CÁLCULO VECTORIAL PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares.

Transcripción

1 PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) El producto escalar de dos vectores A yb, denotado por A B, se define como el número (un escalar, no un vector) que se obtiene del siguiente modo. Ai B = A B cos ( A, B) Si ( AB, ) es agudo, cos ( AB, ) > 0 y por tanto: AB> i 0 AB, cos AB, < 0 y por tanto: AB< i 0 Si ( ) es obtuso, ( ) PROPIEDADES. Si A, ByC son tres vectores cualesquiera de V o V, entonces Propiedad fundamental del producto escalar. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir: A 0yB 0 Ai B= 0 A B Conmutatividad del producto escalar: AiB= Bi A (inmediato). Propiedad asociativa con respecto a un escalar: λ( AB i ) = ( λa) ib= Ai ( λb) (inmediato). Propiedad distributiva: Ai( B+ C) = AiB+ Ai C Módulo de un vector: A = Ai A (inmediato de la definición). Vector nulo: 0 A = 0 Como A B es un escalar, la expresión ( A B) C carece de significado. En consecuencia, no se considera la asociatividad del producto punto. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR. Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras B = { i ˆ, ˆ j, k ˆ }. Entonces según la definición se puede comprobar que en los vectores unitarios iˆ, ˆj, k ˆ ii ˆˆ i = ˆjiˆj = kk ˆiˆ= 1; iˆˆ ij= ˆjk iˆ= ik ˆiˆ= 0 Además: 1) Si A= a1, a y B = b1, b son dos vectores de V, entonces A B = ab 1 1+ ab ) Si A= a1, a, a y B = b1, b, b son dos vectores de V, entonces A B = ab 1 1+ ab+ ab 1 EJEMPLO 1. Si A =, y B =,4 1 1 A B =,, 4 = ( )( ) + ( )( 4) = 1 EJEMPLO. Si A = 4,, 6 y B = 5,, A B= 4,, 6 5,, = = ( ) ( ) ( )( ) 54

2 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Sean A yb dos vectores diferentes del vector cero. Si A no es un múltiplo escalar de B y si OP es la representación de posición de A y OQ es la representación de posición de B (ver fig. 1 en V y fig. en V ), entonces el ángulo entre los vectores A yb es el ángulo de medida positiva entre OP y OQ e interior al triángulo determinado por OP, y Q. Si A = cb, donde c es un escalar, entonces sí c > 0, el ángulo entre los vectores mide 0 radianes; y si c < 0, entonces el ángulo entre los vectores mide π radianes. Si θ es el ángulo entre los vectores A y B, y ambos vectores, diferentes del vector cero, A B entonces A B= A B cosθ cosθ = A B EJEMPLO. Dados los vectores A = 6iˆ ˆj+ kˆ y B = iˆ+ ˆj kˆ. Determine el ángulo entre AyB A B= 6,,,1, = 1 6 = A B A = = 7; B = = 14 cosθ = = A B 7 14 PROYECCIÓN ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO Si A yb son dos vectores diferentes del vector cero, entonces la proyección escalar de B sobre A se define como B cosθ, donde θ es el ángulo entre A yb. La proyección escalar (Segmento proyección) del vector B sobre el vector A es A B A El vector proyección del vector B sobre el vector A es A B A A 55

3 EJEMPLO 4. Para los vectores A = 6iˆ ˆj+ kˆ y B = iˆ+ ˆj kˆ Se calculó A B = y A = 7 La componente de B en la dirección de A es la proyección escalar de B sobre A, la cual es A B = A 7 El vector proyección de B sobre A es A B A = ( 6 i ˆ ˆ j + k ˆ) = i ˆ ˆ j + k ˆ A EJEMPLO 5. Sean los vectores A = 5iˆ+ ˆj y B = 4iˆ+ ˆjDetermine: a) la proyección escalar de B sobre A ; b) el vector proyección de B sobre A ; c) muestre en una figura las representaciones de posición de A, B y el vector proyección de B sobre A. Se calcula A B y A ( ) A B = 5,1 4, = 0 + = 18; A = = 6 La proyección escalar de B sobre A A B 18 es = A 6 El vector proyección de B sobre A A B es A = ( 5ˆ i + ˆ j ) = i ˆ ˆ j A Las representaciones de posición de A, ByC, donde C es el vector proyección de B sobre A. VECTORES PARALELOS Se dice que dos vectores son paralelos si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. EJEMPLO 6. Los vectores, 4,8 y, 1, son paralelos debido a que 4, 4,8 = 4, 1,. 4 Si A es cualquier vector, entonces 0= 0A ; de modo que el vector cero es paralelo a cualquier vector. 56

