Facultad Ciencias Económicas y Administrativas Programa: ADMINISTRACION DE NEGOCIOS GUIA ACADEMICA I. FICHA TECNICA NOMBRE DE LA MATERIA MATEMATICAS FINANCIERAS 1. Número de créditos académicos : (3) TRES 2. Facultad que lo ofrece: Ciencias Económicas y Administrativas 3. Campo de formación: A. A. B. 4. Código: 130610501 5. Naturaleza del curso: Teórico práctica 6. Semestre : ( V ) QUINTO 7. Prerrequisitos: MATEMATICAS APLICADAS I 8. Docente: Ver Horario 9. Periodo Académico II 2010 II. PRESENTACION DEL CURSO El futuro Empresario debe poseer los conocimientos que le permitan desarrollar habilidades para una acertada toma de decisiones dentro de una empresa. La interdisciplinariedad es un elemento básico en la solución de problemas financieros, es decir, debe apoyarse en la información obtenida en los estudios de mercado y en las áreas de producción, administrativa y de finanzas, debe consultar permanentemente la evolución de los mercados financieros, y debe evaluar permanentemente las alternativas existentes de inversión y aprovechar el mejor uso alternativo de ellas en bien de los recursos de la empresa. Es importante para el Administrador de Negocios conocer el manejo de las Matemáticas financieras como herramienta básica para el manejo financiero de la empresa, ya que se pueden presentar excesos de liquidez o periodos de iliquidez y en este momento tendría que saber quehacer con sus flujos de caja. III. PROPOSITO DE FORMACION DE LA ASIGNATURA Utilizar las matemáticas financieras como herramienta para el logro del objetivo financiero básico: aumentar el valor de la compañía y desarrollar y aplicar los conceptos de matemáticas financieras para el incremento de la eficiencia en el desempeño laboral, con la utilización de la calculadora financiera y el Excel IV. OBJETIVOS - Objetivo General Desarrollar habilidades para analizar el valor del dinero en el tiempo y consolidar la correcta toma de decisiones financieras
Objetivos Específicos Proporcionar la definición de términos que facilitan la aplicación de conceptos en el manejo de dinero a través del tiempo. Diferenciar los conceptos de interés simple y compuesto. Adquirir dominio en la conversión de tasas nominales y tasas efectivas periódicas. Lograr que los estudiantes adquieran habilidades en la representación gráfica de los flujos de dinero y su cambio de valor en el tiempo. Tener dominio en el cálculo de las tasas reales cargadas en las distintas versiones de crédito u ofrecidas para las diferentes modalidades de inversión. - Realizar operaciones con anualidades y gradientes - Evaluar diferentes alternativas de inversión V. JUSTIFICACION DE LA ASIGNATURA Las matemáticas financieras constituyen un conjunto de herramientas propias de las finanzas, necesarias en la operación y en la toma de decisiones de los negocios. En consecuencia y para una acertada gestión, deben ser estudiadas por quienes aspiran a elaborar, evaluar y dirigir planes financieros. VI. ARTICULACION DE LA ASIGNATURA La asignatura integra los conocimientos y principios básicos de las finanzas que ocurren en el desarrollo de toda empresa. Los conceptos de valor presente, futuro a tasas de interés simple y compuesto, los principios de equivalencia, descuentos y vencimientos, la conversión de tasas de interés y el manejo de anualidades, deberán ser conceptos claros del estudiante al finalizar la asignatura, relacionando los procesos de diagnostico y evaluación de proyectos de inversión, planeamiento y control empresarial. VII COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN LA ASIGNATURA En cuanto al ser: En la Universidad abierta y a distancia el estudiante es el actor más importante, puesto que gran parte del éxito depende de la responsabilidad, honestidad y seriedad con que éste aborde sus estudios. Es claro entonces, que este enfoque
educativo demanda del estudiante mucho más que la universidad convencional y su éxito está sujeto a su capacidad para aprender a aprender, la cual se basa en un conjunto de valores previamente definidos (honestidad, constancia, disciplina, imaginación y capacidad para trabajar en equipo). En cuanto al saber hacer: Establecer el marco teórico, que otorgue las herramientas necesarias para que el estudiante desarrolle su iniciativa y creatividad dentro del aprender a hacer. En cuanto al saber: Mostrar con ejemplos cotidianos en el campo empresarial y personal la aplicación de los conceptos financieros. VIII. METODOLOGIA El estudiante de Administración de Negocios deberá consultar los temas propuestos en las guías, identificar los capítulos en el libro, desarrollar los talleres y ejercicios presentados para su consulta y despejar las dudas con el tutor. Y luego en el proceso formativo conocer los contenidos de la materia, los talleres aplicados, y en clase la intervención de los alumnos, discusiones, paneles sobre temas afines y de actualidad, y en caso de ser necesario utilización del computador, específicamente hojas de cálculo como el Excel, y el buen uso de las calculadoras. IX. NUCLEOS PROBLÉMICOS Conocen los diferentes conceptos que se manejan en las finanzas del valor del dinero en el tiempo? Cómo diferencias el interés simple del interés capitalizable o compuesto? Determinar las diferentes tasas de conversión? Cómo hacer las representaciones gráficas de flujo de dinero? Cómo usar las calculadoras y el computador para realizar cálculos del dinero en el tiempo? Cómo plantear solución a problemas con anualidades y gradientes? Cómo establecer la viabilidad de un proyecto de inversión?
