CÁLCULO VECTORIAL I VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

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1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todos los temas ordenados de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R. Cada tema ordenada ( x, yz, ) se denomina punto del espacio numérico tridimensional. Con el fin de representar R en un espacio geométrico tridimensional, se consideran las distancias dirigidas de un punto a tres planos mutuamente perpendiculares. Los tres planos se forman al tomar tres rectas perpendiculares entre sí, las cuales se intersectan en un punto llamado origen y denotado por O. El sentido positivo, elegido en cada eje como se muestra en la figura, proporciona un sistema coordenado derecho. Este nombre se deriva del hecho de que si se coloca la mano derecha de modo que el dedo índice apunte en la dirección positiva del eje x, y el dedo medio apunte hacia el sentido positivo del eje y, entonces el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z. Los tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy que contiene a los ejes x y y, el plano xz que contiene a los ejes x y z, y el plano yz que contiene a los ejes y y z Una tema ordenada ( x, yz, ) se asocia con cada punto P del espacio geométrico tridimensional. La distancia dirigida de P al plano yz es la coordenada x, su distancia dirigida al plano xz es la coordenada y, y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy. Los tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes denominadas OCTANTES. El primer octante es aquel en el que las tres coordenadas son positivas. EJEMPLO. Representa el punto P (,5, ) Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P. Proyéctalo, P sobre el plano xy. Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas de P. (Observa que el único paso arbitrario es decidir la situación de P ). 8

2 EJEMPLO. Representa los puntos siguientes: ( 5,, ), (,,5 ), (, 4,0 ), ( 0,0, 4) y ( 0,6,) P Q R S T. (Las líneas discontinuas, sólo las coloqué como referencia para localizar el punto, no se debe grafica) Notas: Una recta es paralela a un plano si y sólo si la distancia desde cualquier punto de la recta al plano es constante. ) Una recta es paralela al plano yz si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x. ) Una recta es paralela al plano xz si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y. ) Una recta es paralela al plano xy si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada z. 4) En el espacio tridimensional, si una recta es paralela a cada uno de dos planos que se intersectan, entonces la recta es paralela a la recta de intersección de los dos planos. 5) Si una recta dada es paralela a una segunda recta, entonces la recta dada es paralela a cualquier plano que contenga a la segunda recta. 6) Una recta es paralela al eje x si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y y la misma coordenada z. 7) Una recta es paralela al eje y si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada z. 8) Una recta es paralela al eje z si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y. DISTANCIA DE UN PUNTO A OTRO DE UNA RECTA PARALELA A UNO DE LOS EJES COORDENADOS ) Si ( ),, A x y z y B ( x ),, y z son dos puntos de una recta paralela al eje x, entonces la distancia dirigida de A a B, denotada por AB, está dada por AB = x x.,, D x, y, z son dos puntos de una recta paralela al eje y, entonces la ) Si C( x y z ) y ( ) distancia dirigida de C a D, denotada por CD, está dada por CD = y y.,, F x, y, z son dos puntos de una recta paralela al eje z, entonces la ) Si E( x y z ) y ( ) distancia dirigida de E a F, denotada por EF, está dada por EF = z z. 9

