El espacio proyectivo. Sistemas de referencia. Dualidad.

Capítulo 1 El espacio proyectivo Sistemas de referencia Dualidad En todo lo que sigue k designará un cuerpo arbitrario 11 Espacio afín como subespacio del proyectivo Definición 111 Sea un entero n 0 El espacio proyectivo numérico de dimensión n sobre el cuerpo k, notado P n (k), es por definición el conjunto cociente de k n+1 {0} por la relación de equivalencia definida de la forma siguiente: dados x, y k n+1 {0}, x y si y sólo si existe un escalar λ k tal que x = λy Notaremos π : k n+1 {0} P n (k) la aplicación de paso al cociente, y dado x = (x 0,, x n ) k n+1 {0} notaremos π(x) por (x 0 : : x n ) Nota 112 El espacio P n (k) se indentifica de forma canónica al conjunto de las rectas vectoriales del espacio vectorial k n+1 Proposición 113 (Inmersión del espacio afín en el espacio proyectivo) Consideremos el espacio afín numérico k n con n 1 y ϕ : k n P n (k) definida por ϕ(x 1,, x n ) = (1 : x 1 : : x n ) Entonces se verifican las propiedades siguientes: 1) ϕ es una aplicación inyectiva 2) Si notamos H = P n (k) Im(ϕ), la aplicación que a (x 1 : : x n ) P n 1 (k) asocia (0 : x 1 : : x n ) H es una biyección Definición 114 Los puntos del subconjunto H P n (k) de la proposición anterior se denominan puntos del infinito del espacio P n (k), y la aplicación (x 1,, x n ) k n {0} (0 : x 1 : : x n ) H la notaremos por π

12 Dependencia lineal Variedades lineales Lema 121 Sea n 1 y P 1,, P r P n (k) Las propiedades siguientes son equivalentes: (1) Existen v 1,, v r k n+1 {0} vectores linealmente independientes (resp dependientes) tales que π(v i ) = P i, i = 1,, r (2)) Para todos v 1,, v r k n+1 {0} tales que π(v i ) = P i, i = 1,, r se tiene que v 1,, v r son linealmente independientes (resp dependientes) Definición 122 Sean n 1 y P 1,, P r P n (k) Diremos que los puntos P 1,, P r son linealmente independientes (resp dependientes) cuando existan unos vectores v 1,, t r k n+1 {0} linealmente independientes (resp dependientes) tales que π(v i ) = P i, i = 1,, r Asímismo diremos que un punto P P n (k) depende linealmente de P 1,, P r cuando existan unos vectores v, v 1,, v r k n+1 {0} tales que π(v) = P, π(v i ) = P i, i = 1,, r y v depende linealmente de v 1,, v r Nota 123 Si P 1,, P r P n (k) son puntos li y P P n (k) es otro punto, las propiedades siguientes son equivalentes: a) Los puntos P, P 1,, P r son ld b) El punto P depende linealmente de P 1,, P r Nota 124 Con las notaciones de la definición anterior supongamos que P i = (a i0 : : a in ), i = 1,, r Decir que los puntos P 1,, P r son li (resp ld) es equivalente a decir que el rango de la matriz es igual (resp menor) a r a 10 a 1n a r0 a rn Lema 125 Sean n 1 y P 1,, P r k n, Las propiedades siguientes son equivalentes: (1) P 1,, P r son afínmente independientes (resp dependientes) en k n (2) Los puntos ϕ(p 1 ),, ϕ(p r ) son li (resp ld) en P n (k) Además, si P k n es otro punto, las propiedades siguientes también son equivalentes: (3) El punto P depende afínmente de P 1,, P r (4) El punto ϕ(p ) depende linealmente (proyectivamente) de ϕ(p 1 ),, ϕ(p r ) 2

