Pensamiento numérico del preescolar a la educación básica GilbertoObandoZapata 6 NormaL.VásquezLasprilla 7 Introducción TalcomoloexpresaelMinisteriodeEducaciónNacionalensudocumentosobrelosLineamientos Curriculareseneláreadematemáticas 8,eldesarrollodelPensamientoNuméricoeselnuevo énfasissobreelcualdeberealizarseelestudiodelossistemasnuméricos.así,desdeelestudio profundodelossistemasnuméricos,sepuedendesarrollarhabilidadesparacomprenderlosnúmeros, usarlosenmétodoscualitativosocuantitativos,realizarestimacionesyaproximaciones,yengeneral, para poder utilizarlos como herramientas de comunicación, procesamiento e interpretación de la informaciónencontexto,conelfindefijarposturascríticasfrenteaella,yasíparticiparactivamenteen latomadedecisionesrelevantesparasuvidapersonaloencomunidad. elpensamientonuméricoserefierealacomprensiónengeneralquetieneunapersonasobrelos númerosylasoperacionesjuntoconlahabilidadylainclinaciónausarestacomprensiónenformas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones (McIntosh,1992). Desdeunaperspectivamásamplia,Resnick,1989(citadaporJudithSowder,1992),proponequeel pensamientonuméricodebeserconsideradocomounaformadepensamientosuperioryquepor tantodebepresentarcaracterísticascomo: Noalgorítmico,estoes,elcaminodelaacciónnoestátotalmenteespecificadodeantemano. Tiendeasercomplejo:elcaminototalnoesvisible(mentalmentehablando)desdeningúnlugaren particular. Abreuncampodesolucionesmúltiples,cadaunaconcostosybeneficios,antesqueunaúnicasolución. Involucrajuzgareinterpretar. Involucralaaplicacióndemúltiplescriterios,loscualesalgunasvecesentranenconflictoconotros. Involucralaincertidumbre:nosiemprequeiniciamosunatarea,conocemoselcaminoparasusolución. Involucraautorregulacióndelosprocesosdepensamiento,... Involucraimposicióndelsignificado,encontrandoestructuraenelaparentedesorden. Elpensamientoesesfuerzototal.Existeunconsiderabletrabajomentaleneltipodeelaboracionesy juiciosqueserequieren. 6 ProfesorFacultaddeEducación,UniversidaddeAntioquia.EstudiantedelDoctoradoInterinstitucionalenEducación,Universidad delvalle.email1:gobando@une.net.coemail2:gobando@ayura.udea.edu.co. 7 ProfesoraInstitutodeEducaciónyPedagogía,UniversidaddelValle.EstudiantedelamaestríaenEducación,Universidadde AntioquiaEmail:nlvasquez@ayura.udea.edu.co 8 MinisteriodeEducaciónNacional.(1998).Lineamientoscurricularesparaeláreadematemáticas.Bogotá,p131.
La anterior cita muestra como el desarrollo del pensamiento numérico es un proceso cuya construcciónimplicalargosperiodosdetiempo,yaqueinvolucranosoloaspectosconceptualesde lasmatemáticas,sinotambiéneldesarrollomismodelacogniciónhumana. EnlosLineamientosCurricularesseproponenideassimilaresapropósitodelosénfasissobreloscuales sedebeestructurarelcurrículodematemáticasenelsistemaeducativocolombiano: Elpensamientonuméricoseadquieregradualmenteyvaevolucionandoenlamedidaenquelosalumnos tienenlaoportunidaddepensarenlosnúmerosydeusarlosencontextossignificativos,ysemanifiestade diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular, es fundamentallamaneracomolosestudiantesescogen,desarrollanyusanmétodosdecálculo,incluyendo cálculoescrito,cálculomental,calculadorasyestimación,pueselpensamientonuméricojuegaunpapel muyimportanteenelusodecadaunodeestosmétodos.lainvencióndeunalgoritmoysuaplicación haceénfasisenaspectosdelpensamientonuméricotalescomoladescomposiciónylarecomposición,yla comprensióndelaspropiedadesnuméricas.cuandoseusaunalgoritmoyaseautilizandopapelylápizo calculadora,elpensamientonuméricoesimportantecuandosereflexionasobrelasrespuestas. Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico hacen referencia a la comprensióndelsignificadodelosnúmeros,asusdiferentesinterpretacionesyrepresentaciones,ala utilización de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los números,alaapreciacióndelefectodelasdistintasoperaciones,aldesarrollodepuntosdereferencia paraconsiderarnúmeros.engeneral,estospuntosdereferenciasonvaloresquesederivandelcontextoy evolucionanatravésdelaexperienciaescolaryextraescolardelosestudiantes.otroindicadorvaliosodel pensamientonuméricoeslautilizacióndelasoperacionesydelosnúmerosenlaformulaciónyresolución deproblemasylacomprensiónentreelcontextodelproblemayelcálculonecesario,loquedapistas paradeterminarsilasolucióndebeserexactaoaproximadaytambiénsilosresultadosalaluzdelos datosdelproblemasononorazonables. Elcontextomedianteelcualseacercanlosestudiantesalasmatemáticasesunaspectodeterminante paraeldesarrollodelpensamiento.portanto,paralaadquisicióndelsentidonuméricoesnecesario proporcionarsituacionesricasysignificativasparalosalumnos.claramente,elpensamientonuméricoes avecesdeterminadoporelcontextoenelcuallasmatemáticasevolucionan.porejemplo,mientrasun estudianteenlaescuelanoseincomodaporque514sealasumade28+36,elmismoestudianteenuna tiendapuedeexigirqueselereviselacuentasitienequepagar$5140pordosartículoscuyospreciosson $260y$380.Paraotroestudianteresultamásfácildecirqueen½libradequesohaymásquesoqueen ¼delibra,quedeterminarcualesmayorentre¼y½. Lamaneracomosetrabajenlosnúmerosenlaescuelacontribuyeonoalaadquisicióndelpensamiento numérico.losestudiantesquesonmuyhábilesparaefectuarcálculosconalgoritmosdelápizypapel (esteeselindicadormedianteelcualsemideconfrecuenciaeléxitoenmatemáticas)puedenestarono, desarrollandoestepensamiento. 3 5 8 Cuando un estudiante de 6 grado dice que 4 6 10 o un estudiante de 2 grado afirma que 40 36 16,estánintentandoaplicarunalgoritmoquehanaprendidoperonoestánmanifestando pensamientonumérico. MEN,1998,p43y44 Surgeentoncesunagranpreguntaparalaescuela: Cómoorganizarlaestructuracurriculardeláreade matemáticasconelfindelograreldesarrollodeunpensamientomatemáticoenlosestudiantes, coherenteconlosplanteamientospropuestosenloslineamientoscurriculares,estándaresbásicosde Matemáticas,yengeneral,conlosplanteamientosactualesdelaDidácticadelasmatemáticasenel ámbitonacionaleinternacional?porsupuesto,unintentoderespuestaniessimpleniinmediato. Eldesarrollodelpensamientonuméricodelosniñosempiezaantesdesuingresoalaescuela,cuando hacialosdosotresaños,atravésdelainteracciónconotrosadultos(fundamentalmentesuspadres) desarrollannosololashabilidadesycompetenciasrelativasallenguajematerno,sinoque,graciasa
esas interacciones, también desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico, las cualessemuestranen competencias relativas al conteo 9, percepción del cardinal de pequeñas colecciones 10,incluso,laposibilidaddecomposicionesydescomposicionesdelasmismas. Sibiennopuededecirsequeestasactuacionesconstituyanunconocimientoampliodelnúmeroni enelsentidomatemático(aunnopuedenreconocerselaspropiedadesmatemáticasbásicasdel sistemadelosnúmerosnaturalesnipsicológico(lacomplejidadlógicadeestosconocimientoses aunincipiente),sipuedeafirmarsequeestasprimerasintuicionesnuméricassonlabaseparael posteriordesarrollodelosaspectospsicológicosymatemáticosdelmismo. Desdeelpuntodevistapsicológico,sedebenestructurarlasoperacioneslógicasdeclasesde seriaciónydeinclusión,quesonlasquepermiten,siguiendoapiaget,laconstruccióndelanoción decardinalidad,yordenestable,yporconsiguiente,delnúmerocomounaclaselógica. Estaconstruccióndelosaspectoscognitivosdelnúmeroesunasuntodeldesarrollonormaldela persona,yelpapeldelaescuelaenesteprocesoesimportante,peronoenseñandolasactividades piagetianasdeseriación,clasificación,ordenación,conservación,etc.,sinoapartirdepromover