropos Ala de airbus compuesto ( composite ) epoxi-carbono Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 6
Propiedades de materiales anisótropos Multiplexador para fibra óptica El movimiento de los microespejos puede controlarse por medio de la piezoelectricidad o la termoelectricidad Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 7
q = k T k 0.02 0 0 = 0 0.02 0 kj/s m K 0 0 0.13 3 baja conductividad térmica paralelamente a la superficie 1 2 alta conductividad térmica perpendicularmente a la superficie Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 8
Propiedades de materiales anisótropos Algunas propiedades de materiales con apl. anisótropas: difusividad másica conductividad eléctrica conductividad térmica permeabilidad magnética expansión térmica actividad óptica efectos piezoeléctrico directo e inverso efecto Hall efectos Pockels y Kerr efecto termoeléctrico complianza y rigidez elásticas efecto piroeléctrico Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 9
Para poder hacer cálculos c con materiales anisótropos es preciso adquirir un bagaje mínimo m de cálculo c tensorial* Distinguimos dos tipos de tensores: de materia representan propiedades físicas de un material o coeficientes fenomenológicos en ecuaciones constitutivas suelen ser los mismos en todos los puntos del espacio de campo representan soluciones de ecuaciones de campo suelen ser distintos en cada punto del espacio * en esta asignatura sólo se requieren conocimientos básicos de tensores cartesianos, es decir, los asociados a transformaciones de coordenadas no sólo lineales sino además ortogonales. En este caso la distinción entre tipos covariantes, contravariantes y mixtos desaparece, y el cálculo se reduce a la manipulación de diadas, triadas, etc. y no es necesario recurrir al tensor métrico. Por tanto estas notas son válidas exclusivamente para tensores cartesianos. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 10
Tensores de materia: difusividad másica conductividad eléctrica conductividad térmica permeabilidad magnética expansión térmica actividad óptica efectos piezoeléctrico directo e inverso efecto Hall efecto Kerr efecto termoeléctrico complianza rigidez Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 11
Tensores de campo de orden 1: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza de orden superior a 1 sólo s estudiaremos: tensor de esfuerzos tensor gradiente de velocidad tensor gradiente de desplazamiento El modo de operar con los de campo y de materia es el mismo Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 12
Notación el orden de un tensor es el número de subíndices que tiene de modo informal, es una tabla de 1, 2, 3,... dimensiones (tantas como el orden) que contiene, en general, d orden elementos, donde d es la dimensión del espacio (en esta asignatura, 3)* denotaremos el orden subrayando la variable (propiedad, campo) tantas veces como su orden tensorial D coeficiente de difusión o difusividad d módulo piezoeléctrico es un tensor de materia de segundo orden es un tensor de materia de tercer orden * la definición rigurosa se vé más adelante Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 13
Ejemplos de tensores de materia p 1 er orden 2º orden coef. piroeléctrico (C/m 2.K) D ρ difusividad (m 2 /s) resistividad eléctrica (Ω.m) σ k α ε conductividad eléctrica (S/m) conductividad térmica (W/m.K) coef. de expansión térmica (K -1 ) constante dieléctrica relativa (-) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 14
Ejemplos de tensores de materia d r d 3 er orden 4º orden módulo piezoeléctrico directo e inverso (C/N) coef. electroóptico lineal (efecto Pockels) (m/v) coef. de efecto Hall (Ω.m/T) s c s ρ Π complianza elástica (Pa -1 ) rigidez elástica (Pa) coeficiente electroóptico cuadrático (efecto Kerr) (m 2 /V) coeficiente magnetoresistivo (cuadrático) (Ω.m/T 2 ) coeficiente fotoelástico (-) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 15
