UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA N 3 Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre 200. Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas por dos máquinas diferentes de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaños n = 5 y n 2 = 8, las medias y las varianzas muestrales son X = 8.73, S 2 = 0.35, X 2 = 8.68 y S 2 2 = 0.4, respectivamente. a Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales. Construir un intervalo de confianza bilateral del 95 % para la diferencia en el diámetro promedio de las varillas. Supongamos que σ 2 = σ 2 2. Luego construimos un intervalo de confianza para µ µ 2 con varianzas poblacionales desconocidas pero iguales. Entonces tenemos: µ µ 2 = X Y ± t n +n 2 2, α/2s p n + n 2 donde Sp 2 = n S 2+n 2 S2 2 n +n 2. 2 Utilizando los datos entregados se tiene que t 3,0.025 = 2.0395 y S p = 0.643. Luego µ µ 2 = 8.73 8.68 ± 2.0395 0.643 5 + 8 Y se obtiene que con un 95 % de confianza la diferencia de los diámetros promedios de las varillas se encuentra en µ µ 2 0.3880, 0.4880 Notar que el 0 pertenece al intervalo, luego esto quiere decir que las medias se pueden considerar iguales con un 95 % de confianza. b Construir un intervalo de confianza bilateral del 95 % para el cociente de las varianzas poblacionales. Parece razonable concluir que las varianzas son iguales? Justificar. Para este caso tenemos que el cociente de las varianzas está en el intervalo: σ 2 IC S 2 = σ 2 2 S 2 2 F α/2,n,n 2, S2 S 2 2 F α/2,n,n 2 Acción y efecto de extrudir dar forma a una masa metálica, plástica, etc., haciéndola salir por una abertura especialmente dispuesta. Fuente: http://buscon.rae.es/drael/. PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3

Tenemos que F 0.975,5,8 = 2.667 y F 0.975,8,5 = 2.792. Además, sabemos que F 0.025,5,8 = /F 0.975,8,5 = /2.792 = 0.358. Luego reemplazando los datos, tenemos: σ 2 0.35 0.4 2.667, 0.35 = 0.328, 2.444 0.4 0.358 σ 2 2 Notar que el pertenece al intervalo, luego con un 95 % de confianza, se puede decir que las varianzas son iguales. c Probar las hipótesis : µ = µ 2 vs. H : µ µ 2. Utilizar α = 0.05 y obtener las conclusiones. Debemos probar las hipótesis: : µ µ 2 = 0 versus H : µ µ 2 0 con varianzas poblacionales desconocidas pero iguales el intervalo calculado en el item b avala este supuesto. El estadístico de prueba para este caso está dado por: EP = X Y S p n + n 2 tn +n 2 2 Aquí = 0 y la hipótesis nula se rechaza si EP > t n +n 2 2, α/2. Del item a tenemos que t 3,0.025 = 2.0395 y S p = 0.643. Luego, EP = 8.73 8.68 0.643 + 5 8 = 0.2328 Por lo tanto, como EP no es mayor que 2.0395, no existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. d Calcular el p-valor de la prueba. Concluir. De acuerdo a la hipótesis alternativa del item c, el p-valor está dado por 2P Z > EP = 2P Z > 0.23 = 2 P Z 0.23 = 2 0.590 = 0.88 Claramente el p-valor es mayor que 0.05, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. 2. Se sabe que el diámetro de los agujeros para una montura de cable tiene una desviación estándar de 0.0 pulgadas. Se obtiene una muestra aleatoria de 0 monturas, donde el diámetro promedio resulta ser.5045 pulgadas. a Probar la hipótesis de que el diámetro promedio verdadero de los agujeros es de.50 pulgadas. Utilizar α = 0.0 y obtener las conclusiones. Debemos probar las hipótesis : µ =.5 vs. H : µ.5 asumiendo que la varianza poblacional es conocida. El estadístico de prueba para este caso está dado por: EP = X µ 0 σ/ n PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 2 N0,

La hipótesis nula se rechaza si EP > z α/2. De los datos se tiene que: EP =.5045.50 0.0/ 0 = 0.0045 0 0.0 =.4230 Por otro lado, si α = 0.0 α/2 = 0.005 α/2 = 0.995 z 0.995 = 2.58. Por lo tanto, como EP no es mayor que 2.58, no existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. b Calcular el p-valor de esta prueba y concluir. De acuerdo a la hipótesis alternativa, el p-valor está dado por 2P Z > EP = 2P Z >.42 = 2 P Z.42 = 2 0.9222 = 0.556 Claramente el p-valor es mayor que 0.0, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. c Construir un intervalo para el diámetro promedio verdadero de los agujeros al 95 % de confianza. De acuerdo a los datos, σ = 0.0. Luego construimos un intervalo de confianza para µ con varianza poblacional conocida. Entonces: µ = X ± z α/2 σ n =.5045 ±.96 0.0 0 Y se obtiene que con un 95 % de confianza los diámetros promedios de los agujeros para una montura se encuentra en µ.4983,.507. d Calcular β si el diámetro promedio verdadero del agujero es de.505 pulgadas. Sabemos que β = P No rechazar H es cierta. De acuerdo a lo anterior, tenemos: β = P EP 2.58 µ =.505 = P 2.58 X.5 0 2.58 µ =.505 0.0 = P.498 X.5082 µ =.505.498.505 0 = P Z.5082.505 0 0.0 0.0 = P 4.742 Z.09 = P Z 0.0 P Z 4.7 = 0.8438 0 = 0.8438 PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 3

