EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 7-X-4 CURSO 4- Opción A.- a) [ punto] Si A y B son dos matrices cuadradas y del mismo orden, es cierta en general la relación (A+B) =A +AB+B? Justifica la respuesta. a b) [, puntos] Calcula, según los valores de a, el rango de la matriz M = 4 6 8 6 9 a.- a) [, puntos] El determinante 4 a vale cero para a =. 8 a Comprueba esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques. b) [ punto] Determina todos los valores de "a" para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Justifica la respuesta..- Considera el sistema de ecuaciones: x -y- z = 4, x +y-z = -, x - z =. a) [, puntos] Existe una solución del mismo en la que y =? b) [, puntos] Resuelve el sistema homogéneo asociado al sistema dado. 4.- Una tienda vende una clase de calcetines a ptas. el par. Al llegar las rebajas, durante el primer mes realiza un % de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes un 4% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 6 pares de calcetines por 976 y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 4 %? Opción B cos(x) sen(x).- Dado x, considera la matriz A = - sen(x) cos(x) a) [ punto] Calcula A A t, donde A t denota la matriz traspuesta de A. b) [, puntos] Prueba que A tiene inversa y hállala. a b c.- Considera la matriz A = a b c donde a, b y c son no nulos. a 4c a) [ punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [, puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa..- Considera el sistema de ecuaciones α - x - α y =, - 6 z a) [ punto] Para qué valores de no tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema anterior? b) [, puntos] Discute sus soluciones según los valores de. 4.- [, puntos] En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos productos. - El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de cacahuetes y siete vasos y su precio es de 4,. - El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahuetes y diez vasos y su precio es de,. Con estos datos podrías averiguar cuánto debería valer un lote formado por una botella de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso? Justifica la respuesta.
SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A.- a) [ punto] Si A y B son dos matrices cuadradas y del mismo orden, es cierta en general la relación (A+B) =A +AB+B? Justifica la respuesta. b) [, puntos] Calcula, según los valores de a, el rango de la matriz a M = 4 6 8 6 9 a) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden se verifica: (A+B) = A +AB +BA+ B como en general el producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa, normalmente AB BA, luego la igualdad (A+B) = A +AB + B en general no es cierta. b) Entendemos por rango de una matriz el número de filas o columnas que son linealmente independientes. En nuestro caso observamos que la ª columna es el doble de la ª y la ª columna es el triple de la misma, por lo tanto para el cálculo del rango podemos prescindir de la ª y ª columnas, quedando: a a rg(m) = rg 4 6 8 = rg 8 6 9 Observamos que: a - Si a = 4 8 a - Si a 4 8 8 = y = rg(m) =. rg(m) =..- a) [, puntos] El determinante 4 8 a a a vale cero para a =. Comprueba esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques. b) [ punto] Determina todos los valores de "a" para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Justifica la respuesta. a) Si sustituimos a por el determinante queda como 4 9 8 7 Como la ª columna es combinación lineal de la ª y ª (suma de ambas) el determinante es nulo. b) Las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes si el valor del mismo es cero. Hallemos el valor del determinante. a a- A = 4 a = a. a = a. a- = a. = a(-a +a-8) a - 4 8 a 4 a a 4 Obliguemos a que sea nulo: a(-a +a-8) = -6a(a-)(a-) = con soluciones a =, a = y a =.
.- Considera el sistema de ecuaciones: x -y- z = 4, x +y-z = -, x - z =. a) [, puntos] Existe una solución del mismo en la que y =? b) [, puntos] Resuelve el sistema homogéneo asociado al sistema dado. a) Calculamos la compatibilidad del sistema. La matriz asociada y su determinante valen: - - A = - A = -4+4+- = - - Como el menor, rg(a) =. La matriz ampliada es A' = - 4 - - - - - = 4+-8+ =, rg(a') = rg(a) = < 4 -. Orlamos el menor no nulo y obtenemos el determinante: y el sistema es compatible indeterminado, es decir tendrá infinitas soluciones. Eliminamos una ecuación, por - ejemplo la segunda, ya que el menor, y el sistema será equivalente a: x - y -z = 4 x -z = Si tomamos z =, y resolvemos la ecuación queda: x - y = 4 + (+) -y = 4+ + -y = 4+ -y = - y = - + x =+ Luego las soluciones serán: x =+ y = -+, con. z = Veamos que existe una solución en la que y = Si y = =, x =, z = Luego la solución será: (,, ) b) El sistema homogéneo asociado será: x - y - z = x + y - z = x - z = Como A = y rg(a) = por el apartado anterior, el sistema tendrá soluciones distintas de la trivial y será equivalente al: x - y - z = x - z =