situacionesenlascualeselpapeldelainteracciónsocialdelniñoconotrosniñosyadultossea factorfundamentalparaeldesarrollodeéstas,entantoqueleposibilitenelprocesodeadquisición delascompetenciaslingüísticas,pragmáticas,yconceptualesnecesariasparasudesarrollo.en otraspalabras,elaprendizajedelnúmeronoessolounproblemadedesarrollocognitivo,sinoque elcontextosocioculturalenelqueelniñodespliegasuactividadesdeterminanteenloslogrosque puedealcanzar. Asípues,aceptandoquelaescuelajuegaunpapelimportanteeneldesarrollodelpensamiento numérico,yqueesteesunprocesodelargaduración,sepuedenproponerlossiguientesaspectos sobreloscualescentrarlosesfuerzosenelcontextoescolar: Conocimientodelosmúltiplesusosdelosnúmeros. Elconteoylasestrategiasparaoperaratravésdelconteo. Lacomprensióndelasrelacionesylasoperaciones. Comprensióndelsistemadenumeracióndecimal. Sentidodenúmeroyestimación. Trascenderlosnúmerosnaturales. Elsiguienteesquemapresentarelacionesbásicasentrelosprincipalesconceptosrelacionadoscon elpensamientonumérico 9 Porcontarseentiendenoelrecitarlasecuenciadepalabrasnúmero,sinoalestablecimientodelacorrespondenciaentreéstasy losobjetosdelacolecciónquesedeseacontar.aunqueesdeanotarqueenesasedadessecometenmuchoserroresalestablecer estacorrespondencia,yqueelconteo,másquedarcuentadelacantidaddeobjetosdeunacolección(cardinal),loquehacees asignaretiquetasalosobjetoscontados(eltresnosignificatresobjetos,sinomásbieneltercerobjetocontado). 10 Desdeedadesmuytempranaslosniñosreconocenperceptualmentecoleccionesdehastatresocuatroobjetossinnecesidadde recurrirasuconteo.dichoprocesoseconocecomosubitizing.
Cardinal Ordinal Código Medida Dominio y uso de su Concepto de Verbal campo semántico Número Tratamiento de Simples Magnitudes Operaciones Básicas Múltiples Contar Medir Combinatori Estructuras Aditivas Discretas Continuas Orientadas/ Escalares Vectoriales Positivo/Negativo Positivo/Negativo Naturale Enteros No Densos Racionales Irracionales Densos Incompletos Números Reales 1.CONOCIMIENTODELOSMÚLTIPLESUSOSDELOSNÚMEROS Losnúmerosenlavidacotidianapuedenserusadosdemuchasmaneras:comosecuenciaverbal,para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locación, o simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel,1996). LosNúmeroscomosecuenciaverbal Representaciones Simbólicas Estaesquizásunadelasprimerasidentificacionesqueelniñohaceconrespectoalnúmero.Desdeuna edadmuytemprana,cuandoseiniciaeldesarrollodellenguaje,losniñoscomprendenqueexisten palabrasparareferirsealascosasolasacciones,yotraspalabrasespecialesconlascualesreferirseal contar 11. No quiere decir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identificanlaexistenciadepalabrasparareferirseaesaacciónesespecial. Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy importante en el aprendizajedelconteo:deunlado,permitequelosniñosaprendanlaspalabrasnúmero,ydeotro,con lacorreccióndeladulto,interiorizanelordenenqueellasdebenseraprendidas.sibienpronunciarlas palabrasnúmeronoescontarenelsentidoestrictodelapalabra,conocerlaspalabrasysuordenesuno delosaspectosclavesensuaprendizaje. Además,cuandoesteaprendizajesehaceunidoalasaccionesmismasdecontar,ynosoloapartirde acciónderepetirlaspalabrasnúmerocomosisetrataradeunacanciónounretahíladepalabras,éstas palabrasnúmeroseaprendenencontextoyconsignificado,loquehacemásfácillosaprendizajes posterioresconrespectoalnúmero. Escrita Algoritmos Estructuras Multiplicativas Posicional Base 10 Proporcionalidad 11 Así,hacialosdosaños,losniñosusanalgunaspalabras,comoporejemplo:unotrescinco,etc.,parareferirseaaccionesque indiquencontar,ycuandoselespidecontar,nousanotraspalabrascomo,gato,perro,etc.,quesoncomunesensuvocabulario.