Definición 126 Diremos que un subconjunto L P n (k) es una variedad lineal (proyectiva) si todo punto P P n (k) que depende linealmente de un subconjunto finito de puntos de L pertenece a L Al conjunto de todas las variedades lineales de P n (k) lo notaremos por R(P n (k)) Lema 127 Sea n 1 y L P n (k) Las propiedades siguientes son equivalentes: (1) L es una variedad lineal (2) π 1 (L) {0} es un subespacio vectorial de k n+1 Definición 128 Dada una variedad lineal L P n (k), el subespacio vectorial π 1 (L) {0} de k n+1 lo notaremos por L(L), y lo llamaremos variedad (o subespacio) vectorial asociado a L Nota 129 1 L( ) = {0} 2 L({(x 0 : : x n )}) = (x 0,, x n ) 3 Si L 1, L 2 P n (k) son dos variedades lineales proyectivas, se tiene que L(L 1 L 2 ) = L(L 1 ) L(L 2 ) Nota 1210 Si W k n+1 es un subespacio vectorial, el subconjunto π(w {0}) de P n (k) es una variedad lineal, pues π 1 (π(w {0})) {0} = W A dicha variedad lineal la notaremos π(w ) Definición 1211 Dado un subconjunto cualquiera S P n (k), definimos la variedad lineal generada por S, que notamos por L(S), como la intersección de todas las variedades lineales que contienen a S Es fácil ver que L(S) coincide con el conjunto de los puntos de P n (k) que dependen linealmente de algún subconjunto finito de S Definición 1212 Sean n 1 y L P n (k) una variedad lineal Diremos que un subconjunto finito S = {P 1,, P r } de L es un sistema de generadores (resp una base) de L cuando L = L(S) (resp cuando L = L(S) y {P 1,, P r } son li) Proposición 1213 Se tienen los siguientes asertos: 1 Dada una variedad lineal L P n (k) y v 1,, v r L(L) {0}, las propiedades siguientes son equivalentes: a) v 1,, v r son sistema generador (resp una base) de L(L), b) π(v 1 ),, π(v r ) son sistema generador (resp una base) de L 2 Dado S 0 k n+1 {0} subconjunto arbitrario, se tiene: L(π(S 0 )) = π( S 0 ) 3

Definición 1214 Dadas dos variedades lineales L 1, L 2 P n (k), definimos su suma, que notamos por L 1 + L 2, como la variedad lineal generada por L 1 L 2 Nótese que si W 1, W 2 k n+1 son dos subespacios vectoriales, se tiene π(w 1 + W 2 ) = π(w 1 ) + π(w 2 ) Proposición 1215 Notemos por R(k n+1 ) el conjunto de los subespacios vectoriales de k n+1 Las aplicaciones L : R(P n (k)) R(k n+1 ), π : R(k n+1 ) P(P n (k)) son una la inversa de la otra, y verifican L(L 1 + L 2 ) = L(L 1 ) + L(L 2 ), L(L 1 L 2 ) = L(L 1 ) L(L 2 ), π(w 1 + W 2 ) = π(w 1 ) + π(w 2 ), π(w 1 W 2 ) = π(w 1 ) π(w 2 ) Proposición 1216 El conjunto R(P n (k)) dotado de las operaciones y + es un retículo modular, ie dadas L, M, N R(P n (k)) se verifican las propiedades siguientes: -) y + son asociativas: L (M N) = (L M) N, L+(M+N) = (L+M)+N -) y + son conmutativas: L M = M L, L + M = M + L -) y + son idempotentes: L L = L, L + L = L -) L + (L M) = L, L (L + M) = L -) Ley modular: L + (M N) (L + M) (L + N) Si además L N entonces L + (M N) = (L + M) (L + N) -) Ley modular: L (M + N) (L M) + (L N) Si además N L entonces L (M + N) = (L M) + (L N) Proposición 1217 Dos bases cualesquiera de una variedad lineal proyectiva L P n (k) tienen el mismo número de elementos A dicho número disminuido en una unidad lo llamaremos dimensión de L y notaremos dim(l) Se tiene pues dim(l)+1 = dim(l(l)) Nota 1218 Nótese que dim( ) = 1, dim(p n (k)) = n y dim(h) = n 1 Asímismo, si P P n (k), dim({p }) = 0 Proposición 1219 (Fórmula de la dimensión) Sean L 1, L 2 P n (k) dos variedades lineales Se tiene que: dim(l 1 + L 2 ) + dim(l 1 L 2 ) = dim(l 1 ) + dim(l 2 ) 13 Ecuaciones de variedades lineales proyectivas de P n (k) Dado un un punto P P n (k) tiene sentido decir que P satisface un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con n + 1 incógnitas: ésto significa que cualquier representante (a 0,, a n ) k n+1 de P lo satisface en el sentido usual Nótese que si un representante determinado de P satisface un tal sistema entonces cualquier representante 4