3 EJEMPLO. La distancia dirigida PQ del punto P(, 5, 4) al punto (,, 4) dada por el PQ = ( ) ( 5) = Q está DISTANCIA NO DIRIGIDA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEL ESPACIO. La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una simple extensión de la fórmula para la distancia en el plano.,, P x, y, z está dada por La distancia no dirigida entre los puntos P( x y z ) y ( ) ( ) ( ) ( ) = + + PP x x y y z z EJEMPLO 4. Calcule la distancia no dirigida entre los puntos P(, 4, ) y (,5, 4) Solución: PQ = ( + ) + ( 5 4) + ( 4+ ) = 5 Q. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son P( x, y, z ) x+ x y+ y z+ z P x y z están dadas por: x = y = z = y (,, ) DEFINICIÓN DE VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todas las temas ordenadas x, yz,, donde x, y y z son números reales, (se denominan componentes del vector x, yz),, se denota por V. Un vector de V puede representarse mediante un segmento dirigido. Si A = a, a, a, entonces el segmento dirigido que tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en el punto a, a, a recibe el nombre de representación de posición de A. ( ) Un segmento dirigido que tiene su punto inicial en ( x, yz, ) y su punto terminal en el punto A ( x + a, y+ a, z+ a ) es también una representación del vector A. Se dice que los vectores a, a, a y b, b, b son iguales si y sólo si sus componentes escalares son iguales a = b, a = b y a = b. El vector cero es el vector 0,0,0 y se denota por 0. Cualquier punto es una representación del vector cero. El módulo de un vector es la longitud de alguna de sus representaciones. Si el vector A = a, a, a, entonces el módulo de A se denota por A, y A = a + a + a La dirección de un vector diferente del vector cero de V está determinada por tres ángulos llamados ángulos directores del vector. 0

4 DEFINICIÓN DE ÁNGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR Los ángulos directores de un vector diferente del vector cero son los tres ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa α, β y γ medidos a partir de los ejes x, y y z, respectivamente, hasta la representación de posición del vector. La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a π. Los ángulos directores del vector A = a, a, a, cuyas medidas en radianes son α, β y γ las componentes de A son números positivos, y los ángulos directores de este vector tiene medidas en radianes positivas menores que π determinadas por: a a a α = β = γ = A A A cos cos cos Los tres números cos α,cos β,cosγ se denominan cosenos directores del vector A. EJEMPLO 5. Se determinaran el módulo y los cosenos directores del vector A =,, 6. 6 A = ( ) + ( ) + ( 6) = 7 Entonces cosα = cos β = cosγ = Si el módulo de un vector y sus cosenos directores se conocen, entonces el vector está determinado de manera única a = A cosα a = A cos β a = A cosγ Nota: Los tres cosenos directores de un vector no son independientes entre sí. Si cos α, cos β,cosγ son los cosenos directores de un vector, entonces: EJEMPLO 6. Se verificara para el vector del ejemplo anterior α β γ cos + cos + cos = cos α + cos β + cos γ = + + = + + = El vector A = a, a, a es un vector unitario si A = Suponga que A= a, a, a es diferente del vector cero y que tiene los cosenos directores cos α,cos β y cosγ y que c es cualquier escalar. Entonces ca = ca, ca, ca ; y si cos α,cos β y cosγ son los cosenos directores de ca, entonces se tiene cos α ca c a c ca c a c = cos ; cos cos ca c A c α β = ca c A c β

5 cosγ ca c c a = ca A c cosγ c Por tanto, si c es un escalar diferente de cero, entonces el vector ca es un vector cuyo módulo es c veces el módulo de A. Si c> 0, ca tiene la misma dirección que A. Si c < 0 el sentido de ca es el opuesto al de A Dados tres vectores no coplanarios x, yz, del espacio tridimensional, se dice que los vectores x, yz, forman una base del espacio tridimensional. Un vector es coplanario con otros vectores, si y sólo sí es combinación lineal de ellos (LD) en caso contrario los tres vectores son no coplanarios y además son (LI) Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal. (Canónica) Los tres vectores unitarios i =,0,0 j = 0,,0 k = 0,0, forman una base para el espacio vectorial V debido a que cualquier vector a, a, a puede expresarse en términos de ellos como sigue: a, a, a = a,0,0 + a 0,,0 + a 0,0, En consecuencia, si A = a, a, a, también se puede escribir A= ai ˆ ˆ + aj+ aˆ k Ecuación que permite expresar cualquier vector diferente de cero en términos de su módulo y de sus cosenos directores. A= A cosαiˆ+ A cos β ˆj+ A cosγkˆ A= A cosαiˆ+ cos β ˆj+ cosγkˆ ( ) EJEMPLO 7. Exprese el vector A =,, 6 en términos de su módulo y de sus cosenos directores. 6 6 Sí A=,, 6 A = 7; cos α = ; cos β = ; cosγ =. A 7 ˆ ˆ ˆ = i j k