Losnúmerosparaetiquetar Losnúmeroscomoetiquetastienenvariossentidos:deunladopuedeidentificarciertousoquedael niñoalaspalabrasnúmerocuandoestáenprocesodeaprenderacontar,perodeotro,puedereferirse alusoquealnúmerocomocódigodeidentificacióndepersonas,objetos,funcionesetc. Cuandoelniñoiniciaelaprendizajedelconteo,unaetapainicialdelprocesoestáreferidaalusodelas palabrasnúmerocomoetiquetas.estoes,paraelniño,cadapalabranúmeroenunciada,norepresenta lacantidaddeobjetoscontadoshastaelmomento,sinoelúltimoobjetoseñalado 12.Esdecir,lapalabra númeronoexpresacantidadsinoformasdenombrarlosobjetos.estosevasuperandoenlamedida quelosniñosinteriorizanlanocióndecantidad,ysobretodo,enlamedidaquereconocenymemorizan demaneraperceptuallascantidadesocoleccionesdemuestra.porejemplo,reconocendondehaydos otresobjetossinnecesidaddecontar 13. Elotrosentido,yanodependedelacomprensióndelniño,sinodelosusosculturalesdelnúmero.Los números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas de los jugadores de fútbol, etc., no comportanelsignificadodenúmeroenelsentidoestrictodelapalabra.sontansoloetiquetaspara identificaralgo:unapersona(lacédula),unacuenta(elteléfono)yunafunción(eljuegodelfútbol). Comopuedeverseenlosejemplosseñalados,condichosnúmerosnotienesentidolasoperaciones clásicasdesumarorestar,aunquesiindicanunaclasificación.estoes,losnúmeroscomoetiquetas cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta clasificaciónesmásdetalladaono.porejemplo,enelcasodeloscódigosdebarraqueidentificanlos productosquesevendenenunatienda,almacénosupermercado,lasbarrasrepresentanunasecuencia de números 14 los cuales se utilizan representar características del producto: fabricante, tipo de producto,nacionalidad,etc. Losnúmerosparacontar Como se verá más adelante, contar esuna acción fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico,sobretodo,aliniciodelasconceptualizacionesmáselementalesconrespectoalnúmero. Peronosiemprequeserepiteunasecuenciadepalabrasnúmeroseestáusandoelnúmeroensu sentidodecontar.losnúmerosseusanparacontar,cuandoelresultadofinaldelaacciónexpresala cantidad(cardinalidad)deunacoleccióndeobjetos. Entalsentido,establecercorrectamentelacorrespondenciaunoaunodelaspalabrasnúmeroconlos objetosdelacolecciónquesequierecontarnoessuficienteparaqueelnúmeroexpresecantidad, aunquesiescondiciónnecesaria.estasignificaciónselogra,cuandoenlaaccióndeestablecerla correspondenciabiunívoca,cadanuevapalabranúmerousadaexpresalatotalidaddeobjetoscontados hastaelmomento,ynotansolocomounaetiquetaquerepresentaelúltimoobjetocontado. Losnúmerosparamedir Enelmismosentidodelítemanterior,nosiempresetienelanecesidaddecuantificarcantidades 12 Estoseevidenciaenaccionescomolassiguientes:despuésdecontarcuatroobjetosselepreguntaalniñoquemuestredonde haytres,ygeneralmenteseñalaeltercerobjetocontado.estodemuestraquelapalabratresaunnosignificacantidad,sinouna formadeunodelosobjetoscontados. 13 Estereconocimientodelascantidadesinicialespuesdosobjetossiempreestánenlínea,mientrasquetressiempreestánen triángulo.deahíquelavisualizaciónjuegaunpapelimportante.además,culturalmente,seinducealniñoenlarepresentaciónde estascantidadesensusdedos,sobretodoapartirdesolicitarlequerepresentesuedadenlosdedosdelasmanos,enlosjuegos,al contaruno,dos,tres, (ysalte),etc. 14 Representarlosnúmerosporbarrasesunasuntodetecnología,puesdeesformasefacilitasulecturaelectrónica.