Ejemplos de tensores de campo v u E J A P J 1 er orden 2º orden velocidad de un fluido (m/s) desplazamiento (m) campo eléctrico (V/m) flujo másico de A (kg/m 2 s, o kmol/m 2 s o átomos/m 2 s) polarización (C/m 2 ) densidad de corriente eléctrica (A/m 2 ) τ ε γ tensor de esfuerzos (Pa) tensor deformación (-) tensor velocidad de deformación (1/s) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 16
Las operaciones con tensores de campo generalizan las relaciones ya conocidas entre escalares (tensores de orden 0) y vectores (orden 1). P.ej.:.: ε = αδt deformación = coeficiente de expansión térmica x incremento de temperatura Cuando un material es isótropo, el coef. de expansión térmica es el mismo en todas las direcciones ε = αδt Un material no isótropo se deforma de modo diferente en diferentes direcciones ε = αδt Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 17
Muchas de las relaciones que conocemos en su versión escalar (para materiales isótropos) son en general tensoriales J = D C A A flujo másico = difusividad x gradiente de concentración P = d : τ polarización eléctrica = módulo piezoeléctrico x esfuerzo Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 18
Reflejan p.ej.. el hecho de que en la ley de Ohm,, cada componente del campo eléctrico puede depender de todas las componentes de la densidad de corriente: E1 = ρ11j1 + ρ12j2 + ρ13j3 E = ρ J + ρ J + ρ J E = ρ J + ρ J + ρ J 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 o bien, p.ej. que en el efecto piezoeléctrico inverso, cada componente de la deformación n puede depender de todas las componentes del campo aplicado: ε11 = Ed 1 111 + Ed 2 211 + Ed 3 311 ε12 = Ed 1 112 + Ed 2 212 + Ed 3 312 ε13 = Ed 1 113 + Ed 2 213 + Ed 3 313 etc... Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 19
Las direcciones coordenadas se especifican como 1, 2 y 3 (no como x,y,z) Usaremos varios tipos de productos entre tensores; estos productos os (que se definen a continuación) n) se denotan por medio de símbolos s como : En ocasiones usaremos con estos productos tipos especiales de paréntesis para hacer patente la naturaleza (orden tensorial) del resultado de un producto: er [ ] { } () = escalar = vector (tensor 1 orden) = tensor 2º orden El orden del resultado de un producto se obtiene del siguiente modo: m signo de multiplicación orden del resultado ninguno : suma de órdenes de los factores suma de órdenes de los factores - 1 suma de órdenes de los factores - 2 suma de órdenes de los factores - 4 suma de órdenes de los factores - 6 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 20
Por ejemplo: uv es de orden 1+1=2 [ u v] es de orden 1+1-1=1 { σ τ } es de orden 2+2-2=2 ( σ : τ ) es de orden 2+2-4=0 { } c : ε es de orden 4+2-4=2 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 21
Los vectores unitarios (cartesianos) se denotan como: δ 1, δ 2, δ 3 La delta de Kronecker o símbolo s de Zehfuss como: δ ij + 1 si i = j = 0 si i j El símbolo s de permutación, o símbolo s de Levi-Civita, o símbolo s de Eddington*, como: + 1 si ijk = 123,231 o 312 εijk = 1 si ijk = 321,213 o 132 0 si hay dos índices iguales * más exactamente, el símbolo de permutación es un pseudotensor (de tercer orden), del mismo modo que el resultado de un producto vectorial es un pseudotensor de 1er orden, pseudovector o vector axial; en contraposición con un vector polar, vector propiamente dicho o tensor de 1er orden; en esta asignatura no tendremos en cuenta la distinción entre tensores (paridad impar, que son invariantes bajo rotación) o pseudotensores (paridad par, que son invariantes bajo rotación y reflexión) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 22
Se verifica: 1 ε ijk = ( i j )( j k )( k i ) 2 3 k= 1 3 3 j= 1 k= 1 ε ε = δ δ δ δ ijk mnk im jn in jm ε ε = 2δ ijk hjk ih 3 3 3 i= 1 j= 1 k= 1 ε ε ijk ijk = 6 Un determinante 3 33 3 puede escribirse como: a11 a12 a13 3 3 3 a a a = ε a a a a a a 21 22 3 ijk 1i 2 j 3k i= 1 j= 1 k= 1 31 32 33 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 23
