5 Hormigón Pretensado Corte ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 00 En el Código 00 no se modifiaron los requisitos referidos al orte en los elementos de hormigón pretensado. Sólo se introdujo un ambio editorial de poa importania a fin de lograr onsistenia en el uso de la terminología "aero de pretensado" "tendón" o "able." Obiamente el diseño al orte se io afetado por la reisión de los fatores de arga fatores φ del Capítulo 9. CONSIDERACIONES GENERALES Las expresiones básias para el diseño al orte de los elementos de hormigón pretensado, Euaiones (11-10), (11-11) (11-1), fueron introduidas en la ediión del Código de 1963. Aunque están bien fundamentadas en resultados de ensaos, su apliaión prátia no ha resultado senilla. En el Código de 1971 se introdujo una euaión simplifiada, la Euaión (11-9). Para omprender las Euaiones (11-10) (11-1) es aonsejable repasar los prinipios en los uales se basa el diseño al orte del Código ACI. Estos prinipios son empírios, desarrollados en base a una gran antidad de ensaos. El esfuerzo de orte resistido por el hormigón el esfuerzo de orte resistido por los estribos son aditios. El esfuerzo de orte resistido por el hormigón después de la formaión de fisuras de orte es omo mínimo igual al orte existente en el hormigón en la ubiaión de la fisura de orte en el momento en que se forma la fisura de orte. Pero ómo se alula el esfuerzo de orte resistido por el hormigón en el momento en que se forma una fisura de orte? Existen dos posibilidades. 1. Fisuraión por orte en el alma. Se origina una fisura de orte diagonal en el alma, próxima al eje neutro, prooada por la tensión prinipal de traión en el alma.. Fisuraión de orte por flexión. Una fisura omienza omo una fisura por flexión en la ara traionada de un elemento soliitado a flexión. Luego esta fisura se extiende haia el alma, se desarrolla en una fisura de orte diagonal. Esto puede ourrir para una tensión prinipal de traión muho menor que la que prooa una fisura de orte en el alma, a que en la punta de la fisura ha onentraión de las tensiones de traión.
Corte en el alma La resistenia a traión aparente del hormigón en traión direta es aproximadamente 4 f. Cuando la tensión prinipal de traión en el entro de graedad de la seión transersal llega a 4 f se produirá una fisura de orte en el alma. El artíulo 11.4.. establee que " V se debe alular omo el esfuerzo de orte que produe una tensión prinipal de traión de 4 f " La ompresión debida al pretensado auda a reduir la tensión prinipal de traión. Pero alular la tensión prinipal de traión debida a la ombinaión de orte ompresión puede resultar tedioso, por esta ausa el ódigo ontiene un proedimiento simplifiado. ( ) V = 3,5 f + 0,3f b d+ V E. (11-1) p p En la Euaión (11-1) el término V p es la omponente ertial de la traión en los ables de pretensado. Esta es aditia para la resistenia al orte en el alma (pero no para la resistenia al orte por flexión). A ontinuaión presentamos una omparaión on respeto a alores obtenidos mediante ensaos. 1 10 8 f 6 4 f = 3,5 + 0,3 f p f 0 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 fp f Figura 5-1 Fisuraión diagonal en regiones anteriormente no fisuradas La ompresión debida al pretensado aumenta la resistenia al orte un 30 por iento del niel orrespondiente a P/A, f p, de ompresión. En una iga no pretensada la tensión prinipal de traión en el entro de graedad de la seión es igual al orte. Porqué entones la Euaión (11-3) para orte en elementos no pretensados permite que el hormigón resista sólo un orte de f? Porque la fisuraión por flexión redue la resistenia al orte. En las igas no pretensadas el orte asi siempre es afetado por la traión por flexión. Pero en el aso de los elementos pretensados, el pretensado redue la fisuraión por flexión. 5 -