X. EJES TEMATICOS Y CONTENIDOS DE LA MATERIA PRIMERA TUTORÍA. 1. CONCEPTUALIZACIÓN SOBRE INTERÉS SIMPLE, DESCUENTOS Y VENCIMIENTOS. 1.1. Diagrama económico. 1.2. Interés simple. Valor presente, valor futuro y tiempo. 1.3. Descuentos: comercial, racional y compuesto. Vencimientos. 1.4. Aplicación de conceptos. SEGUNDA TUTORIA 2. RESOLVER PROBLEMAS CON INTERÉS COMPUESTO 2.1. Valor Presente 2.2. Valor Futuro 2.3. Tasas conjugadas o compuestas. 2.4. Aplicación de conceptos. TERCERA TUTORÍA 3. CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA. 3.1. Diferenciación entre tasas nominales y efectivas. 3.2. Principio de equivalencia. 3.3. Conversión de tasas CUARTA TUTORIA 4. CONCEPTUALIZACIÓN DE ANUALIDADES Y GRADIENTES. 4.1. Anualidades. 4.2. Gradientes. 5. CONCEPTUALIZACIÓN DE EVALUACIÓN FINANCIERA DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN. 5.1. Flujo de caja. 5.2. Valor presente neto (VPN) 5.3. Costo anual unificado equivalente (CAUE) 5.4. Tasa interna de retorno (TIR) 5.5. Relación Beneficio Costo (R B/C) TEXTO GUÍA: MEZA OROZCO Jhonny de Jesús, Matemáticas financieras Aplicadas Editorial ECOE Ediciones. TALLERES
TALLER No. 1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Definir conceptos, tales como: Interés, Valor Presente, Valor Futuro, Tasa de interés, períodos de pago, diagrama económico, descuento y vencimiento. Interpretar los diagramas económicos. Establecer diferencias entre interés simple e interés compuesto. Aprender a calcular, valor presente, valor futuro a interés simple.. Aprender a calcular el valor presente y valor futuro de una serie de cuotas iguales, en forma vencida o anticipada, a interés simple. Realizar operaciones financieras con descuentos y vencimientos de documentos. EJERCICIO MODELO INTERÉS SIMPLE. El Banco Popular otorga un crédito de $ 20.000.000.oo a 4 meses y a una tasa del 24% anual. Cuánto se debe pagar al final del plazo? F =? P = $ 20.000.000.oo I = 0,02 mensual. n = 4 meses F = P ( 1 + in ) F = 20.000.000.oo [( 1 + ( 0. 02 )( 4 ) ] F = $21.600.000.oo Respuesta: Se debe cancelar la suma de $ 21.600.000.oo VENCIMIENTOS Se tienen dos letras, una por $ 50.000.oo y otra por $100.000.oo, que vencen a los 6 meses y 9 meses respectivamente, y se paga una tasa de interés del 3% mensual. Si se quiere cambiar estas dos letras por una sola, cuál será el vencimiento de la nueva letra? Considerar la operación en forma comercial. ve1 + ve2 = ve (Nueva letra), vn1 + vn2 = vn (Nueva letra) 50.000.oo + 100.000.oo = 150.000.oo ve = vn Dc = vn vn (in) = vn (1in) ve = 50.000.oo [1 - ( 0. 03) ( 6) ] + 100.000.oo [1 - ( 0. 03) (9 ) ] 150.000.oo[1 - ( 0. 03) (n ) ] =50.000.oo (0.82)+100.000.oo (0.73) 150.000.oo 4.500n = 41.000 + 73.000 4.500n = 36.000 n = 8 meses. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, se
tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o más capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o el descuento. 1. Ejercicio, un Economista tiene un capital de $20 000.000, invierte el 49% de este capital a una tasa de interés 28% anual simple y el capital restante al 1.23% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales simple. 2. Un Especialista en Administración desea calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $25 000.000, a una tasa de interés del 23% semestral simple durante 52 días. 3. Calcular el número de días entre el 28 de febrero de 2007 y el 31 de octubre de 2009. 4. cuál es el valor a pagar dentro de 28 meses por un crédito de $253 000.000, recibidos hoy, si la tasa de interés es del 2.83% bimestral simple? 5. Un Documento por valor de$132 523.000, devenga intereses del 1.25% mensual simple, y tiene un plazo de vencimiento 75 días. Si se cancela 28 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar. Considere una tasa de interés moratorio del 2.25% mensual simple. 6. El señor XYZ tiene que pagar dentro de 33 meses y 15 días $21 250.720,. si consideramos una tasa de interés simple del 4.56% trimestral, calcule el valor principal del crédito? 7. Se tienen cuatro documentos para pagar así: $720.000, para dentro de 10 meses, $849.000, para dentro de dos meses, $1.230.000, para dentro de cinco meses, y $200.000, para hoy, estos documentos usted los quiere cambiar por uno solo para dentro de 7 meses, si se realiza esta operación considerando una tasa de interés simple del 17.5% para 8 meses, calcular el valor del nuevo documento. 8. Una persona recibe al final de cada mes y durante un año y medio la suma de $2 500.000.oo; al principio de los meses tercero, cuarto, noveno, décimo y veinte debe pagar $ 350.000.oo. Elabore el diagrama económico. 9. Usted tiene depositado $ 10.000.000 en un banco que le reconoce el 6.5% trimestre anticipado, semestralmente usted retira los intereses durante dos años, elabore el diagrama económico. 10. Usted tiene ingresos bimestrales de $800.000 y gastos mensuales de $250.000, elabore el diagrama económico de un año. 11. Una empresa fabrica 12.000 juguetes cada mes, para fabricarlos requiere elementos que cuestan $20.000.000, mensuales, si desea ganar el 20% en cuánto debe vender cada juguete? 12. Los costos fijos para una panadería son de $5.000.000 mensuales, y los costos variables corresponden a $200, por unidad, si el precio de venta es de $250, cuántos productos debe elaborar mensualmente para no tener pérdidas? 13. Los costos fijos de un comerciante están avaluados en $350.000, por mes y sus costos variables según los siguientes datos, compra de mercancía por mes: enero $2 000.000, febrero $2 100.000, marzo $1 500.000, abril $3 200.000, junio $3 500.000, julio $4 000.000, agosto $2 200.000, septiembre $1 800.000, octubre $1 100.000, noviembre $4 000.000, diciembre $5 000.000, con los datos
