Apuntes de Probabilidad 4ESO Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si una moneda cae al suelo, no es posible conocer por anticipado el punto exacto donde irá a parar; cuando se colocan bolas idénticas numeradas en una bolsa y se extrae una bola a ciegas, no es posible determinar con total certeza qué bola será elegida; etc. Estos experimentos son llamados aleatorios, puesto que el resultado del fenómeno en estudio es consecuencia del azar. Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas. En estas situaciones el carácter impredecible del azar hace inútil cualquier intento de hallar reglas deterministas que rijan la aparición de los resultados individuales. Sin embargo, es falso decir que el azar no está sometido a leyes, lo que ocurre es que no son leyes necesarias, que determinen unívocamente el resultado de cada experimento, sino que atañen a la frecuencia de los resultados que se obtienen cuando el fenómeno se repite un gran número de veces. El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios; es decir, situaciones que, repetidas bajo condiciones idénticas, pueden dar lugar a diversos resultados de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuál de ellos ocurrirá. Ante fenómenos de azar, la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos; es decir, un valor numérico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada uno, después de numerosas observaciones del fenómeno. En concreto, la probabilidad de cada acontecimiento posible es un número de [0, 1], que expresa la frecuencia teórica con que dicho acontecimiento se presentará en una serie indefinidamente larga de repeticiones del experimento realizadas en condiciones idénticas. En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales: Los posibles acontecimientos que pueden producirse; es decir, el espacio muestral y sus correspondientes sucesos. La valoración de la probabilidad de los acontecimientos posibles. Ejercicio 1. Describe un experimento aleatorio y uno determinista. Ejercicio 2. Indica si son experimentos aleatorios o deterministas. a) Anotar el color de una bola extraída de una urna que contiene 9 bolas azules. b) Anotar el color de una bola extraída de una urna que contiene 9 bolas azules y 3 rojas. c) Extraer una carta de una baraja española. d) Suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados. e) Anotar el tiempo que tarda un coche en recorrer 200 km circulando a 100 km/h. 1. Espacio muestral y sucesos aleatorios En un experimento aleatorio, el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los resultados posibles que constituyen un fenómeno aleatorio y se denota por E. Es habitual decir que el espacio muestral E es: discreto si tiene un número finito de elementos. continuo en caso contrario. 1
Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de E. Podemos distinguir dos tipos: Sucesos elementales: cada uno de los resultados posibles del espacio muestral. Sucesos compuestos: formados por la unión de varios sucesos elementales. Ejemplo 1 Se considera el lanzamiento de un dado. El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 6} El suceso "obtener un 2", {2} es elemental y el suceso "obtener par", {2, 4, 6} es compuesto. Ejemplo 2 Se considera el lanzamiento de dos monedas. El espacio muestral es: E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde C = "cara" y X = "cruz". El suceso "obtener dos caras" (C, C) es elemental (análogo para el suceso "obtener dos cruces") y el suceso "obtener una cara" {(C, X), (X, C)} es compuesto. Ejercicio 3 Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Anotar el color de una bola extraída de una urna que tiene 2 bolas rojas, 3 negras y 1 blanca. b) Anotar el número de cruces obtenidas al lanzar simultáneamente 4 monedas idénticas. c) Apuntar los resultados posibles obtenidos al lanzar 2 dados. d) Extraer una carta de una baraja española. e) Lanzar tres dados y sumar las puntuaciones obtenidas La identificación de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados. Por este motivo, introducimos los tipos de sucesos y las operaciones entre ellos: 2. Tipos de sucesos Suceso seguro: es aquel que siempre se verifica. Se representa E. Suceso imposible: es aquel que nunca puede ocurrir. Se escribe. Sucesos incompatibles: son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos compatibles: son aquellos que sí pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos equiprobables: son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Ejercicio 4. Razona si los sucesos del ejercicio 3 son equiprobables. 3. Operaciones elementales entre sucesos Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, se definen las siguientes operaciones: Unión de sucesos: si A y B son dos sucesos de E, entonces A B se describe como "ocurre A u ocurre B"; es decir, el resultado pertenece o bien a A, o bien a B o bien a ambos simultáneamente. Intersección de sucesos: si A y B son sucesos de E, entonces A B se describe como "ocurren A y B simultáneamente". Si A B =, se dice que A y B son sucesos incompatibles. Contrario o complementario de un suceso: si A es un suceso de E, entonces A c o A es el suceso formado por todos los sucesos elementales que no están en A. Es importante observar que: A A = E y A A = 2
Diferencia de sucesos: si A y B son sucesos de E, entonces A B es la intersección del primer suceso con el contrario del segundo, A B = A B. Ejercicio 5. Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado equilibrado. Describe los siguientes sucesos: a) Obtener un número impar. b) Obtener impar y par. c) Obtener un múltiplo de tres. d) Obtener par y número primo. e) Obtener al menos un cuatro. f) Obtener menos de siete. g) Suceso contrario del suceso del apartado d) h) Son incompatibles los sucesos d) y e)? i) Son incompatibles los sucesos e) y f)? j) Son equiprobables los sucesos c) y d)? 4. Técnicas de recuento. Diagramas en árbol En el Cálculo de Probabilidades, a menudo se presentan conjuntos demasiado grandes como para poder enumerar exhaustivamente sus elementos, aunque, por otra parte, obedecen a unas reglas de formación fijas que permiten construir procedimientos para conocer su cardinal, sin necesidad de elaborar una lista de elementos. La Combinatoria agrupa los procedimientos orientados a contabilizar el número de elementos de conjuntos de este tipo, sin necesidad de enumeraciones. 4.1 Diagrama en árbol: se trata de un método gráfico de conteo que consiste en ir señalando todos los posibles resultados simulando las ramas de un árbol. Ejemplo 3 Determina el número de palabras distintas de 4 letras que puedan formarse con las letras {A, E, I, L, M, N, P} de forma que haya una vocal en la primera posición. Para ello, deben rellenarse cuatro posibles posiciones (1 para cada letra): La primera posición debe ocuparse por una vocal y, para ello, hay tres elecciones posibles {A, E, I} 3 La segunda posición debe ocuparse por una letra diferente de la primera, de modo que, sea cual sea la primera, hay 6 posibilidades 3 6 Elegidas la primera y la segunda letras, hay 5 elecciones posibles para la tercera posición 3 6 5 Elegidas la primera, la segunda y la tercera letras, hay 4 elecciones posibles para la última posición 3 6 5 4 Es decir, el número de palabras distintas es 3 6 5 4 = 360 Ejercicio 6 Determina, a partir de un diagrama de árbol, todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas equilibradas. 3
5. Aproximación a la noción de probabilidad La teoría de la probabilidad tuvo sus inicios en el análisis de los juegos de azar de siglo XVII, sin embargo, el Cálculo de probabilidades no se estableció como ciencia hasta finales del siglo XX. En esta época el desarrollo de las Ciencias Naturales implicó fuertes demandas sobre esta disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos básicos de la Teoría de la Probabilidad. 5.1 Aproximación frecuentista La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que se aproximan las frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado número de veces. (Ley de los grandes números) Ejemplo 4 Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas idénticas, 2 rojas y 1 blanca. Entonces si se repite el experimento un número determinado de veces, podemos conocer la frecuencia exacta: 1. Si se repite 10 veces, se obtienen 6 rojas y 4 blancas. Es decir: roja 6 10 = 0 6 ; blanca 4 10 = 0 4 2. Si se repite 12 veces, se obtienen 7 rojas y 5 blancas. Es decir: roja 7 12 = 0 58333 ; blanca 5 12 = 0 41666 3. Si se repite 120 veces, se obtienen 69 rojas y 51 blancas; es decir roja 69 120 = 0 575 ; blanca = 51 120 = 0 425 Análogamente, el experimento podría repetirse 10000, 100000, concluyendo que en una sucesión ilimitada de repeticiones, en idénticas condiciones, las frecuencias tras cada repetición tienden a aproximarse hacia ciertos valores límites, que son las probabilidades. En nuestro caso, p(obtener bola roja) = 2 = 0,66666 p(obtener bola blanca) = 1 = 0,333333. 