Corte por flexión en los elementos de hormigón pretensado En las igas pretensadas la tensión de pretensado retrasa la fisuraión por flexión generalmente hasta que la arga es maor que la arga de seriio. Por lo tanto ale la pena tomar en uenta los efetos faorables del pretensado. En la déada del 50 se reía que oloando ables de perfil uro aumentaría la resistenia al orte, graias a la omponente ertial V p de la fuerza de pretensado. Pero los ensaos que se realizaron demostraron que ourría exatamente lo ontrario. Porqué? Porque los ables de perfil uro reduen la resistenia a la fisuraión por flexión en el tramo de orte. Los ensaos se realizaron apliando argas onentradas, mientras que la arga permanente de las igas era una arga uniforme. Por este motio, uando se desarrolló el método de diseño al orte a partir de los resultados de estos ensaos, los ortes orrespondientes a las argas permanentes a las argas de ensao se trataron por separado. Corte por flexión La Euaión (11-10) es la expresión para determinar la resistenia al orte proporionada por el hormigón, determinada por las fisuras por flexión que se desarrollan se transforman en fisuras de orte. La resistenia al orte del hormigón en una seión transersal dada se toma igual al orte en la seión en el momento en que ourre una fisura por flexión, más un pequeño inremento de orte neesario para transformar la fisura por flexión en una fisura diagonal. La Euaión (11-11) se puede expliar de la siguiente manera. V i = orte existente en el momento que se produe la fisura por flexión, más un inremento neesario para onertir esa fisura en una fisura de orte. Este inremento es igual a 0,6 b d f. El esfuerzo de orte que existe en el momento que se produe la fisura por flexión es el esfuerzo de orte debido a la arga permanente V d más el esfuerzo de orte V i M r /M max. Cuál es el origen del término V i M r /M max? El término V i es el esfuerzo de orte último maorado en la seión, menos el esfuerzo de orte debido a la arga permanente. El término M r es el momento adiional debido a las argas apliadas externamente (exluendo el prooado por las tensiones debidas al pretensado a la arga permanente) que prooa una traión de 6 f en la fibra extrema. El momento adiional M r se alula hallando la tensión en la fibra inferior f pe debida úniamente al pretensado, restando la tensión en la fibra inferior f d debida a las argas permanentes, sumando la traión de 6 f, multipliando el resultado por el módulo resistente ( I/t ) de la seión transersal que resiste las sobreargas. Esto onstitue la Euaión (11-11) del Código. ( )( ) M = I/ 6 f + f f E. (11-11) r t pe d Nota: En la disusión anterior, para los elementos ontinuos el término "inferior" se refiere al "lado traionado." El término M max es el máximo momento maorado en la seión, menos el momento debido a la arga permanente. La Figura 5- permitirá omprender mejor el signifiado de estos términos su utilizaión en la Euaión (11-10). El alor V i M r /M ax es el orte debido a una arga adiional apliada externamente (exluendo la arga permanente) que prooa que la tensión de traión en la fibra extrema llegue a 6 f. La arga adiional se aplia a la seión ompuesta (si se trata de una seión ompuesta). 5-3
Una ez que se forma una fisura por flexión, se neesita apenas una pequeña antidad de orte adiional para que la fisura se transforme en una fisura de orte. Esto se determina de forma empíria, omo se ilustra en la Figura 5-3. Carga maorada M max Momento bajo arga de fisuraión en la seión en x M d M r Carga permanente x Momento Centro del tramo Carga maorada Corte en el momento de fisuraión por flexión en x Carga permanente El orte adiional en el momento de la fisuraión por flexión está en la misma proporión que Mr/ Mmax. Por lo tanto, este orte Vi Mr / Mmax adiional es igual a ( ) V d V i Corte Figura 5- Origen del término (V i M r /M max ) de la Euaión (11-10) 9 8 7 6 V V i bd f d 5 4 3 1 0,6 Mr V i = (0,6bd f + + V d) M d V 0 1 3 4 5 6 M d M r / bd f V Figura 5-3 Fisuraión diagonal en las regiones de una iga preiamente fisuradas por flexión 5-4
La interseión en 0,6 produe el primer término de la Euaión (11-10), 0,6 b d f. Nota: El alor " d/" que aparee en las expresiones de la Figura 5-3 ha sido eliminado. Esta fue una simplifiaión onseradora. La simbología utilizada en las Euaiones (11-10) (11-11) es la siguiente: M r = momento que prooa fisuraión por flexión en la seión debido a las argas apliadas externamente M max = máximo momento maorado en la seión debido a las argas apliadas externamente V i = esfuerzo de orte maorado en la seión debido a las argas apliadas externamente que ourren simultáneamente on M max. Desafortunadamente los subíndies se prestan a onfusión. M r no es el momento de fisuraión total. No es el mismo M r que se utiliza para erifiar la armadura mínima en el Ejemplo 4.6. M max no es el momento maorado total. Es el momento maorado total menos el momento debido a la arga permanente. Pareería que V i M max deberían tener el mismo subíndie, a que ambos se refieren a las diferenias entre los dos mismos estados de argas. Una