Clase 2: Algoritmo de Euclídes Dr. Daniel A. Jaume, * 8 de agosto de 2011 1. Máximo común divisor Para entender que es el máximo común divisor de un par de enteros (no simultáneamente nulos). Lidearemos con la expresión anterior de a pasos. Recordaremos que es un divisor, luego veremos que significa común divisor (en un buen castellano diríamos divisor común). Para finalmente agregar la palabra máximo. Ya sabemos lo que significa la palabra divisor, pero la repetición es una estrategia clave de la enseñanza: Dados dos enteros a y b, con a 0, decimos que a divide a b, o que a es un factor de b, o que a es un divisor de b o que b es divisible por a, si b = aq para algún entero q, i.e., b es un mútiplo de a. Recordamos que esto se denota a b. Por ejemplo los divisores de 6 son 1, 2, 3 y el mismo 6, pero estos no son todos los divisores de 6, también lo dividen 1, 2, 3 y 6. Pero generalmente sólo nos interesarán los divisores porsitivos (una vez que tenemos los divisores positivos, también tenemos los negativos: basta multiplicar por 1). Es fácil hallar todos los divisores de un número pequeo, pero la tarea se complica horrorosamente cuando el número en cuestión es muy grande (muy, muy grande!). Por ejemplo: el divisor (positivo) de 1 es sólo el propio 1. los divisores (positivos) de 2 son 1 y 2. los divisores (positivos) de 7 son 1 y 7. * Departmento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales, Universidad Nacional de San Luis, Ejército de los Andes 950, 5700 San Luis, Argentina. E-mail de la Materia: mat.discretas.2011@gmail.com facebook de la Materia: MatDiscreta UNSL twitter: MatDiscreta2011 Biblioteca Digital de la UNSL: http: bd.unsl.edu.ar buscarla como Matemática Discreta, 2do cuatrimestre, 2011 1
los divisores (positivos) de 15 son 1, 3, 5 y 15. los divisores (positivos) de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. los divisores (positivos) de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Recordemos: 1 divide cualquier entero ( 1 también), y cualquier entero divide a 0. Si e es un entero tal que e a y e b, diremos que e es un divisor común de a y b. Por ejemplo: los divisores comunes de 2 y 7 son 1 y 1. los divisores comunes de 28 y 42 son ±1, ±2, ±7 y ±14, como se puede ver fácilmente al comparar la lista de divisores de 28 y 42. el único divisor común positivo de 15 y 28 es el 1. Ejercicio 1.1 Hallar todos los divisores comunes positivos de: 1. 16 y 48. 2. 30 y 45. 3. 18 y 65. Definición 1.2 Un número entero d es el máximo común divisor (mcd) de dos enteros a y b (no simultáneamente nulos) si: 1. d es un divisor común de a y b. 2. Todo divisor común de a y b es menor o igual a d Denotaremos por (a, b) al máximo común divisor de a y b. Por ejemplo: el mcd de 2 y 7 es 1, esto puede ser escrito: (2, 7) = 1. el mcd de 28 y 42 es 14. (15, 28) = 1. Como 1 divide a cualquier entero, todo par de enteros a y b no simutáneamente nulos (i.e. o a 0, o b 0), tiene divisores comunes. Por otro lado, como para todo entero no nulo a se cumple que a a ( módulo de a divide a a ), tenemos que todo divisor común d, de un par de enteros no nulos a y b satisface que 1 d mín{ a, b } Esto nos permite afirmar que para todo par de enteros no simultáneamente nulos a y b existe el máximo común divisor. 2
Ejercicio 1.3 si bien el simbolo (0, 0) no está definido, Cual sería su valor? Dos números enteros a y b se dicen coprimos o primos relativos (o que son relativamente primos entre sí), si su mcd es 1. Por ejemplo 2 y 7 son coprimos. También son coprimos 15 y el 42, mientras que 28 y 42 no son relativamente primos: (28, 42) = 14 > 1 Existe una interesante relación entre el teorema de la división y el mcd: Lema 1.4 Dados dos enteros a 0 y b, si b = aq+r, entonces (b, a) = (a, r) Por ejemplo 28 = 10 2 + 8, y (28, 10) = 2 = (10, 8). Pero podemos sequir: 10 = 8 1 + 2, por lo tanto (10, 8) = 2 = (8, 2). Ahora ya no tiene sentido seguir: 8 = 2 4 + 0, y (2, 0) = 2. Demostración Como (a, r) divide a a y a r, tenemos que (a, r) b. luego (a, r) es un divisor común (positivo) de b y a y por lo tanto (a, r) (b, a) (1) Similarmente (b, a) divide a r, pues es un divisor común de a y b, y además r = b aq, de donde podemos concluir que (b, a) es un divisor común de a y r. Luego (b, a) (a, r) (2) de (1) y (2) concluimos que (b, a) = (a, r) En la demostración anterior usamos una tecnica habitual para probar que dos números son iguales: Si deseamos probar que x = y, podemos probar primero que x y y luego que y x. Si bien esto parece más largo que intentar probar directamente que x = y, suele ocurrir que es más fácil demostrar las dos desigualdades. Ejercicio 1.5 Encontrar el mcd de: 1. 