Lección 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Consideremos el sistema A + S X + S k 1 k 2 Inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A d[a] dt = k 1 [A][S] [A] 0 = 1 d[y ] dt = k 2 [X ][S] [S] 0 = 2 d[x ] dt = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] [X ] 0 = 0 d[s] dt = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] [Y ] 0 = 0 Sistema no lineal de 4 ecuaciones de primer orden con 4 incógnitas ([A], [S], [X ], [Y ]) y 4 condiciones iniciales Orden: orden de la derivada de mayor orden Dimensión: Número de ecuaciones e incógnitas X Y 2
Sistemas de Primer Orden Forma general de un sistema de primer orden y dimensión 2: t: variable independiente x = f (t, x, y) x, y: variables dependientes o y = g(t, x, y) funciones incógnita Definición Una solución del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen x (t) = f (t, x(t), y(t)) y (t) = g(t, x(t), y(t)) idénticamente para todo t (a, b) Ejemplo Probar que las funciones x(t) = e t, y(t) = e t son soluciones del sistema x = x 2 y y = xy 2 en toda la recta real 3 Sistemas de Primer Orden Notación Vectorial Consideremos x 1 = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2 ) Si Y si entonces x(t) = x1 (t) x 2 (t) f(t, x) = x 1 = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2 ) x 1 = tx 2 1 x 1 2 t 2 x 1 x 2 = x 2t 1 4tx 2 entonces x (t) = f1 (t, x 1, x 2 ) f 2 (t, x 1, x 2 ) x 2 x 1 (t) x 2 (t) x = f(t, x) x 1 = ( tx 2 1 x2 1 t 2 ) x 1 x1 2t 4tx 2 4
Sistemas de Primer Orden de dimensión n En general, para un sistema de dimensión n: x 1 = f 1(t, x 1, x 2,, x n ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2,, x n ) x n = f n (t, x 1, x 2,, x n ) podemos ahorrar mucho espacio y tiempo si usamos notación vectorial: Poniendo x 1 f 1 (t, x) x 2 f 2 (t, x) x = y f(t, x) =, f n (t, x) x n el sistema se puede escribirse como x = f(t, x) 5 Sistemas de ecuaciones lineales de orden n Sistemas Lineales: x 1 = 3x 1 5x 2 x 2 = 2x 1 x 1 = a 11(t)x 1 + a 12 (t)x 2 + a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21(t)x 1 + a 22 (t)x 2 + a 2n (t)x n + b 2 (t) x n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x 2 + a nn (t)x n + b n (t) x = 2ty y = 3e t x + 4 cos t (1) u 1 = cos(t)u 1 5 t u 2 u 2 = u 1 sen(t)u 2 + t Sistemas No Lineales: x = 3xy 5y y = 2x x 1 = 2x 2 x 2 = 3x 2 1 + 4 u 1 = cos(tu 1 ) u 2 = u 1 sin(t) Sistema homogéneo: b 1 (t) = b 2 (t) = = b n (t) = 0 Si no, Sistema No homogéneo 6
Sistemas Lineales Notación Matricial Si x 1 (t) a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) x 2 (t) x(t) = A(t) = a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t) b(t) = x n (t) a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) entonces En este caso: (1) x (t) = A(t)x(t) + b(t) x 1 = x 1 + 2x 2 + cos t x 2 = 2x 1 + x 2 + t 2 x = b(t) = A(t) = cos t t 2 1 2 2 1 1 2 x + 2 1 matriz del sistema cos t t 2 vector de términos independientes b 1 (t) b 2 (t) b n (t) 7 Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones Teorema Si todas las componentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuas en un intervalo (a, b), entonces para cada t 0 (a, b) y para cada vector x 0 R n el sistema con la condición inicial x (t) = A(t)x(t) + b(t) x(t 0 ) = x 0 tiene una única solución definida en el intervalo (a, b) 8
Propiedades de los sistemas lineales homogéneos Teorema El conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo de dimensión n: x = A(t)x, es un espacio vectorial de dimensión n Significado de la terminología: Espacio vectorial: Si x(t), y(t) son soluciones entonces ax(t) + by(t) también es solución, a, b R La dimensión del espacio vectorial es n: Existen n soluciones x 1 (t), x 2 (t),, x n (t), linealmente independientes, tales que cualquier otra solución x(t) se puede escribir como una combinación lineal de ellas: x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) + + a n x n (t) Consecuencia: Para hallar la solución general de x = A(t)x basta encontrar n soluciones linealmente independientes 9 Soluciones linealmente independientes Cómo calcular soluciones del sistema x = A(t)x? Sólo métodos generales para sistemas de coeficientes constantes Cómo saber si n soluciones son linealmente independientes? Si