6 OPERACIONES CON VECTORES: ADICIÓN, SUSTRACIÓN Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR. Sean los vectores A = a, a, a y B = b, b, b y c es un escalar, entonces: ) A+ B = a+ b, a + b, a+ b ) A= a, a, a ) A B= A+ ( B) = a b, a b, a b 4) ca = c a, a, a = ca, ca, ca ( ) EJEMPLO 8. Dados A = 5,,6 y B = 8, 5, 4, calcule A + B, A B, A y 5B. A+ B= 5+ 8, + ( 5 ),6+( 4) =, 7, A B= 5 8, ( 5 ),6 ( 4) =,,0 A = 5,,6 = 5, 6,8 5B = 5 8, 5, 4 = 40, 5, 0 LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE DOS VECTORES DE V Si P es el punto ( x, yz, ) y PQ es una representación de A= a, a, a ; entonces Q es el punto ( x + a, y+ a, z+ a) Sean B= b, b, b y QR una representación de B, entonces ( x + ( a+ b), y+ ( a + b), z+ ( a+ b) ) es el punto R. Por tanto, PR es una representación del vector A + B, y se cumple la ley del paralelogramo. EJEMPLO 9. Coordenadas de un vector que une dos puntos Observa la siguiente igualdad vectorial:op + PQ = OQ PQ = OQ OP Por tanto si las coordenadas de los puntos son P ( a, b, c) y Q ( a, b, c ) Las coordenadas de PQ son: PQ = a a, b b, c c

7 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: P ( a, b, c) Q ( a, b, c ) Fíjate en la igualdad vectorial: OM = OP + PQ Las coordenadas del punto medio M se obtienen operando en la fórmula anterior y obtenemos: OM ( abc,, ) ( a ab, bc, a + a b + b c + c = + c) entonces M,, LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES DE V Se puede obtener una representación del vector A B al elegir las representaciones de A y B de modo que tengan el mismo punto inicial. Entonces, una representación del vector A B es el segmento dirigido del punto terminal de la representación de B al punto terminal de la representación de A. EJEMPLO 0. En la figura muestra los puntos P( a, a, a ) y Q( b, b, b ) dirigidos PQ, OP, y los segmentos y OQ. Observe que PQ = OQ OP = b, b, b a, a, a Por lo tanto, PQ = b a, b a, b a EJEMPLO. La figura muestra el segmento dirigido PQ. Por tanto, PQ =,,4 5 =, 4, Q es el punto (,, 4), donde P es el punto ( ),, 5 y 4

8 EJEMPLO. Dados los puntos A(, 7, ), B(,, 0 ), C(, 4,) y D(, 0, 5) a) Halla las coordenadas de los vectores: AB, BCCDDAAC,,, b) Halla el punto medio de cada uno de los siguientes segmentos: AB, BCCDACAD,,, a) AB = 4 ; BC = 4, 7, ; CD=, 4, 6 DA = 0, 7,8 ; AC =,,8 7 bm ) AB 0,5, ; MBC,, ; MCD (,, ); MAC,,7 ; MAD,, VECTOR UNITARIO Si A = ai ˆ ˆ + aj+ ak ˆ es diferente del vector cero, entonces el vector unitario U ˆ que tiene la misma dirección que A a está determinado por ˆ a ˆ a U = i + j+ k ˆ A A A EJEMPLO. Dados los puntos R(,, ) y S (, 4, 6). Obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección que RS. RS =,4 ( ),6 = iˆ+ 5ˆj + kˆ RS = () + (5) + () = 5 5 El vector unitario pedido es U = i ˆ + ˆ j+ k ˆ TRES PUNTOS ALINEADOS QUE FORMAN VECTORES Los puntos de coordenadas: P ( a, b, c) Q ( a, b, c ) R ( a b, c ), están alineados siempre que tengan la misma dirección: PQ( a a, b b, c c) y QR ( a a, b b, c c ) Es decir, si se cumple: a a b b c c = = a a b b c c SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO El simétrico del punto P ( a, b, c), (le llamamos P ), respecto a otro Q ( a, b, c ) se caracteriza como: aquel para el que Q es el punto medio del segmento que une P y P. 5