4 Nota: Dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y sólo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o π. VECTORES ORTOGONALES Se dice que dos vectores A yb son ortogonales (o perpendiculares) si y sólo sí A B = 0. Si A yb son dos vectores diferentes del vector cero, entonces, cosθ = 0 si y sólo sí π A B = 0. Como 0 θ π, se infiere de esta proposición que θ = A B = 0. EJEMPLO 7. Los vectores 4,5,0 y 10,8, son ortogonales ya que: 4,5, 0 10,8, = ( 4)( 10) + ( 5)( 8) + ( 0)( ) = 0 Nota: Si A es cualquier vector 0 A = 0, y por tanto, el vector cero es ortogonal a cualquier vector. EJEMPLO 8. Dados A = iˆ+ ˆj y B = iˆ+ Kj ˆ, donde K es un escalar, determine (a) K tal que A yb sean ortogonales; (b) K tal que A yb sean paralelos. A yb Son ortogonales si y sólo sí A B = 0 ; es decir, ( )( ) + ( k) = 0 k = A yb Son paralelos si y sólo si existe algún escalar c tal que, = c, k ; esto es, = c y = ck Al resolver estas dos ecuaciones simultáneamente se obtiene 4 k =. A 4,9,1, B, 6, y EJEMPLO 9. Demuestre, empleando vectores, que los puntos ( ) ( ) C ( 6,, ) son vértices de un triángulo rectángulo. En el triángulo CAB que se muestra en la figura se observa que el ángulo en A puede ser un ángulo recto. Se obtienen ( AB) y ( AC) y si el producto punto de estos dos vectores es cero, entonces el ángulo en A es un ángulo recto. = 4, 6 9, 1 = 6,, ; = 6 4, 9, 1 =, 6, ( AB) ( AC) ( AB) ( AC) = 6,,, 6, = = 0 57

5 Se concluye que: ( AB) CÁLCULO VECTORIAL y ( AC) son ortogonales; de modo que el ángulo en A es un ángulo recto, y por tanto, el triángulo CAB es un triángulo rectángulo. Nota: Si un objeto se mueve de un punto A a un punto B, se denomina vector de desplazamiento, el cual se denota por V ( AB), y tiene al vector AB como una representación. De modo que, si el módulo de un vector F de fuerza constante se expresa en libras y la distancia de A a B se expresa en pies, y θ es el ángulo entre los, entonces el trabajow realizado por la fuerza F que mueve un vectores F y V ( AB) cuerpo de A a B, se determina por: W = F V AB = F V AB = F V AB ( cosθ) ( ) ( ) cosθ ( ) EJEMPLO 10. Suponga que una fuerza F tiene una intensidad de 6lb y la medida del π ángulo que indica su dirección es. Calcule el trabajo realizado por F al mover un 6 objeto a lo largo de una recta desde el origen al punto P ( 7,1), donde la distancia se mide en pies. En la figura se muestra las representaciones de posición de F y V ( OP) π π F = 6cos ( 6),6sen( 6) y V ( OP ) = 7,1 π π W = F V OP = 6cos,6 sen 7,1 =, 7,1 = ( ) ( 6) ( 6). Como, entonces si Wlb pie es el trabajo realizado, EJEMPLO 11. Demuestre mediante análisis vectorial que las alturas de un triángulo coinciden en un punto. Sea ABC un triángulo que tiene alturas AP y BQ que intersectan en el punto S. Dibuje la recta que pasa por C y S, y que intersecta el lado AB en el punto R. Se desea demostrar que RC es perpendicular a AB 58

