Unidad Didáctica 9 Proporción y Estructuras Modulares
1.- Proporcionalidad Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo, la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así: - Mediante dos puntos: 5 : 10 - Mediante la preposición a: 5 a 10 - Mediante una fracción: 5/10 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Con el resultado del cociente: 0,5 - En forma de porcentaje: 50% Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño [10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].
1.- Proporcionalidad En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante a b a' b' f e d c f e' d' c' Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que entre los lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguiente expresión: a/a' = b/b = c/c'= d/d' = e/e' = f/f = constante. La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.
1.- Proporcionalidad Teorema de Tales El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f) determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v), sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales. El teorema de Tales se representa gráficamente como se observa en el dibujo, el haz de rectas paralelas está formado por las rectas t, u y v. Las rectas que se corta r y s. Según Tales a/b=c/d=e/f
1.- Proporcionalidad Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la división de un segmento en partes iguales. 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3,... de la recta s.
1.- Proporcionalidad Teorema de la altura El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulo rectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad: a/x = x/b, o bien a * b = x 2 Se dice, que la altura (x) es la media proporcional de los dos segmentos [a, b) en que se divide de la hipotenusa. Empleando este teorema, por tanto, podemos determinar gráficamente la media proporcional de dos segmentos. Dados dos segmentos de longitudes a y b, la media proporcional de ambos (x), es el segmento que cumple la relación a/x = x/b, o a * b = x 2
Teorema de la altura: determinación de la media proporcional En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa a x = x b A a B C b D 1.- Proporcionalidad F x 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=ab y b=cd, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD A a E B-C b D r 2. Por el punto B-C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada
1.- Proporcionalidad Sección Áurea Dados un segmento b = AC A C Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que: a x = x b A x b B a C La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b
1.- Proporcionalidad Trazado Sección Áurea de un Segmento 1.- Se traza el segmento AB y se halla un punto intermedio O. Por el extremo B se levanta una perpendicular. Con centro en B y radio OB, se traza un arco que corte a la perpendicular en el punto C, y se une C con A 2.- Con radio CB, se traza desde C un arco que corte a AC en el punto D. Con centro en A y con radio AD se traza un arco que corte a AB en E. Este es el punto que divide al segmento AB de forma que AE es su sección Aurea.
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones proporcionales A F F A E E D B D B C La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1. Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos. C Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes procedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y reproducción de coordenadas.
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Ahora veremos las siguientes construcciones TRASLACIÓN COORDENADAS TRIANGULACIÓN F A F A A C D C D E E B B B D B D B D E E A A C C C GIRO A COPIA DE ÁNGULOS C A D B B C B C D B B C D A D E A D E A O O Centro de giro C F F
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Igualdad por Traslación Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido recto a una misma distancia. Dada la figura ABCDEF se traza una paralela por cada uno de sus vértices. Sobre la recta que contiene al vértice A, se fija a una distancia el punto A. Se transporta esa misma distancia sobre cada una de las paralelas, de modo que queden fijados los vértices de la nueva figura igual, A B'C D E'F'. Los lados correspondientes permanecen paralelos e iguales a los de la figura inicial,
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Igualdad por Giro Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto cualquiera, O. 1.-A partir de O, se traza un arco por cada uno de los vértices. 2.-Sobre el arco que contiene al punto A, se fija una cierta amplitud de ángulo y se determina el vértice A. 3.-Con esa misma amplitud se transportan el resto de los vértices. 4.-Con este procedimiento, la figura rota alrededor del centro de giro, permaneciendo constante la distancia de cada uno de sus vértices al mismo. En este caso, OA= OA. OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' = ángulo COC
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Igualdad por Triangulación Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en triángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque el triángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla. 1.- Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que esta quede dividida en triángulos con un vértice común. 2.-Para construir la figura igual a la primera, se traza el lado AB', paralelo a AB. 3.-A continuación, se trasladan con el compás las medidas del lado BC y AC, en cuya intersección estará el punto C'. De esta manera se obtiene el triángulo A B'C', igual al ABC. 4.-Se trasladan las medidas del lado CD y AD, reproduciendo sucesivamente todos los triángulos de la figura inicial y completando la figura AB'C D'E'.