9 a + α b + β c + γ Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que: Q,, a + α b + β c + γ Es decir que tenemos: ( a, b, c ) =,, Despejando en esta última igualdad los valores de α, β, γ tenemos que: ( α, β, γ ) = ( a a,b b, c c) PUNTOS INTERIORES EN UN SEGMENTO EJEMPLO 4. Dividimos el segmento PQ en cinco partes iguales y situamos el punto V a dos unidades de P y tres de Q. Cuáles son las coordenadas de V? Para hallarlas procedemos así. Llamamos P= OP, Q= OQ OV = P + PQ = P + ( Q P) = P + Q a) Si P ( 4,,8 ) y (, 9,8) Q, halla las coordenadas de V. b) Obtén las coordenadas de un punto W situado en el segmento PQ del siguiente modo: se divide el segmento en 7 partes iguales y situamos W a de P,, 5, Q 9,, 6. P. Aplícalo a ( ) ( ) c) Demuestra que si dividimos el segmento PQ en m+ n partes y situamos X a n m m unidades de P, las coordenadas de X son: P+ Q m+ n m+ n d) Demuestra que si 0 a α P+ αq es un punto de PQ. <, entonces ( ) a) V = ( 4,,8 ) + (,9,8) = (,,8) 5 5 b) Razonando como en el caso anterior, llegamos a: 5 OW = P + PQ + ( Q P) = P + Q ,, 5 Q 9,,6 entonces: Si consideramos el caso P( ) y ( ) 5 W = (,, 5) + ( 9,,6) = ( 4,7 9) 7 7 c) Razonando como en los casos anteriores, tenemos que: m m m m n m OX = P + PQ = P + ( Q P) = P + Q = P + Q m+ n m+ n m+ n m+ n m+ n m+ n 6

10 d) Llamamos d = PQ. Sea X un punto del segmento PQ que esté a una distancia α d de P y ( α ) d de Q. (Como 0 α <, entonces 0 αd < d; luego X pertenece al segmento PQ ). Razonando como en los apartados anteriores, tenemos que las coordenadas de X son: ( α ) d αd P+ Q, es decir, ( α ) P+ αq d d Por tanto, este punto (que es X ) es un punto del segmento PQ. EJEMPLO 5. Calcula el valor de a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estén alineados. Hallamos los puntos de corte del plano con cada una de las tres rectas: a a a π Con r : a+ z+ = 0 z = P,, a 4a a π Con r :a+ z+ = 0 z = Q,, a 9a a π Con r :a+ 4z+ = 0 z = R,, EJEMPLO 6. Halla, en función de a, los puntos de corte PQ, y R. Expresa después la dependencia lineal entre los vectores PQ y QR. Los vectores PQ y QR han de tener sus coordenadas proporcionales: 5a a a a PQ,, ; QR,, 6 6 5a a a a = 0a= a a= ; = a= a= 6 6 EJEMPLO 7. Obtén las coordenadas de los puntos que dividen cada uno de los, 5,,, 5,,7 y segmentos de a) de extremos ( ) y ( ).b) de extremos ( ) ( 4,,0) en tres partes iguales. Dado un segmento de extremos P y Q 7

