Coordenadas Hay muchas maneras de darle coordenadas a los puntos del espacio, las ecuaciones de las curvas o superficies dependen de las coordenadas que utilicemos y eligiendo las coordenadas adecuadas podemos hacer que las ecuaciones se vuelvan mas sencillas. Los siguientes resultados, que enunciaremos para el espacio tridimensional, son validos en todas las dimensiones con las modificaciones obvias y las demostraciones son las mismas. Si v,v 2,v 3 son tres vectores linealmente independientes en el espacio entonces cada vector V es puede escribir, de manera única, como combinación lineal de ellos: V = a v +a 2 v 2 + a 3 v 3 Diremos que las coordenadas del vector V en la base {v,v 2,v 3 } son (a,a 2,a 3 ). Ejemplo V = v +2v 2 +3v 3 v 3 v 2 Las coordenadas del vector V=v +2v 2 +3v 3 en la base {v,v 2,v 3 } son (,2,3) v La función que le asigna a cada vector sus coordenadas en una base es una función lineal (las coordenadas de U+V son las coordenadas de U mas las coordenadas de V y las coordenadas del vector ru son r veces las coordenadas de U). Para cada base de vectores, las transformaciones lineales del espacio están dadas por funciones lineales de las coordenadas, de modo a que cada transformación T podemos asignarle una matriz M que dice como cambian las coordenadas de los puntos al aplicarles T. Ejemplo. Supongamos que {v,v 2,v 3 } forman una base del espacio y consideremos la transformación lineal T que lleva los vectores v,v 2,v 3 a los vectores v +2v 2 -v 3, 4v +7v 2-3v 3 y -9v +5v 3 respectivamente. Entonces la matriz 4-9 M = 2 7 0 - -3 5 da a la transformación en términos de las coordenadas: si las coordenadas de un vector son (,y,z) entonces las coordenadas de su imagen bajo T son 4-9 T y = 2 7 0 y z - -3 5 z
Cambio de coordenadas Nos interesa saber como cambian las coordenadas de un vector al cambiar de una base {v,v 2,v 3 } a otra base {v ',v 2 ',v 3 '}. Observar que el cambio de coordenadas es una transformación lineal. Si escribimos a los vectores v ',v 2 ',v 3 ' como combinaciones lineales de v,v 2,v 3 : v ' = a v +a 2 v 2 + a 3 v 3 v 2 ' = b v +b 2 v 2 + b 3 v 3 v 3 ' = c v +c 2 v 2 + c 3 v 3 entonces la matriz que (en la base v,v 2,v 3 ) lleva los vectores v,v 2,v 3 a los vectores v ',v 2 ',v 3 ' es a b c P = a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Lema. Si P es la matriz que lleva v,v 2,v 3 a v ',v 2 ',v 3 ', entonces el cambio de coordenadas de la base {v,v 2,v 3 } a la base {v ',v 2 ',v 3 '} esta dada por la matriz inversa P -. Dem. Si X=(, 2, 3 ) son las coordenadas de un vector en la base {v,v 2,v 3 } y X'=( ', 2 ', 3 ') son las coordenadas del vector en la base {v ',v 2 ',v 3 '}, tenemos que mostrar que X' = P - X y esto equivale a ver que PX' = X. El cambio de coordenadas de la base {v ',v 2 ',v 3 '} a la base {v,v 2,v 3 } es la transformación lineal que manda a (,0,0), (0,,0) y (0,0,) (las coordenadas de los vectores v ',v 2 ',v 3 ' en la base {v ',v 2 ',v 3 '}) a las coordenadas de esos vectores en la base {v,v 2,v 3 }. Esto es justamente lo que hace la matriz P, así que P es la matriz del cambio de coordenadas. Ejemplo. En el plano, consideremos la base formada por dos vectores v,v 2 y la base formada por los vectores v ',v 2 ' donde v =2v +v 2 y v 2 =-v +v 2. En la base {v,v 2 } la transformación lineal que lleva v,v 2 a v ',v 2 ' esta dada por la matriz 2 - P = si las coordenadas azules de un vector son (,y) y sus coordenadas verdes son (',y') entonces = 2 - ' y y' v 2 ' v 2 v ' de modo que v - ' 2 - / 3 / 3 = = y' y - / 3 2 / 3 y
El lema anterior dice que mover los ejes de coordenadas aplicándoles una transformación lineal P tiene el mismo efecto en las coordenadas de los puntos que mover los puntos aplicándoles la transformación inversa P - : Mover los puntos Mover los ejes Las bases formadas por vectores unitarios y ortogonales son especialmente útiles para la geometría, ya que las normas de los vectores y los ángulos que forman pueden calcularse directamente de las coordenadas usando el teorema de Pitarrosa y la ley de los cosenos. Los cambios de coordenadas entre bases ortogonales también son mas sencillos, porque la inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta. Ejemplo. En R 3, consideremos la base canónica v =(,0,0), v 2 =(0,,0), v 3 =(0,0,) y la base formada por los vectores v '=( / 3, / 3, / 3 ) v 2 '=( / 6,- 2 / 6, / 6 ) v 3 '=(- / 2,0, / 2 ). En la base {v,v 2,v 3 } la matriz de la transformación que lleva v,v 2,v 3 a v ',v 2 ', v 3 ' es / 3 / 6 - / 2 P = / 3-2 / 6 0 / 3 / 6 / 2 como la matriz P es ortogonal, entonces P - = P T, y el cambio de coordenadas de la base canónica a la otra base esta dada por X'=P T X ' / 3 / 3 / 3 y' = / 6-2 / 6 / 6 y z' - / 2 0 / 2 z Así que por ejemplo, las coordenadas del vector (,0,0) en la base {v ',v 2 ', v 3 '} son ( / 3, / 6,- / 2 ) lo que puede comprobarse viendo que / 3 v '+ / 6 v 2 '- / 2 v 3 ' = (,0,0).
Cada base de vectores {v,v 2,v 3 } define un sistema de coordenadas en el espacio, y cada transformación lineal T puede epresarse en esas coordenadas por medio de una matriz. Al cambiar de base las coordenadas cambian y la matriz de la transformación T también cambia. Lema. Si P es la matriz que lleva v,v 2,v 3 a v ',v 2 ',v 3 ' y si en la base {v,v 2,v 3 } la transformacion T esta dada por la matriz M, entonces en la base {v ',v 2 ',v 3 '} la transformación T esta dada por la matriz P - MP. Dem. La matriz P cambia las coordenadas de la base {v i } a la base {u i }, la matriz M da la transformación en las coordenadas {u i } y la matriz P - vuelve a cambiar de las coordenadas {u i } a las coordenadas {v i }, así que la matriz P - MP da la transformación en las coordenadas {v i }. Ejemplo. En la base canónica la transformación lineal que manda (,0) y (0,) a (4,-) y (-2,5) respectivamente esta dada por la matriz M = 4-2 - 5 En la base formada por los vectores (2,0) y (0,-3) la misma transformación esta dada por la matriz PMP -, donde P es la matriz que manda (,0) y (2,0) a (0,) y (0,-3) respectivamente: / 2 0 4-2 2 0 / 2 0 8-6 4-3 P - MP= = = 0 - / 3-5 0-3 0 / 3-2 5-2 / 3 5 En la base formada por los vectores (2,) y (-,) la misma transformación esta dada por la matriz QMQ -, donde Q es la matriz que manda (,0) y (0,) a (2,) y (-,) respectivamente. / Q - 3 / 3 4-2 2 - / 3 / 3 6-6 3 0 MQ= = = - / 2 3 / 3-5 - / 2 3 / 3 3 6 0 6 así que al cambiar de coordenadas la matriz de una transformación lineal puede hacerse mas sencilla o mas complicada. El hecho de que esta ultima matriz de la transformación sea una matriz diagonal dice que los vectores de la base son vectores propios.