también lo satisface Sin embargo si el sistema no es homogéneo lo anterior carece de sentido Dado un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con n + 1 incógnitas a 10 x 0 + +a 1n x n = 0 a r0 x 0 + +a rn x n = 0 tiene pues sentido hablar del conjunto L de soluciones de dicho sistema en P n (k) Es fácil demostrar que L es una variedad lineal de P n (k) y que L(L) es el subespacio vectorial de k n+1 formado por las soluciones usuales del sistema Cuando ocurre lo anterior diremos también que el sistema de ecuaciones en cuestión es un sistema de ecuaciones implícitas de L Damos pues la siguiente definición Definición 131 Dada una variedad lineal L P n (k), un sistema de ecuaciones implícitas de L es, por definición, un sistema de ecuaciones implícitas de L(L) k n+1 respecto de la base canónica de k n+1 14 Variedades lineales afines y proyectivas Interpretación proyectiva del paralelismo Definición 141 Sea n 1 y L k n una variedad lineal afín Definimos la variedad proyectiva asociada a L, también llamada clausura proyectiva de L, que notamos por L, como la variedad lineal de P n (k) generada por ϕ(l) Asímismo definimos la variedad de puntos del infinito de L, que notamos por L, como la variedad lineal de P n (k) que se obtiene al intersecar L con el hiperplano del infinito H Nótese que dim(l) = dim(l) y que dim(l ) = dim(l) 1 Lema 142 Dada una variedad lineal afín L no vacía de k n, las ecuaciones implícitas de L (ver def 131) coinciden con las homogeneizadas 1 de las ecuaciones implícitas de L respecto del sistema de referencia canónico de k n Proposición 143 (Interpretación proyectiva de la variedad de dirección) Sea L k n una variedad lineal afín Entonces su variedad de dirección D(L) coincide con π 1 (L ) {0} Proposición 144 Sea n 1 La aplicación que a cada variedad lineal afín L de k n asocia su variedad proyectiva asociada L establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las variedades lineales afines no vacías de k n y las variedades lineales (proyectivas) de P n (k) no contenidas en el hiperplano del infinito H La aplicación inversa es la que asocia a una tal variedad proyectiva M la variedad lineal afín ϕ 1 (M) Además dicha correspondencia verifica lo siguiente: L 1 + L 2 = L 1 +L 2 y si L 1 L 2 entonces L 1 L 2 = L 1 L 2 1 La homogeneizada (respecto de la variable x 0 ) de una ecuación a 1 x 1 + + a nx n = b es, por definición, la ecuación lineal homogénea ( b)x 0 + a 1 x 1 + + a nx n = 0 5