11 OQ + OP OR = OP + PQ = OP + ( OQ OP) = OP + OQ OP = OQ + OP OS = OP + PQ = Según esto, los puntos que buscamos son: (,,) + (, 5,) (,,) + (, 5,) a) = (,,5 ); = (,,9) ( 4,,0) + ( 5,,7 ) 4 4 ( 4,,0) + ( 5,,7 ) 5 7 b) =,, ; =,, EJEMPLO 8. Los puntos A(,, ), B(,0, ) y ( 4,, ) C son vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el vértice D y el centro del paralelogramo. D xyz el otro vértice: BA = CD,, = x 4, y +, z + Sea (,, ) x 4= x= y+ = y = D(,, 6) z+ = z = 6 Si M es el centro del paralelogramo, es el punto medio de AC. 4 5 M +, +, =,, EJEMPLO 9. Calcula el baricentro del triángulo formado por los vértices P,, 5, Q 0, 7, R, 5, 6 ( ) ( ) y ( ) a) Calcula las coordenadas del punto medio de cada lado. b) Recuerda que el baricentro (punto donde se cortan las medianas del triángulo) está sobre cada mediana, a del vértice y a del punto medio del lado opuesto. 8

12 7 a) MPQ,, MQR,6,4 MPR 0,, b) A partir de P : OM QR + OP,,8 +,, 5 OG = = = 0,, A partir de Q : OM 0,, 0,7, PR + OQ + OG = = = 0,, A partir de R : OM PQ + OR, 4, 7 +, 5, 6 OG = = = 0,, Localiza el baricentro de vértices A(,, ), B( 0, 4, ), C(,,0 ). 5 Hallamos el punto medio, M del lado BC : M,, El baricentro, G está sobre la mediana, a OM + OA, 5, +,, 4 4 OG = = =,, EJEMPLOS ADICIONALES. de A y a de M : EJEMPLO 0. Determina las coordenadas de cada punto en esta figura: A( 0, 0, ); B( 0,, ); C(,, ); D(, 0, ); E(, 0, 0 ); F(,, 0 ); G( 0,, 0 ); P 0,, ; Q 0,, ; R,,0 ; S,0, A,,, B,, 0 C, 0, 4 están EJEMPLO. Comprueba si los puntos ( ) ( ) y ( ) alineados. AB,5, ; AC,, 5 ( ) ( ) } puntos no están alineados. Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los 9

13 EJEMPLO. Halla los puntos P y Q tales que A (,0,) y B ( 5,, ). Si Q( x, y, z ), entonces AQ( x, y, z ) AB = = = x y z (,, ),, (,, ) 9 9 x = x= y = Q,, z = z = 5 5 AP = a, b, c : Si P( a, b, c ), entonces ( ) AQ = AB = AB = = = a b c 6 6 a = = b= P,, c = c= 5 5 : AQ = AB y AP = 5 (,, ),, (,, ) AQ, siendo EJEMPLO. Halla el simétrico del punto A(,,0) respecto del punto M (,, ). ( ) sea : A x, y, z El simétrico de A respecto del punto M. Como M es el punto x y+ z = x y+ z = x= 4; = y = 5; = z = 4 medio del segmento AA, entonces:,, (,,) Por tanto: A ( 4, 5, 4) 40

14 EJEMPLO 4. Calcula a y b para que los puntos A(,, ), B(,0, ) y C( 4, a, b ) estén alineados. AB(,, ) Para que estén alineados ha de ser; a b+ = = AC (, a, b + ) Por tanto: a = a = a = b + 5 = b = b = APLICACIONES A LA MECÁNICA EJEMPLO 5. Exprese cada fuerza que actúa en la cañería en la forma del vector Cartesiano. Componente rectangular: Desde cos α + cos β + cos γ =, entonces cos β =± cos 60º cos 0º =± 0,707. Sin embargo, se requiere que β > 90º, así, β = cos ( 0, 707) = 45º Resolviendo F y F en sus componentes xy, y z, como muestra en las figuras a y b, respectivamente, F y F, puede expresarse en la forma de vector Cartesiano como 4 F = 600( 5)( + i) + 0 j+ 600( 5)( + k) = [ 480i+ 60k] N F = 400cos 60º i+ 400cos 45º j+ 400cos0º k = 00i+ 8 j 00k N { } 4