anteriores determine el costo total. 14. Cuánto debe depositar Usted hoy, suponga que estamos a 15 de enero para pagar la prima de sus empleados, que se estima en $125.000.000.oo el 15 de diciembre del mismo año, en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés del 0.8% de interés simple mensual? Respuesta: $114.889.705,9. 15. Elabore una tabla que muestre la evolución de una cuenta de ahorros que rinde el 3% anual, cuando en la misma se depositan $ 25.000.000, que permanecen durante 12 meses, con interés simple 16. En cuanto tiempo se triplica un capital en una corporación que reconoce el 1,25% de interés simple mensual? Respuesta: 160 períodos. 17. A cuánto equivalen hoy $13.500.000.oo que se entregarán dentro de 21 meses, si la tasa de interés simple es del 8% anual liquidable mensualmente? Respuesta: $11.842.105,26 18. El gerente financiero necesita disponer de $5.000.000.oo dentro de 12 meses. Cuánto deberá ahorrar mensualmente en una corporación que reconoce el 1% mensual de interés simple en forma vencida? Respuesta: $394.944.71 19. Se compra una máquina y se hace el negocio en los siguientes términos: cuota inicial de $ 1.500.000.oo y 12 cuotas mensuales de $500.000.oo. Si se paga una tasa del 1.5% mensual de interés simple 20. Cuál es el precio de la máquina? Respuesta: $ 7.004.237.29 21. Usted tiene una letra, la cual establece un pago de interés mensual del 1.8% y vencimiento dentro 7 meses, su valor es de $550.000.oo o Cuál es el descuento comercial? Respuesta: $69.300.oo o Cuál es el descuento racional? Respuesta: $ 61.545.29 o Cuál es el descuento compuesto? Respuesta: $ 64.568.18 22. Usted tiene una letra por $ 2.500.000, en la cual se pacto un interés del 3.1% trimestral, y tiene un vencimiento a 15 meses. Ofrece la letra para atender un compromiso financiero pero le exigen un descuento del 4.21% trimestral. Cuánto deben darle por la letra (aplique descuento racional) Respuesta: $2.385.377.94 23. Usted posee dos letras, una de $ 350,000 y otra de $ 450.000, las cuales vencen a los 7 y 12 meses respectivamente. Si las quiere cambiar por una sola letra, cuál será el vencimiento de la nueva letra, si la tasa es del 1.5% mensual? Considere la operación comercial. Respuesta: aproximadamente 9.81 meses. 24. Usted tiene dos letras de cambio una por $450.000.oo con vencimiento a 5 meses y otra por $650.000 a 9 meses y las desea cambiar por una de $1.100.000, cuál será el nuevo vencimiento si la tasa de interés del 1.5% mensual? Hallarlo en forma racional y comercial. Respuestas: Comercial, aproximadamente 7.36 meses; y racional, aproximadamente 7.31 meses. 25. Usted posee dos letras que suman $800.000.oo, una de las cuales vence dentro de 5 meses y se descuenta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de 10 meses y se descuenta en forma comercial al 3.5% mensual. Si hoy le
ofrecen por ellas la suma de $620.000.oo. cuál será el valor nominal de cada una? Respuesta: $500.000.oo y $300.000.oo 26. El valor nominal de una letra es de $700.000.oo, si se descuenta en forma racional al 1% mensual, cuál será el período de redención si tiene un valor efectivo de $500.000.oo? Respuesta: 40 meses. 27. Una persona debe una letra de $ 80.000.oo para cancelarla dentro de 6 años y otra de $ 100.000.oo para cancelarla dentro de 7 años; quiere liquidarlas con un solo pago de $ 126.860.72 cuál será el vencimiento de la nueva letra si la tasa de interés es del 8% anual en forma compuesta? Respuesta: 2 años. TALLER N.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS Evaluar la aplicación del concepto de interés compuesto. Combinar las aplicaciones de conversión de tasas e interés compuesto. Aplicar el principio de equivalencia. Aplicación de tasas conjugadas o compuestas. Resolver: 1. Se depositan $150.000, durante 15 meses en una entidad que reconoce el 2.75% bimestral. Calcular el valor acumulado al final del plazo 2. Calcular el valor acumulado durante 75 días, si se depositan $32 500.000, en una cuenta que reconoce el 2.15% por mes 3. Usted como empleado devenga un salario de $520.000, y espera recibir en los próximos 3 años incrementos de: primer año, 4.25%, segundo año 4.89% y tercer año 5.23% cuánto quedará ganado al cabo de tres años? 4. Las ventas de un negocio son de $1.250 000.000, si se tiene presupuestado un incremento del 12% el primer año y de un 17% para el segundo año calcular las ventas para cada año. 5. Calcule que la matrícula de la Universidad dentro de un año va a ser de $1.250.000, cuánto debe depositar hoy (12 meses antes) para poder pagar la matrícula en una entidad que le reconoce el 3.29% por trimestre? 6. Anacleto tiene una aceptación bancaria por $300 000.000, a 210 días y necesita negociarla faltando 35 días para el vencimiento, si le cobran el 12.35% anual, cuánto recibirá Anacleto? 7. Si hoy invierte $1.350.000, y después de 92 días recibe $2.150.000, qué tasa de interés arrojó la operación? 8. Cuánto debo esperar para que $12.500.000, se conviertan en $17 000.000, a una tasa de rentabilidad del 3.21% trimestral?