discretas.muyamenudo,sedebecuantificarmagnitudescontinuas.entalescasos,elnúmeroexpresa unacantidad,peroahoracomoresultadodeunamedición.enestoscasos,porlogeneralyanosetrata denúmeroenteros,sinodenúmerosracionales,oinclusodenúmerosirracionales. Losnúmeroscomoresultadodeunamedidaconstituyenunadelasfuentesdesentidoysignificado más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Es precisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente fenomenológicaparalaconstrucciónconceptualdelosdiferentessistemasnuméricos. Losnúmerosparaordenar Unidoaloanteriorestáelsentidodelosnúmeroscomocriterioorganizadordeunasecuencia.Setrata unsentidodelnúmeroenquenoessolocantidad,sinoqueatravésdelanocióndecantidadse establecelaorganizacióndeunasecuenciadeeventos,acciones,etc.enestesentidoelsignificadodel númeroenjuegonoeseldecantidad,sinoeldeorden.enestecaso,lanocióndecantidadesel referentebásicoparadefinirelordendeaquelloquesequiereorganizar. Todoloanteriormuestralanecesidaddeldesarrollodeunapropuestacurricularconunaampliariqueza desituacionesatravésdelascualeslosalumnospuedantomarconcienciadeestamultiplicidadde sentidosysignificadosdelosnúmeros. 2.ELCONTEOYELAPRENDIZAJEDELNÚMERONATURAL Porlogeneral,cuandosepiensaenelaprendizajedelnúmeronatural,sepiensabásicamenteenlos primerosaprendizajesqueelniñorealizaenelpreescolary/oprimeroprimaria.nadamáslejosdela realidadquetalplanteamiento.talaprendizajeestápresente,porlomenos,alolargodetodala educaciónbásica.estaafirmacióntanfuertedebesersustentadaconcuidado. Durantemuchotiempolasactividadesdeenseñanzadelnúmerocentraronlaatenciónenlastareas piagetianas sobre conservación, seriación y clasificación. Hoy en día se ha demostrado que estas actividadesnomejoranlacomprensiónnuméricadelosniños(decorteyverschafel,1996),yquepor elcontrario,centrareltrabajosobreelconteoylasestrategiasdelconteoatravésdelasoluciónde problemassencillos,traegrandesdesarrollosenlosprocesosdeconceptualizacióndelosalumnos. Enconsonanciaconlosplanteamientospiagetianos,ennuestrosistemaeducativoesmuycomúnla estrategiadeenseñarelconceptodenúmeronaturalapartirlanocióndecardinal,elcualsesuponees elresultadodelaabstraccióndeltrabajoconcolecciones 15.Unavez aprendidoslosnúmeros,asía secas,sepasaalestudiodelasoperaciones,elcualserestringebásicamentealaprendizajedelos algoritmosparacalcularlosresultados,ynodelasoperacionesensimismas.finalmentesetrabajala solucióndeproblemas,dondeseaplicanlosconceptosestudiadosanteriormente.estaperspectivade trabajodesarticulado,nopermiteeldesarrollodelpensamientonuméricotalcomoseproponeenlos LineamientosCurriculares. Saberelnúmero cinco esmuchomásquereconocerunacoleccióndecincounidades,oreconocerel numeral 5.Esreconocerque5es3+2,4+1,10 2,etc.,esreconocerque 3<4<5<6<7,espoderlo utilizarconsentidoparacomunicarsituacionesenlasqueélaparece,opoderresolversituaciones problemaenlasqueelcincoesteinvolucrado;ymuchomás. Porelcontrario,unaperspectivadetrabajoquetomecomopuntofundamentalparaelaprendizajedel conceptodenúmeronaturallassituacionesproblemaenlasqueestosintervienen,yatravésdeestas, 15 Así,soncomuneslasactividadesenlasquesemuestranlascoleccionesdeuno,dos,tres,cuatro,,elementos,generalmenteen formagráficaysincontextoalgunoquelesdensentidoysignificado,separadaseneltiempo(cadaunadeellasenunaclase diferente),seguidasposteriormentedeactividadescentradasenelreconocimientodelarepresentaciónsimbólicadecadaunode losnúmerosrepresentadosendichascolecciones.