6 Sean AB, BC, AC, AS, BS y CS representaciones de vectores. Considere que el vector V ( AB) tiene al segmento dirigido AB como una representación. Se manera semejante V BC, V AC, V AS, V BS los vectores que tienen al segmento sean ( ) ( ) ( ) ( ) y V( CS) dirigido entre paréntesis como una representación. Como AP es una altura del triángulo: V ( AS) V ( BC) = 0 También, como BQ es una altura del triángulo: V ( BS) V ( AC) = 0 Con el propósito de probar que RC es perpendicular a AB se demostrará que V ( CS) V ( AB) = 0. V ( CS) V ( AB) = V ( CS) V( AC) + V( CB) V ( CS) V ( AC) + V ( CS) V ( CB) V ( CB) + V ( BS) V ( AC) + V ( CA) + V ( AS) V ( CB) V ( CB) V ( AC) + V ( BS ) V ( AC) + V ( CA) V ( CB) + V ( AS ) V ( CB) Al sustituir V( CA) por V ( CA) y al utilizar V ( AS) V( BC) = 0 y V ( BS) V( AC) = 0 se obtiene V( CS) V( AB) = V( CB) V( AC) + 0+ V( AC) V( CB) + 0= 0 Las alturas AP, BQ y CR son concurrentes, es decir, coinciden en un punto. EJERCICIOS PROPUESTOS. En los ejercicios del 1 al 4 Calcule A B 1) ( a) A= 1, ; B = 4, ; ( b) A= iˆ ˆj; B = iˆ+ ˆj ) ( aa ) =, ; B=, : ( ba ) = ib ˆ; = iˆ+ ˆj ) ( aa ) =,, ; B=,, ; ( ba ) = ˆj kb ˆ; = iˆ+ ˆj kˆ ) ( aa ) = 4,0, ; B= 5,, 1 ; ( ba ) = iˆ ˆj+ kb ˆ; = 6iˆ+ 7 ˆj+ kˆ 5) Sean A = iˆ+ ˆj; B = iˆ ˆj; C = 5ˆj. Determine cada uno de los siguientes casos: a) A B ; b) A ( B+ C) ; c) ( A + B) 5C; d) A C A ; e) B B B 6) Sean A=, 1 ; B= 1, 1 ; C = 0,5 Determine cada uno de los siguientes casos: a) B C ; b) ( A + B) C ; d) C ( A+ 4B) ; e) BBA ; f) C C C Demuestre que: 7)( a) iˆ ˆ 1 ( ) ˆ ˆ i = b i k = 0 ( c) j k = 0 59

7 8)( a) ˆj ˆ 1 ( ) ˆ ˆ j = b k k = 1 ( c) iˆ ˆj = 0 CÁLCULO VECTORIAL Demuestre lo indicado en cada caso para vectores de V. A= aaa 1,, ; B= bbb 1,, ; C= ccc 1,, 9) AB = BA 10) A ( B+ C) = A B+ A C 11) eab ( ) = ( ea) B 1)( a)0 A 0 ( b) A A A = = 1) Determine el coseno del ángulo entre A y B y haga un bosquejo. a) A= 1, ; B= 1, ; b) A= 1, ; B= 6, 0 c) A=, 1 ; B=, 4 ; d) A= 4, 7 ; B= 8,10 Si θ es el ángulo entre A yb, calcule cosθ. 14)( aa ) = 4, ; B= 1, 1 ( ba ) = 5iˆ 1 j; B= 4iˆ+ ˆj 15)( aa ) =, ; B=, ( ba ) = iˆ+ 4 ˆjB ; = 5 ˆj 16) Determine el ángulo entre A y B y haga un bosquejo. a) A = 1 iˆ; B = 5iˆ; b) A = 4iˆ+ ˆj; B = 8iˆ 6ˆj c) A = iˆ+ ; ˆj B = iˆ 6ˆj d) A = iˆ+ j; B = iˆ+ ˆj 17) Sean A = iˆ+ ˆj kˆ; B = ˆj+ kˆ; C = iˆ+ ˆj+ kˆ. Determine cada uno de los siguientes casos: A a) A B ; b) ( A + C) B ; c) ; d) ( B C ) A A B ; e) ; f) B B B A A B 18) Sean A=,,0 ; B= 1, 1,1 ; C =,,1 Determine cada uno de los siguientes casos: A a) A C ; b) ( A C) B ; c) ; d) ( B C ) A B C ; e) ; f) A A A A B C Dados los vectores: A= 4,, 4 ; B=,7, 1 ; C = 6,,0 y D= 5, 4, 19) Obtenga: ( aa ) ( B+ C) ( b)( AB )( C D) ( cad ) BC ( d)( B DA ) ( D AB ) 0) Obtenga: ( a) A B+ A C ( b)( A B)( B C)( c)( A B) C + ( B C) D ( d)(a+ B) (4 C D) 60

