SISTEMA DIÉDRICO III ABATIMIENTOS, GIROS, CAMBIOS DE PLANO.
SISTEMA DIÉDRICO III: ABATIMIENTOS, CAMBIOS DE PLANO Y GIROS 1- ABATIMIENTOS Los abatimientos se utilizan para hallar la verdadera magnitud ( v.m.) de superficies y aristas contenidas en planos. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 2
Abatimiento de un plano: Plano Proyectante Vertical: Sobre el P.H. : Sobre el P.V.: Plano Proyectante Horizontal: Sobre el P.H. : Sobre el P.V.: Plano Oblicuo: Sobre el P.H. : Sobre el P.V.: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 3
Abatimiento de formas planas: Contenidas en un Plano Proyectante Horizontal: Sobre el P.H. : Sobre el P.V.: Contenidas en un Plano Proyectante Vertical: Sobre el P.H. : Sobre el P.V.: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 4
Contenidas en un Plano Oblicuo: Sobre el P.H.: Sobre el P.V.: α2 α1 Des-abatimiento de formas planas: De un Plano Proyectante: -- De un Plano Oblicuo: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 5
Dado el plano α y la proyección vertical del polígono ABCDE contenido en él, determinar su proyección horizontal y calcular su verdadera magnitud y forma. Hallar la verdadera magnitud y forma del triángulo ABC y determinar las proyecciones de su ortocentro. (punto de corte de las alturas). Determinar la proyección vertical del cuadrilátero ABCD, contenido en el plano ω, y calcular la distancia, en magnitud real, desde el punto donde se coran las diagonales al lado AD. Abatiendo sobre el P.V. el plano que definen las rectas a y b, que se cortan en P, calcular la verdadera amplitud del menor de los ángulos que forman ambas rectas. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 6
Determinar las proyecciones de un hexágono regular situado en el plano β, de centro el punto O, longitud del lado 20 mm y está colocado de manera que dos de sus lados son horizontales. Dibujar las proyecciones de un rombo situado en el plano α, cuyo centro es el punto O y uno de sus vértices el punto M. Una de las diagonales mide 56 mm. Determinar las proyecciones de un cuadrado situado en el plano α, sabiendo que el punto P es uno de sus vértices y sobre la recta r está situado uno de los lados. Los puntos L, M y N son tres vértices consecutivos de un pentágono regular. Hallar las proyecciones de dicho pentágono. Se recomienda cuidar la precisión del trazado. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 7
Representar la circunferencia situada en el plano ω. Su centro tiene 21 mm de cota y 15 mm de alejamiento. El radio es de 20 mm. Hallar las proyecciones de un cuadrado de 20 mm de lado situado en el plano β, del que se conoce su traza vertical β2. De su centro, punto O, se conoce O2 y Oo, posición que ocupa al abatirlo sobre el P.V. Uno de los vértices del cuadrado tiene 20 mm de cota y el mayor alejamiento posible. Determinar las proyecciones de la circunferencia que pasa por los puntos A,B y C. Calcular las proyecciones de un triángulo equilátero situado en el plano α, del que los puntos A y B son dos de sus vértices. El otro vértice, C, ha de tener la mayor cota posible. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 8
Dado el plano α y la proyección vertical del cuadrilátero ABCD contenido en él, dibujar la verdadera magnitud del cuadrilátero efectuando el abatimiento de la traza vertical del plano. Dibujar las proyecciones del cuadrado situado en el plano β, sabiendo que el punto A es uno de sus vértices y que sobre la recta r está situado uno de los lados. Dibujar las proyecciones del hexágono regular contenido en el plano α. Su centro es el punto O, el lado mide 15 mm y dos vértices del polígono tienen el mismo alejamiento que su centro. Dibujar las proyecciones de la circunferencia contenida en el plano β. Su centro tiene 18 mm de cota y 20 mm de alejamiento. El radio mide 20 mm. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 9
EJERCICIOS ABATIMIENTO 1- Dibujar en un plano oblicuo (-3 5, 2 5, 3) un cuadrado de lados paralelos y perpendiculares a la traza horizontal del plano. Lado del cuadrado = 2 5 cm y origen O en el centro de la hoja. 2- Dibujar un cuadrado de lado 4 cm apoyado en un plano oblicuo (-2 5, 1 5, 2) sabiendo que los lados forman 30º y 60º con la traza horizontal del plano. (Origen en el centro de la hoja). 3- Dibujar las proyecciones de un pentágono de lado 2 cm, apoyado en un plano oblicuo (-4, 2 5, 3). (Origen en el centro de la hoja). 4- Determinar las proyecciones de un triángulo equilátero de lado 3 5 cm apoyado en un plano oblicuo (-3, 2 5, 3), sabiendo que tiene un vértice en la traza vertical del plano y el lado opuesto está a 3 cm de éste y forma 30º con la traza horizontal del plano. (origen en el centro de la hoja) 5- Determinar las proyecciones de un triángulo equilátero de l = 4 cm, apoyado en un plano proyectante vertical cuya traza 2 forma 45º con la LT, sabiendo que el lado opuesto al vértice de mayor cota del triángulo es perpendicular a la LT. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 10