15 EJERCICIOS PROPUESTOS En los ejercicios a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (b) calcule la longitud de la diagonal AB. ) A( 0,0,0 ); B ( 7,,) ) A(,, ); B (, 4, ) ) A(,, ); B(,,5 ) 4) A(,, ); B( 4, 0,) 5) A(,, 0 ); B(,,5) 6) Localice los puntos cuyas coordenadas son (,, ),(,0, )(,, 4,5 )(, 0,,0) y (,, ) 7) Siga las instrucciones del problema anterior para (,, ), ( 0,, ),,, π, ( 0, π, ) A B C D 8) El vértice opuesto al rincón de una sala está a 8 pie al este, 5 pie al sur y pie por arriba del primer rincón determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos 9) Calcule la distancia entre las siguientes parejas de punto. a) ( 6,,0 ) y (,, ); b) (,,0) y (,, ) ; c) (,,0) e π y ( π, 4, ) En los ejercicios 0 a 4, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B., 4, ;,6, A 4,, ; B,, 5 A, 4, ; B,, 0) A( ) B( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) A(,,5); B( 5,, 4) 4) A( 5,, ); B(,7, ) 5) Demuestre que ( 4,5, ),(,7, 4 ) y (, 4,6 ) son vértices de un triángulo equilátero. 6) Demuestre que los tres puntos (,, ); (,, 7) y ( 4,,6 ) son los vértices de un triángulo rectángulo, y calcule su área. 7) Demuestre que (,,6 ),( 4,7,9 ) y ( 8,5, 6) son vértices de un triángulo rectángulo. Sugerencia: sólo los triángulos rectángulos satisfacen el Teorema de Pitágoras. 8) Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del plano yz? Y los puntos del eje z? 9) Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del plano xz? Y los puntos del eje y? 0) Calcule la distancia de (,, ) a a) El plano xy b) el eje y, y c) el origen. ) Se dibuja una recta que pasa por el punto ( 6, 4, ) y que es perpendicular al plano yz. Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que están a una distancia de 0 unidades del punto ( 0, 4,0 ). 4

16 ) Resuelva el ejercicio anterior, si la recta se dibuja perpendicularmente al plano xy. ) Una caja rectangular tiene sus caras paralelas a los planos de coordenadas y tiene a (,, 4 ) y ( 6,,0 ) como los extremos de una diagonal principal. Bosqueje la caja y calcule las coordenadas de sus ocho vértices. 4) El punto P( x,5, z ) está en una línea que pasa por Q(, 4,) y es paralela a uno de los ejes de coordenadas. Cuál eje debe ser y qué valores tienen x y z? 5) Demuestre que los tres puntos (,,4);(6,,);(,,6) son colineales empleando la fórmula de la distancia. 6) Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en,, ;,,5 0,, 4. ( ) ( ) y ( ) 7) Para el triángulo que tienen vértices A(, 5, ); B(,7,0 ) y ( 4,9,7) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de cada lado. C calcule (a) En los problemas del 8 al, para los vectores tridimensionales u y v, determine la suma u + v, la diferencia u v y las magnitudes u y v 8) u =,0,0 ; v =, 4,0 9) u = 0,0,0 ; v =,, 0) u =,0, ; v = 5,0,0 ) u = 0., 0., 0.5 ; v =.,., 0.9 ) Demuestre los siguientes teoremas para el caso de vectores tridimensionales. Sea u = u, u, u ; v = v, v, v y w= w, w, w a) u+ v = v+ u b)( u+ v) + w= u+ ( v+ w) c) u + 0= 0+ u d) u+ ( u) = 0 e) a( bu) = ( ab) u g) ( a+ b) u = au+ bu h) u = u En los ejercicios a, A=,, ; B= 4,, ; C = 5,,5 y D =,, 6. ) Calcule: a) A+ 5B ; b) 7C 5D c) 4) Calcule: a) A C b) A C c) 4B+ 6C D d) 4B + 6C D 5) Calcule; a) C+ D 8A b) A B C D 6) Calcule: a) A B+ C D b) AC BD 7) Dados los vectores A=,, ; B= 4,, ; C = 5,,5 determine los escalares a y b tales que: a( A+ B) + b( C+ D) = 0 8) Dados los vectores A=,, ; B= 4,, ; C = 5,,5 ; D=,, 6 determine los escalares a, b y c tales que aa+ bb + cc = D En los ejercicios del 9 al 4, determine los cosenos directores del vector V ( PP ) y verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es. P,, 4 ; P 7,, 4 P,6,5 ; P, 4, P 4,, ; P, 4, 8 9) ( ) ( ) 40) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) 4