Corolario 145 (Interpretación proyectiva del paralelismo) Sean L 1, L 2 k n dos variedades lineales afines Son equivalentes: (1) L 1 y L 2 son paralelas (2) L 1 L 2 o L 2 L 1 Ejemplo 146 Sean r, s dos rectas distintas de k n Entonces r y s son paralelas si y sólo si tienen los mismos puntos del infinito 15 Sistemas de referencia proyectivos Lema 151 Sea V k n+1 un subespacio vectorial de dimensión r + 1 2 y sea S = {v 0,, v r+1 } un subconjunto de V formado por r + 2 vectores Las propiedades siguientes son equivalentes: a) Cualquier subconjunto de S con r + 1 vectores es li b) {v 0,, v r } es li y v r+1 = λ 0 v 0 + + λ r v r con λ i 0, i = 0,, r Definición 152 Consideremos una variedad lineal proyectiva L P n (k) de dimensión r 1 y un subconjunto R = {P 0,, P r+1 } L con r + 2 puntos Diremos que R es un sistema de referencia (proyectivo) de L si cualquier subconjunto suyo con r + 1 puntos es li Definición 153 Sea R = {P 0,, P r+1 } L un sistema de referencia de L y B = {v 0,, v r } L(L) una base Diremos que B es una base normalizada de R si π(v i ) = P i, i = 0,, r y π(v 0 + + v r ) = P r+1 Proposición 154 Sea R = {P 0,, P r+1 } L un sistema de referencia Se tiene lo siguiente: 1) R admite bases normalizadas 2) Si B = {v 0,, v r } y B = {v 0,, v r} son dos bases normalizadas de R, existe un escalar no nulo µ tal que v i = µv i, i = 0,, r Definición 155 Sea R = {P 0,, P r+1 } L un sistema de referencia y P L Las coordenadas (homogéneas) de P respecto de R son, por definición, el punto (x 0 : : x r ) P r (k), donde (x 0,, x r ) son las coordenadas de un vector u L(L) {0} tal que π(u) = P, respecto de una base normalizada B de R, en cuyo caso escribiremos P = (x 0 : : x r ) R (Nótese que si cambiamos de representante de P y de base normalizada sólo multiplicamos las coordenadas correspondientes por un escalar, y por tanto su clase en P r (k) está bien definida) Proposición 156 (Cambio de sistemas de referencia) Sean R, R dos sistemas de referencia de L y P un punto de X Supongamos que P = (x 0 : : x r ) R = (y 0 : 6

: y r ) R Entonces se tiene que (y 0,, y r ) es múltiplo de (x 0,, x r )A donde A es la matriz de cambio de una base normalizada de R a una base normalizada de R Lema 157 Dado un sistema de referencia R de L, la aplicación (x 0 : : x r ) P r (k) (x 0 : : x r ) R L es una aplicación biyectiva, que permite considerar a L también como un espacio proyectivo De hecho, la noción correspondiente de dependencia lineal proyectiva no depende del sistema de referencia R elegido, y coincide con la inducida por P n (k) 16 Ecuaciones de variedades Definición 161 Sea R = {P 0,, P r+1 } L un sistema de referencia y L L una variedad lineal Por un sistema de ecuaciones implícitas (resp paramétricas) de L respecto de R entendemos un sistema de ecuaciones implícitas (resp paramétricas) de L(L ) respecto de alguna base normalizada de R (Nótese que un cambio de base normalizada producirá sistemas de ecuaciones equivalentes, de acuerdo con la proposición 154) 17 Relación entre los sistemas de referencia afines y proyectivos En esta sección partimos de la inmersión ϕ : k n P n (k) del espacio afín en el proyectivo, y construiremos sistemas de referencia proyectivos en L a partir de sistemas de referencia afines en una variedad afín L k n de dimensión 1 Proposición 171 Sea L k n una variedad afín de dimensión r 1 y sea R = {O; u 1,, u r } un sistema de referencia afín de L Entonces el conjunto R p = {ϕ(o), π (u 1 ),, π (u r ); ϕ u 1 + + u r )} es un sistema de referencia (proyectivo) de L Además se verifican las propiedades siguientes: 1) Si P L tiene (x 1,, x r ) como coordenadas respecto de R entonces ϕ(p ) tiene (1 : x 1 : : x r ) como coordenadas respecto de R p 2) R p es el único sistema de referencia de L que verifica la propiedad anterior A R p lo llamaremos sistema de referencia proyectivo asociado a R Nota 172 Si en la proposición anterior R es el sistema de referencia canónico de k n entonces R p es el sistema de referencia canónico de P n (k) Proposición 173 Sea R un sistema de referencia de k n y R p el sistema de referencia proyectivo asociado Se verifican las propiedades siguientes: 1) El hiperplano del infinito tiene x 0 = 0 como sistema de ecuaciones implícitas respecto de R p 7

