Clase 2. Herramientas de representación tiempo frecuencia IIE. May 2, 2017

Clase 2 Herramientas de representación tiempo frecuencia IIE 1 Facultad de Ingeniería Universidad de la República May 2, 2017 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 1 / 26

Contenido 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 2 / 26

Contenido Motivación 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 3 / 26

La Señal Compleja Motivación La naturaleza de las señales es real, pero es ventajoso definir una señal compleja z(t) como herramienta para estudiar s(t) z(t) = s r (t) + js i (t) = A(t)e jϕ(t) donde s r corresponde a la señal real y s i se elige a los efectos del análisis. La amplitud y fase se definen como A(t) = s 2 r + s 2 i ; ϕ(t) = arctan s i /s r obteniendo ω i (t) = ϕ (t) = (s is r s rs i )/A 2 Cómo se define la parte imaginaria s i (t)? IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 4 / 26

Una Exponencial Compleja Motivación IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 5 / 26

Motivación Qué son las frecuencias positivas y negativas? Im e jw 0t Re e -jw 0t Im Re IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 6 / 26

Motivación Motivos para definir la Señal Compleja En una señal real, debido a la simetría de S(ω) 2, la frecuencia promedio será siempre cero. Y el cálculo del Ancho de Banda será en realidad la frecuencia promedio. Podemos resolver este problema con la frecuencia promedio definida como ω = ω S(ω) 2 dω = z (t) 1 d z(t)dt, [ z(t) =? ] j dt 0 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 7 / 26

Contenido La Señal Analítica 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 8 / 26

La Señal analítica La Señal Analítica Introducida por Gabor en 1947, la señal analítica z(t) = A[s(t)] se define como z(t) = 2 1 S(ω)e jωt dt 2π 0 Simplificando z(t) = s(t) + jŝ(t) donde ŝ(t) es la transformada Hilbert de la señal s(t) H[s(t)] = ŝ(t) = 1 s(τ) π t τ dτ La energía de la señal analítica es igual a E/2. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 9 / 26

Cálculo de la señal analítica La Señal Analítica Algunas operaciones y la relación con la señal analítica: La señal analítica de una señal analítica La señal analítica de la derivada Convolución Modulación de la señal Señal analítica de la suma de dos señales Teorema de factorización Producto de dos señales analíticas Señales reales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 10 / 26

Cálculo de la señal analítica La Señal Analítica La señal analítica de una señal analítica A[z(t)] = 2z(t), si z(t) es anallítica La señal analítica de la derivada [ d n ] s A dt n = dn dt n A[s] IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 11 / 26

Cálculo de la señal analítica La Señal Analítica Convolución entonces z(t) = 2 1 F (w)s(w)e jwt dw 2π 0 A[s(t )]f(t t )dt, es analítica para sy farbitrarios Modulación de la señal s new (t) = s(t)e jw 0t S new (w) = S(w w 0 ) s(t)e jw 0t es analítica si el espectro de s(t) es cero para w w 0 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 12 / 26

Cálculo de la señal analítica La Señal Analítica Señal analítica de la suma de dos señales s = s 1 + s 2 es analítica si S 1 (w) = S 2 (w) para w 0. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 13 / 26

La Señal Analítica Cálculo de la señal analítica - Factorización Teorema de factorización A[s 1 s 2 ] = s 1 A[s 2 ] si el espectro de s 1 es nulo para frecuencias menores a w 1 y s 2 es cualquier señal que su función analítica que es cero debajo de w 1 Producto de dos señales analíticas A[s 1 s 2 ] = s 1 A[s 2 ] = 2s 1 s 2 si s 1 y s 2 son analíticas Señales reales A[s 1 s 2 ] = s 1 A[s 2 ] si s 1 = 0 para w w 1 y s 2 = 0 para w w 1 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 14 / 26

La aproximación en cuadratura La Señal Analítica Parece natural que si la señal real es s(t) = A(t) cos φ(t), la señal compleja se s q (t) = A(t)e jφ(t) A s q (t) se le llama el modelo de señal en cuadratura. No es evidente cómo hallar A(t) y φ(t) a partir de una señal dada. En ocasiones se cuenta con amplitud y fase y es directa esta construcción, cuando no nos importe que sea analítica. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 15 / 26

La Señal Analítica Elección del modelo, criterio de la energía Es bueno el modelo el modelo de cuadratura para s(t) = A(t) cos φ(t)? s q (t) = A(t)e jφ(t) 2 s a (t) = 2π 0 S(ω)e jωt dω Un criterio para evaluarlo la energía de la diferencia, relacionado con cuánta energía hay del modelo en cuadratura en las frecuencias negativas. E = s a s q 2 dt = 0 E = 2 0 S q (ω) 2 dω + S q (ω) 2 dω Otro criterio más estricto punto a punto : s a (t) s q (t) que es fácil probar que está acotado por 0 S q ( ω) 2 dω 2 0 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 16 / 26

