Un Sistea para Resoler Probleas Relacionados con el Moento Lineal Dr. Guillero Becerra Córdoa Uniersidad Autónoa Chapingo Dpto. de Preparatoria Agrícola Área de Física México Profesor-Inestigador E-ail: gllrbecerra@yahoo.co RESUMEN En los cursos de Mecánica de bachillerato se estudia el Moento Lineal y su conseración. Dentro de este tea se encuentran las colisiones en una y dos diensiones y el concepto de coeficiente de restitución. En el presente trabajo se uestra el uso de un sistea que resuele probleas relacionados con estos teas. Los probleas consisten en proporcionar ciertos datos para obtener los alores de las incógnitas por edio de las ecuaciones correspondientes. El núero de datos y de incógnitas, depende del tea que se trate. Para cada tea, el sistea desplegará un conjunto de ariables las cuales el usuario podrá escoger las que ayan a utilizarse coo datos y las que ayan a considerarse coo incógnitas. Después de introducir los alores de los datos del problea correspondiente, el sistea calculará los alores de las incógnitas. El objetio que se busca con este proyecto es que el usuario pueda coparar los resultados obtenidos al resoler un problea con los resultados calculados por el sistea. Palabras Clae: Moento lineal, conseración del oento lineal, colisiones en una y dos diensiones, coeficiente de restitución. ABSTRACT Mechanics courses in high school the linear oentu conseration is studied. Within this thee are collisions in one and two diensions and the concept of coefficient of restitution. In this paper the use of a syste that soles probles related to these topics shown. The probles are to proide certain data to obtain the alues of the unknowns by eans of the corresponding equations. The nuber of data and unknowns, depends on the subject in question. For each issue, the syste will display a set of ariables which the user can choose which are to be used as data and those to be considered as unknowns. After entering the data alues corresponding proble, the syste will calculate the alues of the unknowns. The objectie sought with this project is that the user can copare the results obtained by soling a proble with the results calculated by the syste. Keywords: Moentu, conseration of oentu, collisions in one and two diensions, coefficient of restitution.
. INTRODUCCIÓN Cuando se atraiesa una persona, te has dado cuenta que es uy difícil detenerse si as corriendo? O si corres por una pendiente y con la elocidad que lleas es uy difícil detenerse a enos de que te caigas? O qué es ás fácil detener: una pelota de hule que un balón de piel, a pesar de que lleen la isa elocidad? En este trabajo se uestra el uso de un sistea que resuele probleas relacionados con el oento lineal.. MOMENTO LINEAL En todos estos fenóenos están inolucradas la elocidad y la asa de un objeto. La conjunción de abas nos da un concepto llaado cantidad de oiiento. El producto de la asa que tiene un cuerpo por la elocidad con la que se uee, se le conoce coo oento lineal, cantidad de oiiento o ípetu. Mateáticaente se tiene (Bueche, 99): p Donde p es la cantidad de oiiento, es la asa del cuerpo y es la elocidad con la que se uee el cuerpo. La cantidad de oiiento es una agnitud ectorial porque es el producto de una agnitud escalar (la asa) por una cantidad ectorial (la elocidad). En consecuencia, para que la cantidad de oiiento sea copletaente especificada debe ser representada por su agnitud y su dirección. Esta expresión nos indica que ientras ás grande sea la asa y/o la rapidez de un objeto, su cantidad de oiiento es ayor. O si la asa y la rapidez del cuerpo es pequeña, entonces su cantidad de oiiento tabién debe ser pequeño. Es por eso que un objeto con asa uy grande coo un caión, es uy difícil de detener a pesar de que tenga una elocidad relatiaente pequeña. La unidad de la oento lineal en el Sistea Internacional es kilograo por etro entre segundo. La dirección de la cantidad de oiiento de un cuerpo coincide con la dirección de la elocidad del cuerpo. La asa no cabia la dirección de la cantidad de oiiento y de la elocidad del cuerpo; abas direcciones son iguales (Beltrán, 975). 3. IMPULSO Una fuerza F que actúa durante un tiepo t sobre un cuerpo le proporciona un ipulso, dado por: La unidad del Ipulso en el Sistea Internacional es Newton por segundo. I F t Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo se produce un cabio en la cantidad de oiiento. Así, el ipulso aplicado a un cuerpo es igual al cabio de la cantidad de oiiento, es decir (Resnick, 98): I F t p 3