Operaciones con vectores unitarios: ( ) δ δ = δ i j ij (producto escalar) δ δ = ε δ i j ijk k k = 1 3 (producto vectorial) Expresión n de un vector (tensor de 1 er orden) en vectores unitarios: v 3 = δ iv Esta expresión n puede interpretarse como el tensor, en el lugar i= 1 indicado por el índice i, contiene el valor (componente) Magnitud de un vector (módulo): v i v 3 = v i= 1 2 i v i v = v i fila i Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 24
Convenio de sumación n sobre índices repetidos (Einstein): en un producto en el que aparece uno o varios índices repetidos (y no hay signos de sumatorio explícitos sobre esos índices), se entenderá que existe sumación n sobre esos índices. ndices. Esta convención n es exactamente equivalente a mantener los sumatorios, pero elimina los signos de sumación n y reduce notablemente la complejidad de las expresiones. P. ej. un vector puede escribirse como: 3 v δ v δ v = = i i i i i= 1 índice repetido i suma sobre este índice 2 Atención: n: en la expresión v i NO hay índice repetido, por tanto no hay suma sobre i: La expresión 2 v i 3 3 2 i i i i i i= 1 i= 1 v = vv = vv = v 3 2 2 i i i= 1 v v = v significa el cuadrado de la i-ésima sima componente del vector (donde el valor de i no está especificado) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 25
Operaciones con vectores: escalar por vector: sv = sδ v = δ ( sv ) i i i i producto escalar de dos vectores: u v= ( δ u) ( δ v ) = ( δ δ ) uv = δ uv = uv i i j j i j i j ij i j i i (esta expresión contiene dos índices repetidos, es por tanto una doble suma con un total de 9 términos. De estos nueve términos, la δ de Kronecker selecciona los 3 términos que se indican) producto vectorial: u v= ( δiui) ( δ jvj) = δi δ j uv i j = εijkδkuv i j = εkijδkuv i j = δ δ δ = 1 2 3 u u u 1 2 3 v v v 1 2 3 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 26
Para tensores cartesianos de órdenes superiores se opera de modo análogo. En vez de vectores unitarios se utilizan diadas,, triadas, tetradas, etc. unitarias: Las diadas unitarias son: Las triadas unitarias son: Tensores cartesianos δ iδ j, i, j = 1,2,3 (hay 9) δ 1δ1, δ1δ 2, δ 1δ 3, δ 2δ1, δ 2δ 2, δ 2δ 3, δ 3δ 1, δ 3δ 2, δ 3δ 3 Las triadas unitarias son: δ iδ jδ k, i, j, k = 1,2,3 (hay 27) Las tetradas unitarias son: δ iδ jδ kδ l, i, j, k, l = 1,2,3 (hay 81) Las tetradas unitarias son: y así sucesivamente para órdenes superiores El nombre de las diadas es delta delta i delta j, j, el de las triadas es delta i delta j delta k, k, etc. Es decir, la diada unitaria es el bloque : etc. δ δ Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 27 i j
Un tensor de 2º 2 orden se expresa en función n de sus componentes y de las diadas unitarias de modo absolutamente análogo a uno de 1 er orden 3 3 τ = δδτ = δδτ i= 1 j= 1 i j ij i j ij Esta expresión n puede interpretarse como en el tensor, en el lugar indicado por los índices ij, colocar el valor (componente) Representando el tensor de 2º 2 orden como una matriz (atenci( atención: : un tensor de 2º 2 orden NO es una matriz; sus componentes se pueden representar como una matriz; la distinción n se ve más m s adelante) τ = τ ij columna j fila i (dos índices repetidos, doble suma, 9 términos) t τ τ ij Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 28
Un tensor de 3 er orden se expresa en función n de sus componentes y de las triadas unitarias de modo absolutamente análogo a uno de 1er o de 2º 2 orden 3 3 3 d = δδ δ d = δδ δ d i= 1 j= 1 k= 1 i j k ijk i j k ijk Esta expresión n puede interpretarse como en el tensor, en el lugar (componente) indicado por los índices ijk, colocar el valor d (tres índices repetidos, triple suma) d ijk Representando un tensor de 3 er orden como un cubo: índice k d ijk índice i índice j Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 29