Contenido 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 17 / 26

La señal analítica es compleja y puede ser escrita en cuadratura z(t) = A(t)e jϕ(t) Si la contribución AM es mucho menor a la contribución FM, la frecuencia instantánea (IF) se puede considerar como ω i (t) = ϕ (t). Es ésta una buena idea? s(t) = A 1 e jω 1t + A 2 e jω 2t = A(t)e jϕ(t) w i (t) = ϕ (t) = 1 2 (ω 2 + ω 1 ) + 1 2 (ω 2 ω 1 ) A2 2 A2 1 A 2 (t) Para (ω 1, A 1, ω 2, A 2 ) = (10, 0.2, 20, 1), entonces ocasionalmente ω i (t) > 20. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 18 / 26

Densidad de la La densidad de la frecuencia instantánea, P (ω i ), está dada por P (ω i ) = δ ( ω i ϕ (t) ) s(t) 2 dt El ensanche de la frecuencia instantánea (ϕ σif 2 = (t) ω ) 2 s(t) 2 dt Relativo al ancho de banda B B 2 = σif 2 + A (t) 2 dt IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 19 / 26

Contenido Principio de incertidumbre Introducción 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 20 / 26

Principio de incertidumbre Principio de Incertidumbre Introducción El teorema del producto tiempo-frecuencia o principio de incertidumbre es una propiedad propia de pares de Fourier. Fue derivada por vez primera por W. Heisenberg en 1927 en el área de mecánica cuántica, y extendido a pares relacionados por Fourier por C.G. Darwin en 1930. Establece que las densidades de tiempo y frecuencia no pueden ser arbitrariamente angostas simultáneamente. El teorema del producto tiempo ancho de banda establece restricciones morfológicas intrínsecas al espacio tiempo frecuencia. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 21 / 26

Contenido Principio de incertidumbre El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales 1 Motivación La Señal Analítica 2 Principio de incertidumbre Introducción El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 22 / 26

Principio de incertidumbre El Principio de Incertidumbre El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales Repetimos las definiciones de la duración T y ancho de banda B (t T 2 = σt 2 ) 2 = t s(t) 2 dt (ω B 2 = σω 2 ) 2 = ω S(ω) 2 dω El principio de incertidumbre es T B 1 2 Una versión más fuerte del principio de incertidumbre es σ t σ ω 1 2 1 + 4Cov 2 tω IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 23 / 26

Prueba Principio de incertidumbre El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales Por simplicidad asumiremos que la señal tiene tiempo medio nulo y frecuencia, o podemos considerar la nueva señal obtenida s new (t) = e j ω (t+ t ) s old (t + t ) Como σω 2 = s (t) 2 dt, el producto duración ancho de banda es σt 2 σω 2 = ts(t) 2 dt s (t) 2 dt Schwarz ts (t)s (t)dt 2 El integrando, escrito en términos de amplitud y fase es ts (t)s (t) = ta A + jtϕ A 2 = 1 d 2 dt ta2 1 2 A2 + jtϕ A 2. Entonces σt 2 σω 2 ts (t)s (t)dt 2 = 1 2 + jcov tω = 1 4 + Cov2 tω IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 24 / 26

Principio de incertidumbre Alcanzando la Igualdad El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales ts(t) 2 dt s (t) 2 dt? = ts (t)s (t)dt 2 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 25 / 26

Principio de incertidumbre Alcanzando la Igualdad El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales ts(t) 2 dt s (t) 2 dt? = ts (t)s (t)dt 2 La igualdad se alcanza si s (t) ts(t) IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 25 / 26

Principio de incertidumbre Alcanzando la Igualdad El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales ts(t) 2 dt s (t) 2 dt? = ts (t)s (t)dt 2 La igualdad se alcanza si s (t) ts(t) = s(t) = e αt2 IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 25 / 26

Principio de incertidumbre Alcanzando la Igualdad El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales ts(t) 2 dt s (t) 2 dt? = ts (t)s (t)dt 2 La igualdad se alcanza si s (t) ts(t) = s(t) = e αt2 Extendiendo este resultado a cualquier tiempo y frecuencia promedio... s(t) = e α(t t )2 e j ω t 0 t IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 25 / 26

Conclusiones Principio de incertidumbre El Principio de Incertidumbre en el Análisis de Señales La duración y ancho de banda de una señal no pueden ser arbitrariamente pequeñas T B 1 2. La igualdad T B = 1 2 es especialmente interesante porque indica señales con la concentración más compacta de densidad de energía tiempo frecuencia. Los wavelets gaussianos cumplen esta igualdad. Adicionalmente, la igualdad en la versión fuerte del principio de incertidumbre se cumple para chirplets Gaussianos. IIE (Facultad de Ingeniería) Herramientas de representación tiempo frecuenciamay 2, 2017 26 / 26