Donde p es el cabio en la cantidad de oiiento, F es la fuerza que se aplica al cuerpo, t es el tiepo en el cual se aplica la fuerza e I es el ipulso. El cabio en la cantidad de oiiento puede ocurrir debido al cabio de la asa, de la elocidad o de abas. Si la asa peranece constante, entonces debe ocurrir un cabio de elocidad si la cantidad de oiiento cabia. Si el cabio en la cantidad de oiiento es constante, entonces el producto de la fuerza por el tiepo tabién sería constante y, si el transcurso del tiepo se considera constante, entonces la fuerza que se aplica tabién sería constante. Esto es un caso particular en el cual la fuerza aplicada es constante. En general, la fuerza puede ariar y, en ese caso, el cabio en la cantidad de oiiento no sería constante. De esta fora, el ipulso depende del producto de la fuerza que se le aplique a un cuerpo ultiplicado por el tiepo en que aplique. El ipulso será ás grande si aplicaos la isa fuerza durante un tiepo ás prolongado. O el ipulso será ás pequeño si aplicaos la isa fuerza en un tiepo uy corto. Tanto la fuerza coo el tiepo son iportantes para cabiar el ipulso de un cuerpo. Se puede tener el iso ipulso aplicando una fuerza grande en un tiepo uy pequeño o aplicando una fuerza pequeña en un tiepo uy grande. De la ecuación 3 concluios que el ipulso produce un cabio en cantidad de oiiento, es decir: I F t p ( ) 4 4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando un cuerpo experienta un ipulso, la ecuación 4 afira que ha actuado una fuerza sobre el cuerpo para que pueda cabiar su cantidad de oiiento. Una fuerza es consecuencia de la interacción con otros cuerpos. Así, por la tercera ley de Newton, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tabién las experientan los cuerpos que las proocan. La cantidad de oiiento de un sistea de cuerpos en los que no existe una fuerza externa que influya, se antiene constante. De esta fora, el cabio en la cantidad de oiiento de un cuerpo es igual al cabio en la cantidad de oiiento del resto de los cuerpos que coponen el sistea, siepre y cuando, el sistea no reciba influencia de fuerzas externas. Cuando un sistea se encuentra aislado, la cantidad de oiiento se antiene constante porque no hay fuerzas externas. En el caso en que el sistea estuiera influido por una fuerza, su cantidad de oiiento cabiaría. En consecuencia, podeos afirar que (Tipler, 995): Si sobre un sistea no se ejerce fuerza neta, la cantidad de oiiento no cabia De esta fora, la cantidad de oiiento de los cuerpos que interactúan en un sistea aislado, peranece constante. Para un sistea de dos cuerpos, al aplicar la ley de conseración de la cantidad de oiiento, se concluye que (Hewitt, 995): 5 3
Donde: y son las elocidades iniciales, y son las elocidades finales de los cuerpos y y son las asas de los cuerpos. Coo consecuencia de esto podeos afirar que en la colisión entre partículas o cuerpos, en la desintegración radiactia o en una explosión, la cantidad de oiiento se antiene constante, siepre y cuando no haya fuerzas externas. Si consideraos la caída de un cuerpo, el cuerpo en sí iso no estaría aislado y, en consecuencia, su cantidad de oiiento cabiaría. Cabiaría porque estaría expuesto a una fuerza externa coo el peso. Pero si consideraos coo sistea al forado por el cuerpo y la Tierra, la cantidad de oiiento del sistea peranecería constante. El problea es que el cabio en la cantidad de oiiento de la Tierra no se percibe por su gran asa. Pero teóricaente debe cabiar, independienteente de que se perciba o no. Sin ebargo, si poneos