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Igualdad por Transporte de ángulos Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figura dada para construir una figura igual. Dado el polígono ABCDE 1. Sobre una recta r se dibuja A B = AB 2. Con centro en B se traza un ángulo igual al B. (con el compás) 3. Se transporta el segmento B C = BC. (con el compás) 4. Se repite la operación con todos los vértices
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Igualdad por coordenadas Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Este procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicial sobre otros ejes 1.-Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes de coordenadas y se trazan perpendiculares a los mismos desde todos los vértices de la figura. 2.-De este modo, se averiguan las coordenadas de cada uno de ellos. 3.-Para dibujar la figura igual a la dada, se trasladan los ejes y se reproducen las mismas coordenadas, estos puntos serán los nuevos vértices de la figura AB'C D'
2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad Manifestaciones artísticas de la igualdad Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de figuras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en la ornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura. Observa la sucesión de figuras iguales en esta composición pictórica, La finalidad de este recurso estructural es producir un efecto de homogeneidad visual.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras, estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el espacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son semejantes.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Simetría La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos equidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Simetría Central La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos simétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por un punto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos. 1.- Dada la figura ABCDE, se trazan rectas desde cada vértice al centro de simetría O y se prolongan. 2.- Sobre estas rectas se transportan medidas, de modo que las distancias de los vértices A, B, C, D y E al punto O sean iguales a las distancias del punto O a los vértices A', B', C', D' y E', respectivamente. 3.- Uniendo los vértices obtenidos se construye la figura
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Semejanza La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes procedimientos.
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Semejanza por Radiación 1.-Se elige un punto O exterior a la figura y desde él se trazan rectas que pasen por los vértices de esta. 2.-Sobre la prolongación de una recta, la que pasa por el punto A. se marca el punto A. Por A se traza un segmento AB' paralelo al lado AB. 3.-Repitiendo la misma operación con todos los lados se obtendrá la figura semejante. Observa que se establece la proporción: AB/AB' = BC/B'C = CD/C D =
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Semejanza por radiación: (Desde un vértice) 1.-Dada una figura ABCDE, se elige el vértice A. y desde él se trazan rectas que pasen por los demás vértices 2.-Se sitúa un punto B' en la prolongación del lado AB, Por el punto B' se traza una paralela al lado BC, hasta cortar a la prolongación de AC en C 3.-A partir de él, se repite la misma operación hasta completar la figura semejante. Comprueba que se establece la proporción entre los lados: AB/A B = BC/B C =CD/C D =DE/D E =
3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza Aplicaciones en la expresión plástica Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras arquitectónicas, ornamentales y de diseño Esta fotografía se basa en un juego de formas circulares semejantes que producen una ligera sensación de movimiento. Este anuncio publicitario de papel presenta una estructura simétrica que simplifica el recorrido visual del observador.
4.-Redes Modulares Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas módulos, en una misma superficie. La red modular debe compactar el plano, es decir, cubrirlo por completo sin dejar superficies vacías EJEMPLOS: Las formadas por Triángulos y Cuadrados o derivados de estos. SI NO
4.-Redes Modulares Redes modulares simples Las redes modulares simples están formadas por la repetición de una sola figura. Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existen otras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides, etc.
4.-Redes Modulares Redes modulares compuestas Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples.
5.- El módulo El módulo es la figura básica que se repite en las estructuras modulares. La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o trama da lugar a la composición modular. Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figura más compleja aparece un supermódulo
5.- El módulo Movimientos del módulo Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones. Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, y aplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, es decir formando una simetría
5.- El módulo La circunferencia en la composición modular La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio, al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo
5.- El módulo Efectos tridimensionales Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se pueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes recursos gráficos: