Inecuaciones. U n a inecuación e s u n a de s igua l dad a lge b rai ca e n la q ue s us d os m iembros a p a r e ce n li g a d os p o r uno de est os signos : < menor que 2 x 1 < 7 menor o igual que 2 x 1 7 > mayor que 2 x 1 > 7 mayor o igual que 2 x 1 7 In ecu acion e s equiv alen tes S i a los dos miembros de u n a in e cuación s e les suma o s e les resta u n m ism o n ú m e ro, la ine c u a ció n r e s ult a nt e e s e q uiv a lent e a l a dada. S i a los dos m iembros de u n a inecuación s e les m u lt ipli ca o divi de por u n m is m o n ú m e ro p o s it ivo, la ine c ua c ión r e s ult a nt e e s e q uiv a lent e a la dada. S i a los dos m iembros de u n a inecuación s e les m u lt ipli ca o divi de por u n m is m o n ú m e ro n e gativo, la ine cua ció n r e s ult a nt e cambia de s e n t ido y e s e q u iv a lent e a la dada. Resolución de inecuaciones de primer grado 1º Quit a r p a r é nt e s is. 1
2º Quit a r d e nom inado r e s. MATEMATICA II 3º A g r upar los t é r m in os e n x a un lado d e la d e sigua ldad y los t é r m inos i ndependie nt e s e n e l ot r o. 4º Ef e ct uar las operaci one s 5º C o m o e l coeficiente de la x e s n e gativo mult ipl icamos por 1, por lo que cambia r á el s e n t ido de la de s igua lda d. 6º D e spejamos la in cóg nit a. O bt e n e m o s la s o lución como u n a de s igu a lda d, pe ro é s t a t a m bién pode m o s expresar la: De form a g ráfica C o m o un intervalo Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita S e resuelve cada inecu a ción por s e para do, s iendo e l conjunto s o lución de l s is t e m a la inters e c ción de los conjuntos s o luciones de ambas ine cuacion e s. Inecuaciones de segundo grado 1ºIg ua lamos e l p ol inomio d e l p r im e r m iembro a ce r o y obtene m os las r a í ce s d e la ecua ció n d e se g u nd o g r a d o. 2
2º R e p r e se nt a m os e st o s v a lore s e n la r e ct a r e a l. T omamos u n p unt o de cada int e r v a lo y evaluamos e l sig no en cada int e r v a lo: 3º L a soluc ió n e st á compue st a p o r los i nt e r v a los (o e l i nt e r v a lo) q ue t e ngan e l mism o signo que e l p olin omio. S i el discr i m ina nt e e s igual a ce r o: S olución x 2 + 2x +1 0 (x + 1) 2 0 x 2 + 2x +1 > 0 (x + 1) 2 > 0 x 2 + 2x +1 0 (x + 1) 2 0 x = 1 x 2 + 2x +1 < 0 (x + 1) 2 < 0 v a lor si : Cuand o n o t iene r a í ce s r e a le s, le d a m os a l p o lin omio cua lquier. El s igno obtenido coi nc ide co n e l d e la d e sigua ldad, la sol uc ión e s sol uci ón. El s igno obtenid o no co inc ide co n e l d e la d e sig ualdad, no t ie ne 3
S olución x 2 + x +1 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 0 x 2 + x +1 < 0 Inecuaciones racionales S e r e sue lv e n d e un m odo simil a r a las d e se g un d o grad o, p e r o hay q ue t e ne r p r e se nt e q ue e l de n o m i n a dor no puede s e r ce ro. 1º H a llamos las ra íce s de l nume rador y de l de n o m inador. 2º R e presentamos e s t os v a lore s e n la re ct a real, t e n iendo e n cuenta que las raíce s de l d e n o m inador, in de pe n d ientemente de l s i gno de l a de s igu a lda d, t ienen que s e r a bie rt a s. 3ºT omamos u n punto de cada intervalo y e v a luamos e l s igno e n cada int e r v a lo : 4ºL a s o lución e s t á compuesta por los intervalos ( o e l int e r v a lo) q u e t e n gan e l m is m o s i gno que la f racción polinómica. 4
Sistemas de inecuaciones Inecuaciones lineales con dos incógnitas S u s o lución e s u n o de los s e m iplanos que result a de representar la e cuación result a n t e, q ue se obtiene a l t r a n sf ormar l a d e sigua ldad en un a igua l d a d. 1º T ransform a m o s la de s igual da d en igua l dad. 2º D a m os a una d e las d os v a r i a b les d os v a lore s, c on lo q ue o bt e n e m o s dos puntos. 3º A l represe nt a r y unir est o s p u nt os o bt e n e m o s una rect a. 4º T o m am o s u n punto, p or e je m p lo e l (0, 0 ), lo s s u s t it u im o s e n la de s igua lda d. S i s e cumple, la s o lu ción e s e l s e m iplan o donde s e e n cuentra e l punto, s i n o la s o lución s e rá e l o t ro s e m iplano. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas L a so luc ió n a e st e si st e m a e s la i n t e r se cci ón d e las r e g io ne s q ue corresp onde n a la so luc ió n d e cada ine c uaci ón. 1º R e pre s e n t a m o s la región s o lución de la p rim e ra inecuación. 2º R e presentamos la región s o lución de la s e gu n da inecuación. 3º L a solu ció n e s la int e r se c ció n d e las r e g ione s so lu cio ne s. 5