ompliaión adiional es que el término "argas apliadas externamente" es ambiguo. Aparentemente la arga permanente no se onsidera "apliada externamente," tal ez porque el peso propio proiene de la masa "interna" del elemento. Sin embargo, el artíulo R11.4. die que la arga permanente sobreimpuesta en una seión ompuesta se debería onsiderar omo una arga apliada externamente. El omentario lo justifia adeuadamente, pero la onfusión persiste. La resistenia al orte se debe erifiar en diferentes ubiaiones a lo largo del tramo de orte, un proeso que resulta tedioso. Para el álulo manual, el proeso simplifiado que se desribe en el artíulo 11.4.1 es adeuado en la maoría de los asos. 11.0 SIMBOLOGÍA Para los elementos pretensados la altura d utilizada en el álulo de la resistenia al orte se define de la siguiente manera: d = distania entre la fibra omprimida extrema el barientro de la armadura longitudinal traionada, pero para las seiones irulares los elementos pretensados esta distania debe ser maor o igual que 0,80h, in. El omentario señala que uando se utiliza el alor mínimo d = 0,8h es reomendable que haa algo de aero próximo a la ara traionada, onfinado por estribos errados. 11.1 RESISTENCIA AL CORTE DE LOS ELEMENTOS PRETENSADOS El requisito básio para el diseño al orte de los elementos pretensados es el mismo que para los elementos no pretensados: en todas las seiones la resistenia al orte de diseño φv n debe ser maor que el esfuerzo de orte maorado V u (11.1). V u φ V E. (11-1) n Tanto para los elementos de hormigón armado omo para los elementos de hormigón pretensado, la resistenia nominal al orte V n es la sumatoria de dos omponentes: la resistenia nominal al orte proporionada por el hormigón V la resistenia nominal al orte proporionada por la armadura de orte V s. 5-5
Por lo tanto, Vn = V + Vs E. (11-) Vu φ V +φ Vs Se asume que la resistenia nominal al orte proporionada por el hormigón V es igual al orte que existe en el momento en que en el hormigón se forma una fisura diagonal. A partir del Código de 1977 los requisitos para el diseño al orte se indian en términos de los esfuerzos de orte V n, V V s para alarar mejor la apliaión del fator de reduión de la resistenia de los materiales, φ, para el diseño al orte. En el formato basado en los esfuerzos, el fator φ se aplia diretamente a las resistenias de los materiales, es deir, φv φv s. 11.1. Resistenia del hormigón La seión 11.1. limita la resistenia del hormigón que se puede utilizar al alular la ontribuión del hormigón porque no ha sufiientes datos disponibles sobre ensaos de orte orrespondientes a hormigones de alta resistenia. El límite no permite que f sea maor que 100 psi, lo ual orresponde a f = 10.000 psi. Obserar que el límite se expresa en términos de a que denota traión diagonal. Este límite se puede superar si se oloa armadura de orte mínima de auerdo on lo espeifiado en el artíulo 11.1..1. 11.1.3 Ubiaión para alular el máximo esfuerzo de orte maorado La seión 11.1.3 permite alular el máximo esfuerzo de orte maorado V u a una determinada distania de la ara del apoo siempre que se satisfagan las siguientes ondiiones: a) la reaión en el apoo, en la direión del orte apliado, introdue ompresión en las regiones extremas del elemento, b) las argas se aplian en, o era de, la ara superior del elemento, ) no ha argas onentradas entre la ara del apoo la seión rítia. Para las seiones de hormigón pretensado el artíulo 11.1.3. establee que la seión rítia para alular el máximo esfuerzo de orte maorado V u está ubiada a una distania igual a h/ de la ara del apoo. Este requisito es diferente al orrespondiente a los elementos de hormigón armado, en los uales la seión rítia está ubiada a una distania igual a d de la ara del apoo. El Capítulo 1 de esta publiaión ontiene detalles adiionales sobre el máximo esfuerzo de orte maorado en los apoos. f, 11. HORMIGÓN LIVIANO Los ajustes de la resistenia al orte indiados en la seión 11. para el hormigón de agregados liianos también se aplian a los elementos de hormigón pretensado. 11.4 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS La seión 11.4 presenta dos enfoques para determinar la resistenia nominal al orte proporionada por el hormigón, V. El artíulo 11.4.1 presenta un enfoque simplifiado, mientras que el 11.4. presenta un enfoque más detallado. En ambos asos se asume que la resistenia al orte proporionada por el hormigón es igual al orte que existe en el momento en que en el hormigón se forma una fisura diagonal. 5-6