17 4) P(,,5 ) ; P (,, 4) CÁLCULO VECTORIAL I. 4) Utilice los puntos del ejercicio 9 y obtenga el punto Q tal que ( PP ) = ( PQ ) 44) Utilice los puntos del ejercicio 4 y obtenga el punto R tal que ( PR ) = ( PR ) 45) Dados P (,, 4) y P ( 5, 4, ), determine el punto P tal que 4( PP ) = ( PP ) 46) Dados P ( 7,0, ) y ( ) P,,5, determine el punto P tal que ( PP ) = 5 ( PP ) En los ejercicios 47 y 49, exprese el vector en términos de su módulo y de sus cosenos directores. 47) A = 6i + j + k 48) A = i + j k 49) A = i + 4j 5k En los ejercicios 50 y 5, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de ( PP ) 50) ap ) ( 4,, 6 ); P( 5,7, ) 5) ap ) (,0, ); P(,8, ) 5) Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los puntos medios de PQ, QR, RS y SP, respectivamente, demuestre mediante geometría analítica que A B C D es un paralelogramo. 5) Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud. A 0,0,0, B abc,,, C ab,,0, H a,0,0, G 0, bc,, E a,0, c, F 0, b,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54) Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR. Es un triángulo rectángulo? Es un triángulo isósceles? P(,, ), Q( 7,0, ), R(,,) 55) Determine si los puntos yacen en una línea recta. a) A(, 4, ), B(,7, ), C(,, ) b) D( 0, 5,5 ), E(,, 4 ), F(, 4, ) 56) Determine el ángulo de la coordenada γ para F y entonces expresa cada fuerza que actúa en el anaquel como un vector Cartesiano. 57) Determine que la magnitud y ángulos de dirección de coordenadas de la fuerza resultante actuando en el anaquel. 44

18 58) Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante que actúa en la cañería. 59) La fuerza F que actúa en el anaquel dentro del OCTANTE mostrado. Si F = 400 N, β = 60º y γ = 45º, determine los componentes xyz,, de F. 60) La fuerza F que actúa en el anaquel dentro del OCTANTE mostrado. Si la magnitud de los componentes x y z de F son F = 00 N y F = 600 N, respectivamente, y x β = 60º, determine la magnitud de F y su componente y. También, encuentre los ángulos de dirección de coordenadas α y γ. z 6) Las dos fuerzas F y F actúan en A tenga una fuerza resultante de FR = { 00k} lb. Determine la magnitud y ángulos de dirección de coordenadas de F. 6) Determine el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza F y los indica en la figura. 45

19 6) El compuesto de la espuela a las dos fuerzas causadas por el contacto con otros compuestos. Determine la fuerza resultante de las dos fuerzas y expresa el resultado como un vector Cartesiano. F i j k N, determine la 64) Si la fuerza resultante en el anaquel es = { } magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de F. R 65) Si la fuerza resultante que actúa en el andén será F = { 800 } magnitud y ángulo de dirección de coordenada de F. R j N, determine la 66) Si α = 0º, β < 90º, γ = 60º y F = 400lb, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante que actúa en el gancho. 67) Si la fuerza resultante que actúa en el gancho es F = { 00i+ 800 j+ 50k} determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de F. R, 46