9. Usted tiene los siguientes compromisos, pagar hoy $350.000, dentro de 6 meses $1.250.000, y dentro de 13 meses $425.000, si desea efectuar dos pagos iguales en los meses 7 y 14, de cuánto debe ser cada pago?, calcúlelo con una tasa de interés del 1.23% mensual 10. Calcular el tiempo equivalente para el siguiente flujo de pagos, hoy $1 320.000, dentro de 9 meses $230.000, en el mes 19 $2.380.000, tasa de interés 2.23% mensual. 11. Usted deposita hoy la suma de $ 950.000.oo en una cuenta de ahorros que paga un interés del 8 % anual m.v. Si deja durante 7 meses sus recursos en el banco, determine cuánto tendrá al finalizar el periodo? Respuesta: $995.460.62 12. La empresa tiene una obligación por valor de $ 10.000.000.oo para ser cancelada dentro de 1,5 años. Si la tasa de interés es del 5% t.v. y el desea cancelar la deuda hoy, cuánto tendrá que pagar? Respuesta: $9.281.748.76 13. Cuánto tiempo tardará un depósito en duplicar su valor, si se ha colocado en una institución financiera que paga una tasa de interés del 14. 18,5% anual con capitalizaciones mensuales vencidas? Respuesta: aproxte 45,35 meses. 15. Hoy se le presentan dos alternativas para pagar las deudas de la cosecha anterior: 16. Mediante dos pagos iguales de $ 1.300.000.oo a 3 y 8 meses con una tasa de interés mensual del 3,75%. Respuesta: $2.132.433.56 17. Mediante dos pagos, uno por $ 1.500.000.oo dentro de 4 meses y otro por $ 1.100.000 dentro de 8 meses con una tasa de interés del 3,8% mensual. Respuesta: $2.108.349.46 Cuál de esas dos alternativas escogería usted? Sustente 18. Hace 5 años se depositaron $ 3.500.000.oo en una cuenta de ahorros que pagaba un interés del 15,5% capitalizable mensualmente. Hace 2 años retiró la tercera parte del total acumulado en su cuenta, y hace un año depositó una cantidad igual a la mitad del saldo existente en ese momento. Si ella decide cancelar la cuenta en este instante, cuánto debe tener en la cuenta? Respuesta: $ 7.559.614.46 19. Bancafé reconoce un crédito a una tasa de interés igual al DTF más 4% mes vencido, si el DTF es del 23% efectivo anual, calcular el costo del crédito expresado en tasa efectiva anual. Respuesta: 27.9239 Efectiva anual 20. Si Usted recibe un préstamo el día de hoy de US 50.000.oo a una tasa del 9% anual; la tasa de cambio hoy es de $2.150.oo por dólar; se estima que la devaluación en el año será del 13.5%. Calcular el costo efectivo del crédito en nuestra moneda. Respuesta: 23.72 Efectiva anual. 21. Usted como Administrador de negocios realiza una inversión en dólares; al momento de hacerlo la tasa de cambio está en $2.350.oo. Le reconocen una tasa de interés del 7.5% y la tasa anual de devaluación se estima en el 9%. Cuál es el rendimiento efectivo de la inversión? Respuesta: 17.175% E.A.