11.4.1 Método simplifiado El uso de este método simplifiado se limita a los elementos pretensados en los uales la fuerza de pretensado efetia no es menor que el 40 por iento de la resistenia a traión de la armadura de flexión, la ual puede estar ompuesta exlusiamente por armadura pretensada o bien por una ombinaión de armadura pretensada armadura onenional. Vd u V = 0,6 f + 700 bd Mu E. (11-9) pero debe ser maor o igual que f b d. V no debe ser maor que 5 fbd ó V (11.4..) alulado onsiderando los efetos de la longitud de transferenia (11.4.3) la falta de adherenia (11.4.4) que se aplian en las regiones próximas a los extremos de los elementos pretensados. Se debe obserar que para el término Vd/M u u de la Euaión (11-9) d se debe tomar omo la distania real entre la fibra omprimida extrema el barientro de la armadura pretensada, no omo el alor 0,8h permitido en otros artíulos del Código. Es neesario erifiar la resistenia al orte en diferentes ubiaiones a lo largo del tramo. El omentario obsera que para el aso de un elemento simplemente apoado soliitado por argas uniformes, el alor de Vd/M u u se puede expresar omo: u ( x) ( ) Vd u d = M x x El omentario también presenta la Figura 5-4, útil para resoler el problema gráfiamente. 500 f = 5000 psi 400 V = 5 f bd V bd psi 300 00 100 1 5 1 30 d 1 = 15 1 0 V = f bd 0 0 8 4 3 8 Distania desde un apoo simple Figura 5-4 Apliaión de la Euaión (11-9) a elementos pretensados on arga uniforme (Figura R11.4.1) 5-7
El uso de esta figura se ilustra en el Ejemplo 5-. La Referenia 5.1 ontiene figuras adiionales para la resoluión gráfia de la resistenia al orte. 11.4. Método detallado El origen de este método se disute bajo el título "Consideraiones generales," al omienzo de este apítulo. En los elementos de hormigón pretensado se han obserado dos tipos de fisuraión diagonal: fisuraión de orte por flexión fisuraión por orte en el alma. Debido a que se asume que la resistenia al orte nominal del hormigón es igual al orte que prooa la fisuraión diagonal del hormigón, el método detallado proporiona euaiones que permiten determinar la resistenia nominal al orte para ambos tipos de fisuraión. En la Figura 5-5, tomada de R11.4., se ilustran los dos tipos de fisuraión diagonal. La resistenia nominal al orte proporionada por el hormigón, V, se toma omo el menor de los alores de orte que prooan estos tipos de fisuraión, los uales se disuten a ontinuaión. Las expresiones detalladas para alular V indiadas en el artíulo 11.4. pueden resultar de difíil apliaión sin el auxilio de audas para el diseño, sólo se deberían utilizar uando la expresión simplifiada para V indiada en el artíulo 11.4.1 no resulta adeuada. Carga apliada apoo ontinuo apoo simple flexión orte por flexión orte en el alma flexión orte por flexión orte en el alma Figura 5-5 Tipos de fisuraión en una iga de hormigón (Figura R11.4.) 11.4..1 Fisuraión de orte por flexión, V i La fisuraión de orte por flexión ourre uando las fisuras prooadas por flexión, que iniialmente son ertiales, se inlinan por efeto del orte. El esfuerzo de orte para el ual esto ourre se puede tomar omo: VM i r Vi = 0,6 f bd+ Vd + E. (11-10) M max Obserar que V i se debe tomar maor o igual que 1, 7 f b d. El momento adiional, M r, que prooa la fisuraión por flexión se alula usando la siguiente expresión: ( ) I M = 6 f + f f r pe d t E. (11-11) donde f pe es la tensión de ompresión en el hormigón debida úniamente a la fuerza efetia de pretensado (luego de desontar todas las pérdidas de pretensado) en la fibra extrema de una seión donde la tensión de traión es prooada por argas apliadas externamente. 5-8
En general V i resulta determinante en los elementos argados uniformemente. Se asume que la resistenia nominal al orte total, V i, es igual a la sumatoria de tres omponentes: 1. el esfuerzo de orte requerido para transformar una fisura por flexión en una fisura diagonal: 0,6 f b d ;. el esfuerzo de orte debido a la arga permanente no maorada: V d ; 3. la porión del esfuerzo de orte maorado restante que prooará la apariión iniial de una fisura por flexión: VM /M. i r max Para los elementos no ompuestos V d es el esfuerzo de orte prooado por la arga permanente no maorada. Para los elementos ompuestos V d se alula usando el peso propio no maorado más la arga permanente sobreimpuesta no maorada. La ombinaión de argas usada para determinar V i M max es aquella