3. Los siguientes datos fueron recabados en un experimento diseñado para verificar si existe diferencia sistemática en los pesos obtenidos con dos balanzas diferentes. Peso en gramos Roca Balanza Balanza 2.23.27 2 4.36 4.4 3 8.33 8.35 4 0.50 0.52 5 23.42 23.4 6 9.5 9.7 7 3.47 3.52 8 6.47 6.46 9 2.40 2.45 0 9.38 9.35 Probar si la diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las balanzas es significativa. Obtener las conclusiones. Primero que todo debemos tener claro que se trata de una prueba para la diferencia de medias para muestras pareadas. Luego debemos probar las hipótesis : µ D = µ µ 2 = 0 vs. H : µ D = µ µ 2 0, es decir, hay que investigar si hay diferencias significativas entre las medias de los pesos obtenidos con las balanzas. El estadístico de prueba para este caso está dado por: donde SD 2 = n n [d2 d 2 ] y d i EP > t n, α/2. EP = X Y S D / n tn = X i Y i. Aquí = 0 y la hipótesis nula se rechaza si La siguiente tabla muestra los detalles de los cálculos necesarios de d y S 2 D. Peso en gramos d i d 2 i Roca Balanza X i Balanza 2 Y i X i Y i X i Y i 2.23.27 0.04 0.006 2 4.36 4.4 0.05 0.0025 3 8.33 8.35 0.02 0.0004 4 0.50 0.52 0.02 0.0004 5 23.42 23.4 0.0 0.000 6 9.5 9.7 0.02 0.0004 7 3.47 3.52 0.05 0.0025 8 6.47 6.46 0.0 0.000 9 2.40 2.45 0.05 0.0025 0 9.38 9.35 0.03 0.0009 0.2 0.04 PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 4

Luego X Y = d = 0.2/0 = 0.02 y d 2 = 0.04/0 = 0.004. Con esto 0 S D = 9 [0.004 0.022 ] = 0.00082 = 0.02864 De los datos se tiene que: EP = 0.02 0.02864/ 0 = 2.20829 Por otro lado, si α = 0.05 α/2 = 0.025 α/2 = 0.975 t 9,0.975 = 2.262. Por lo tanto, como EP = 2.20829 no es mayor que 2.262, no existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Conclusiones: Según el estudio, los datos no dan suficiente evidencia para decir que las balanzas obtienen pesos muy diferentes. Por lo tanto, podemos decir que con un 95 % de confianza la diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las 0 rocas no es significativa. 4. Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenos de cierto tipo de automóvil. Si se sabe que para el sistema actual el verdadero promedio de distancia de frenado a 65 kilómetros por hora, bajo condiciones especificadas, es 20 pies corresponde a 36.576 metros. Se propone que el nuevo diseño se ponga en práctica solamente si los datos muestrales indican de manera contundente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el nuevo diseño. a Definir el parámetro de interés y establecer las hipótesis pertinentes. El parámetro de interés es el verdadero promedio µ de distancia de frenado, bajo condiciones especificadas. Las hipótesis adecuadas son : µ 20 vs. H : µ > 20. 5 ptos. b Supongamos que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente distribuida con σ = 0 pies. Representar con X el promedio muestral de la distancia de frenado para una muestra aleatoria de 36 observaciones. Cuál de las siguientes regiones es la más apropiada para rechazar la hipótesis nula? R = {X X 24.80} R 2 = {X X 5.20} R 3 = {X X 25.3 X 4.87} Si X está cercano a 20 pies, entonces la hipótesis nula no será rechazada con cierto nivel de significancia. Por lo tanto, todo indica que la región R es la más adecuada para rechazar la hipótesis nula declarada en a. 5 ptos. PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 5

c Cuál es el nivel de significancia más adecuado para la región seleccionada en la parte b? De acuerdo al item b tenemos que hacer un test para µ cuando la varianza poblacional es conocida. El estadístico de prueba para este caso está dado por: EP = X µ 0 σ/ n N0, Por definición, el nivel de significancia es la probabilidad de cometer el error tipo I, entonces: Por lo tanto α = 0.002. α = P Rechazar es cierta = P X 24.80 µ = 20 α = P X < 24.80 µ = 20 24.80 20 = P EP < 0/ 36 = P EP 2.88 = 0.9980 5 ptos. d Cómo cambiará la región de rechazo para obtener una prueba con α = 0.00? Debemos calcular el valor de c tal que α = P EP < c = 0.999. Utilizando la tabla de la normal, se tiene c = 3.09, entonces: 0.999 = P EP < 3.09 X 20 = P 0/ 36 < 3.09 3.09 0 = P X + 20 6 = P X 25.5 Por lo tanto, la región de rechazo para obtener una prueba con α = 0.00 está dada por R = {X X 25.5} 5 ptos. e Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño no se ponga en práctica cuando su verdadero promedio de distancia de frenado es en realidad 5 pies y se utiliza la región de rechazo seleccionada en la parte b? En este caso debemos calcular la probabilidad de cometer el error tipo II, es decir, obtener la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando el verdadero valor para µ = 5. Luego: PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 6 β = P No Rechazar H es cierta = P X < 24.80 µ = 5 24.80 5 = P EP < 0/ 36 = P EP 5.88 =.00

Por lo tanto β =.00. 5 ptos. PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3 7