GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.. ESPACIOS VECTORIALES VECTOR FIJO Segmento orientado. Queda determinado por Origen A(a, a, a ); extremo B(b, b, b ) Módulo: Longitud del AB ( b a) ( b a) ( b a) segmento AB Características: Dirección: Es la recta sobre la que está y todas las paralelas. Sentido: Forma de recorrer el segmento. Cada dirección tiene dos sentidos. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR Coordenadas cartesianas Mediante coordenadas cartesianas: (,, ) Mediante un origen A y Aa (, a, a) (,, ) un extremo B AB b a b a b a Bb (, b, b) OPERACOINES CON VECTORES Suma u ( u, u, u ) Resta u ( u, u, u ) Producto por un escalar k k (,, ) ( k, k, k) Propiedades de las operaciones. Aplicaciones de los ectores: - Punto medio - Puntos alineados DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Varios ectores se llaman L.D. si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Cuando no es así, se llaman L.I. Combinación lineal λ u λ u... λn un con λ, λ,..., λn Linealmente dependientes u u u u u u LD.. LI.. Linealmente dependiente w w w w w w BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL En un E.V. un conjunto de ectores forman una base si: ) Son linealmente independientes. ) Cualquier ector del E.V. se puede expresar como C.L. de los ectores de la base. Todas las bases tienen el mismo número de ectores. Ese número se llama dimensión del E.V. Base canónica Tres ectores perpendiculares y unitarios i(,,) i B { i, jk, } j(,, ) j k(,,) k

. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. Se llama producto escalar de dos ectores u y, y se escribe u, al número real que resulta al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman. u u cosα Interpretación Geométrica u u Proy u u Proyu Proyección de sobre u Proyección de u sobre Expresión u u u u analítica α Proy u Propiedades del producto escalar u Recuerda: º º 45º 6º 9º sin( α ) cos( α ) tan( α ) ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES u u cosα cosα cosα u u u u u u. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. u u α ar cos u u u u u u El producto ectorial de dos ectores u y es otro ector u. Módulo: u u sinα Elementos Dirección: Perpendicular a los ectores u y Sentido: El del aance de un sacacorchos que gira en sentido positio de u y

Interpretación geométrica Expresión analítica u área del paralelogramo { i, jk, } B : base canónica u ( u, u, u) u i u j u k (,, ) i j k i j k u u u u Propiedades del producto ectorial APLICACIONES u Área triángulo A Área paralelogramo A u 4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. El producto mixto de tres ectores u, y w es un número real uw,, Interpretación geométrica uw,, olumen del paralelípedo Expresión analítica B { i, jk, } APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO Volumen del paralelepípedo Volumen AB, AD, AE u ( w) : base canónica u u u u ( u, u, u) u i u j u k uw,, (,, ) i j k w w w w ( w, w, w) w i w j w k Propiedades del producto mixto Volumen del tetraedro Volumen AB, AC, AD 6

5. ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. ECUACIONES DE LA RECTA Un punto de la recta: P( p, p, p ) Dados: Vector director de la recta: (,, ) ^ Cualquier número real: λ Ecuación ectorial ( xyz,, ) ( p, p, p) t (,, ) Ecuación paramétrica Ecuación continua Ecuación general, implícita o cartesiana x p λ λ λ y p z p x p y p z p Ax By Cz D r : Ax ' By ' Cz ' D ' Pasar de ecuación general a paramétrica Intersección de dos planos ECUACIONES DEL PLANO Dados: Un punto del plano: P( p, p, p ) Vectores directores del plano: u ( u, u, u) (,, ) ^ Cualquier número real: λµ, Ecuación ectorial π :( xyz,, ) ( p, p, p) λ ( u, u, u) µ (,, ) Ecuación paramétrica x p λ u µ π : y p λ u µ z p λ u µ u x p Desarrollando u y p Ax By Cz D Ecuación general o implícita u z p n ( ABC,, ) ector perpendicular (normal) al plano Pasar de ecuación general a paramétrica 4