8 1) Para los vectores A=,,0 ; B= 1, 1,1 ; C =,,1, determine el ángulo entre cada par de vectores. ) Sean A=,, ; B= 1, 1,0 ; C =,,1. Determine el ángulo entre cada pareja de vectores. ) Para los vectores A=,,0 ; B= 1, 1,1 ; C =,,1, determine los cosenos y los ángulos directores. 4) Para los vectores A =,, ; B = 1, 1,0 ; C =,,1, determine los cosenos y los ángulos directores. 5) Determine el valor de K tal que la medida en radianes del ángulo entre los vectores A= iˆ+ ˆj; B = iˆ+ kj ˆ π sea 4 6) Demuestre que los vectores 6, y 1, son ortogonales. 7) Sean A = kiˆ ˆj y B = kiˆ+ 6ˆj, donde k es un escalar. Obtener el valor de k tal que A yb Sean ortogonales. 8) Sean A = 5i kj y B = ki+ 6j, donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal que (a) A yb Sean ortogonales, y (b) A ybsean paralelos. 9) Demuestre que los vectores A= 1,1,1 ; B= 1, 1, 0 ; C = 1, 1, son mutuamente ortogonales, esto es, cada pareja de vectores es ortogonal. 0) Muestre que los vectores A= iˆ ˆ; j B= i + j; C = kˆ son mutuamente ortogonales, esto es, cada pareja de vectores es ortogonal. 1) Determine el valor de k tal que los vectores A= kiˆ ˆj yb= kiˆ+ 6ˆj, tengan direcciones opuestas. ) Si A = 8iˆ+ 4ˆj yb = 7iˆ 6ˆjcalcule: (a) la proyección escalar de A sobre B, y (b) El vector proyección de A sobre B ) Para los vectores del ejercicio, (a) obtenga la proyección escalar de B sobre A, y (b) el Vector proyección de B sobre A. 4) Determine la componente del vector A = 5iˆ 6ˆj en la dirección del vector B = 7ˆ i + ˆj 5) Para los vectores A yb A = 5iˆ 6ˆj B = 7ˆ i + ˆj, calcule la componente de B en la dirección de A. 6) Calcule: ( a)cosθ Si θ es el ángulo entre A yc.donde A = 4,, 4 ; C = 6,,0 ( b) La componente de C en la dirección de A. 61

9 ( c) El vector proyección de C sobre A 7) Determine: ( a)cosθ Si θ es el ángulo entre B yd. Donde B=,7, 1 ; D= 5, 4, ( b) La componente de B en la dirección de D. ( c) El vector proyección de B sobre D 8) Obtenga: ( a) La proyección escalar de A sobre B donde A= 4,, 4 ; B=,7, 1 ( b) El vector proyección de A sobre B 9) Calcule: ( a) La proyección escalar de D sobre C. Donde C = 6,.0 ; D= 5, 4, ( b) El vector proyección de D sobre C 40). Si u+ v es ortogonal a u v, qué puede decir acerca de las magnitudes relativas de u y v? 41) Determine dos vectores de longitud 10, cada uno de los cuales sea perpendicular a 4iˆ+ 5ˆj+ kˆ y 4iˆ+ ˆj. 4) Determine todos los vectores perpendiculares a 1,, y a,, 0. C. 44) Demuestre que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo si los vértices son 6,,,,1, 1 C 1,10,.5. Sugerencia: compruebe el ángulo en B. 4) Determine el ángulo ABC si los puntos son A( 1,, ), B( 4,5,6) y ( 1, 0,1) A( ) B( ) y ( ) 45) Para qué valores de c son ortogonales c,6 y c, 4? 46) Para qué valores de c son ortogonales ciˆ 8ˆj y iˆ+ cj ˆ? 47) Para qué valores de c y d son ortogonales u = ciˆ+ ˆj+ kˆ y v = j + dkˆ? 48) Para qué valores de ab, y c los tres vectores a,0,1, 0,, b y 1, c,1 son mutuamente ortogonales? 49) Un vector u = iˆ+ ˆj+ zkˆ que parte del origen apunta hacia el primer octante (es decir, la parte del espacio tridimensional en donde todas las componentes son positivas). Si u = 5, determine z. 50) Si α = 46º y β = 108º son los ángulos directores para un vector u, determine dos posibles valores para el tercer ángulo. 51) Determine dos vectores perpendiculares u perpendicular a w = 4,,5. y v tales que cada uno sea 5) Determine el vector que parte del origen, cuyo punto final es el punto medio del segmento que une (,, 1) y ( 5, 7, ). 6