Operaciones con diadas unitarias: es una generalización n directa de las operaciones con vectores unitarios: δδ i j δ k = δ i( δ j δ k) = δδ i jk δ i δ jδ k = ( δ i δ j) δ k = δ kδij δ δ δ δ = δ ( δ δ ) δ = δ δ δ = δ δ δ { } ( ) i j k l i j k l i jk l i l jk δδ : δ δ = ( δ δ)( δ δ ) = δδ i j k l i l j k il jk (productos escalares, o contracciones, de diada unitaria por vector unitario) (producto escalar, o contracción, n, de dos diadas unitarias (doble contracción n de dos diadas unitarias) Como regla general, cada (llamada contracción n de índices o producto interno) opera sobre los símbolos s que están n inmediatamente a su izquierda y a su derecha, es decir, es formalmente idéntico a un producto escalar de los dos vectores unitarios adyacentes al operador. Cuando hay más m s de una contracción n (p.ej. : es una doble contracción n tensorial), se lleva a cabo la operación n anterior tantas veces como contracciones haya. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 30
Operaciones con triadas, tetradas, etc. unitarias: se aplica la regla general de la transparencia anterior hasta realizar todas las contracciones: { } δδ δ δ = δδ ( δ δ) = δδδ i j k l i j k l i j kl δ δ δ : δ δ = δ ( δ δ )( δ δ ) = δ δ δ i j k l m i k l j m i kl jm ( ) δδ δ δδ δ = ( δ δ )( δ δ)( δ δ ) = i j k l m n i n k l j m = δ δ δ in jm kl producto, o contracción, n, de triada unitaria por vector unitario; resultado: tensor de 2º 2 orden doble contracción n de triada unitaria por diada unitaria; resultado: tensor de 1er orden triple contracción n de triada unitaria por triada unitaria; resultado: escalar, tensor de orden cero Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 31
Mientras que las contracciones anteriores reducen el orden del resultado r respecto a la suma de órdenes de los factores, existe finalmente otro tipo de producto, el producto diádico dico,, no conmutativo, de dos vectores, cuyo resultado es un tensor de segundo orden: uv = δ δ u v i j i j ( uv vu) Producto diádico dico de dos vectores. Se denota escribiendo los dos factores sin ningún n signo de multiplicación n entre ambos. Resultado: tensor de 2º 2 orden (con 9 componentes, hay doble suma, sobre los dos índices repetidos) Usando las anteriores definiciones, el modo de realizar productos s es: Doble contracción n de dos tensores de 2º 2 orden: ( ) ( ) σ : τ = δ δ σ ):( δ δ τ = ( δ δ )( δ δ ) σ τ = δ δ σ τ = σ τ i j ij k l kl i l j k ij kl il jk ij kl ij ji de los términos que contiene esta expresión (hay cuatro índices repetidos y por tanto 3 4 = 81 términos), las dos δ de Kronecker seleccionan los 9 (=3 2 doble suma) términos que se indican; es decir, aquéllos para los que i=l y j=k, o lo que es lo mismo, en la penúltima expresión se identifican i con l y j con k, puesto que tienen que ser iguales estos índices Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 32
Tensor de 2º 2 orden por vector: σ v = ( δδ σ ) ( δ v ) = δ ( δ δ ) σ v = δδ σ v = δσ v i j ij k k i j k ij k i jk ij k i ij j es decir, el resultado es el vector cuya componente i-ésima vale: Se puede comprobar que el modo de calcular este producto se corresponde exactamente con el modo de calcular el producto de una matriz por un vector columna. σ v Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 33 3 = σ v ij j ij j j= 1 v σ = ( δ v ) ( δ δ σ ) = δ ( δ δ ) σ v = δ δ σ v = δ σ v = δ σ v k k i j ij j k i ij k j ki ij k j ij i i ji j es decir, el resultado es el vector cuya componente j-ésima vale: Se puede comprobar que el modo de calcular este producto se corresponde exactamente con el modo de calcular el producto de un vector columna transpuesto (fila) por una matriz. los nombres de los índices pueden cambiarse a voluntad, con tal de hacerlo de modo consistente. Son variables dummy o etiquetas, es decir, el nombre particular que lleven es irrelevante σ v 3 = σ v ij i ij i i= 1
Contracción n de dos tensores de 2º 2 orden: { } ( ) ( ) ( ) σ τ = δ δ σ δ δ τ = δ δ δ δ σ τ = δ δ δ σ τ = δ δ σ τ i j ij k l kl i l j k ij kl i l jk ij kl i l ij jl es decir, el resultado es el tensor cuya componente i,l-ésima vale: Se puede comprobar que el modo de calcular este producto se corresponde exactamente al modo de calcular el producto de dos matrices cuadradas 3 3. σ τ ij jl ij jl j= 1 3 = σ τ Escalar por tensor de 2º 2 orden: todas las componentes se multiplican por el escalar. sσ = s( δδ σ ) = δδ sσ i j ij i j ij Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 34