a interactuar a dos cuerpos que tengan asas uy siilares, el cabio en la cantidad de oiiento se percibiría fácilente. Por ejeplo, supongaos que una bola de billar choca contra una pelota de esponja. Coo la asa de la bola de billar es uy grande en coparación de la asa de la pelota de esponja, después del choque la bola de billar antendría su oiiento en la isa dirección con la que se oía antes del choque. En cabio, la pelota de esponja coenzaría a oerse en la isa dirección con la que se oía la bola de billar. Si ahora la pelota de esponja es la que se uee y la bola de billar se encuentra en reposo, al chocar la pelota de esponja ereos que rebotaría y que la bola de billar se oería uy poco, en la isa dirección en la que se oía la pelota de esponja antes de la colisión. Si las asas de abas pelotas son iguales, al ipactar una de ellas sobre la otra eríaos que la que se encuentra en reposo se oería con la isa elocidad con la que se oía la bola que ipactó y que la bola que ipactó se quedaría estática después de la colisión. En todos estos casos la cantidad de oiiento de cada uno de los cuerpos cabia, pero la cantidad de oiiento del sistea peranece constante. Esto es considerando que los cuerpos giran sin fricción porque, si consideraos que influye la fricción, entonces la cantidad de oiiento no se antendría constante debido a la presencia de una fuerza externa (Serway, 985). 5. COLISONES INELÁSTICAS Los ejeplos de colisiones que heos analizado anteriorente, son ejeplos de colisiones que se consideran elásticas porque la deforación que sufren no es peranente y esta deforación no genera una pérdida de calor. En estas condiciones se dice que la colisión es elástica. Cuando un cuerpo se defora peranenteente o genera calor en una colisión, se dice que la colisión es inelástica. De igual fora, cuando dos o ás objetos en una colisión quedan unidos, decios que la 4
colisión es inelástica. Es uy coún encontrar colisiones inelásticas. Por ejeplo, cuando aentaos un papel ojado hacia el techo o el piso, eos que se queda pegado. En este caso se dice que la colisión es inelástica. De igual fora sucede cuando dos autos quedan unidos después de un choque. Tabién sucede cuando una persona atrapa una pelota. Tabién son ejeplos de colisiones inelásticas cuando dejaos caer al piso una pelota de esponja. Veos que rebotaría un núero finito de eces hasta que deja de botar. Estas colisiones son inelásticas porque, a pesar de que no se defora peranenteente la pelota, se generaría calor en cada rebote y esto, teóricaente, auentaría su teperatura. A pesar de que existan colisiones inelásticas, la cantidad de oiiento se consera. Por ejeplo, se ha isto que cuando un cuerpo colisiona con otro que se encuentra en reposo y queda unido después de la colisión, la elocidad del cuerpo que llea ahora el cuerpo que se oía, es enor ya que se encuentra unido al cuerpo que se encontraba en reposo. Esa unión hace que la elocidad del cuerpo que se oía disinuyera. Al hacer cálculos de la sua de la cantidad de oiiento de los cuerpos antes y después de la colisión, eos que son iguales. Es decir, la cantidad de oiiento de un sistea en la que existen colisiones inelásticas, tabién se consera. 6. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN Para cualquier colisión entre dos cuerpos en la se ueen a lo largo de una línea recta, el coeficiente de restitución e se define coo: e 6 Donde: y son las elocidades iniciales y y son las elocidades finales de los cuerpos. Para una colisión perfectaente elástica e, para una colisión inelástica e y para una colisión perfectaente inelástica e. En una colisión perfectaente inelástica, los cuerpos peranecen unidos después de la colisión. Esto sucede con la bala que ipacta un bloque de adera que se encuentra suspendido de un hilo. Para conocer las elocidades finales de los cuerpos después de una colisión frontal, utilizaos la ecuación 6 y despejaos la elocidad, es decir: Y la sustituios en la ecuación 5 Al despejar, obteneos: e ) 7 ( ( e( ) ) 8 5