conceptualizarlasrelaciones,lasoperacionesylaspropiedadesqueloscaracterizancomosistema numérico,sehacebastantepromisoria.nótesequeseestáplanteandounaprendizajedelnúmeroa travésdesuuso,ynoaprenderelnúmerodesdesusaspectosformales,paraluegoutilizarlo.paralograr talmeta,laaccióndecontaresunfactordeterminante. Lainteracciónsocialylosprimerosaprendizajesnuméricos Desdequelosniños,hacialosdosotresaños,iniciansuinmersiónenlalenguamaternaatravésdelas interaccionesconlosadultos,desarrollannosololashabilidadesycompetenciasrelativasallenguaje materno, sino que, gracias a esas interacciones con el adulto, también desarrollan una serie de intuicionessobrelonumérico,quesemuestranencompetenciasrelativasalconteo,percepcióndel cardinaldepequeñascolecciones,eincluso,laposibilidaddecomposicionesydescomposicionesdelas mismas. Si bien no puededecirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento ampliodel númeronienelsentidomatemático(aunnopuedenreconocerselaspropiedadesmatemáticasbásicas delsistemadelosnúmerosnaturales)nipsicológico(lacomplejidadlógicadeestosconocimientoses aun incipiente), si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numéricas son la base para el posteriordesarrollodelosaspectospsicológicosymatemáticosdelmismo. Quizásporpresumirantefamiliaresyamigos,quizásmotivadosporlaideadequelasmatemáticas hacenalaspersonasinteligentes,osimplementemotivadosporunanecesidadsocial,lospadres inducenalosniñosalaprendizajedelasecuenciadelaspalabrasnúmero.estasaccioneshacenque paulatinamente,elniñohacialostresocuatroaños,puedarecitarlaspalabrasnúmero,yenelorden apropiado,porlomenoshastaeldiez.erróneamente,lamayoríadelosadultosasumenqueesta recitaciónesunaevidenciadequeelniñosabecontar.enrealidad,elconteoimplicaotrotipode capacidadesquesuperanampliamenteesteniveldelarecitacióndelaspalabrasnúmero. Perocuandoestaintencionalidaddeladultosecontextualizadesdelasactividadescotidianasdelniño, fundamentalmentedesdesusjuegos,detalmaneraqueelaprendizajedelasecuenciadelaspalabras númeroserealicesobrelabasedeactividadesrealesdeconteo,entoncesselograyanosolorecitarlas palabras número, sino realmente contar en un rango alrededor de la decena, reconocer perceptualmentelacardinalidaddecoleccionesdehastatresocuatroelementos,oincluso,realizar composiciones y descomposiciones en los rangos numéricos dentro de los cuales se reconoce la cardinalidadperceptual. Realizarelanteriortrabajotienedoscondicionesbásicas:deunlado,aprovecharlasactividadesde juego espontáneas de los niños para inducirlos en actividades de conteo, y de otro, que estas actividadesdeconteogenerenlanecesidaddecomunicarcantidadesydecomunicarseatravésdelas mismas.esdecir,nosetratadeforzaractividadesdeconteo,sinodeaprovecharaquellasenlasqueel contarsepuedadesarrollardeformacasinatural,peroquealavez,esteconteoestémediadoporla necesidaddecomunicarleaotroslacantidadcontada. Porejemplo,enunjuegoconcubos,carros,omuñecas,eladultopuedeinduciralosniñosala necesidad de contar a través de un cuestionamiento sencillo: cuántos cubos, carros, muñecas tenemos?enestemomentosepuedeacompañarelactodecontardelosniños,ayudándolosenlos momentosenlosquepresentandificultadesparadarfeliztérminoasuacto.otrasituacióntípicaque