CAPITULO II CALCULO II 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR Una función vectorial (o a valores vectoriales) de una variable real (escalar), es una función del en la cual, a cada número real t de algún subconjunto I de R (el dominio de la función) le asigna un (y solamente un) valor de. en el espacio Puesto que es un punto del espacio éste tiene n coordenadas, las cuales son, en general funciones de la variable t. Así podemos escribir: donde : son funciones de la variable real t, llamadas funciones coordenadas de la función f. Como siempre, cuando solamente se proporciona la regla de correspondencia (como suele ocurrir) y no se hace explícito el dominio I de la función, se entiende que éste es el mayor subconjunto de la recta para la cual tiene sentido para toda i = 1,2,..., n, es decir el mayor subconjunto I de R para el cual la función f(t) tiene sentido. Esquemáticamente se tiene, Las funciones que nos interesan estudiar son las que son continuas en su dominio I. Para establecer el concepto de continuidad antes tendremos que referirnos al concepto de límite. 15
2.2 LIMITES DEFINICIÓN: Sea : una función definida en el intervalo abierto I de R y sea un punto de I o un punto de su frontera. Se dice que el límite de la función f cuando t tiende a es, lo cual se escribe como Si dado cualquier e > 0 existe un δ >0 tal que si y donde. es la norma euclideana de vectores en. El siguiente teorema nos dice que el estudio de los límites de las funciones : está íntimamente relacionado con el estudio de los límites de las funciones coordenadas de Teorema: Sea una función vectorial, entonces sí y sólo si donde. Ejemplo 1: Sea la función dada por. Puesto que. Las funciones coordenadas de f(t) son y, se tiene que, según el teorema anterior: Por ejemplo, si t =1, se tiene que 16
Una situación análoga ocurrirá con la continuidad de la función f(t); se verá que ésta es continua sí y sólo si sus funciones coordenadas lo son. DEFINICIÓN: Sea : una función definida en el subconjunto abierto I de R y sea, se dice que f(t) es continua en si:. Teorema: Sea funciones coordenadas una función definida en el intervalo abierto I de R de la forma y sea, la función f(t) es continua en sí y sólo si sus lo son. Ejemplo 2: La función dada por es continua, pues sus funciones coordenadas son polinomios y, por tanto, continuas. Ejemplos 3: La función dada por es discontinua en t =0 pues 17
2.3 DIFRENCIABILIDAD DE CURVAS REGULARES Sea : un camino definido en el intervalo abierto I de R y sea, se define la derivada de en, denotada por, como el límite cuando éste existe. En tal caso se dice que el camino es diferenciable en. Si es diferenciable en todos los puntos de I, decimos que es diferenciable en I. La primera observación que debemos hacer, es que la derivada de un camino : en un punto es un vector en el espacio. De hecho, viendo la siguiente cadena de igualdades, en donde podemos concluir que el camino es diferenciable en sí y sólo si sus funciones coordenadas lo son, y en tal caso, la derivada es el vector de cuyas coordenadas son las derivadas. de las funciones coordenadas de DEFINICIÓN: Sea un camino diferenciable el vector se llama vector velocidad del camino en el punto. Un hecho geométrico relevante del vector de un camino diferenciable, es que éste es tangente a la curva correspondiente en el punto donde se calcula la derivada y que apunta en la dirección al recorrido de la curva. Veamos por ejemplo, el caso de un camino diferenciable en. En la siguiente figura están marcados los puntos de la curva correspondientes a. El vector. es aquel que va de P a Q. Para cualquier, el vector es un vector paralelo a. Siguiendo la posición 18
del vector para h cada vez más pequeño, resulta que, en la posición límite, cuando 0 h 0, el vector se vuelve tangente a la curva en P. Ejemplo 4: Sea el camino. Éste es un camino diferenciable, pues sus funciones coordenadas, lo son. La derivada de es: Ejemplo 5: Consideremos el camino dado por Ciertamente la función es diferenciable, y la función también lo es, pues para t<0 se tiene que es diferenciable, para t >0 se tiene que también es diferenciable y para t = 0 es. Así que. existe para todo. Además observe como, de modo que la curva descrita por este camino es la gráfica de la función Este ejemplo nos muestra que la diferenciabilidad de un camino nada tiene que ver con la forma geométrica de la curva que describe. El hecho de que en el origen esta curva tenga un pico, no afecta a la diferenciabilidad del recorrido. Los ejemplos anteriores nos muestran que la diferenciabilidad de un camino no detecta picos de la curva que representa. Por supuesto que este punto representa un problema geométrico al no poder asociar ahí, una recta tangente a la curva. La propiedad de las curvas referente a la posibilidad de trazar rectas tangentes a ellas se llama regularidad. Ésta es una propiedad que definiremos para caminos de Clase C 1 (son aquellos que además de ser diferenciables, tienen continua su función derivada). DEFINICIÓN: Sea : (el vector nulo de R n ) para toda 2.3.1 REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES un camino de clase C 1 se dice que éste es un camino regular si Para las funciones vectoriales diferenciables, valen reglas de derivación similares a las funciones 19
escalares a saber: 1. donde a y ß son constantes reales 2., donde. es una función escalar. 3. 4. 5. 6., luego derivando ambos miembros se tiene. O sea, si, es una función vectorial de módulo constante, su derivada es un vector perpendicular a él. 7. Si u es una función vectorial de t, y t es una función escalar de s la regla de la cadena se escribe : 20