22. Davivienda le concede un crédito a una tasa de interés igual a la DTF más 2 puntos mes vencido; si la DTF es del 18% efectivo anual. Calcular el costo del crédito expresado en tasa efectiva anual. Respuesta: 20.348833% E.A. TALLER N.3 OBJETIVOS ESPECIFICOS Definir los conceptos de tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva. Aprender a calcular la tasa de interés efectiva anual, cuando se conoce la tasa de interés nominal anual, con capitalización vencida y anticipada. Aprender a calcular la tasa de interés nominal anual con capitalización vencida y anticipada, cuando se conoce la tasa de interés efectiva anual. Aprender a calcular la tasa de interés efectiva periódica, cuando se conoce otra tasa efectiva periódica. Aprender a calcular la tasa de interés efectiva anual, cuando se conoce la tasa efectiva periódica con capitalización vencida y anticipada. Aprender a calcular la tasa de interés efectiva periódica, conocida la tasa efectiva anual. Leer de la página 125 a la página 139 Leer de la página 148 a la página 153 Leer de la página 170 a la página 177 Leer de la página 184 a la página 199 Resolver: El banco de la Comunidad Andina de Naciones le presta $2.000 000.000, a una tasa de interés del 23% efectivo anual, calcular la tasa de interés trimestral y el valor de los intereses para el mismo período. Una tasa de interés nominal anual con capitalización mensual del 23%, convertirla en una efectiva anual, efectiva bimestral, efectiva semestral. Una tasa de interés del 17% efectiva semestral, convertirla en una efectiva para 113 días, una efectiva bimestral, una efectiva anual. Convertir en: una tasa nominal semestral pagadera trimestralmente, en: una tasa nominal para 9 meses con capitalización para 20 días, en: una tasa nominal diaria pagadera para 6 meses, una tasa del 2.5% efectiva para 45 días. Convertir de nominal a nominal, una tasa del 12% semestral capitalizable para 15 días en una nominal para 7 meses capitalizable para 25 días 1. A qué tasa mensual es equivalente una tasa del 16% capitalizable semestralmente? Respuesta: 1.2909% mensual. 2. A qué tasa convertible mensual, es equivalente una tasa del 3% trimestral? Respuesta: 0.990163% mensual.
3. A qué tasa nominal capitalizable mensual el monto de $1.250.000 será de $1.900.000 en 10 años? Respuesta: 4.2759% ANCM. 4. Hallar la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal del 12,5% convertible mensualmente? Respuesta: 13.2416% Efectiva anual. 5. Hallar la tasa nominal capitalizable mensual equivalente a una tasa efectiva del 15%? Respuesta: 14.0579% NACM 6. A qué tasa convertible semestralmente es equivalente el 18% Capitalizable Trimestral? Respuesta: 18.405% ANCSM 7. Los bancos prestan al 18 MV, a qué tasa efectiva es equivalente? Respuesta: 19.5618% efectiva anual. 8. A qué tasa nominal Capitalizable mensual el monto de $125.000 será de $215.000 en 2 años? Respuesta: 27.4248% NACMV 9. Un título cuyo valor dentro de dos años será de $ 5.500.000.oo, se adquiere hoy por valor de $4.327.500.oo. Si el comprador gana en otras inversiones el módico 25% anual, cuánto ganó o perdió el inversionista? Respuesta: Perdió el 12.264% anual. TALLER No. 4 OBJETIVOS ESPEFICOS Analizar la aplicación del concepto de gradiente aritmético (valor presente y futuro) Realizar la aplicación de anualidades Combinar la aplicación de anualidades y gradiente aritmético Leer de la página 205 a la página 222 Leer de la página 261 a la página 330 Leer de la página 341 a la página 423 EJERCICIOS MODELO 1. Juan desea empezar un ahorro en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés del 24% nominal anual pagadero bimestre vencido, con una primera cota de $100.000, y disminuyendo la misma en $10.000, por cada período bimestral, hallar el valor que puede retirar al finalizar sus ahorros. Lo anterior se debe considerar como el valor futuro de una gradiente lineal decreciente, donde la primera cuota es de $100.000, l gradiente es de $10.000, el número de períodos es 10, y hay que convertir la tasa de interés de nominal anual a efectiva bimestral, por cuanto los depósitos serán bimestrales. ($100.000, $90.000, $80.000) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 bimestres Interes del 24% nominal anual pagadero bimestralmente, se divide entre 6; 24 / 6 = 4% = 0.04
N (1 + i) 1 g (1 + i) 1 VF = A n i: 10(1 + 0.04) 1 10.000 (1 + 0.04) 1 VF = 100.00 10 0.04 0.04 0.04 1.480244285 1 1.480244285 1 VF = 100.000 250.000 100.04 0.04 0.480244285 0.480244285 VF = 100.000 250.000 100.04 0.04 VF = 100.000 (12.00610713) 250.000 (12.00610713) 10 VF = 1 200.610.713 250.000 (2.006107125) = 1 200.610.713 + 501.526.7813 VF = 699.083.93 El valor futuro (GRADIANTE) equivalente a 10 cuotas bimestrales comenzando con una de $100.000, y disminuyendo su valor bimestralmente en $10.000, será de 699.083.93, considerando una tasa de interés del 24% nominal anual pagadero bimestralmente. Resolver: Si Pérfidas deposita $350.000, durante 15 meses con una rentabilidad del 2% bimestral, cuánto tendrá al final del período? Se tiene un crédito por $20 000.000, para pagarlo en 32 cuotas mensuales iguales de $420.000, y 3 cuotas extras en los meses 9, 16, 25, si el interés es del 1.25% mensual, calcular el valor de las