2- CAMBIOS DE PLANO Este método consiste en cambiar uno de los planos de proyección (PH o PV), de modo que su nueva posición nos sea más favorable para resolver un ejercicio. Si tenemos las proyecciones de un punto y elegimos un nuevo plano de proyección: 1. Al hacer un cambio de plano deberá aparecer una nueva LT. 2. Ésta LT tendrá en cada extremo dos tracitos paralelos y una llave donde se especifique cual de los planos ha adoptado una nueva posición. 3. Las nuevas proyecciones estarán en una perpendicular a la nueva LT. Cambio de plano de un punto: - Cambiando el P.H. - Cambiando el P.V. A2 A2 A1 A1 Cambio de plano de una recta: -Convertir una recta oblicua en una frontal, de alejamiento 10 mm. -Convertir una recta oblicua en una horizontal de cota 15 mm. r2 r2 r1 r1 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 11
-Convertir una recta frontal en una vertical. -Convertir una recta horizontal en una de punta: -Convertir una recta oblicua en una de punta con 10 mm de cota. -Convertir una recta oblicua en una vertical, de alejamiento 10 mm. r2 r2 r1 r1 Cambio de plano de un plano: -Convertir un plano oblicuo en un proyectante vertical. -Convertir un plano oblicuo en un proyectante horizontal ANA BALLESTER JIMÉNEZ 12
Determinar las proyecciones de los puntos pertenecientes a la recta r, que distan, en magnitud real, 30 mm del punto P. Aprovechar el cambio de plano para calcular el ángulo que la recta r forma con el P.H. Efectuar los cambios de plano necesarios para conseguir que la recta a se transforme en perpendicular al P.V. con una cota de 15 mm. Calcular las nuevas proyecciones del triángulo ABC contenido en el plano α, al introducir la nueva línea de tierra representada, y el ángulo que este plano α forma con el P.V. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 13
3- GIROS Los giros se utilizan para calcular verdaderas magnitudes de segmentos lineales. Para realizarlos, siempre será necesario elegir un eje de giro. Giro de un punto: El eje de giro e, es una recta vertical o de punta que puede trasladar el punto girándolo en cualquier sentido. Giro de una recta: - Se eligen dos puntos de r: A donde el eje de giro corta a r y B, arbitrario - A estará en el mismo punto A - B lo hallamos trazando una recta // a LT por e1 y trasladando la distancia h. - Uniendo B con A obtenemos la recta girada y transformada en una recta frontal. Para transformar una recta en frontal, utilizaremos como eje una recta vertical. Para transformar una recta en horizontal, utilizaremos como eje una recta de punta. Giro de una recta hasta transformarla en frontal de alejamiento 15 mm. Giro de una recta hasta transformarla horizontal de cota 10 mm r2 r2 r1 r1 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 14
Giro de un plano: Si no nos dan el eje: Para convertirlo en proyectante vertical, colocaremos e1 en L..T. Para convertirlo en proyectante horizontal, colocaremos e2 en L.T. 2 2 1 1 Si nos dan el eje: Si el eje es una recta vertical, podremos convertirlo en un proyectante vertical. Si el eje es una recta de punta, podremos convertirlo en un proyectante horizontal ANA BALLESTER JIMÉNEZ 15
Por cambio de planos hallar gráficamente y expresar en milímetros la distancia real entre los puntos A y B. (El cambio de plano necesario efectuarlo tomando la segunda L.T. dada). Mediante un cambio de plano, hacer que el plano oblicuo β se transforme en proyectante horizontal. (Operar de modo que en el punto N se corten las trazas que se piden). Mediante un giro de eje e, en el sentido de las agujas del reloj, calcular gráficamente y expresar en milímetros la distancia real entre los puntos P y Q. Tomando como eje la recta e, girar el plano oblicuo α en el sentido de las agujas del reloj hasta que se transforme en proyectante horizontal. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 16
Girar el punto P, situado en el primer diedro, primero 240º en el sentido de giro de las agujas del reloj, alrededor del eje e1, y a continuación 90º en sentido inverso alrededor del eje e2. Expresar el diedro en que se encuentra P después de efectuados los giros, así como su nueva cota y alejamiento. Calcular la magnitud real del segmento MN girándolo alrededor de un eje perpendicular al P.V. que pasa por el punto N. Girar el plano α alrededor del eje e en sentido inverso al giro de las agujas del reloj, hasta convertirlo en proyectante vertical. Determinar las nuevas proyecciones del punto Q, perteneciente al plano α, después de efectuado el giro. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 17