Tensor de 3 er orden por tensor de 2º 2 orden: Tensores cartesianos d : τ = ( δ δ δ d ):( δ δ τ ) = δ δ δ d τ = δ d τ j k l jkl m n mn j lm kn jkl mn j jkl lk es decir, el resultado es el vector cuya componente j-ésima es: La ley constitutiva de la piezoelectricidad directa es precisamente k l de esta forma: esfuerzo a que se somete el material Vector por tensor de 3 er orden: { } ( ) ( ) ( ) P = d : τ polarización que aparece en el material módulo piezoeléctrico del material d τ 3 3 = d τ jkl lk jkl lk = 1 = 1 E d = δ E δ δ δ d = δ δ δ δ Ed = δ δ δ Ed = δ δ Ed i i j k l jkl k l i j i jkl k l ij i jkl k l i ikl es decir, el resultado es el tensor de 2º orden cuya componente k,l-ésima es: La ley constitutiva de la piezoelectricidad inversa es precisamente de esta forma: ε = E d Ed módulo piezoeléctrico del material i ikl i ikl i= 1 3 = Ed deformación que aparece en el material campo eléctrico a que se somete el material Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 35
Tensor de 4º 4 orden por tensor de 2º 2 orden: { } Tensores cartesianos c: ε = ( δ δ δ δ c ):( δ δ ε ) = δ δ δ δ c ε = δ δ c ε j k l m jklm n p np j k mn lp jklm np j k jklm ml es decir, el resultado es el tensor de 2º orden cuya componente j,k-ésima vale: La ley constitutiva de la elasticidad lineal (ley de Hooke) para materiales anisótropos es precisamente de esta forma: esfuerzo que aparece en el material τ = c : ε c ε 3 3 = c ε jklm ml jklm ml l= 1 m= 1 deformación a que se somete al material rigidez elástica es decir: o bien en la forma: esfuerzo = rigidez deformación deformación = complianza esfuerzo deformación que aparece en el material ε = s : τ esfuerzo a que se somete al material complianza elástica Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 36
Tensor simétrico en dos índices: es un tensor de cualquier orden para el que se verifica: τ = τ... jklm...... jlkm... se dice que es simétrico en esos dos índices. Si se verifica: el tensor es antisimétrico en esos dos índices. τ = τ... jklm...... jlkm... Tensor transpuesto de un tensor de 2º 2 orden: si el tensor transpuesto es: τ = δδτ j i ij τ = δδτ i j ij Tensor unitario de 2º 2 orden: sus componentes son 0 o 1 según: δ = δδ δ Se cumple: δ ii = Módulo de un tensor de 2º 2 orden: 3 orden: ( : ) i j ij 1 1 τ = τ τ = τijτij (doble sumatorio) 2 2 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 37
Invariante de un tensor de 1 er orden: sólo s tiene uno: (no depende del sistema de coordenadas) v v = vv i i Invariantes de un tensor de 2º 2 orden: es posible definir tres cantidades que son independientes del sistema de coordenadas utilizado: las trazas de las tres primeras potencias del tensor: I = tr( τ ) = τ ii 2 ( ) ( ) II = tr τ = tr τ τ = τ τ ( ) 3 III = tr( τ ) = tr ( τ τ) τ = τ τ τ Es posible definir otros invariantes (cualquier función de estos invariantes es evidentemente invariante), pero están necesariamente relacionados con éstos, de modo que sólo existen tres independientes. También suelen emplearse estos: ij ji ij jk ki I 1 = I 1 ( 2 ) I2 = I II 2 1 ( 3 3 2 ) det( ) I3 = I I II + III = τ 6 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 38
Con el operador diferencial nabla o del : (cartesiano) podemos definir: Gradiente de un campo escalar: (vector o tensor de 1er orden) s s =δ i x i δ i x i Atención, n, algunos textos definen el gradiente de un campo vi vectorial como: δδ i j x j Gradiente de un campo vectorial: (tensor de 2º 2 orden) v v = δi ( δ jvj) δiδ = j xi x j i Divergencia de un campo vectorial: (escalar o tensor de orden cero) = δ δ v = δ v = ( v) ( v ) j i i j j ij xi xi xi Divergencia de un campo tensorial de 2º orden (vector o tensor de orden uno) τ τ τ = δ ( δ δ τ ) = δ δ = δ jk ik i j k jk k ij k xi xi xi Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 39