x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones del sistema x = A(t)x: 1 Formamos la matriz X (t) = ( x 1 (t) x 2 (t) x n (t) ) 2 Como x i (t) = A(t)x i(t), se cumple X (t) = A(t)X (t) 3 Calculamos det X (t) = det ( x 1 (t) x 2 (t) x n (t) ) 4 Si det X (t 0 ) 0 para algún t 0 (a, b), las soluciones x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones linealmente independientes Si x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones linealmente independientes entonces se dice que forman un sistema fundamental de soluciones, X (t) es una Matriz Fundamental de soluciones y x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) + + c n x n (t) = X (t)c es la solución general del sistema 10
Valores y vectores propios Definición Definición Dada una matriz A R n n se dice que el número complejo λ C es un valor propio de A si existe un vector v 0 tal que Av = λv A este vector, v, se le llama vector propio de A asociado al valor propio λ Ejemplo Compruébese que v = 1 1 es un vector propio de la matriz 1 A = 0 1 3 2 3 3 2 1 1 11 Cálculo de valores y vectores propios Av = λv (λv Av) = 0 (λi n A)v = 0 (λ a 11 ) v 1 a 12 v 2 a 1n v n = 0 a 21 v 1 + (λ a 22 ) v 2 a 2n v n = 0 a n1 v 1 a n2 v 2 + (λ a mn ) v n = 0 Teorema λ valor propio de A si y sólo si det(λi n A) = 0 Y v es vector propio de A asociado a λ si es solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales (λi n A)v = 0 det(λi n A) polinomio de grado n: polinomio característico de A Valores propios de A = sus raíces 12
Método para calcular valores y vectores propios 1 Se calcula det(λi n A) 2 Se calculan las raíces del polinomio caracerístico (Factoris en WIMS) 3 Debe haber n raíces contando repeticiones Puede haber raíces complejas: Ejemplo: ( ) 0 1 det λi 2 = λ 2 + 1 = (λ + i)(λ i) 1 0 Multiplicidad Algebraica multiplicidad algebraica de un valor propio= número de veces que aparece como raíz del polinomio característico 4 Para cada valor propio λ 0, se resuelve el sistema lineal homogéneo (λ 0 I n A)v = 0 13 Vectorers propios linealmente independientes Las soluciones del sistema (λ 0 I n A)v = 0 forman un espacio vectorial de dimensión n rang(λ 0 I n A): El número de vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio λ 0 es n rang(λ 0 I n A) Multiplicidad Geométrica multiplicidad geométrica de λ 0 = n rang(λ 0 I n A) 1 Se calcula rang(λ 0 I n A) buscando una submatriz cuadrada de máximo tamaño con determinante distinto de cero Supongamos rang(λ 0 I n A) = r (dimensión del espacio de soluciones = multiplicidad geométrica= n r) 2 Utilizando la submatriz encontrada, se despejan las correspondientes r incógnitas en función de las restantes n r 3 Se resuelve el correspondiente sistema compatible determinado r r obteniendo la solución general del sistema que dependerá de n r incógnitas 4 Se dan valores apropiados a las n r incógnitas para obtener n r vectores linealmente independientes 14
Cómo usar WIMS para hallar los valores propios 1 Abrimos un editor de texto y escribimos la matriz ĺınea a ĺınea 2 Abrimos Matrix Calculator 3 Copiamos la matriz del editor al recuadro 4 Elegimos characteristic polynomial y Show 5 Copiamos el resultado en el editor de texto y seleccionamos WIMS Home 6 Seleccionamos Factoris y copiamos el polinomio en el recuadro 7 Pinchamos en el Menu of Options y pinchamos en C Y luego en factor 8 Obtenemos las raíces del polinomio característico; ie los valores propios Sean éstos λ 1,, λ s 15 Cómo usar WIMS para hallar los vectores propios 1 En el editor de texto escribimos las matrices λ i I n A, i = 1,, s 2 Seleccionamos WIMS Home y a continuación Matrix calculator 3 Copiamos la matriz λ 1 I n A en el recuadro 4 Seleccionamos rank, determiant and trace y luego Show Así obtenemos rang(λ 1 I n A) Digamos que es r 5 Seleccionamos WIMS Home y a continuación Solucionador de sistemas lineales 6 Seleccionamos método matricial y copiamos la matriz λ 1 I n A en el recuadro de la A En el de B ponemos tantos ceros, cada uno debajo del otro, como el orden del sistema 7 Pinchamos en Resolver el sistema y obtenemos la solución en función de n r parámetros 8 Damos valores a los n r parámetros para obtener soluciones linealmente independientes 9 Repetimos los pasos 2 a 8 con los demás valores propios 16