35 y 65. 2. 35 y 65. 3. 35 y 65. 4. 35 y 65. 5. 135 y 144. 6. 49 y 99. Ejercicio 1.6 Demostrar que para cualquier par de enteros a y b (no simultáneamente nulos) se cumple que: (a, b) = ( a, b) = (a, b) = ( a, b) (3) 3
Ejercicio 1.7 Demostrar que para cualquier entero n, se tiene que n y n+1 son coprimos. Ejercicio 1.8 Demostrar que si a b, entonces (a, b) = a. Ejercicio 1.9 Sean a y b dos enteros. Demostrar la siguiente implicación: Si existen enteros x e y tales que ax + by = 1, entonces a y b son coprimos. Ejercicio 1.10 Demostrar que (a, m) (a, mn) para cualesquiera enteros a, n y m. Ejercicio 1.11 Demostrar: Si (a, b) = 1 y c a, entonces (c, b) = 1. 2. Algoritmo de Euclídes Algoritmo 2.1 (de Euclídes) Dados dos números naturales a y b, apliquemos el teorema de la división sucesivamente como sigue: b = aq 1 + r 1 a = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r 4. r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 + 0 Si n es tal que r n divide a r n 1, entonces r n es el mcd de a y b. Observe que este algoritmo tiene exactamente un paso más que la cantidad de restos no nulos (hay n restos no nulos y n + 1 pasos). Cada paso del algoritmo corresponde a una aplicación del teorema de la división. Por ejemplo, el mcd de 78 y 14 es 2, pues si aplicamos el algoritmo de Euclídes: 78 = 32 2 + 14 32 = 14 2 + 4 14 = 4 3 + 2 4 = 2 2 + 0 Ejercicio 2.2 Encontrar el mcd (recomendación: usar el algoritmo de Euclídes): 1. 121 y 365. 2. 89 y 144. 3. 295 y 595. 4
4. 1001 y 1309. 5. 17017 y 18900. 6. 21063 y 43137. 7. 210632 y 423137. 8. 92263 y 159037. 9. 112345 y 112354. Ejercicio 2.3 Demostrar que el algortimo de Euclídes encuentra en un número finito de pasos el mcd de dos enteros positivos. (sugerencia: usar el Lema 1.4). 3. Identidad de Bezout El algoritmo de Euclídes tiene importantes consecuencias teóricas, como la siguiente identidad. Identidad de Bezout: Sea d el mdc de a y b, entonces d = ar + bs para algún par de enteros q y r. Por ejemplo, 365 y 1876 son comprimos, entonces (por la identidad de Bezout) deben existir un par de enteros x y y tales que: 1 = 365x + 1876y El algoritmo de Euclídes nos brinda una ténica hallar a x e y (lo cual no es trivial): 1876 = 365 5 + 51 365 = 51 7 + 8 51 = 8 6 + 3 8 = 3 2 + 2 3 = 2 1 + 1 2 = 1 2 + 0 Luego 1 es el mcd de 365 de 1876. Ahora resolvamos el sistema anterior para los restos no nulos: 1 = 3 2 1 2 = 8 3 2 3 = 51 8 6 8 = 365 51 7 51 = 1876 365 5 5
y usando sustitución regresiva: 1 = 3 2 = 3 (8 3 2) = 3 3 8 = 3 (51 8 6) 8 = 3 51 19 8 = 3 51 19 (365 51 7) = 136 51 19 365 = 136(1876 5 365) 19 365 = 136 1876 699 365 Por lo que x = 699, e y = 136. El siguiente teorema subsume el algortimo de Euclídes y la identidad de Bezout. Teorema 3.1 Si r N es el último de los restos no cero en el algoritmo de Euclídes para a y b, entonces r N es el mcd de a y b y para algunos enteros x e y. r N = ax + by Demostración Si r N es el último resto no nulo cuando aplicamos el algoritmo de Euclídes a los enteros a y b, entonces el número de pasos del algoritmo es N + 1. Demostraremos el teorema por inducción sobre n. Si N = 0, entonces a b, y el teorema es trivial ( Por qué?). Si N = 1, entonces el algoritmo de Euclídes para a y b tiene la forma: Paso 1 b = aq 1 + r 1 Paso 2 a = r 1 q 2 + 0 De donde es fácil ver que r 1 es el mcd de a y b: pues es fácil ver que r 1 es divisor común positivo ( Por qué?) y que todo divisor común de a y b, también divide a r 1 y por lo tanto no es mayor que r 1 ( Por qué?). También tenemos que vale Bezout: r 1 = b 1 + a ( q) Hipótesis inductiva: Asumamos que el teorema vale para N = n 1, i.e., asumanos que el teorema vale para todo par de números enteros x y y para los cuales el algoritmo de Euclídes usa n pasos. 6