10 5) Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? a) u ( v w ) ; b) ( u w ) + w ; c) u ( v w ) d) ( u v) w 54) Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? a) u ( v + w ) ; b) ( u w ) w c) u ( v w ) + d) ( u + v) w 55) Dados los dos vectores no paralelos A= iˆ ˆj y B = iˆ+ 4ˆj y otro vector R = 7iˆ 8ˆj determine escalares k y m tales que R = ka + mb. 56) Dados los dos vectores no paralelos A= 4iˆ+ ˆj y B = iˆ ˆj y otro vector R = 6iˆ 7ˆj, determine escalares k y m tales que R = ka + mb. 57) Demuestre que el vector u = aiˆ+ bj ˆ es perpendicular a la recta con ecuación ax + by = c. Sugerencia: suponga que P1( x1, y 1) y P( x, y ) son dos puntos en la recta, y muestre que n PP 1 = 0. 58) Demuestre que u + v + u v = u + v ) Demuestre que u v = u + v u v ) Determine el ángulo entre una diagonal principal de un cubo y una de sus caras. 61) Determine el menor ángulo positivo entre las diagonales principales de una caja rectangular de 4 por 6 por 10 pies. 6) Calcule los ángulos formados por las diagonales de un cubo. 6) Determine el trabajo realizado por la fuerza Demuestre que F = iˆ+ 10ˆj Newton al mover el objeto 10 metros al norte (es decir, en la dirección ĵ ). 64) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza de 100 Newton que actúa en la dirección S 70º E al mover un objeto 0 metros hacia el este. 65) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza F = 6iˆ+ 8ˆj libras al mover un objeto 6,8, donde la distancia está en pies. 66) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza F = 5iˆ+ 8ˆj Newton al mover un objeto 1 metros al norte. 67) Calcule el trabajo realizado por una fuerza F = 4kˆ Newton para mover un objeto de ( 1, 0 ) a ( ) 4, 4,0, donde la distancia está dada en metros. 68) Determine el trabajo realizado por la fuerza F = iˆ 6ˆj+ 7kˆ de ( 0,0,8 ) a ( ) objeto de (,1, ) a ( ) libras al mover un 9, 4,6, donde la distancia está dada en pies. 69) Calcule la distancia del punto (, 1, 4) a la recta que pasa por los puntos (,, ) y ( 9, 6, 6). 70) Determine la distancia del punto (,,1) a la recta que pasa por los puntos (1,, 9) y (, 6, ) 6

11 71) Pruebe, empleando vectores, que los puntos dados son los vértices de un rectángulo A(,,); B(,0,1); C(4,1, 1) yd(4,,0) 7) Demuestre utilizando vectores que los puntos dados, son los vértices de un paralelogramo. 7) Determine el área del triángulo cuyos vértices son: A(,,1), B(1,,) yp(, 1,) 7) Demuestre, empleando vectores, que los puntos A(,1,6), B(,4,5) y C( 1,,1) Son los vértices de un triángulo rectángulo, y determine el área del triángulo. 74) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (,4), y que sean tangentes a la parábola y = x en ese punto. 75) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (,4), y que sean normales a la parábola y = x en ese punto. 76) Si A = i+ 5j k; B = i j+ k y C = i j+ 4k, obtenga la componente de B en la dirección de A C. 77) Calcule los cosenos de los ángulos del triángulo que tiene vértices en A(0,0,0), B(4, 1,) yc(1,,). 78) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 8lb y su dirección está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 1 π. Determine el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto. ( a ) A lo largo del eje x desde el origen hasta el punto ( 6,0 ), y ( ) distancia se mide en pies. 0,6. La b A lo largo del eje y desde el origen hasta el punto ( ) 79) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10lb y su dirección está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 1 π. Determine el trabajo 4 realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto (0, ) hasta el punto (0,5). La distancia se mide en pies. 80) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 9lb y su dirección está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es π. Determine el trabajo realizado por la fuerza el desplazar un objeto desde el origen hasta el punto ( 4, ). La distancia es medida en pies. 81) Dos fuerzas representadas por los vectores FyF 1 actúan sobre una partícula ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto (,5) hasta el punto (7,). Si F ˆ ˆ ˆ ˆ 1 = i j y F = 4i + 5j, y si las intensidades de las fuerzas se miden en 64