que prooa el máximo momento en la seión onsiderada. El alor V i es el esfuerzo de orte maorado prooado por las argas apliadas externamente que ourren simultáneamente on M max. Para los elementos ompuestos V i se puede determinar restando V d del esfuerzo de orte prooado por las argas maoradas totales, V u. De manera similar, M max = M n M d. Al alular el momento de fisuraión, M r, la arga usada para determinar f d es la misma arga no maorada usada para alular V d. 11.4.. Fisuraión por orte en el alma, V La fisuraión por orte en el alma se produe uando la tensión prinipal de traión diagonal en el alma supera la resistenia a la traión del hormigón. Este orte es aproximadamente igual a ( ) V = 3,5 f + 0,3f b d+ V E. (11-1) p p donde f p es la tensión de ompresión en el hormigón (después de desontar todas las pérdidas de pretensado) en el barientro de la seión transersal que resiste las argas apliadas externamente, o en la unión del ala el alma si el barientro se enuentra dentro del ala. V p es la omponente ertial de la fuerza efetia de pretensado, la ual sólo existe si los ables tienen perfil uro. La expresión para la resistenia al orte orrespondiente a fisuraión en el alma V generalmente es determinante en el aso de las igas de alma delgada fuertemente pretensadas, partiularmente si éstas soportan grandes argas onentradas era de un apoo simple. La Euaión (11-1) permite alular la resistenia al orte orrespondiente a la primera fisuraión por orte en el alma. Un método alternatio para determinar la resistenia al orte orrespondiente a la fisuraión en el alma, V, onsiste en alular el esfuerzo de orte orrespondiente a la arga permanente más la sobrearga que prooa una tensión prinipal de traión de 4 f en el eje bariéntrio del elemento, o en la interfase entre el alma el ala si el barientro está ubiado en el ala. Este método alternatio puede resultar útil para diseñar elementos en los uales el orte es rítio. Obserar la limitaión de V en las regiones extremas de los elementos pretensados según lo indiado en los artíulos 11.4.3 11.4.4. 11.4.3, 11.4.4 Consideraiones espeiales para elementos pretensados El artíulo 11.4.3 se aplia a situaiones en las uales la seión rítia ubiada a una distania h/ desde la ara del apoo se enuentra dentro de la longitud de transferenia de los ables de pretensado. Esto signifia que no toda la fuerza efetia de pretensado está disponible para ontribuir a la resistenia al orte. Es neesario utilizar un alor reduido de la fuerza efetia de pretensado, suponiendo que la fuerza de pretensado aría linealmente entre ero en el extremo de los ables hasta un alor máximo que se ubia a una distania a partir del extremo de los ables igual a la longitud de transferenia, la ual se toma igual a 50 diámetros (50d b ) para los ordones 100 d b para los alambres indiiduales. El artíulo 11.4.4 se inlue para asegurar que el efeto de la tensión de pretensado reduida sobre la resistenia al orte se onsidere adeuadamente uando intenionalmente se impide la adherenia de algunos de los ables era de los extremos de un elemento pretensado, tal omo lo permite el artíulo 1.9.3. 5-9
11.5 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS El diseño de la armadura de orte de los elementos pretensados se realiza igual que para los elementos no pretensados, omo se disute en el Capítulo 1 de esta publiaión, exepto que V se alula de manera diferente (tal omo se disutió en párrafos preedentes) se establee un requisito adiional de armadura de orte mínima (11.5.5.4). El Capítulo 1 ontiene una disusión ompleta del diseño de la armadura de orte. 11.5.5.1 El Código permite una separaión ligeramente maor igual a (3/4)h (en lugar de d/) para los elementos pretensados, debido a que en estos elementos la inlinaión de las fisuras de orte es menor. Según lo permite el artíulo 11.5.5., se puede omitir la armadura de orte en ualquier elemento si se demuestra mediante ensaos físios que la resistenia requerida se puede desarrollar sin armadura de orte. El artíulo 11.5.5. alara las ondiiones neesarias para que un ensao se onsidere adeuado. Además, la disusión inluida en el omentario resalta la neesidad de oloar sufiientes estribos en los elementos postesados de alma delgada para mantener los ables dentro del perfil de diseño, para proeer armadura para las tensiones de traión prooadas en las almas por las desiaiones de los ables respeto de sus perfiles de diseño. 11.5.5.4 Armadura mínima para los elementos pretensados Para los elementos pretensados, la armadura mínima de orte se alula omo el menor alor obtenido de las Euaiones (11-13) (11-14). Sin embargo, en general on la Euaión (11-13) se obtendrá un mínimo más eleado que on la Euaión (11-14). Obserar que la Euaión (11-14) no se puede utilizar para los elementos en los uales la fuerza efetia de pretensado es menor que el 40 por iento de la resistenia a traión de la armadura pretensada. REFERENCIA 5.1 "PCI Design Handbook Preast and Prestressed Conrete," MNL 10-9, 5º Ediión, Preast/Prestressed Conrete Institute, Chiago, 1999, p. 630. 5-10