PROBLEMAS. Cuales son las coordenadas del vector (,2,3) en la base formada por los vectores (,0,0), (,,0) y (,,)? 2. Como cambian las coordenadas del punto (,y,z) al pasar de la base formada por (,0,0), (0,,0) y (0,0,) a la base formada por (,0,0), (,2,0) y (,2,3)? 3. Cual es la matriz de la transformación lineal que estira al plano horizontalmente al doble en la base formada por los vectores ( 3 / 5, 4 / 5 ) y (- 4 / 5, 3 / 5 )? 4. Cual es la matriz de la refleion en un plano, en la base formada por un vector perpendicular al plano y dos vectores del plano? a 0 0 5. Si en alguna base del espacio la transformación T esta dada por la matriz M = 0 a 0 0 0 a muestra que en todas las bases la transformación T tiene esa misma matriz. 6. Si una transformación lineal del espacio tiene 3 direcciones invariantes, entonces en la base formada por los vectores propios la matriz de la transformación es una matriz diagonal. Ecuaciones y cambio de coordenadas La ecuación de una curva o superficie es una relación entre las coordenadas de los puntos de la curva o superficie que los distingue de los demás puntos del espacio. Como las ecuaciones de las curvas y las superficies dependen de las coordenadas, al hacer una transformación, o al cambiar la base de coordenadas, sus ecuaciones cambian. Llamemos a las coordenadas de un punto antes de la transformación (,y,z) y a sus coordenadas después de la transformación (',y',z'). Esto lo podemos epresar como T(,y,z)=(',y',z'). Si conocemos la ecuación antes de la transformación (que es una ecuación en las coordenadas,y,z) entonces para obtener la ecuación después de la transformación (que es una ecuación en las coordenadas ',y',z') basta escribir las coordenadas,y,z en términos de las coordenadas ',y',z' (lo que equivale a encontrar (,y,z)=t - (',y',z')) y sustituirlas en la ecuación original. Si la transformación es lineal, eiste una matriz M tal que así que ' y = M - y' z z' ' y' = M y z' z lo que nos da las coordenadas,y,z en términos de ',y',z'.
Las ecuaciones lineales y cuadráticas pueden escribirse usando matrices, lo que permite ver fácilmente como cambian al hacer una transformación lineal: En el plano, la ecuación lineal A+By=C puede escribirse como (A,B) y = C y la ecuación cuadrática A+By+Cz=D puede escribirse como ( y) A B/ 2 B / 2 C y = D En el espacio, la ecuación lineal A+By+Cz=D puede escribirse como (A B C) y z = D y la ecuación cuadrática A+By+Cz+Dy+Ez+Fyz=G puede escribirse como y z A D/ 2 E / 2 D/ 2 B F/ 2 y E/ 2 F/ 2 C z = G Ejemplos. +2y+3z = 4 puede escribirse 2 3 y = 4 z 3 2-4y+7y 2 = 5 puede escribirse como y 3-2 -2 7 y = 5 5 / 2-2 2 +2y 2-3z 2-4y+5yz+6z = 7 puede escribirse como y z 5 / 2 2 3 y = 7-2 3-3 z Así que las ecuaciones homogéneas de segundo grado pueden escribirse como X T QX = c donde Q es una matriz simétrica y X es un vector (vertical) de coordenadas. Si hacemos una transformación lineal X'=TX entonces X=T - X' y sustituyendo en la ecuación original queda (T - X') T Q(T - X') = X' T T -T QP - X' = X' T (T -T QT - )X' = c así que al hacer la transformación la matriz Q cambia por la matriz T -T QT -. Si la transformación es una isometría esto se simplifica, ya que la matriz es ortogonal y por lo tanto T - = T T y T -T QT - = TQT T.
Ejemplos. Como cambia la ecuación 2+y =3 al hacer la transformación (',y') = ( 4 / 5 + 3 / 5 y,- 3 / 5 + 4 / 5 y)? La ecuación puede escribirse como 2 = 4 y ' 4 /5 3 /5 4 /5-3 / 5 ' y la transformación es = de modo que = y' - 3 / 4 5 / 5 y y 3 /5 4 / 5 y' así que la ecuación transformada es 2 4 /5-3 / 5 ' = 4 3 /5 4 / 5 y' ' multiplicando las matrices queda /5 2 / 5 y' = 4 o sea /5 ' 2 / 5 y' = 4. Como cambia la ecuación 2 2 +6y+2y 2 = 5 al aplicarle la misma transformación? La ecuación puede escribirse como 2 3 y 3 2 y = 5 Aqui habia un error en la matriz ' 4 /5 y la transformación es = 3 / 5 4 /5 - de modo que = 3 / 5 ' y' - 3 / 4 5 /5 y y 3 /5 4 /5 y' así que la ecuación transformada puede escribirse 4 /5 3 /5 2 3 4 3 /5 - /5 ' ' y' = 5-3 / 4 5 / 5 3 2 3 4 /5 /5 y' y haciendo el producto de matrices queda 4 2 /25 /25 ' ' y' = 5 2 27 /25 /25 y' o sea 4 /25 ' 2 + 42 /25 'y'+27 /25 y2 = 5
Ecuaciones de segundo grado. Queremos saber que forma tienen las soluciones de todas las ecuaciones de segundo grado. Empezaremos por las ecuaciones homogéneas (sin términos lineales) como 3 2 +4y 2 = 5 2 2 +6y+2y 2 = 2 +2y 2-3z 2 = 2 2 +2y 2-3z 2-4y+6z = -7 Ya conocemos las formas cuando las ecuaciones no tienen términos cruzados, queremos saber que pasa cuando si los tienen. Una posibilidad es que haya formas distintas, y otra es que sean las mismas formas en otras posiciones. Para ver esto podemos hacer cambios de coordenadas: si eiste una base de coordenadas donde la ecuación no tenga términos cruzados entonces la forma debe ser como una de las que ya conocemos, aunque quizás deformada por la transformación que lleva unos ejes de coordenadas a los otros ejes. Teorema. Para cada ecuación homogenea de segundo grado hay un cambio de coordenadas que elimina los términos cruzados. Demostración. Cada ecuación cuadrática homogénea se puede escribir como X T QX = c donde Q es una matriz simétrica y X es el vector (vertical) de coordenadas. Al hacer un cambio de coordenadas X'=TX la ecuación se convierte en X' T T -T QT - X' = c Queremos ver que hay un cambio de coordenadas de modo que la matriz T -T QT - es diagonal. Si el cambio de coordenadas es una isometría, entonces T - = T T y T -T QT - = TQT -. Pero la matriz Q representa una transformación lineal y TQT - representa esa misma transformación al cambiar de coordenadas. Como la matriz Q es simétrica, tiene suficientes vectores propios para formar una base (una matriz simetrica de 22 tiene dos vectores propios ortogonales y una de 33 tiene 3 vectores propios ortogonales). Y si escribimos una transformación lineal en una base formada por vectores propios entonces su matriz es diagonal. Asi que si cambiamos las coordenadas para que los ejes tengan la dirección de los vectores propios de Q, la matriz TQT - sera una matriz diagonal, y la ecuación en estas coordenadas no tendrá términos cruzados. Como las matrices simetricas tienen vectores propios ortogonales, y podemos elegirlos de norma, en la demostracion del teorema anterior podemos suponer que el cambio de coordenadas es una isometria. Asi que las soluciones de las ecuacions cuadraticas homogeneas tienen la misma forma que las soluciones de ecuaciones sin terminos cruzados, solo que estan en otra posicion.