Finalente, sustituyendo la ecuación 9 en la ecuación 7, obteneos: 7. COLISIONES EN DOS DIMENSIONES e ( ) 9 Coo caso particular de una colisión en un plano en donde el segundo cuerpo se encuentra en reposo 6 e ( ) En la sección anterior, analizaos el coportaiento de las colisiones en una diensión. Las colisiones en una diensión son aquellas en las cuales se llean a cabo en una línea recta. En esta sección analizareos aquellas colisiones en las cuales se llean a cabo en un plano. Es decir, aquellas colisiones en las cuales los cuerpos se desplazan en dos diensiones. Para describir las colisiones en un plano, es necesario describirlos por edio de dos coordenadas. Si quereos describir las colisiones en un plano cartesiano, las elocidades de los cuerpos que colisionan deben ser dos: una en la dirección del eje de las abscisas y la otra en la dirección del eje de las ordenadas. De esta fora, las ecuaciones para el oento lineal en cada una de las direcciones, son las siguientes (White, 3): Y cos cos cos cos seno seno seno seno Donde: y son las asas de los cuerpos que colisionan, y son las elocidades iniciales, y son las direcciones del oiiento de los cuerpos antes de la colisión, y son las elocidades de los cuerpos después de la colisión y y son las direcciones del oiiento de los cuerpos después de la colisión. De las ecuaciones y eos que en cada dirección se debe conserar la cantidad de oiiento. El núero de ariables que interienen en una colisión bidiensional de dos cuerpos es de. Por ello, es necesario conocer 8 de ellas para que pueda ser resuelto un problea ya que sólo existen dos ecuaciones. De hecho, es necesario que se conozcan al enos tres de las cuatro direcciones que interienen en la colisión debido a que si se conocen sólo dos de ellas, es uy difícil conocer las otras dos restantes. En el caso en que la colisión sea perfectaente elástica, la energía cinética es la isa antes y después de la colisión, por lo que: 3
y el priero lo colisiona forando un ángulo de cero grados con respecto al eje positio de las abscisas, se tiene: Y cos cos 4 5 / seno seno ( cos ) Eleando al cuadrado y despejando la función coseno, se tiene: cos Sustituyendo la ecuación 6 en la ecuación 4, se tiene: / sen 6 perfectaente inelástica al oerse en un plano, se utilizan las ecuaciones y. Si suponeos que 7 / sen cos 7 Despejando la raíz cuadrada y eleando al cuadrado, se tiene: De la ecuación 3, despejaos Con cos 8 y la ultiplicaos por, obteniendo: Sustituyendo la ecuación 9 en la ecuación 8, teneos finalente: cos 9 Esta ecuación es álida para el caso en que una bola choque contra otra que esté en reposo y se desíe un ángulo. La otra dirección se puede calcular sustituyendo este resultado en la ecuación 8 y despejando cos. Es decir: cos / ( ) 8. COLISIONES EN PERFECTAMENTE INELASTICAS EN DOS DIMENSIONES Las colisiones perfectaente inelásticas en dos diensiones son aquellas en donde dos cuerpos se ueen en un plano y después de la colisión peranecen unidos. Para calcular la elocidad y la dirección con la que se oerán dos cuerpos que se encuentran unidos después de una colisión
los cuerpos quedan unidos después de la colisión, entonces las ecuaciones y se transforan en: Y cos cos ( ) x seno seno ) 3 ( En consecuencia, las elocidades x y y, son iguales a: y x cos cos 4 Y y seno seno 5 Cuya rapidez es igual a: 6 x y La dirección con la que se oerá el cuerpo después de la colisión se calcula por edio de la siguiente ecuación: y arctan 7 x 9. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA En esta sección describireos la fora en que se utiliza el sistea. En la figura se uestra la entana principal del sistea que se elaboró coo resultado del proyecto. En esta entana se uestran tres botones de coando. Uno de ellos corresponde al tea de Colisiones en una diensión, el otro al de Colisiones en dos diensiones y finalente la opción Salir. Figura. Ventana principal del sistea. 8