20 68) El árbol S ejerce tres componentes de fuerza en el dado D. Encuentra la magnitud y ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante. La fuerza F los actos dentro del OCTANTE mostrado. 69) El mástil se sujeta a las tres fuerzas mostradas. Determine el ángulo de dirección de coordenada α, β, γ de F para que la fuerza resultante que actúa en el mástil sea F = 50i N R { } 70) El mástil se sujeta a las tres fuerzas mostradas. Determine los ángulos de dirección de coordenadas α, β, γ de F para que la fuerza resultante que actúa en el mástil sea cero. 7) Determina la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de F para que la resultante de las dos fuerzas que actúan a lo largo del eje x y tiene una magnitud de 500N. 47

21 7) Determinar la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de F para que la resultante de las dos fuerzas es cero. 7) Si la fuerza resultante actuando en el anaquel es direccionado a lo largo del eje y, determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo de dirección de coordenada de F para que β < ) Especifique la magnitud de F y sus ángulos de dirección de coordenada α, β, γ para F = 9 j kn. la fuerza resultante { } R 9, 9, 75) Si ( 9,58 ) = y ( ) 9,58 x =, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza resultante actuando en la junta de rótula. 48

22 76) El pole se sujeta a la fuerza F, que tiene componentes que actúan a lo largo de los ejes xyz,, mostrado. Si la magnitud de F es kn, β = 0 y γ = 75, determine la magnitud de tres componentes. 77) La pole se sujeta a la fuerza F que tiene componentes F =, 5kN y F =, 5kN. Si β = 75, determine la magnitud de F y F y. x z 78) Tres fuerzas actúan en el ring. Si la fuerza resultante F R tiene una magnitud y dirección como se muestra, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de fuerza F. 79) Determine el ángulo de dirección de coordenada de F y F R. 80) Dos fuerzas F y F que actúan en la saeta. Si la fuerza resultante F R tiene una magnitud de 50lb y el ángulo de dirección de coordenada α = 0 y β = 80, como se muestra, determine la magnitud de F y el ángulo de dirección de coordenada. 8) Determine el vector posición r dirigido de punto A al punto B y la longitud del cordón AB. Usa z = 4 m. 49

23 8) Si el cordón AB es longitud 7,5m, determine la posición de la coordenada + z del punto B 8) Determine la distancia entre el punto extremo A y B en el alambre formulando un vector de la posición primero de A y B y entonces determinando su magnitud. 84) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza resultante actuando a A. 85) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante. 86) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante actuando en A. 50

24 87) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza resultante. 88) El candelabro se apoya por tres cadenas que están coexistente en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60lb, exprese cada fuerza como un vector Cartesiano y determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante. 89) El candelabro se apoya por tres cadenas que están coexistente en el punto O. Si la fuerza resultante a O tiene una magnitud de 0lb y se dirige a lo largo del eje negativo de z, determine la fuerza en cada cadena. 90) La fuerza expresa F como un vector Cartesiano, entonces sus ángulos de dirección de coordenada. 9) La torre se sostiene en el lugar por tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa en la torre se muestra, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas α, βγ, de la fuerza resultante. Toma x = 0 my, = 5m. 5

25 9) La puerta se sostiene abierto por medio de dos cadenas. Si la tensión en AB y CD es F = 00N y F = 50N, respectivamente, exprese cada uno de estas fuerzas en la A forma de vector Cartesiano. C 9) Los alambres del tipo se usan para apoyar el polo del teléfono. Represente la fuerza en cada alambre en la forma de vector Cartesiano. Desprecie el diámetro del polo. 94) Se usan dos cables afianzar el estampido de la proyección en la posición y apoyar la carga 500N. Si la fuerza resultante se dirige a lo largo del estampido del punto A hacia O, determine la magnitud de la fuerza resultante y fuerzas F y F. Juega x = m y z = m. B C 95) Se usan dos cables afianzar el estampido de la proyección en la posición y apoyar la carga 500N. Si la fuerza resultante se dirige a lo largo del estampido del punto A hacia O, determine los valores de x y z por las coordenadas de punto C y magnitud de la fuerza resultante. Jugar F = 60N y F = 400N. B C 5