Ejemplos Que curva representa la ecuación 2 2 +6y+2y 2 =5? La ecuación se escribe en forma matricial como 2 3 y = 5 3 2 y 2 3 2-λ 3 Los valores propios de son las raíces de det = (2 λ) 2-9 = λ 2-4λ-5 = (λ-5)(λ+) 3 2 3 2-λ así que en la base formada por los vectores propios la forma cuadrática esta dada por la matriz diagonal 5 0 y la ecuación en esa base es 0-5 0 ' ' y' 0 - y' = 5 o sea 5' 2 -y 2 = 5 por lo que se trata de una hipérbola Los ejes de la hipérbola tienen las direcciones de los vectores propios: y y' Para λ=5-3 3 M-λI = y un vector propio es 3-3 ' Para λ=- M-λI = 3 3 3 3 y un vector propio es - 5' 2 -y' 2 = 5 Podemos comprobar lo anterior haciendo el cambio de coordenadas a la base de vectores propios unitarios, que son ( / 2, / 2 ) y (- / 2,- / 2 ). En esta base, la matriz es / 2 / 2 2 3 / 2 - / 2 / 2 / 2 5 / 2 / 2 5 0 = = - / 2 / 2 3 2 / 2 / 2 - / 2 / 2 5 / 2 - / 2 0 -
Que superficie representa la ecuación 3 2 +6y 2 +3z 2-4y+8z+4yz = -7? La ecuación se escribe en forma matricial como 3-2 4 y z -2 6 2 y =-7 4 2 3 z 3-λ -2 4 Los valores propios de la matriz son las raíces de det -2 6-λ 2 = 4 2 3-λ = λ 3 +2λ 2 2λ 98 = (λ 7) 2 (λ+2) Así que los valores propios son -2,7,7 y en la base de los vectores propios la matriz queda -2 0 0 0 7 0 0 0 7 y la ecuación en esas coordenadas es -2' 2 +7y' 2 +7z' 2 = -7 por lo que la superficie es un hiperboloide de dos hojas. Si queremos saber la posición del hiperboloide necesitamos los vectores propios: Para λ=-2 5-2 4 2 M-λI = -2 8 2 y un vector propio es este vector da la direccion del eje ' 4 2 5-2 Para λ=7-4 -2 4 M-λI = -2-2 y un vector propio es 0 y otro es 4 2-4 -2 0 Como todas las combinaciones lineales de dos vectores propios con el mismo valor propio son vectores propios, el plano generado por (,0,) y (,-2,0) esta formado por vectores propios (esto dice que es una superficie de revolución) este es el plano y'z' y cualquier par de direcciones ortogonales en este plano pueden usarse como los ejes y' y z'. z y La superficie es un hiperboloide de revolucion de dos hojas alrededor del eje ' '
Si consideramos ahora las ecuaciones de segundo grado no homogeneas (con terminos lineales). Estas ecuaciones pueden escribirse como X T QX + VX = c donde Q es una matriz simetrica y V es un vector (con los coeficientes de los terminos lineales). Si hacemos un cambio de coordenadas X'=TX donde T es una isometria, la ecuacion se convierte en X T TQT - X + VT - X = c La demostracion del teorema anterior muestra que hay una T de modo que TQT - es una matriz diagonal, asi que al aplicar T se eliminan los terminos cruzados y solo quedan terminos cuadraticos y lineales. Ahora podemos completar los cuadrados de las coordenadas que aparecen al cuadrado para eliminar los correspondientes terminos lineales. De modo que haciendo una traslacion obtenemos una nueva ecuacion en la que cada coordenada aparece a lo mas una vez. Y ya sabemos como son las soluciones de este tipo de ecuaciones: Ejemplo. Que curva representa la ecuacion 2 +4y+4y 2 +3+6y=? La ecuacion se puede escribir 2 y 2 + 3 6 4 y y = 2 -λ 2 Los valores propios de son las raices de det 2 4 2 4-λ = (-λ)(4-λ)-4 = λ 2-5λ, asi que λ=0 o λ=5. Para λ=5-4 2 M-λI = 2 - y un vector propio es 2 Para λ=0 M-λI = 2-2 2 4 y un vector propio es si ahora tomamos la isometria que envia los vectores (,0) y (0,) a los vectores propios unitarios ( / 5, 2 / 5 ) ( 2 / 5,- / 5 ), es decir ' / 5-2 / 5 / 2 5 / 5 ' = asi que = y' 2 / 5 / 5 y y - 2 / 5 / 5 y' entonces la ecuacion queda / 5-2 / 5 2 / 2 5 / 5 / 2 5 / 5 y + 3 6 = 2 / 5 / 5 2 4-2 / 5 / 5 y - 2 / 5 / 5 y o sea 5 0 y + - 9 / 2 5 / 5 = 0 0 y y asi que la ecuacion transformada es 5' 2-9 / 5 ' + 2 / 5 y' = y podemos completar cuadrados y hacer una traslacion para eliminar el termino lineal en quedando 5'' 2 + 2 / 5 y''= que es una parabola.