Al escoger la opción Colisiones en una diensión aparecerá otra entana coo la ostrada en la figura. Figura. Ventana correspondiente colisiones en una diensión. En esta entana se uestran siete opciones: Velocidad inicial, Velocidad inicial, Velocidad final, Velocidad final, Masa, Masa y Coeficiente de restitución. Para resoler un problea sólo es necesario escoger cinco de las siete opciones. A anera de ejeplo, suponga que cuerpo de 6. kg de asa se uee con una elocidad inicial de / s y choca contra otro cuerpo de. kg de asa que se uee con una elocidad inicial de 8 / s. Si el coeficiente de restitución es igual a e. 4, calcule la elocidad final de los dos cuerpos. Al introducir los datos al sistea y arcándolos en la caja de opción correspondiente, obseraos que la entana de la figura 3 ostrará los resultados para este caso. El sistea uestra que la elocidad final del prier cuerpo es de del segundo cuerpo es de 5.5 / s y que la elocidad final.5 / s. Si utilizaos la ecuación de la conseración del oento lineal, obseraríaos que se conseran los oentos lineales antes y después de la colisión. Figura 3. Solución para los datos introducidos al problea. Al hacer clic sobre el botón de coando Colisiones en dos diensiones, aparecerá una entana coo la ostrada en la siguiente figura 4. 9
Figura 4. Ventana correspondiente a las opciones para colisiones en dos diensiones. Al hacer clic sobre el botón de coando Colisiones elásticas en dos diensiones, aparecerá una entana coo la ostrada en la siguiente figura 5. Figura 5. Ventana correspondiente a colisiones elásticas en dos diensiones. En esta entana se uestran cuatro opciones: Velocidad final, Dirección final, Velocidad final, Dirección final. Para resoler un problea sólo es necesario escoger dos de las cuatro opciones. A anera de ejeplo suponga que una bola de. kg de asa que iaja a una elocidad de.5 / s hacia el este, choca contra otra bola de. 4 kg de asa que se uee con una elocidad de.8 / s hacia el oeste. Después de la colisión la priera bola se uee con una elocidad de de la segunda bola?.3 / s con una dirección de 4 sureste. Cuál es la elocidad y dirección final Si la priera bola se uee hacia el este, entonces su dirección es de y la dirección inicial de la
segunda bola es de por iajar hacia el oeste. La dirección final de la prier bola es de 8 por oerse hacia el sureste. Al introducir los datos en las opciones correspondientes y hacer 3 click sobre el botón de coando Resoler, obteneos los resultados ostrados en la entana de la figura 6. Figura 6. Resultados del ejeplo. El sistea uestra que la elocidad final del segundo cuerpo es de iso cuerpo es de 88. 95.58 / s y la dirección final del. Si utilizaos la ecuación de la conseración del oento lineal, obseraríaos que se conseran los oentos lineales antes y después de la colisión. Al hacer clic sobre el botón de coando Colisiones inelásticas en dos diensiones, que se encuentra en la figura 4, aparecerá una entana coo la ostrada en la siguiente figura 7. Figura 7. Ventana correspondiente a colisiones inelásticas en dos diensiones. En esta entana se uestran 6 cajas de texto en las cuales se tiene que introducir asa y las elocidades inicial y final de los dos cuerpos. Coo son colisiones perfectaente inelásticas en dos
diensiones, el sistea calculará la elocidad de los dos cuerpos unidos y la dirección en la que se oerán. A anera de ejeplo suponga que una un caión de el este a una elocidad de 7 5 kg de asa que iaja hacia 5 / s, choca contra un autoóil de 5 kg de asa que se uee con una elocidad de / s hacia el suroeste. Si después de la colisión los dos ehículos quedan unidos, con qué rapidez y en qué dirección se ueen los ehículos después del ipacto? La figura 8 uestra los datos que se introdujeron en la entana correspondiente a colisiones inelásticas en dos diensiones. Figura 8. Ventana correspondiente a los datos del ejeplo de colisiones inelásticas en dos diensiones. Haciendo clic en el botón de coando Resoler, el sistea calculará la rapidez y la dirección de los dos óiles unidos. La figura 9 uestra los resultados del problea. Figura 9. Ventana correspondiente a los resultados del ejeplo de colisiones Inelásticas en dos diensiones.