Ejemplo 5.1 Diseño al orte (11.4.1) Dada la iga Te pretensada ilustrada, determinar los requisitos de orte usando V de auerdo on la Euaión (11-9). Hormigón prefabroado: f Hormigón de la apa de ompresión: = 5000 psi (hormigón de agregados liianos arena, f = 4000 psi (hormigón de peso normal, 3 = 10 lb / ft ) 3 = 150 lb / ft ) Aero de pretensado: Doe ordones de 1/ in. de diámetro, 70 ksi (depresión únia en el entro del tramo) Luz = 60 ft (tramo simple) Carga permanente Sobrearga = 70 lb / ft = 75 lb / ft (inlue la apa de ompresión) f se (después de todas las pérdidas) = 150 ksi Seión prefabriada: A = 570 in. I = 68.917 in. b t 4 = 6,01in. = 9,99 in.,5" 8-0" d = 33" en el entro 1,5" 3" 36" Seión ompuesta: = 9,7 in. b 8" Parte superior de la iga prefabriada d = 4" d = 6,40" d = 7,60".g de todos los ables d = 33" 8 4 30 Centro del tramo Perfil de los ables en la iga prefabriada Cálulos disusión Referenia del Código 1. Determinar el esfuerzo de orte maorado V u en diferentes ubiaiones a lo largo del tramo. Los resultado se presentan en la Figura 7-.. Determinar la resistenia al orte proporionada por el hormigón, V, usando la Euaión (11.9). La fuerza de pretensado efetia f se es maor que 40 por iento de f pu (150 ksi > 0,40 70 = 108 ksi). Obserar que el alor de d debe ser maor o igual que 0,8h para el álulo de la resistenia al orte. El álulo típio usando la Euaión (11-9) para una seión ubiada a 8 pies del apoo se realiza de la siguiente manera, suponiendo que el orte es resistido exlusiamente por el alma de la seión prefabriada: 11.4.1 11.0 u ( ) ( ) = 1, 0,75 + 1,6 0,70 =,0 kips / ft 5-11
60 Vu = 8,0 = 44,5 kips Mu = 30, 0 8, 0 8 4 = 41 ft-kips Para la seión no ompuesta, a una distania de 8 pies del apoo, determinar la distania d al barientro de los ables. d = 6,40 in. (er el perfil de los ables) Para la seión ompuesta, d = 6,4 +,5 = 8,9 in. < 0,8h = 30,8 in. usar d = 30,8 in. 70 60 Artíulo 11.4.3 - Ver Fig. 5-7 ( ) φ = * φ V 0,85 5 f b d = 55,5k 50 Esfuerzo de orte V kips 40 30 0 10 44,5 39,6 36,4 ( ) φ = * φ V 0,85 f b d =,k φv (E. 11-9) 6,9 ( ) V φ V = 9,5 kips u 0 * fator por Hº liiano 0 6 1 18 Distania desde el apoo, ft 4 30 Figura 5-6 Variaión del esfuerzo de orte a lo largo del elemento Vd u V = 0,6 f + 700 bd Mu E. (11-9) pero no menor que f bd 11.4.1 ni maor que 5 f bd 11.4.1 Debido a que la seión prefabriada es de hormigón de agregados liianos arena, todos los términos que 11..1. ontienen el fator f se deben reduir apliando el fator 0,85. 5-1
Nota: En el término Vd/M u u se debe utilizar la altura efetia total, d = 8,9 in., no el alor 0,8h utilizado en otros álulos. ( ( )) V = 0, 6 0,85 5000 + 700 44, 5 8, 90 / 41 1 8 30,8 11.4.1 = ( 36 + 178) 8 30,8 = 5,8 kips (alor determinante) 0,85 5000 8 30,8 = 9, 6 kips 5 0,85 5000 8 30,8 = 74, 0 kips φ V = 0, 75 5,8 = 39, 6 (er Figura 5-6) 11..1. Nota: Para los elementos simplemente apoados soliitados por argas uniformes, en la Euaión (11-9) el alor de Vd/M u u se onierte simplemente en una funión de d/l, siendo l la longitud del tramo, ( x) x( x) V = 0,6 f + 700d bd E. (11-9) donde x es la distania desde el apoo hasta la seión inestigada. A una distania de 8 pies del apoo: ( 60 16) ( ) V = 0, 6 0,85 5000 + 700 8, 90 8 30,8 = 5,8 kips 860 81 3. En la región de los extremos de los elementos pretensados la resistenia al orte proporionada por el hormigón, V, se puede limitar de auerdo on los requisitos del artíulo 11.4.3. Para este diseño no se aplia el artíulo 11.4.3 a que la seión rítia ubiada a h/ está a una distania maor que la longitud de transferenia (er Figura 5-7). Sin embargo, a ontinuaión se ilustran los álulos típios para satisfaer 11.4.3. Calular V en la ara del apoo, a 10 in. del extremo del elemento. Longitud de transferenia para los ordones de 1/ in. de diámetro = 50 (0,5) = 5 in. 11.4.3 Fuerza de pretensado a 10 in.: ( ) P = 10 / 5 150 0,153 1 = 110, kips Componente ertial de la fuerza de pretensado a 10 in.: se pendiente ( d d ) ( 33 4) entro extremo = = 30 1 = 0,05 p ( )( ) V P pendiente = 110, 0,05 =,8 kips Para la seión ompuesta, d = 8,90 in.; usar 0,8h = 30,8 in. 11.4..3 M d (peso propio no maorado de la unidad prefabriada + apa de ompresión) = 14,4 in.-kips Distania desde el barientro de la seión ompuesta hasta el barientro de la unidad prefabriada, 5-13