Sea a y b un par de enteros para los cuales el algoritmo de Euclídes usa n + 1 pasos: Paso 1 b = aq 1 + r 1 Paso 2 a = r 1 q 2 + r 2 Paso 3 r 1 = r 2 q 3 + r 3 Paso 4 r 2 = r 3 q 4 + r 4 Paso n r n 2 = r n 1 q n + r n Paso n + 1 r n 1 = r n q n+1 + 0 Si nos olvidamos de primer paso. Las n ecuaciones restantes, por la unicidad del teorema de la división, nos dan el resultado de aplicar el algoritmo de Euclídes a los enteros a y r 1. Esto significa que el algoritmo de Euclídes aplicado a a y r 1 requiere de n pasos para parar. Por lo que podemos aplicar la hipótesis inductiva: r n = (a, r 1 ) y r n = au + r 1 v para algún par de enteros u y v. Como b = aq 1 + r 1, sabemos que (b, a) = (a, r 1 ) = r n (Lema 1.4). Por otro lado r n = au + r 1 v = au + (b aq 1 )v = a(u q 1 v) + bv. Por lo que Bezout vale. La siguiente es una consecuencia útil de la identidad de Bezout, esta propiedad no es inmediata de la definición de mcd. Corolario 3.2 Sean a b y e enteros. Si e a y e b, entonces e (a, b). Ejercicio 3.3 Demostrar el corolario anterior. La siguiente propiedad es de suma importancia ( mucho muy importante ): Corolario 3.4 Sean a, b y c enteros, si a bc y (a, b) = 1, entonces a c. Demostración Por Bezout sabemos que existen un par de enteros r y s tales que: ar + bs = 1 Al multiplicar ambos lados de esta igualdad por c obtenemos: car + cbs = c Como a bc, tenemos que a cbs (linealidad de la divisibilidad). Además obviamente a acr. Luego a divide a (acr + cbs) = c. 7
Ejercicio 3.5 Dar 6 contrajemplos a la siguiente afirmación: Si a bc y a no divide a b, en símbolos a b, entonces a divide a c. Ejercicio 3.6 Hallar d, el máximo común divisor, y los enteros r y s tales que ar + bs = d, donde a y b son: 1. 267 y 112. 2. 241 y 1870. 3. 600 y 11312. 4. 11213 y 1001. 5. 500 y 3000. La identidad de Bezout nos permite resolver ecuaciones de la forma ax + by = e Proposición 3.7 Dados enteros a, b y e, existen enteros m y n con am + bn = e si, y sólo si (a, b) e. Demostración Es claro que si existen enteros m y n con am + bn = e, entonces (a, b) e. Ahora supongamos que (a, b) e, i.e. existe un entero c tal que e = c(a, b). por otro lado, por Bezout, sabemos que existen enteros u y v tales que au + bv = (a, b). Multiplicando por c a ambos lados de esta igualdad, obtenemos: c(au + bv) = c(a, b) a(uc) + b(vc) = e y esto finaliza la demostración ( Por qué?) La demostración anterior nos da una técnica para resolver tales ecuaciones: Por ejemplo, si queremos resolver 24 = 365x + 1876y Como ya sabemos, (365, 1876) = 1, como 24 es multiplo de 1, tenemos que la ecuación en cuestión tiene solución (de hecho si tiene una, tiene varias). Podemos hallar una solución multiplicado por 24 en: 1 = 699 365 + 136 1876 para obtener: 24 = 16776 365 + 3264 1876 Ejercicio 3.8 Hallar una solución (si la hubiera) de: 8
1. 7x + 13y = 5 2. 112x + 126y = 0 3. 112x + 126y = 56 4. 6x + 14y = 15 5. 36x + 45y = 0 6. 1001x + 169y = 0 7. 376x + 72y = 18 8. 1001x + 840y = 98 9. 203x + 119y = 47 10. 203x + 119y = 48 11. 203x + 119y = 49 12. 203x + 119y = 50 Ejercicio 3.9 Demostrar las siguientes afirmaciones: 1. Si (a, m) = d y (b, m) = 1, entonces (ab, m) = d. 2. Si am + bn = e para algú entero e, entonces (a, b) e. 3. Si d = (a, b) y ar + bs = d, entonces (r, s) = 1. Ejercicio 3.10 Probar que para cualesquiera números enteros m, a, b > 0, se tiene que m(a, b) (ma, mb) Ejercicio 3.11 Probar que si (a, b) = d, entonces ( a d, b d) = 1. Ejercicio 3.12 Ud tiene un balde de 6 litros, y otro de 15 litros y un rio con agua. Tarea: conseguir (exactamente) x litros de agua. Para que x enteros esta tárea es posible. Ejercicio 3.13 Para cualesquiera tres enteros positivos (no todos iguales), mostrar que (a, (b, c)) = ((a, b), c) Después, definir el mcd de a, b y c, denotarlo (a, b, c) y demostrar que (a, b, c) = (a, (b, c)). 9