12 libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos fuerzas al actuar juntas. 8) Si una fuerza tiene la representación vectorial F = iˆ ˆj+ kˆ, calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P (,,4) hasta el punto 1 P = (1,, 5). La intensidad de la fuerza se mide en libras y la distancia en pies. 8) Si una fuerza tiene la representación vectorial F = 5iˆ kˆ, calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P (4,1,) hasta el punto P ( 5,6,) 1. La intensidad de la fuerza se mide en libras y la distancia en pies. 84) El vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb, y los cosenos directores de F 1 1 son cosα = 6 y cos β = 6. Si la fuerza desplaza un cuerpo a lo 6 largo de una recta desde el origen hasta el punto (7, 4,), calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies. 85) Si A yb son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector A cb es ortogonal a B A B si c = B 86) Si A = 1iˆ+ 9 ˆj 5kˆ y B = 4iˆ+ ˆj 5 kˆ, emplee el resultado del ejercicio 85 Para determinar el valor del escalar c de modo que el valor B ca sea ortogonal a A. 87) Para los vectores del ejercicio 86 Utilice el resultado del ejercicio 85 a fin de calcular el valor del escalar d de modo que el vector A db sea ortogonal a B. 88) Demuestre que si A yb son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores B A+ ABy BA AB. Son ortogonales. 89) Demuestre que si, A yb son dos vectores cualesquiera diferente del vector cero y C = B A+ A B entonces el ángulo entre A yc tiene la misma medida en radianes que el ángulo entre B yc. 90) Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 oπ. 65

13 91) Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triángulo son concurrentes, es decir coinciden en un punto. 9) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. 9) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos. 94) Observe la figura adjunta donde θ1 es el ángulo de incidencia y θ es el ángulo de refacción, de la ley de Snell, sinθ1 = μsinθ.donde μ es el índice de refacción del medio más denso. Demuestre que si A es un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces A F + μ B F = 0 95) Demuestre el siguiente teorema: Si son dos vectores cualesquiera, entonces A B = A + A B+ B. 96) Demuestre el teorema de Pitágoras: A + B = A + B si y solo si A yb son ortogonales. 97) Demuestre la ley del paralelogramo: Si A yb son dos vectores cualesquiera, entonces A + B + A B = A + B Cuál es la interpretación geométrica de 66

14 esta identidad? Observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por las representaciones de los vectores A yb. Sugerencia : Observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por las representaciones de los vectoresayb. A+B A A B B 98) Demuestre la desigualdad de Cauchy Schwartz para vectores bidimensionales: u v u v 99) Demuestre la desigualdad del triángulo para vectores bidimensionales u+ v u + v Sugerencia: utilice el producto punto para calcular u+ v ; luego utilice la desigualdad de Cauchy Schwartz 100) Un peso de 0 libras está suspendido por tres cables con tensiones resultantes iˆ+ 4ˆj+ 15 kˆ; 8iˆ ˆj+ 10kˆ y aiˆ+ bj ˆ+ ckˆ. Determine ab, y c, de modo que la fuerza neta apunta hacia arriba. 101) Las medianas de un triángulo se encuentran en un punto P (el centroide) que está a dos tercios del camino de un vértice al punto medio del lado opuesto. Demuestre que P es la cabeza del vector de posición ( a+ b+ c ), donde AByC, son los vectores de posición de los vértices, y use esto para determinar P si los vértices son (,6,5 ),( 4, 1, ) y ( ) 6,1,. 10) Sean abc,, y d los vectores de posición de los vértices de un tetraedro. Demuestre que las rectas que unen los vértices con los centroides de las caras opuestas se cortan en un punto P, y dé una fórmula vectorial sencilla para él, 10) Sí U = aiˆ+ bj ˆ+ ckˆ es un vector unitario, entonces ab, y c son los cosenos directores de U? 67

15 104) Si U y V son vectores unitarios, entonces el ángulo θ entre ellos satisface θ = U i V? 105) El producto punto para vectores satisface la ley asociativa? 106) Sí U i V = U V para vectores no nulos U y V, si y sólo si U es un múltiplo escalar de V? 107) Si U = V = U + V, entonces U = V = 0? 108) Si U + V y U V son perpendiculares, entonces U = V? 109) Para cualesquiera dos vectores U y V, U + V = U + V + U i V? 110) Para cualquier vector U, U iu = Ui U? 111) Al multiplicar cada componente de un vector V por el escalar a se multiplica la longitud de V por a? 11) Dados los vectores U( 5, 1, ), V( 1,, ), calcula: a) Ui V b) U yv c) UV, d) proyección de U sobre V y proyección de V sobre U. (Segmento y vector). ( ) 7,, x sea perpendicular U? 11) Calcula el ángulo que forman A yb sabiendo que A = ; B = 5; A+ B = 7 114) Sí UiV = UiW U = W? 115) Demuestra que si A yb son dos vectores no nulos que tienen el mismo módulo, entonces A+ B ya B son ortogonales.. e) Cuánto tiene que valer x para que el vector ( ) 116) Demuestre que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. 68