Clase 3: Aplicaciones de programación dinámica Matemática avanzada para macroeconomía Hamilton Galindo Junio - Agosto 2015
Contenido 1 2 Modelo de Hercowitz y Sampson (1991)
I Preliminares 1 Este modelo sostiene que existe un trade off entre el tiempo que se dedica a trabajar (n t ) y a capacitarse (acumular capital humano (h t )). Mientras más tiempo se dedique a trabajar, menor tiempo será orientado a la capacitacion: para acumular capital humano hay que dedicar tiempo a estudiar/capacitarse, lo que implica dejar de trabajar un poco. n t h t 2 La dinámica descrita se captura por medio de esta expresión: Dinámica de la evolución del capital humano Donde: Ψ(n t ) es una función de [0, 1] en R + h t+1 = h t Ψ(n t ) (1) Ψ(n t ) : [0, 1] R + Además, se asume que Ψ(n t ) cumple con las siguientes propiedades:
II Preliminares Continua Estrictamente cóncava Estrictamente decreciente Ψ(0) = 1 + λ, lo que indica que si el agente representativo dedica todo su tiempo a capacitarse, entonces la acumulación del capital humano crecerá a una tasa constante (λ): h t+1 = h t(1 + λ) Ψ(1) = 1 δ, lo que indica que si el agente representativo dedica todo su tiempo a trabajar, entonces la acumulación del capital humano decrecerá a una tasa constante (δ): h t+1 = h t(1 δ)
III Preliminares Función Ψ(n t ) 1.03 1.025 1.02 1.015 1.01 1.005 1 0.995 0.99 0.985 0.98 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n t
Se le pide lo siguiente: 1 Plantear el problema secuencial. 2 Encontrar la ecuación de Bellman y plantear el problema funcional. 3 Demostrar que la función valor (V ) tiene la forma Ah α t. 4 Demostrar que la función de poĺıtica es constante (i.e. encontrar el trabajo óptimo) (n) y la constante A de la función valor, considerando los valores de los parámetros: = 0.5, β = 0.95, λ = 0.025, δ = 0.01, α = 0.8. En este caso construir un código en Matlab para solucionar el sistema no lineal. Enunciado sujeto a: Max {c t,n t} t=0 [ ] c β t t t=0 c t = f (h t n t ) = (h t n t ) α h t+1 = h t Ψ(n t ) Ψ(n t) = (λ + δ) 1 nt 2 + (1 δ), β (0, 1), γ (0, 1), α (0, 1) y h 0 dado.
I Solución [1] Problema secuencial sujeto a: Max {n t} t=0 t=0 [ β t [ht n t ] α ] h t+1 = h t Ψ(n t ) [2] Ecuación de Bellman { [ht n t ] α } V (h t ) = Max + βv (h t+1 ) {n t} t=0 (2)
II Solución [3] Problema funcional Introduciendo la ecuación de la variable de estado en la ecuación de Bellman: { [ht n t ] α } V (h t ) = Max + βv (h t Ψ(n t )) (3) {n t} t=0 sujeto: 0 n t 1 [4] Iteración de la función valor
III Solución 1 Para resolver el PF utilizaremos el método de iteración de la función valor (propuesto por el teorema del punto fijo para contracciones): Se inicia con la función más sencilla: V 0 = 0 2 Encontrando V 1 V n = T [V n 1 ], n 1 (4) V 1 = T [V 0 ] { [ht n t ] α = Max {n t} t=0 { [ht n t ] α } = Max {n t} t=0 + β V 0 (h t Ψ(n t )) }{{} =0 } (5)
IV Solución (a) En esta etapa se aplica la condición de primer orden: función objetivo n t = 0 No obstante, en este caso, la función objetivo toma su valor máximo cuando n t = 1 (ver la restricción del PF). (b) Reemplazando n t que maximiza la función objetivo en [5] se obtiene T [V 0] y por ende V 1: V 1 = T [V 0] = [ht]α V 1 = [ht]α (6)
V Solución 3 Encontrando V 2 V 2 = T [V 1 ] { [ht n t ] α = Max {n t} t=0 { [ht n t ] α = Max {n t} t=0 + β V 1 (h t Ψ(n t )) }{{} = [h t Ψ(nt )] α + β [h tψ(n t )] α } } (7)
VI Solución (a) En esta etapa se aplica la condición de primer orden: función objetivo c t = 0 No obstante, se puede ver que la máximización de la función objetivo no depende de h t. Lo cual indica que al derivar dicha función objetivo con respecto a la variable de control (n t), esta solo dependerá de los parámetros del modelo (valores constantes), y por ende n t = constante. Por tanto, en la función valor se podría considerar como una constante { } A. Factorizando V 2 = [h t ] α Del CPO se obtendrá: { } [ht] α Max {n t } t=0 { } [n t] α + β[ψ(n t)] α }{{} No depende deh t (8) n t = constante en función de los parámetros = n (9)