3 3 Ejercicio 7 Una máquina fabrica tornillos. Cómo harías para calcular la probabilidad de que, escogido un tornillo al azar, sea defectuoso? 5.2 Regla de Laplace Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con espacio muestral finito, existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad. Esta regla se conoce como Ley de Laplace y fue propuesta por P.S. Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente explícito del concepto de probabilidad. La aplicación de la regla de Laplace puede presentar dificultades a la hora de comprobar la equiprobabilidad de los sucesos elementales. No obstante, en situaciones sencillas, la simetría de los resultados del experimento permite garantizar su equiprobabilidad: p(a) = nº de casos favorables al suceso A nº de casos posibles del espacio muestral E 4
Consecuencias: o Para cualquier suceso A: 0 p(a) 1 o La probabilidad del suceso imposible es p( ) = 0 o La probabilidad del suceso seguro es: p(e) = 1 o o La probabilidad del suceso contrario es: p(a ) = 1 p(a) Regla de la Adición: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Si los sucesos son incompatibles, entonces: p(a B) = p(a) + p(b) Ejemplo 5 Calcula la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado perfectamente equilibrado. El espacio muestral del experimento aleatorio es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A la vista de los resultados, la intuición parece indicar que la probabilidad pedida es 1, no obstante, vamos a comprobarlo. 2 El dado está equilibrado, es decir, la posibilidad de obtener una cifra u otra, a priori, es la misma. Por tanto, los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de Laplace: Definimos el suceso A= obtener un nº par : nº de resultados pares {2, 4, 6} p("obtener un nº par") = = nº de casos posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 3 6 = 1 2 6. Probabilidad condicionada Hasta este momento, las probabilidades de los sucesos han tenido un carácter estático, es decir, antes de realizar el experimento, es posible emitir un juicio sobre su resultado, indicando la frecuencia de aparición de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir. No obstante, es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha concluido o, en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas (compuestos). Es evidente que disponer de cierto tipo de información adicional respecto de un determinado experimento aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos. Ejemplo 6 Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5: La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5, utilizando la Ley de Laplace, es 1/5. Sin embargo, si en el momento de la extracción hemos podido ver que la bola era blanca, la probabilidad de que sea la 5 es entonces 1/2. Diremos en este caso que 1/2 es la probabilidad del suceso sacar la bola 5, condicionado al suceso la bola es blanca. Esta es la idea de probabilidad condicionada. 6.1 Definición de Probabilidad condicionada La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A, con p(a) > 0, se llama probabilidad condicionada. Se escribe p(b A), se lee probabilidad de B condicionada a A y su valor es: p(a B) p(b A) = p(a) A partir de la definición de la probabilidad condicionada, se puede calcular la probabilidad de la 5
intersección de dos sucesos despejando directamente de la expresión anterior de probabilidad de B condicionada a A. Este método se conoce como regla del producto o de la multiplicación: 6.2 Regla del producto o de la multiplicación p(a B) = p(b A) p(a) Del mismo modo, si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B: p(a B) = p(a B) p(b) 6.3 Dependencia e independencia de sucesos En general, condicionar un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero, pero esto no siempre es así, pues podría ocurrir que A y B no tuvieran mucho que ver. Esto lo justifica la siguiente definición de sucesos independientes: Diremos que dos sucesos A y B son independientes, si se cumple que: p(a B) = p(a) ; p(b A) = p(b) Es decir, el hecho de que ocurra uno de ellos, no condiciona la probabilidad del segundo. En el caso de que A y B sean sucesos independientes, entonces se cumple que la probabilidad de su intersección es el producto de las probabilidades de cada uno de ellos. A y B independientes, entonces p(a B) = p(a B) p(b) = p(a) p(b) 6