6. POCIONES DE RECTAS Y PLANOS. POCIONES DE DOS RECTAS OPCIÓN A x p λu x q µ y p λu s: y q µ z p λu z q µ u u q p M u M* u q p u u q p *También ecuación ectorial o continua OPCIÓN B A B C Ax By Cz D A' B' C' r : M A' x B' y C' z D' A B C A B' C' A B C D Ax By Cz D A' B' C' D' s : M* A' x B' y C' z D' A B C D A' B' C' D' Opción A B Rango M M* M M* COINCIDENTES PARALELAS SCI SCI SECANTES (se cortan) SE CRUZAN SCD SCD 4 Otra forma de estudiar la posición de las rectas (Opción A) u u u COINCIDENTES P r P s Si: u PARALELAS P r P s u u u Si no: u SE CORTAN M * SE CRUZAN M * 5

POCIONES DE RECTA Y PLANO x p λu λ z p λu µ α µ α y p u x q w π : y q µ αw z q w Ax By Cz D r : A' x B' y C' z D' π : Ax By Cz D u w q p M* u w q p u w q p A B C D M* A' B' C' D' A B C D Rango M M* RECTA CONTENIDA EN EL PLANO RECTA Y PLANO PARALELOS SCI RECTA CORTA AL PLANO SCD Otra forma: x p λu π : Ax By Cz D y p λu z p λu Se sustituyen las coordenadas del punto genérico de la recta en la ecuación del plano: A( p λu) B( p λu) C( p λu) D aλ b a SCD Solución única SE CORTAN aλ b a, b solución PARALELAS a, b SCI Infinitas soluciones CONTENIDA POCIONES DE DOS PLANOS π : Ax By Cz D π ': Ax ' By ' Cz ' D' A B C M A' B' C' A B C D M* A' B' C' D' Rango M M* Otra forma PLANOS COINCIDENTES Si A B C D SCI A' B' C' D' PLANOS PARALELOS Si A B C D A' B' C' D' PLANOS SECANTES Si NO A B C SCD A' B' C' 6

POCIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Rango M M* TRES PLANOS SCI COINCIDENTES TRES PLANOS PARALELOS π : Ax By Cz D α : Ax ' By ' Cz ' D' β : A'' x B'' y C'' z D'' A B C D M* A' B' C' D' A'' B'' C'' D'' SCI DOS PLANOS COINCIDENTES Y PARALELOS A UN TERCERO TRES PLANOS SE CORTAN EN UNA RECTA DOS PLANOS COINDICENTES CORTAN A UN TERCERO TRES PLANOS SE CORTAN DOS A DOS SCD DOS PLANOS PARALELOS CORTADOS POR UN TERCERO TRES PLANOS SE CORTAN EN UN PUNTO Cuando al estudiar los rangos nos encontramos con dos posibles posiciones de los planos, tenemos que estudiar las posiciones de los planos dos a dos para comprobar cuál de las dos opciones se está dando. 7

7. PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL ESPACIO. PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA Para obtener la proyección ortogonal de Q en la recta r. º Hallamos la ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (Q) que queremos proyectar. º Calculamos el punto de corte de la recta con el plano que hemos hallado, y ese punto será la proyección ortogonal. Qq (, q, q ) x p uλ y p uλ z p uλ u n ( u, u, u) π : ux uy uz D Para calcular D π : uq uq uq D Tenemos, entonces π : Ax By Cz D π : A( p uλ) B( p uλ) C( p uλ) D Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el punto de corte. PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO Para obtener la proyección ortogonal de Q en el plano π º Hallamos la ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto (Q) que queremos proyectar. º Calculamos el punto de corte del plano con la recta que hemos hallado, y ese punto será la proyección ortogonal. Qq (, q, q ) π : Ax By Cz D Tenemos, π : Ax By Cz D x q Aλ y q Bλ z q Cλ ( ) ( ) ( ) π : Aq Aλ Bq Bλ Cq Cλ D Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el punto de corte. PROYECCIÓN DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO Para obtener la proyección ortogonal de la recta r en el plano π º Hallamos el ector director de la recta, el ector normal al plano y un punto de la recta. º Calculamos el plano π ' que pasa por el punto P y tienen como ectores directores el ector director de la recta y el ector normal del plano π. λ λ λ x p u y p u z p u π : Ax By Cz D n ( ABC,, ) u ( u, u, u ); ; P( p, p, p ) x p y p z p u u u p p p Obtenemos: π ': Ax ' By ' Cz ' D' º Hallamos el corte de los dos planos, π y π ', que es la recta s, proyección ortogonal de r sobre π También se pueden buscar dos punto de r; obtener su proyección en π y obtener la recta a partir de estos dos nueos puntos. 8