( ) Ejemplo, la ecuación n constitutiva del fluido newtoniano es: τ = μ v+ v v j vi o, en componentes: τ δiδ jτij μδiδ = = j + xi x j Es decir, si nos dan el campo de velocidad en todos los puntos de un fluido, v( x, x, x ) podemos calcular qué esfuerzo aparece en cada punto 1 2 3 de este fluido. En representación n matricial: que es simétrico v1 v2 v1 v3 v 1 2 + + x x x x x τ τ τ + + 2 x3 x1 x3 x2 x3 1 1 2 1 3 11 12 13 v1 v2 v2 v3 v2 τ21 τ22 τ 23 = μ + 2 + x2 x1 x2 x2 x3 τ31 τ32 τ33 v1 v3 v2 v3 v3 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 40
La definición n de tensor cartesiano se basa en su comportamiento bajo una rotación n de ejes coordenados (cartesianos): E Sean un sistema de ejes cartesianos (el sistema viejo ) y, y otro sistema (el sistema nuevo ) rotado respecto al primero. componentes de E en el sistema viejo E componente 2 en el sistema nuevo Sea lij cosθij el coseno del ángulo que forman los ejes i nuevo y j viejo. E 2 = l21e1+ l22e2 + l23e3 La componente, nueva, es la suma de las proyecciones de las componentes viejas sobre el nuevo eje Un vector E cuyas componentes E i son conocidas en el sistema viejo tiene como componentes en el sistema nuevo: E i = le ij j (suma sobre índice repetido) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 41
Esta regla de transformación n garantiza que el vector (por ejemplo un i ij j campo eléctrico) mantiene su significado físico f antes y después s de la transformación, n, es decir, representa la misma magnitud física f (que necesariamente debe ser independiente del sistema de coordenadas). Los cosenos que definen la transformación n de sistema de coordenadas pueden representarse como una matriz ortogonal: E = le E l l l L l l l l l l 11 12 13 = 21 22 23 31 32 33 que cumple l l l = = l13 l23 l 33 11 21 31 1 L L l12 l22 l32 Las filas de L son las componentes de los vectores unitarios nuevos n expresados en el sistema antiguo. 1 La matriz de la transformación n inversa, del sistema nuevo al viejo, es L = L (la matriz de tranformación no es un tensor. Las matrices se denotarán n por un subrayado con tilde: L ) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 42
Aunque las componentes de E cambian (se transforman) de valor numérico al rotar los ejes, si la transformación n es la indicada, los valroes numéricos de las nuevas componentes son tales, que el vector se mantiene invariable en el espacio. Este requerimiento físico es la base de la definición matemática tica de un tensor cartesiano de primer orden: se define como una magnitud cuyas componentes, al rotar el sistema de referencia por medio de L, se transforman como: E = le (*) i ij j Desde el punto de vista físico, f debe existir un modo de verificar que efectivamente se cumple (*). Por ejemplo, si se miden las componentes de E antes y después s de rotar el sistema de referencia y se observa que se cumple (*), entonces E es un tensor de primer orden. En caso contrario, no lo es. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 43
Por tanto, cabe preguntarse cómo se transforman las componentes de magnitudes como la difusividad anisotrópica, la rigidez elástica, etc? Tomando como ejemplo la ley de Ohm: E = ρ J, o bien por componentes: E = ρ J, puesto que tanto el campo eléctrico como la densidad de corriente eléctrica son tensores de 1 er orden, se transforman como: i ij j E i = le ij j Ei = le ji j J = l J J = l J i ij j i ji j Experimentalmente se ha comprobado que la ley de Ohm es válida v independientemente del sistema de coordenadas, es decir en ambos: E = ρ J E = ρ J i ij j i ij j donde las magnitudes con están n expresadas en el sistema nuevo. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 44
Podemos por tanto escribir: Ley de Ohm en el sistema nuevo E = ρ J i il l transformación de al sistema viejo E transformación de al sistema nuevo J E = le = lρ J = lρ l J = ll ρ J i ij j ij jk k ij jk lk l ij lk jk l Ley de Ohm en el sistema viejo igualando se deduce que las componentes de las dos resistividades en los dos sistemas deben estar relacionadas por: ρ il = ll ij lk ρ jk Sólo de esta manera se garantiza que: el campo y la densidad de corriente mantengan su significado físico (sean tensores de 1 er orden) se cumpla la ley de Ohm en los dos sistemas de referencia, es decir, la resistividad eléctrica mantenga su significado físico (sea magnitud tensorial de 2º orden) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 45