Veos en la figura 9 que los óiles se an a desplazar con una rapidez.97 / s y con una dirección de 37.5. Al hacer clic sobre el botón de coando Colisiones frontales en dos diensiones, que se encuentra en la figura 4, aparecerá una entana coo la ostrada en la siguiente figura. Figura. Ventana correspondiente a colisiones frontales en dos diensiones. En esta entana se uestran 4 cajas de texto en las cuales se tiene que introducir las asas de los cuerpos y las elocidades inicial y final del prier cuerpo. Coo son colisiones frontales en dos diensiones, el sistea calculará la elocidad del segundo cuerpo y la dirección en la que se oerán los dos cuerpos. En este caso se considera que en el oento de la colisión, el segundo cuerpo se encuentra en reposo; es decir, la elocidad inicial del segundo cuerpo es igual a cero, por lo que no es necesario introducirla en los datos del problea. Tabién se debe encionar que no se introduce el alor de la dirección con la que se desplaza el prier cuerpo, ya que se considera que se desplaza con una dirección de grados. A anera de ejeplo, suponga que una pelota de 9 g choca a /s de frente con otra pelota de g que se encuentra en reposo. Si la elocidad final del prier cuerpo es igual a.9 /s, deterínese la elocidad final de la segunda pelota y las direcciones en las que se desplazarán cada una de ellas. La figura uestra los datos que se introdujeron en la entana correspondiente a colisiones frontales en dos diensiones. 3
Figura. Ventana correspondiente con los datos del problea. Haciendo clic en el botón de coando Resoler, el sistea calculará la rapidez de la segunda pelota y las direcciones en las que se oerán. La figura uestra los resultados del problea. Figura. Ventana correspondiente a los resultados del ejeplo de colisiones frontales en dos diensiones. Veos en la figura que la segunda pelota se a a desplazar con una rapidez dirección de 36. 59.3 / s y con una. La dirección con la que se desplazará la priera pelota es 6. 37. Veos que la priera pelota casi no se desía ya que su asa es ucho ayor que la asa de la segunda pelota.. CONCLUSIONES En uchas ocasiones los probleas que proponen los libros que tratan teas relacionados con el oento lineal y la conseración del oento lineal, no uestran los resultados. El sistea sire para que el aluno copruebe y/o copare los resultados obtenidos con los que calcula el sistea. 4
En clase, se puede resoler un problea por edio del profesor y por edio del sistea. Esto otia al aluno para que copare abos resultados, los cuales deben ser iguales. Cuando el sistea uestra que un problea no tiene solución, se debe analizar el otio por el cual no se puede resoler. Esto prouee la reisión de los conceptos que se utilizan en la solución de un problea. Existen uchos casos de probleas que no conteplan los textos relacionados con estos teas. El sistea cubre ucho ás casos que los incluidos en los textos. La idea no es que el aluno resuela los probleas con el sistea sino que los copare con los obtenidos por él. Se podrá creer que el sistea puede facilitar la solución de un problea, pero la idea es que se desarrolle la habilidad de diferenciar los datos de las incógnitas.. BIBLIOGRAFÍA Beltrán V. y Braun E. (975) Principios de Física. México, D. F.: Trillas. Bueche, F. J. (99) Física General. México, D. F.: McGRAW-HILL. Ceballos F. J. (997) Enciclopedia de Visual Basic 4. México, D. F.: Alfaoega Grupo Editor. Hewitt, P. (995) Física Conceptual. México, D.F.: Addison-Wesley Iberoaericana. Resnick, R. y Halliday, D. (98) Física. Vol. I. México, D.F.: CECSA. Serway, R.A. (985) Física. México, D.F.: Interaericana. Tipler, P. A. (995) Física. México, D.F.: Reerté. 5