cutas extras. Cuánto debe depositar mensualmente cada bimestre, durante 3 años, en una cuenta que reconoce el 0.92% mensual para reunir $23 000.000? Calcular la cuota mensual de un crédito de $17.000.000, para pagarlo en 3 años, considerando una tasa de interés del 2.34% trimestral, y si luego de 13 meses ha pagado cumplidamente y desea obtener un plazo adicional de 13 meses, calcular la nueva cuota (mensual) considerando una tasa de interés del 1.89% bimestral. Para la compra de un carro de contado de $23.900.000, la cuota inicial es del 25% la financiación es a 48 meses valor de la cuota $762.354.23, calcular la tasa de interés 1. Calcular el valor presente equivalente para 12 cuotas mensuales iguales de $200.000, con un interés periódico del 3% mensual R = $ 1 990.800.79 2. Una persona pide prestado $1.000.000, y acuerda pagarlos en 6 cuotas mensuales iguales de $320.000, determinar el valor de la tasa de interés. i = 22.55654469% 3. Se va a financiar una deuda de $50.000.000, por medio de 36 cuotas mensuales anticipadas y cuotas extraordinarias de $6.000.000, cada 6 meses (períodos 6, 12, 18,
24, 30 y 36). Si la tasa de interés es del 2.5% mensual, calcule el valor de la cuota mensual. R = $ 1 154.418,547 4. Una máquina industrial se adquiere a través de una línea de crédito en los siguientes términos: se pacta cobrar un interés del 1.8% mensual, plazo de 5 años, amortización mensual. La primera cuota será de $835.000.oo y se pagará un mes después de recibir el préstamo. De ahí en adelante cada cuota se incrementará en $8.700.oo. Hallar el valor del crédito inicial. Respuesta: $38.184.763.21 5. Una empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de $300.000.oo y 24 cuotas mensuales de $185.500, si se carga un interés del 30%MV hallar el valor de contado?. Respuesta: $ 3.617.665.07 6. Una persona debe pagar una cuota de $100.000.oo trimestral durante cinco años, si no efectúa los 4 primeros pagos, cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda?, si la tasa de interés es del 30% ATV, asuma que los interés de mora son iguales a los intereses corrientes. Respuesta: $547.292.18 7. Usted debe pagar durante 10 años una cuota de $100.000 semestrales pactados al 9% semestral, al efectuar el noveno pago desea liquidar su saldo con un pago único, cuánto debe pagar en ese momento? Respuesta: 680.518.88 8. Calcular el valor presente y futuro de las siguientes anualidades a) Cuota $200.000.oo semestrales durante 5 años al 22% anual capitalizable semestralmente. Respuesta: VP $1.177846.40 VF $ 3.344.401.79 b) Cuota $200.000.oo durante cinco años al 22% capitalizable anualmente. Respuesta: VP $572.727.95 VF $ 1.547.916.51 c) Calcular los ejercicios anteriores, con cuota anticipada. a) Respuesta: VP $1.307.409.50 VF $ 3.712.285.99 b) VP $ 698.728.10 VF $ 1.888.458.14 9. Una entidad financiera le ofrece un préstamo de $1.500.000.oo a 3 años a Una tasa de Interés del 24% TV, Y Ud. puede cancelarlo por medio de cuotas mensuales iguales a. Halle el valor de la cuota. Respuesta: $ 58.483.99 b. Si después de pagar la cuota 30, Usted decide cancelar el saldo con un sólo pago único de cuánto debe ser ese pago? Respuesta: $ 328.022.54 10.Calcular el valor de contado de un activo que financiado se puede adquirir así: cuota inicial del 20% del valor de contado y 24 cuotas mensuales de $800.000, más una cuota extraordinaria de $2.000.000 pagadera en el mes 6, la tasa de interés es del 23%MV. Respuesta: $ 21.324.461.16 11. Se inicia una cuenta de ahorros en una institución financiera con un depósito inicial que no se conoce. Desde el mes 6 hasta el mes 9 se hacen depósitos adicionales de $600.000.oo. Si desde el mes 14 hasta el mes 17 se hacen retiros de $800.000.oo y todavía al final del tercer año se tiene un saldo disponible de $3.497.321.19, calcular el valor del depósito inicial, si reconocen una tasa de interés del 2% mensual. Respuesta: $2.000.000.oo
TALLER N. 4. B OBJETIVOS ESPECIFICOS Evaluar financieramente las diferentes alternativas de inversión. Comprender el concepto de Flujo de Caja. Aplicar el concepto de valor presente neto Aplicar el concepto de tasa interna de retorno Aplicar el concepto de Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE). Analizar alternativas de inversión Leer de la página 431 a la página 525 EJERCICIOS MODELO VALOR PRESENTE NETO: Calcular el valor presente neto para la siguiente serie de ingresos y egresos trimestrales (en millones de pesos), considere una tasa de interés del 29% anual capitalizable trimestralmente. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Valor Ingresos 0 25 23 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 88 88 88 88 88 Valor egresos 20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 87 87 87 87 87 Al convertir la tasa de interés tenemos del 29% nominal anual capitalizable trimestralmente, dividimos a 0.29 entre 4(trimestres del año) = 0.0725 luego con la fórmula de interés efectivo (1+i) elevado a la 1/n y restando 1, donde n es el número de períodos del trimestre, con respecto a los meses (período de las cuotas) tenemos (1+0.0725) elevado a la ¼ = (1.017652081) 1 = 0.017652081 = 1,7652081% mensual VPN = LA SUMATORIA å DE LOS INGRESOS, EN EL PERÍODO CERO, MENOS LA SUMATORIA å DE LOS EGRESOS, EN EL PERÍODO CERO. DE LOS INGRESOS DE LOS EGRESOS VPN = å EN EL PERÍODO CERO å EN EL PERÍODO CERO å INGRESOS å EGRESOS VPN = n n(1 + i) (1 + i) INGRESOS: (en millones de pesos) P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $ 0 25 23 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 88 88 88 88 88 EGRESOS: (en millones de pesos) P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $ 20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 87 87 87 87 87 INGRESOS 0 25 23 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 88 88 88 88 88 VPN = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) EGRESOS