= = 9, 7 6,01 = 3,6 in. b b Exentriidad de los ables, e = dextremo + 10 in. pendiente t = 4 + 10 0, 05 9, 99 = 14, 6 in. debajo del barientro de la seión prefabriada P = Pe + M f p (er definiión en la simbología) ( ) d Ag Ig Ig 110, 3,6 3, 6 = 110,( 14,6) + 14,4 = 19 psi 570 68.917 68.917 donde A g e g I orresponden a la seión prefabriada solamente. ( ) V = 3,5 f + 0,3f b d+ V E. (11-1) p p = ( 3, 5 0,85 5000 + 0, 3 19) 8 30,8 + 800 = 63, 4 kips φ V = 0,75 63,4= 47,6 kips En la Figura 5-7 se grafian los resultados de este análisis. Apoo Longitud de transferenia = 50d b h/ 70 ( ) φ V * = 0,85 φ 5 f b d = 55,5k Esfuerzo de orte V kips 60 50 47,6 φ V u (11.1.3.) = 55,7k V u 40 φv E. (11-1) 0 0 * fator por Hº liiano 4 8 1 16 0 4 8 Distania desde el extremo del elemento, in. 3 Figura 5-7 Variaión del esfuerzo de orte en el extremo del elemento 4. Comparar el esfuerzo de orte maorado, V u, on la resistenia al orte proporionada por el hormigón, φv. Si V u > φv es neesario oloar armadura de orte para tomar el exeso. También se deben erifiar los requisitos de armadura mínima. 5-14
La armadura de orte requerida a 1 ft del apoo se alula de la siguiente manera: d = 30,10 in. (para en el término Vud/M u) Mu = 30,4 1,4 1 6 = 645 ft-kips 60 Vu 1, 0 = 36, 4 kips ( ( )) V = 0,6 0,85 5000 + 700 40,3 30,10 / 645 1 8 30,8 = 35,9 kips φ V = 0,75 35,9= 6,9 kips A ( φ ) ( ) Vu V s 36,4 6,9 1 = = = 0,08 in. /ft φ f d 0, 75 60 30,8 Verifiar la armadura mínima requerida por los artíulos 11.5.5.3 11.5.5.4. bs 8 1 A( min) = 0, 75 f = 0, 75 5000 = 0, 085 in. / ft f 60.000 E. (11-13) bs pero no menor que 50 (no es determinante para f > 4444 psi ) f A ( min) Aps fpu s d = E. (11-14) 80 f d b 1,84 70 1 30,8 = = 0,079 in. / ft 80 60 30,8 8 Se puede usar el menor de los alores de A ( min ) obtenidos de las Euaiones (11-13) (11-14) A requerida es ligeramente maor que A mínima Máxima separaión de los estribos = 3/4d = (3/4) 30,8 = 3,1 in. Usar estribos No. 3 on una separaión de 18 in. en toda la longitud del elemento ( A = 0,147 in. / ft) 5-15
Ejemplo 5. Diseño al orte usando la Figura 5-4 Determinar la armadura de orte para la iga del ejemplo 4.9. 1" f = 6000 psi altura dp = 6in. tensión efetia de pretensado fse = 150 ksi tensión de desompresión fd = 16 ksi luz = 40 ft 3" 6" k/ft Momentos en el entro de la luz in.-k Peso propio 0,413 99 Carga permanente adiional 1,000 400 Sobrearga 1,50 3000 Sumatoria,663 639 1 ordones de 1/" Cálulos disusión Referenia del Código 1. Calular el esfuerzo de orte maorado en el apoo. 40 Vu = 1,D + 1,6L = 1, ( 0,413+ 1000) + 1,6( 1,50) = 73,9 kips. Antes de utilizar la Figura 5-4: Nota: La Figura 5-4 orresponde a f = 5000 psi. Usarla para f = 6000 psi será onserador en aproximadamente diez por iento. d / = 6 / 480 = 1/18,5 Usar la ura para /d= 1/0 Vu 73,9 = = 0,316ksi= 316psi φ b d 0,75 1 6 3. Trazar la reta orrespondiente a la resistenia al orte nominal requerida en la Figura 5-4, hallar V s requerida. 5-16
500 f = 5000 psi 400 V =5 fbd V b d psi 316 300 00 100 1 5 1 30 30 psi d 1 = 15 1 0 V = fbd 0 0 8 4 3 8 Distania desde un apoo simple El área sombreada orresponde al área donde se requiere armadura de orte. La máxima tensión de orte nominal a ser resistida por la armadura de orte es 9 psi. Vs = 0, 03 ksi b d = 0, 030 1 6 = 9, 4 kips Vs s 9,4 1 A = = = 0,07in. /ft f d 60 6 E. (11-15) 4. Verifiar la armadura mínima. A bs = 0,75 f, pero no menor que E. (11-13) f bs 50 f 0,75 6000 = 58,1 es el alor determinante A = 58,1 1 1 / 60.000 = 0,14 in. / ft A = Apsfpus d 80f d b E. (11-14) A 1,836 70 1 6 = = 0,07 in. /ft 80 60 6 1 5-17
Se puede usar el menor de los alores de menor que el alor de A requerida. 5. Seleionar los estribos. A obtenidos mediante las Euaiones (11-13) (11-14), pero no A = 0,07 in. /ft smáxima= ( 3/4) d 4in. 11.5.4.1 s = ( 3/4)( 6) = 19,5 in. Usar estribos dobles No. 3 ada 18 in. A = 0, /1, 5 = 0,15 in. / ft VERIFICA Esto se requiere donde V u es maor que φ V/. 11.5.5.1 La maoría de los diseñadores oloarían esta armadura en toda la longitud del elemento. 5-18