La definición n de un tensor de 2º 2 orden es por tanto: una magnitud cuyas componentes, al rotar el sistema de referencia por medio de d se transforman como: T = l l T ij ik jl kl L Por un procedimiento análogo (p.ej. usando la ley constitutiva de la piezoelectricidad inversa ε = E d ) se verifica que la definici nición n de un tensor de 3 er orden debe ser: una magnitud cuyas componentes, al rotar el sistema de referencia por medio de L se transforman como: Y para 4º 4 orden: T = l l l T ijk il jm kn lmn en el 2º miembro de esta expresión hay tres índices repetidos, por tanto es una suma triple, sobre cada uno de ellos, y por tanto contiene 3 3 =27 términos. Es decir, para calcular cada uno de los 27 términos del tensor en el nuevo sistema, es preciso sumar 27 productos como el indicado. el número de factores es igual al orden del tensor. T = l l l l T ijkl im jn kp lq mnpq Igualmente, para calcular cada uno de los 81 términos de un tensor de 4º orden en el nuevo sistema, es preciso sumar 81 productos como el indicado. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 46
Es importante apreciar que las leyes de transformación n de tensores de cualquier orden son lineales en las componentes.. Es decir, las componentes nuevas dependen de las viejas a través s de funciones lineales homogéneas Sin embargo, la dependencia espacial,, es decir, cómo c varían an las distintas componentes al variar la orientacion de los eje nuevos,, es mucho más m complicada,, debido a la presencia de productos de cosenos. Esta dependencia es tanto más m s complicada cuanto mayor sea el orden: T = l l l T ijk il jm kn lmn dependencia lineal entre componentes las componentes nuevas dependen de los cosenos directores cúbicamente Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 47
Por tanto cabe esperar que la dependencia espacial (anisotropía) a) de propiedades tensoriales de orden alto sea complicada El ejemplo más m s característico es el de las propiedades elásticas lineales de materiales anisótropos (ver probs. en Cap. 9) el diseño o de estructuras con materiales compuestos, o anisótropos en general, es complicado Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 48
Como consecuencia de la linealidad, la mayoría a de las propiedades enumeradas en la transp. 9 corresponden a leyes constitutivas lineales: J A = D CA p.ej. P = d : τ Pero es perfectamente posible formular leyes constitutivas no lineales usando términos t de orden superior, por medio de productos diádicos; dicos; p.ej.: Δ η = r E+ s: EE Δ η = r E + s E E ij ijk k ijkl k l (describe la variación en el índice de refracción de un material al someterlo a un campo eléctrico) impermeabilidad óptica (-) coef. electroóptico lineal (efecto Pockels) (m/v) coeficiente electroóptico cuadrático (efecto Kerr) (m 2 /V) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 49
Otro ejemplo es la magnetorresistividad (variación n en la resistividad de un material al someterlo a un campo magnético, efecto cuadrático en la inducción n magnética), que es el principio físico f en el que se basa el almacenamiento (lectura) de información n en discos duros. 0 ρ = ρ + ρ : BB ρ = ρ + ρ B B 0 ij ij ijkl k l coeficiente magnetoresistivo (cuadrático) (Ω.m/T 2 ) campo magnético (inducción magnética) (T) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 50
Una de las ventajas de formular leyes físicas f usando exclusivamente magnitudes tensoriales es que estas leyes son válidas v en cualquier sistema de coordenadas (en este caso, cartesianas), es decir, son independientes del sistema en que las expresemos. L Los conceptos anteriores pueden generalizarse a coordenadas curvilíneas y a espacios no euclídeos con un esfuerzo moderado; estos tensores más m s generales no son necesarios en esta asignatura. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 51