2) Sea L k n una variedad afín no vacía Un sistema de ecuaciones implícitas de L respecto de R p se obtiene homogeneizando respecto de la variable x 0 un sistema de ecuaciones implícitas de L respecto de R 3) Sea M P n (k) una variedad lineal no contenida en el hiperplano del infinito Un sistema de ecuaciones implícitas de ϕ 1 (M) respecto de R se obtiene deshomogeneizando respecto de la variable x 0 (ie haciendo x 0 = 1) un sistema de ecuaciones implícitas de M respecto de R p 18 Dualidad Definición 181 Dado el espacio proyectivo P n (k), notemos P n (k) al conjunto de todos los hiperplanos de P n (k) Cada elemento de P n (k) es pues un hiperplano de P n (k) y tendrá por tanto una ecuación implícita de la forma a 0 x 0 + + a n x n = 0, donde no todos los coeficientes a i son nulos Evidentemente dicha ecuación no es única, pero la diferencia entre dos ecuaciones implícitas de un mismo hiperplano de P n (k) sólo puede diferir en la multiplicación por un escalar no nulo Por tanto, a cada hiperplano de P n (k) de ecuación a 0 x 0 + + a n x n = 0 le podemos asociar el punto (a 0 : : a n ) de P n (k), estableciendo pues una biyección Φ : P n (k) P n (k) que nos permitirá tratar a P n (k) también como otro espacio proyectivo, que llamaremos espacio proyectivo dual de P n (k) A continuación estudiamos la estructura de las variedades lineales proyectivas en el espacio proyectivo dual Proposición 182 Sean H, H 1,, H s puntos de P n (k) Se verifica: 1 {H 1,, H s } son puntos linealmente dependientes (resp li) en P n (k) si y sólo si dim H 1 H s > n s (resp dim H 1 H s = n s) en P n (k) 2 H L p (H 1,, H s ) en P n (k) si y sólo si H H 1 H s en P n (k) Definición 183 Dada una variedad lineal L P n (k) definimos su dual, que notamos (L), como el subconjunto de P n (k) formado por los hiperplanos de P n (k) que contienen a L, ie (L) := {H P n (k) L H} Análogamente, si M P n (k) es una variedad lineal, definimos su dual, que también notaremos (M), como la intersección de todos los hiperplanos de P n (k) que son elementos de M, ie (M) := H H M 8

Proposición 184 Dada una variedad lineal L P n (k) de ecuaciones implícitas a 10 x 0 + +a 1n x n = 0 a r0 x 0 + +a rn x n = 0 (L) es la variedad de P n (k) generada por (a 10 : : a 1n ),, (a r0 : : a rn ) Análogamente, si M es una variedad lineal de P n (k) generada por unos puntos (a 10 : : a 1n ),, (a r0 : : a rn ), (M) es la variedad lineal de P n (k) de ecuaciones implícitas a 10 x 0 + +a 1n x n = 0 a r0 x 0 + +a rn x n = 0 Proposición 185 Las aplicaciones y son anti-isomorfismos entre los retículos de P n (k) y de P n (k), uno el inverso del otro Más concretamente, para cada L R(P n ) y M R(P n): 1 y invierten las inclusiones 2 dim (L) = n dim L 1 y dim (M) = n dim M 1 3 (M) = M y (L) = L 4 (L 1 + L 2 ) = (L 1 ) (L 2 ) y (L 1 L 2 ) = (L 1 ) + (L 2 ) 5 (M 1 + M 2 ) = (M 1 ) (M 2 ) y (M 1 M 2 ) = (M 1 ) + (M 2 ) 9