seprestaparageneraraprendizajesnuméricoseselrelativoalaedad:alniño(a)continuamentesele cuestionaporsuedad,yélrápidamenteaprendeamostrarensusdedoscuantosañostiene,ycuando lohacemal,eladultolecorrigemostrándolecomodebeser. Comoseafirmóantes,estosaprendizajesnuméricosdelosniñoshaciatresocuatroañosdeedadaun distanmuchodeconstituirformalmenteelconceptodenúmero,pues,siguiendoapiaget,nohayen estosactosdeconteoevidenciadecardinalidad,ordenestable,yporconsiguiente,elnúmeronoexiste
comoclase.laausenciadecardinalidadsepuedeevidenciarensituacionestansimplescomoenelacto demostrartresdedosdeunamanopararepresentarunacantidad(comoporejemplosuedad): siempresonlosmismostresdedos,ynoaceptanqueotrostresdedos,oinclusoquedosdedosdeuna manoyunodelaotraseanelmismotres,enotraspalabras,eltresnoeslacantidad,sinolostresdedos queseusanparasurepresentación"ydeahílanegativaparaaceptarqueotraconfiguracióndededos tambiénrepresenteelmismotres.igualevidenciasepuedeverconlaspalabrasnúmeroqueseutilizan paracontar:cuandoelniñodice uno,dosytres,estaspalabrasnorepresentancantidadesdeobjetos, sinomásbienetiquetasparareferirseadichosobjetos,yportanto,el"uno",oel"dos",oel"tres"se refierenalprimero,alsegundooaltercerobjetocontadorespectivamente,ynoalascantidadesuno, dosotres. Laausenciadeordenseevidenciadeunladoenlaimposibilidaddelniñodeverlainclusióndeun númeroenelotro,porejemplo,deverqueeltrescontienealdos,ydeotro,queapesarderealizarel conteoenordencorrecto,elordenenqueserealizadichoconteoserefierenoalarelacióndeser mayoromenor,sinoalamaneracomofueronaprendidaslapalabrasnúmero. Todoestodesembocaenlaausenciadeunconceptodenúmerocomoclase,yaque,porejemplo,eldos esdiferentesegúnelcontextodondeesutilizado:doscarrosnoeslomismoquedosmuñecas,puesel dosserefiereacosasynoalacantidad.esdecir,existeunnúmeroparacadacolección,yelnúmerode unaesdiferentedelnúmerodelaotra. Peroapesardelasdistanciastangrandesqueseparanestasideasinicialesdelosniñosdelosconceptos formalesaceptadosenlaescuela,nosepuedepretenderdejarestedesarrolloconceptualalamera voluntaddeldestino,puessibienesciertoqueunaprendizajedelconceptodenúmeronaturaldebe darsesobrelabasedeldesarrollodeunasestructurascognitivas,tambiénloes,queelpapeldela interacciónsocialdelniñoesfundamentaleneldesarrollodeéstas,entantoqueleposibilitaun procesodeadquisicióndelascompetenciaslingüísticas,pragmáticasyconceptualesnecesarias. Enotraspalabras,elaprendizajedelnúmeronoessolounproblemadedesarrollocognitivo,sinoqueel contextosocioculturalenelqueelniñodespliegasuactividadesdeterminanteenloslogrosquepuede alcanzar. Elconteoylasestrategiasparaoperaratravésdelconteo Contaresunaacciónbásicaparaeldesarrollodelconceptodenúmeronatural,perosobretodo,siesta acciónestámediadaporlanecesidaddecomunicarointeractuarconotros:atravésdeunjuegopara determinarlosmarcadoresdecadajugador,paracomunicaraotroscuantosetienedealgo,para compararcantidades,etc.. 1 2 3 4 5 6 7 8 Dos caractrerísticas básicas del conteo:en primera instancia, un orden en la secuencia para no contar dos veces el mismo objeto, o no dejar ningún objeto sin contar (figura superior), y en segunda instancia, el carácter inclusivo de cada item de conteo: 8 contiene los demás números (figura inferior).