Ejemplo 5.3 Diseño al orte apliando el artíulo 11.4. Dada la iga simple on retallo horizontal pretensada ilustrada, determinar los requisitos de orte usando V según las Euaiones (11-10) (11-1). 4" 1" 6" 6" A = 576 in. d 4 = 5,486 kips / ft I = 63.936 in. = 5,00kips/ft h = 36 in. b f = 15 in. = 6 ksi = 4 ft 16 ordones de 1/ in. de Grado 70 ksi, P = 396,6 kips e (extremo) = e (entro de la luz) = 10 in. extr.l. 1" Cálulos disusión Referenia del Código Para failitar los álulos es neesario sistematizar el proedimiento. 1. Determinar los momentos en el entro de la luz los esfuerzos de orte en los extremos. d d M = / 8 = 5, 486 4 / 8 = 395 ft-kips = 4740 in.-kips M = / 8 = 5,00 4 / 8 = 360 ft-kips = 430 in.-kips M = 1, M + 1, 6M = 1, 4740 + 1, 6 430 = 1.600 in.-kips E. (9-) u d Mmax = Mu Md = 1.600 4740 = 7860 in-kips 11.0 V = / = 5486 4 / = 65,8 kips d d V /= 5 4/= 60,0 kips V = 1,V + 1,6V = 1, 65,8 + 1,6 60 = 175,0 kips E. (9-) u d Vi = Vu Vd = 175 65,8 = 109, kips 11.0. Definir los fatores para onertir los momentos en el entro de la luz los ortes en los extremos en momentos ortes a una distania x/l del apoo, para x/l = 0,3. Fator para ( ) ( ) V = 1 x/ = 1 0,3 = 0,4 5-19
Fator para ( ) ( ) ( ) M= 4 x/ x/ = 4 0,3 0,3 = 0,84 3. Calular V 3, el terer término de la Euaión (11-10). P / A = 396,6 / 576 = 0,689 Pe / Sb = 396,6 10 / 46 = 0,930 M d /Sb = 0,84M d(l) /Sb = 0,934 + 6 f = 6 6000 = 465 = 0,465 1,150 ksi r b ( ) M = S 1150 ksi = 4900 in.-kips E. (11-11) V = 0,4V = 0,4 109,= 43,7 kips i i(extr.) M = 0,84M = 0,84 7860 = 660 in.-kips max max(.l.) VM i r 43, 7 4900 V3 = = = 3,4 kips E. (11-10) M 660 max 4. Calular los términos restantes, V 1 V, de la Euaión (11-10), E. (11-10) resoler para V i d = 31, pero no menor que 0,8d = 8,8. Usar d = 31 11-0 V1 = 0, 6 bd f = 0, 6 1 31 6000 = 17, 3k d d ( ) V = V = 0, 4 V extr. = 0, 4 65,8 = 6, 3 kips Vi = V1 + V + V3 = 17,3 + 6,3 + 3, 4 = 76,0 kips E. (11-10) 5. Calular V u, determinar el u u ( ) V s a ser resistido por estribos. V = 0,4V extremo = 0,4 175,0 = 70 kips φ para orte = 0,75 9.3..3 Vs = Vn V = V u / φ V = 70 / 0,75 76 = 17,3 kips E. (11-) 6. Determinar los estribos requeridos. A Vs s 17, 3 1 = = = 0,11in. /ft f d 60 31 Requisitos mínimos. 5-0
A = 0,75 f b s / f uando f > 4444 psi E. (11-13) = 0, 75 6000 1 1 / 60.000 = 0,14 in. A A f s d, 448 70 1 31 = = = 0,086 in. 80f d b 80 60 31 1 ps pu E. (11-13) El mínimo sólo debe ser el menor de los alores requeridos por las Euaiones (11-13) o (11-14). 11.5.5.4 De manera que la A requerida de Separaión máxima = ( 3/ 4) d = ( 3/ 4) 31 = 3, 5 in. 0,09 in. / ft es el alor determinante. Adoptamos barras dobles No. 3 on una separaión de 18 in., A = 0,11/1,5 = 0,15 in. / ft 7. Calular la armadura de orte requerida en el apoo. Debido a que la iga entallada está argada en las entalladuras, no "era de la parte superior," el orte se debe erifiar en el apoo no a una distania h/ del apoo (para los elementos pretensados). 11.1.3 Por motios de simpliidad suponemos que en el apoo la fuerza de pretensado P es nula. ( ) V = 3,5 f + 0,3f b d+ V E. (11-1) p p = ( 3, 5 6000 ) 1 31 = 100, 9 kips Vs = Vn V = V u / φ V = 175 / 0,75 100,9 E. (11-1) Vs = 13,4k A Vs s 13,4 1 = = = 0,85 in. fd 60 31 E. (11-14) Adoptamos barras dobles No. 4 on una separaión de 4 in., A = 0,40 / 0,33 = 1,0 in. / ft era del extremo. Con referenia al Paso 6, esto está por enima de los requisitos mínimos. 8. Repetir el proeso desripto para diferentes seiones a lo largo del tramo del orte. Los resultados se ilustran a ontinuaión. 5-1
300 V /φ u 00 V Corte, kips V i 100 Long. de transferenia f b d 0 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 x / Nota: Se utilizó el V mínimo de f b d permitido por el artíulo 11.4.1. 9. Notas: 1. Se puede preparar una planilla de álulo en la ual ada olumna ontenga datos para diferentes alores de x/l los fatores para orte momento del Paso.. Para los elementos on ables de perfil uro, en el Paso es neesario apliar fatores adiionales para tomar en uenta la ariaión de la exentriidad, profundidad pendiente de los tendones (para el álulo de V p ). 3. Para los elementos ompuestos, es neesario separar las partes de la arga permanente apliadas antes después de llegar al omportamiento ompuesto La arga permanente apliada después que la iga se uele ompuesta no se debe inluir en los términos V d M d. Ver el artíulo R11.4.. 5 -