20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 87 87 87 87 87 VPN= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) INGRESOS: VP DE 25 000.000 en el período 2 con una tasa de interés de 1,7652081% mensual, tenemos, 25.000.000 / (1+ 0.017652081) elevado a la 2 = 25.000.000 / 1.035615759 = VP = 24 140.227,48 VP DE 23 000.000 en el período 3 con una tasa de interés de 1,7652081% mensual, tenemos, 23.000.000 / (1+ 0.017652081) elevado a la 3 = 23.000.000 / 1.053896533 = VP = 21 823.774,24 Y así continuamos con cada uno de los valores tanto de ingreso como de egresos, y al final, hacemos la sumatoria de los ingreso en el período cero, y restamos la sumatoria de los egresos en el período cero. VPN = $ 4 743.683,88, lo que nos indica que los egresos son mayores que los ingresos, en el período cero y considerando una tasa de interés del 1,7652081% mensual TASA INTERNA DE RETORNO: Calcular la T I R para la siguiente serie de ingresos y egresos mensuales (en millones de pesos), el % debe darlo en anualidades capitalizable trimestralmente. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Valor Ingresos 0 30 33 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 58 58 58 58 Valor egresos 20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 57 57 57 57 La TIR es la tasa de interés que permanece en el proyecto, para hallarla se pede utilizar uno de los tres siguientes métodos, una calculadora financiera, un programa de computador o por interpolación; éste último nos permite hallar la TIR en el período cero, similar al método para hallar el VPN. TIR = LA SUMATORIA DE LOS INGRESOS, EN EL PERÍODO CERO, MENOS LA SUMATORIA DE LOS EGRESOS, EN EL PERÍODO CERO. DE LOS INGRESOS DE LOS EGRESOS TIR = EN EL PERÍODO CERO EN EL PERÍODO CERO å INGRESOS å EGRESOS TIR = 29 n n(1 + i) (1 + i) INGRESOS: (en millones de pesos) P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $ 0 30 33 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 58 58 58 58 EGRESOS: (en millones de pesos) P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $ 20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 57 57 57 57 INGRESOS 0 30 33 21 29 36 48 57 56 98 23 56 52 58 58 58 58 VPN = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) EGRESOS 20 15 17 16 18 29 65 65 65 65 65 35 59 58 57 57 57
VPN= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) Valor a determinar i INGRESOS: VP DE 30 000.000 en el período 2 con una tasa de interés de VP DE 33 000.000 en el período 3 con una tasa de interés de VP DE 21 000.000 en el período 4 con una tasa de interés de Y así continuamos con cada uno de los valores tanto de ingreso como de egresos, y al final hallamos una tasa de interés que nos permita una igualdad de los ingresos con los egresos en el período cero. TIR = 24.61% Resolver TALLER 1. El jefe de mantenimiento de una planta ha diseñado un filtro con el cual espera disminuir en un 10% el consumo mensual de energía, el filtro tiene un costo de $6 050.000, y un costo de mantenimiento de $200.000, durante los 20 meses que espera dure el filtro y la planta consume $6 650.000 mensuales de energía. calcular la T I R, y si se tiene una tasa de interés de oportunidad del 3.5% mensual se debe aceptar el nuevo diseño? TIR = m4,497501866 VPN = $ 558.767,53 2. Un centro médico desea mejorar su equipo de laboratorio, instalando unidades computarizadas, las cuales disminuyen los tiempos de análisis, lo cual permitirá atender un mayor número de pacientes. Se está estudiando la compra de la unidad AXT la cual se puede adquirir por $250 000.000, de cuota inicial y el pago de $50 000.000, a los tres meses y $30 000.000, a los seis meses. La nueva unidad permite obtener beneficios de $14 000.000, mensuales durante año y medio, cuando puede venderse en $293 000.000, hallar la T I R, y con un 3% de T I O evaluar el proyecto. TIR = 3,984450305 Y EL VPN = $ 43 774.192,49 3. Se compra una máquina por $58.000.000.oo la cual se espera vender al 5 año en $5.000.000.oo La máquina ha generado ingresos netos cada año de $16.500.000.oo durante 5 años. Si el costo del capital es del 18% En cuánto se puede vender al final del quinto año para que el dinero rinda al menos el 18%.? Respuesta: $14.645.488.86 4. Usted compro un apartamento por $ 35.000.000.oo, en el primer año gastó $650.000 mensuales en mantenimiento, al año de comprado lo vende en $45.000.000.oo. Calcular la tasa interna de retorno. Respuesta TIR.463696% mensual. 5. Calcular el CAUE de un máquina cuyo valor inicial es de $15.000.000.oo, el valor de salvamento es de 1.500.000.oo y tiene una vida útil de 5 años. Los costos anuales de operación se estiman en $1.000.000.oo; considere una tasa del 18% anual. Respuesta: CAUE $5.587.000.86