8. DISTANCIAS EN EL ESPACIO. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P( p, p, p ) Qq (, q, q ) ( ) ( ) ( ) d( PQ, ) q p q p q p DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA º Buscamos la proyección ortogonal (P ) de P en r. I º dpr (, ) dpp (, ') x q uλ y q uλ QP u II z q uλ dpr (, ) u DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO P( p, p, p ) dp (, π ) π : Ax By Cz D Ap Bp Cp D A B C DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS I Si se cortan: d( ππ, ') II π : Ax By Cz D Si se coinciden: d( ππ, ') π ': Ax ' By ' Cz ' D' III Si son paralelos: d( ππ, ') D D' A B C DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO I Si la recta y el plano se cortan: drπ (, ) x q uλ II y q uλ Si la recta está en el plano: drπ (, ) z q uλ III π : Ax By Cz D Si la recta y el plano son paralelos: dr (, π) dq (, π) con Q r 9

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS I Si se cortan drs (,) II Si son paralelas drs (, ) dps (, )/ P r III Si se cruzan OPCIÓN A u,, PQ drs (,) u OPCIÓN B Hallamos el plano π que contiene a r y es paralelo a s. drs (,) dqπ (, ) OPCIÓN C d(,) r s RS ; donde: R r p u p u p u ( λ, λ, λ) ( µ, µ, µ ) Resolemos el sistema S s q q q RS r RS u RS s RS OPCIÓN D d(,) r s RS ; donde: Hallo w/ w u Hallo el plano α determinado por uwp,, Hallo el plano β determinado por wq,, Hallo la recta t, intersección de α y β R punto de intersección entre α y t S punto de intersección entre β y t λ λ λ x p u y p u z p u x q µ s: y q µ z q µ π :( xyz,, ) P λ u µ 9. ÁNGULOS. ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Ángulo Perpendicularidad Paralelos u r s u rs u cosα u u u u u u u u α ar cos u ÁNGULOS QUE FORMAN UNA RECTA Y UN PLANO Ángulo Perpendicularidad Paralelos u n r π u n r π u cosα u u u u n u A u B u C A B C u n α 9º ar cos u n x p u λ λ λ y p u z p u x q µ s: y q µ z q µ x p u λ λ λ y p u z p u π : Ax By Cz D n ( ABC,, )

ÁNGULO QUE FORMAN DOS PLANOS Ángulo Perpendicularidad Paralelismo n n π π ' nn ' π π ' n n ' cosα A A' B B' C C' n n A B C A' B' C' n n α ar cos n n π : Ax By Cz D n ( ABC,, ) π ': Ax ' By ' Cz ' D' n' ( A', B', C'). OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES Punto medio Dados dos puntos: P( p, p, p ) y Qq (, q, q ) p q p q p q,, Punto simétrico El simétrico de P( p, p, p ) respecto de Qq (, q, q ) ( q p, q p,q p ) Obtención de un ector perpendicular a uno dado ( ) u u, u, u a otros dos Dados u y Obtenemos w/ w u Obtenemos w/ u w w( u, u,) Obtener ector director de una recta en forma implícita Ax By Cz D u ( ABC,, ) ( A', B', C') r : Ax ' By ' Cz ' D '