Corolario. Las soluciones de una ecuacion de segundo grado A 2 +By 2 +Cz 2 +Dy+Ez+Fyz+G+Hy+Iz=J forman una cuadrica (una esfera, un elipsoide, un hiperboloide de o 2 hojas, un paraboloide eliptico o hiperbolico, un cono, un cilindro, uno o dos planos, una recta, un punto, o el vacio.) Simetrias. Todas las conicas tienen uno o dos ejes de simetria, y cuando son dos son perpendiculares. Todas las cuadricas tienen 2 o 3 planos de simetria que son perpendiculares. Al aplicarle a una conica o una cuadrica una transformacion lineal, que mande sus ejes a ejes que no son perpendiculares, uno podria esperar que la simetria se pierda. Pero esto diria que la curva (o superficie) transformada ya no es una conica (o una cuadrica). Corolario. Al aplicar una transformacion lineal a una conica (o una cuadrica) se obtiene siempre otra conica (otra cuadrica). Demostración. La conica (o cuadrica) tiene una ecuacion de segundo grado, al aplicarle una transformacion lineal esta ecuacion se convierte en que es otra ecuacion de segundo grado, que debe corresponder a otra conica (o cuadrica). Ojo: No es cierto que los ejes de simetria vayan a dar a los ejes de simetria. Ejemplo. Que le pasa a la forma de la elipse 4 2 +y 2 = 3 al aplicarle la trasformacion lineal T(,y)=(+y,y)? La ecuacion se escribe 4 0 ' y' 0 y = 3 y la transformacion es ' 0 ' y' 0 y y - y'
y al hacer la transformacion la ecuacion se convierte en - 4 0 0 ' ' y' 0 0 - y' = 3 o sea ' y' 5 - ' = 3 - y' o sea 5 2-8y+4y 2 = 3 Ya sabemos que esta ecuacion debe corresponder a otra elipse, si queremos saber su forma necesitamos hacer un cambio de coordenadas ortogonal para eliminar los tarminos cruzados sin cambiar su forma 5-5-λ - Los valores propios de - son las raices de det - -λ = (5-λ)(-λ)- = λ 2-6λ+4 asi que λ = 6± 20 0.76, 5.23 2 y la elipse transformada tiene la misma forma de la elipse 0.47 2 +8.53 y 2 = 3 PROBLEMAS 7. Que curvas representan estas ecuaciones en el plano? 2-8y-5y 2 = 2 5 2-4y+5y 2 = 2 8. Que superficie representa esta ecuación en el espacio? 6 2 +6y 2 +5z 2-4y-2z-2yz = 48 9. Que forma tiene esta superficie y en que posicion esta? y+z+yz= 0. A que curvas corresponden estas ecuaciones (basta decir elipse, hiperbola, recta..) hint: no es necesario hallar los valores propios eactos, basta hallar sus signos. 2 +2y+2y 2 = 2 +3y+2y 2 = 2 +4y+2y 2 =. La ecuacion 2 +2y 2 +3z 2 +4y+5z+6yz = 7 corresponde a un elipsoide, un hiperboloide de o de 2 hojas, un cono, o a otra cosa? hint: encuentra los signos de los valores propios.