VII Solución (b) Reemplazando n t = n que maximiza la función objetivo en [7] se obtiene T [V 1] y por ende V 2: { } [ht] α V 2 = T [V 1] = A(n) { } [ht] α V 2 = A(n) (10) Donde: A(n) es una constante, la cual llamamos solamente A. 4 Podemos generalizar la ecuación anterior: { [ht ] α } V (h t ) = A (11)
VIII Solución La constante A la podemos encontrar reemplazando V y la dinámica óptima en la ecuación de Bellman. [5] Encontrando la función de poĺıtica Reemplazando la función de valor (V ) en la ecuación de Bellman: { } [h Factorizando t] α : { [ht n t ] α V (h t ) = Max + β V (h t Ψ(n t )) {n t} t=0 }{{} V (h t ) = { [ht n t ] α = Max {n t} t=0 =A [h t Ψ(nt )] α } + βa [h tψ(n t )] α { [ht ] α } } Max {[n t ] α + βa[ψ(n t )] α {n t} t=0 } (12) (13)
IX Solución Aplicando CPO (derivada con respecto a la variable de control) se tiene: n α 1 t = βa(ψ(n t )) α 1 Ψ(n t ) (14) La solución de esta ecuación no lineal es: n t = n La función de poĺıtica es una constante; es decir, no interesa cual sea el nivel de capital humano (h t ), el agente siempre escoge trabajar n. Para conocer el valor de n tenemos que encontrar la constante A y definir la función Psi(n t ). [6] Encontrando la constante A
X Solución Reemplazando la función valor y la función de poĺıtica en la ecuación de Bellman se tiene: A [h t] α { [ht ] α } = }{[n ] α + βa[ψ(n )] α Por tanto: Entonces: A = [n ] α + βa[ψ(n )] α (15) A = A(n ) Las ecuaciones [14] y [15] forman un sistema de ecuaciones no lineal en (n, A): n α 1 = βa(ψ(n )) α 1 Ψ(n ) (16) A = [n ] α + βa[ψ(n )] α (17)
XI Solución Donde: Ψ(n t ) = (λ + δ) 1 nt 2 + (1 δ) Cómo resolvemos sistema de ecuaciones no lineales en Matlab? Función fsolve
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales Matlab Función fsolve Esta función resuelve sistemas de ecuaciones no lineales; es decir, encuentra las raices del sistema. Para ello el sistema tiene que ser especificado como: F (x) = 0 El objetivo es encontrar el valor del vector x que hace que F (x) sea igual a cero. La sintaxis: x = fsolve(fun, x0) Donde: fun es una función que contiene al sistema de ecuaciones no lineal (F (x)) y x0 es el valor inicial para el vector x.
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales I Un ejemplo Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineal: Ejemplo y = x 2 5 (18) y = 3x + 7 (19) El sistema lo podemos re-escribir como: F 1 = y x 2 + 5 = 0 (20) F 2 = y 3x 7 = 0 (21) Entonces: F (x) = [F 1, F 2 ] Asumiendo que: z = [z(1), z(2)] = [x, y], esribimos una función en Matlab que capture el sistema no lineal (ver ejemplo funcion.m y sol ejemplo funcion.m).
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales II Un ejemplo 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 Sistema de ecuaciones y = x 2 5 y = 3x + 7 15 6 4 2 0 2 4 6
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales Matlab Ver la función sistema na.m
Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) I Enunciado Considere el modelo básico de crecimiento con: Considerando que: a > 0 y γ > 1 Se le pide lo siguiente: u(c t, l t ) = ln(c t ant γ ) y t = k α 1 α t n t ( ) 1 δ it k t+1 = k t = k δ 1 δ t i t k t 1 Plantear el PS, la ecuación de Bellman y el PF. 2 Demostrar que la función valor tiene la siguiente forma: Donde D i son constantes. V (k t ) = D 0 + D 1 lnk t
Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) Modelo de Hercowitz y Sampson (1991) II Enunciado 3 Demostrar que la función de poĺıtica tiene la siguiente forma: Donde: Ψ 2 = α 1+γ+α c t = Π 1 kt Ψ1 n t = Π 2 kt Ψ2 4 Demostrar que la dinámica óptima del capital es: Donde: Π i son constantes. k t+1 = Π 3 k Ψ3 t