6. Se plantean dos alternativas en un proyecto de inversión, así: a) La máquina vale $65.000.000.oo, tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $7.000.000.oo. La mano de obra anual y los costos de operación se estiman en $22.000.000.oo. Otros costos adicionales se estiman en $12.000.000.oo. Respuesta: $ CAUE $ 53.807.114.82 b) La otra opción tiene un costo de $150.000.000.oo, su vida útil es indefinida; además, requiere un mantenimiento a un costo de $1.000.000.oo anual. Su reparación se hará cada 7 años a un costo de $10.000.000.oo. La empresa tiene una tasa de interés del 18% anual. Respuesta: CAUE $ 28.823.619.99 Cuál es la mejor alternativa? 7. La empresa requiere la compra de una máquina, al solicitar cotizaciones se presentan las siguientes alternativas: a) Costo inicial $ 50.000.000.oo Costo de mantenimiento anual $ 3.000.000.oo Valor de salvamento $ 5.000.000.oo Vida útil 10 años. b) Costo inicial $ 60.000.000.oo Costo de mantenimiento anual $ 500.000.oo Valor de salvamento $ 18.000.000.oo Vida útil 10 años Cuál alternativa escogería Usted? Aplicar el método de valor presente. La tasa de interés es del 28% anual. Respuesta: Alternativa 1 VPN $ 59.383.234.oo Alternativa 2 VPN $ 60.109.799.oo 8. Se requiere comprar un bien de capital. Tenemos dos ofrecimientos ambos con una vida útil de 5 años, e igual costo de mantenimiento anual. ($550.000.oo) El primer modelo cuesta $15.000.000.oo y tendrá un valor de salvamento de $1.500.000.oo. El modelo 2 cuesta $13.000.000.oo y su valor de salvamento es de $6.500.000.oo. El costo del dinero es del 18%; excepto por los datos anteriores, los dos equipos presentan un servicio equivalente, Cuál es la decisión? Utilice el método del valor presente neto. Respuesta: El primer modelo VPN $ 16.064.280.24. Segundo modelo VPN $ 11.878.734.15 9. Colpapel Ltda, desea comprar una inyectora de papel y se le han ofertado 2 modelos con las siguientes características: Modelo 1 Modelo 2 Costo inicial: $85.000.000 $75.000.000 Mantenimiento (año): 3.000.000 4.000.000 Costo energía: 1.500.000 1.850.000 Valor salvamento: 16.000.000 15.000.000 Vida útil (años): 4 4 Cuál equipo debe adquirir Colpapel Ltda, si su costo de capital es de 24%. Respuesta: Modelo 1 VPN $ 89.051.667.47. Modelo 2 VPN 82.720.414.58
10. Un negocio genera $15.000.000.oo en ingresos anuales, y requiere la compra de una maquina de uso exclusivo. En el negocio tenemos dos ofertas de igual confiabilidad, así. Negocio A Negocio B Costo inicial: $4.000.000 $4.600.000 Mantenimiento (anual): 700.000 400.000 Valor salvamento: 1.000.000 1.500.000 Vida útil (años): 5 5 La TIO de la compañía es del 18%; seleccionar la mejor alternativa. Respuesta: Negocio A VPN $ 5.751.910.50 Negocio B VPN $ 5.195.204.58 11. Una empresa invierte $ 20.000.000.oo en una maquina, estimando que dura 4 años. La máquina genera unos ingresos cada año de $ 15.000.000.oo y unos gastos anuales de $ 2.530.000, $ 6.420.000, $ 7.680.000, $7.320.000, si se establece una tasa 15% anual, se recomendaría la inversión? Respuesta: VPN $ 6.535.274.67 TIR 32.284114% 12. Usted como empresario al comprar una maquinaria por valor de $600.000.000.oo, obtiene ingresos adicionales mensuales del orden de $38.250.000.oo durante 36 meses, tiempo en el cual se espera vender la maquinaria por valor de $700.000.000.oo. Determinar el VPN, considerando una tasa de interés del 28% efectivo anual. Respuesta: $696.551.799.10 13. El propietario de una fábrica desea firmar un contrato de asistencia técnica durante un año, con un costo de $30.000.000.oo trimestrales pagaderos anticipadamente. Si se puede ahorrar $ 15.000.000.oo mensuales, y se considera una tasa de oportunidad del 35% efectiva anual Es conveniente la Asistencia Técnica? Respuesta: VPN $ 45.959.934.27 XI. EVALUACION Cada encuentro tiene una validez del 25%, incluye: exposiciones, foro virtual, mesa redonda, consultas tutoriales y participación activa en cada uno de los encuentros. La evaluación será continua y permanente; la implicación del estudiante juega un papel importante, por lo tanto, tiene lugar en todos los aspectos del proceso enseñanza aprendizaje. La evaluación académica se regirá según lo establecido en el Estatuto Estudiantil, capítulos V y VI. NOTA: En lo que respecta a la presentación de cada uno de los talleres, éstos deberán desarrollase como apoyo para cada uno de los encuentros tutoriales.
Para la habilitación se tendrá en cuenta el Estatuto estudiantil parágrafo 2 articulo 49 Según reza: las asignaturas teórico-prácticas serán habilitables cuando se apruebe el componente práctico XII. Bibliografía Complementaria ALVAREZ, Alberto Matemáticas financieras. Editorial McGraw Hill DÍAZ M. Alfredo y otro. Matemáticas financieras. Editorial McGraw Hill GÓMEZ C. José Alberto. Matemáticas Financieras. Aplicadas al sistema financiero Colombiano. Editorial Tecnomundo. JIMÉNEZ S. J. Antonio y otro. Matemáticas Financieras y Comerciales. Editorial Mc Graw-Hill HIGLAND H. Esther. Matemáticas Financieras. Prentice may GOMEZ, Javier. Matemáticas Financieras www.monografias.com/trabajos XIII. Bibliografía Web- enlaces