Si tomamos z =, y resolvemos la ecuación queda: x - y = x = -y = -y = - y = Luego las soluciones serán: x = y =, con z = Es decir, S =,, / 4.- Una tienda vende una clase de calcetines a ptas. el par. Al llegar las rebajas, durante el primer mes realiza un % de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes un 4% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 6 pares de calcetines por 976 y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 4 %? Si el precio inicial era de, con el % de descuento el precio es 8,4 y con el 4% de descuento el precio es 7,. Sabiendo que vende un total de 6 pares y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total - ha vendido pares sin rebajar por: x = 6. - ha vendido pares rebajados por: 976-6 = 76. Llamando x al número de pares vendidos con un % de descuento (8,4 ) y -x al número de pares vendidos con un 4% de descuento (7, ), obtenemos la ecuación: 8,4x +7,.(-x) = 76,x+6 = 76,x = 6 con solución: 6 x = = 8, -x =, Es decir, se han vendido: 8 pares con % descuento pares con 4% descuento. 4
Opción B.- Dado x, considera la matriz cos(x) sen(x) A = - sen(x) cos(x) a) [ punto] Calcula A A t, donde A t denota la matriz traspuesta de A. b) [, puntos] Prueba que A tiene inversa y hállala. a) Como la matriz traspuesta es A t cosx - senx = senx cosx el producto pedido es A.A t cosx = - senx senx cosx cosx senx - senx cosx x = cos +sen x - senxcosx+cosxsenx - cosxsenx+senxcosx cos x +sen x = b) Para que tenga inversa ha de ocurrir que el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero: cosx senx = cos x +sen x = - senx cosx según el apartado anterior A.A t = I, veamos que ocurre con el producto A t.a: cos(x) - sen(x) cos(x) - sen(x) A t.a =. = sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) x cos +sen x cosxsenxsenxcosx = senxcosxcosxsenx cos x +sen x luego deducimos que la traspuesta de A coincide con su inversa..- Considera la matriz a b c A = a b c a 4c donde a, b y c son no nulos. a) [ punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. b) [, puntos] Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa. a) Tenemos la matriz a b c a b c a 4c para calcular el número de columnas que son independientes calculamos el rango de A, ya que ambos valores coinciden. Como el determinante, sumando a la ª fila la ª, es: a b c a b c A = a a b c = 4c a a 4c 4c = por tener la ª y ª filas iguales. El rango de la matriz es. Además hay un menor de orden no nulo puesto que: a b = -ab a b
ya que tanto a como b son no nulos según el enunciado del problema. Luego rg(a) = y hay dos columnas linealmente independientes. b) En el apartado anterior hemos calculado el rango de A, que era y como A = sabemos que no tiene inversa..- Considera el sistema de ecuaciones α - x - α y =, - 6 z a) [ punto] Para qué valores de no tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema anterior? b) [, puntos] Discute sus soluciones según los valores de. a) Para que la matriz A de los coeficientes del sistema no tenga inversa, su determinante ha de ser cero: α - A = - α -6 = +- Igualando a cero, tendremos: +- = - 4+4. - 64-8 = = = = y = - luego la matriz A no tendrá inversa para {,-} b) Si {,-} El rango de A es, y por lo tanto el rango de la matriz ampliada también será, que es el número de incógnitas, y por el Teorema de Rouché el sistema tendrá solución única, es decir representa tres planos que se cortan en un punto. Si = - el sistema será: - - x - - y = -6 z el rango de A es, ya que - -. Como - - =-4 y por lo tanto el rango de la matriz ampliada será, y el sistema será incompatible, es decir no tendrá solución, y como los planos no son paralelos, representan tres caras de un prisma triangular. Si = el sistema será: - x - y = -6 z el rango de A es, ya que - =7. Como - = y por lo tanto el rango de la matriz ampliada será, y el sistema será compatible indeterminado, es decir tendrá infinitas soluciones. 4.- [, puntos] En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos productos. - El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de cacahuetes y siete vasos y su precio es de 4,. - El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahuetes y diez vasos y su precio es de,. 6
Con estos datos podrías averiguar cuánto debería valer un lote formado por una botella de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso? Justifica la respuesta. Sean x = precio de una botella de cerveza y = precio de una bolsa de cacahuetes z = precio de un vaso Los precios de los distintos lotes son: - x+y+ 7z = 4, para el primer lote - x+4y+z =, para el segundo lote - x+ y+ z = P para el tercer lote Queremos encontrar el precio del tercer lote conocidos los anteriores, es decir encontrar dos números a y b tales que: a(x+y+7z) + b(x+4y+z) = x+ y+ z (a+b)x+(a+4b)y+(7a+b)z = x+y+z Igualdad que se cumple si son iguales los coeficientes: a+ b = a+ 4b = 7a+b = Su solución se encuentra sustituyendo a = -b en la segunda ecuación: (-b)+ 4b = +b = b = - = - a = -(-) = Y comprobando que se cumple para dichos valores la tercera ecuación: 7.+(-) = Luego el precio del tercer lote será: a(x+y+7z) + b(x+4y+z) =.4,+(-)., =,7. 7