La transformación n de tensores de 2º 2 orden puede escribirse también n como: donde la 2ª 2 expresión n hay que entenderla como el producto de la matriz de transformación n y su traspuesta (inversa) por el tensor estando éste escrito como matriz. T = l l T T = LTL ij ik jl kl Para tensores de orden superior existen expresiones que usan productos con T = LTL la matriz de rotación n (es decir, análogas a ) pero no son prácticas. Es preferible usar la ley de transformación n general. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 52
Al rotar los ejes, el tensor unitario se transforma de esta manera: δ = llδ = ll = δ ij ik jl kl ik jk ij o bien: = = = δ LδL LL δ es decir, sus componentes son las mismas sea cual sea la orientaci ción n del sistema de referencia es por tanto un tensor de 2º 2 orden isótropo (no es un escalar); físicamente sirve para describir tensores de campo de 2º orden isótropos (p.ej. presión hidrostática) o propiedades de 2º orden de materiales isótropos (p.ej. la conductividad eléctrica de un material policristalino no orientado) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 53
Igualmente, para expresar propiedades de 4º 4 orden de materiales isótropos (p.ej. la complianza elástica de un material policristalino no orientado) existen tres tensores de 4º 4 orden isótropos : δδ δ δ δ δ δ δ I i j k l ij kl δ δ δ δ δ δ i j k l ik jl I T δ δ δ δ δ δ i j k l il jk Los dos últimos son unitarios en el sentido de que para cualquier tensor A de orden igual o superior a 2 se cumple: A: I = I : A= A T T T A : I = A ; I : A= A T transposición n de la última pareja de índices A transposición n de la primera pareja de índices T T A Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 54
Podemos verificar que cada uno de ellos se mantiene invariante al a aplicar cualquier rotación n de ejes, es decir, es el mismo en todas las m direcciones y pertenece a la clase límite l. Por ejemplo: ( δδ) = l ( ) milnjlpklqlδijδkl = lmilnilpklqk = δmnδpq = δδ mnpq mnpq producto escalar de las filas m y n de la matriz de cambio de base producto escalar de las filas p y q de la matriz de cambio de base (recordar que el producto escalar de dos filas o dos columnas de la matriz de cambio de base es: 0 si son distintas filas o distintas columnas 1 si las dos son la misma fila o la misma columna) y análogamente para los otros dos. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 55
Podemos también n verificar que los dos últimos son unitarios : ( δδ ) ( ) i jaij δ mδ nδ pδδ q mqδnp A: I = : = δ δ Aδ δ δ δ = δ δ A = A p q ij mq np in jm p q pq ( δδ ) ( ) i jaij δ mδ nδ pδδ q mpδnq T A: I = : = δ δ Aδ δ δ δ = δ δ A = A p q ij mp nq in jm p q qp y análogamente para los dos productos por la izquierda. También n se observa que el producto por o por sólo s afecta a los dos primeros o a los dos últimos índices de. Si es de orden mayor que dos, el resto de los índices queda inalterado y la transposición n se refiere sólo s a los dos primeros o dos últimos índices respectivamente. I A Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 56 I A T T
El efecto del producto de un tensor de segundo orden por : ( ) ( ) i jaij m n p q mn pq A: δδ = δ δ : δ δ δ δ δ δ = δ δ A δ δ δ δ = δ δ δ A = tr( A) δ p q ij mn pq in jm p q pq mm δδ es producir otro tensor de segundo orden cuyos elementos diagonales son todos iguales a la traza de y el resto nulos. Es decir, produce un tensor isótropo de 2º 2 orden que es veces el tensor unitario (isótropo) de 2º 2 orden. A tr( A) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 57
Nota final: : las magnitudes tensoriales escritas en notación n de Voigt (ver 02_01_01), aunque más m s fáciles f de manipular (matrices y vectores ordinarios), pierden su carácter cter tensorial porque NO se transforman como tensores. Es preciso tener siempre en cuenta esta circunstancia: si se realiza una rotación n del sistema de referencia, las magnitudes escritas en notación n de Voigt dejan de ser válidas v en el nuevo sistema. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 58