Elconteoesunesquemamentalcuyaconstruccióniniciaenlaetapasensoriomotorayqueseva desarrollandopaulatinamentehastaalcanzarnivelesabstractos.cadaunadelasetapasporlasque atraviesaesteprocesodeterminamomentosespecíficoseneldesarrolloconceptualdelnúmero.la construccióndeesteesquemaimplicaenelniñolacomprensióndelconceptodecoleccióncomouna totalidadcompuestasusceptibledesercomparada.peronoporelhechodequeelniñopercibala coleccióncomopluralidadestáencapacidaddecontarla.debeantetodopercibircadaelementodela coleccióncomounítemquepuedesercontado,delimitarclaramenteloselementosdelacolección,y establecerunacorrespondenciaunoaunoentrelasecuenciadelaspalabrasnúmeroylosobjetosdela colecciónquedebesercontada(estoes,nocontardosvecesunelementoodejaralgunosincontar). Asípues,contaresunprocesomedianteelcualseponenencorrespondenciabiunívocalosnúmeros naturalesconloselementosdeunacolección,ycomoyasedijo,recitarlaspalabrasnúmero,sin ningunareferenciaacorrespondenciaconítemsdeunacolecciónnoescontar.cuandoelniñoinicialos primerosaprendizajesdeesteprocesoseveenfrentadoamúltiplesproblemas,quevandesdeno conocerlosnombresdelosnúmerosonoconocerelordencorrectodeellos,hastalosrelativosconel establecimientodelcardinaldelacoleccióncontada.soloatravésdeenfrentarmúltiplessituacionesde conteo, el niño puede desarrollar los esquemas suficientes y necesarios para solucionar estos problemas. De otra parte, así como a través de las diferentes situaciones de conteo a las que el niño se enfrente le permiten adquirir una comprensión del número, estas mismas situaciones, en la medida que exigen la comunicación con otros (sobre todo si esta se realiza con lápiz y papel), también generan la necesidad de aprender a escribir los numerales 16.Aligualqueconelconteo,estenoesunaprendizajedefáciltránsito,quepartedelas representacionesespontáneasdelosniños(iconográficasmuchasveces)hastafinalmentellegarala escriturasocialmentecompartida.setratapuesnodeimponeralafuerzaunaescriturasimbólica,sino depermitirqueenlamedidaqueaumentelacomprensiónconceptualdelnúmero,tambiénmejorela formacomoésteserepresentaporescrito,yviceversa,queenlamedidaquesedispongadeformas más potentes de representación simbólica, entonces se tengan mejores herramientas para su comprensión. Finalmente,elconteoesunaherramientaimportanteparainiciarelaprendizajedelasoperaciones básicas, sobre todo las correspondientes a la estructura aditiva. La composición de dos o más a cantidades(partes)paraformarunaúnicacantidad(todo),osucorrespondienteoperacióninversa, descomponerunacantidaddada(todo),enunaomáscantidadesnonecesariamenteiguales(partes), sonunaimportantefuentedesentidoysignificadoparalasumaylarestarespectivamente.elconteo proporcionaestrategiasparaeltratamientodesituacionesqueinvolucrentantolacomposicióncomola descomposiciónaditiva. Lacomposiciónydescomposiciónaditivaseconstituyenenunodelosprocesosfundamentalesatravés deloscualeselalumnologralaestructuraciónconceptualdelnúmero.comotalnosonoperaciones matemáticas,sinoprocesosatravésdeloscualesseestructuraunentramadoconceptualbase,tanto paraelconceptodenúmero,comoparalasoperacionesaditivas(sumaysustracción). Ladescomposición,comosunombreloindica,consisteenlareparticióndeunacantidaddeterminada endosomáscantidadesmenoresqueella(éstasnonecesariamentetienenqueseriguales).asípor ejemplo,lacantidad5puedeserdescompuestaen1y5;2y3;3y2y4y1.lacomposicióneselproceso inverso,estoes,apartirdedosomáscantidadesdadas,encontrarlacantidadtotal.ambosprocesos 16 Símbolosgráficosconlosquerepresentamoslosnúmerosdeformaescrita,queparanuestrocaso,esatravésdeSistemade NumeraciónDecimal.
estánunidosalesquemabásicoaditivo:larelaciónpartepartetodo.así,enunprimermomentodela actividadintelectualdelalumno,lacomposiciónyladescomposiciónaditivaestánligadasalconteo,ya travésdeéste,segeneraunaseriedeestrategiasqueevolucionanenlamedidaquesedesarrolleel conceptodenúmeroydelasoperacionessumayresta. Técnicasdeconteo:Lacomposición Comoseindicóanteselprocesodelacomposiciónsedaunidoalaevolucióndelosesquemasde conteo. Esto es, las distintas estrategias a través de las cuales el niño soluciona las tareas de composiciónestándeterminadasporelniveldeabstracciónqueélhayaalcanzadoenlosesquemasde conteo.asísepuedendistinguirlassiguientesestrategiasbásicasdeconteoenestetipodeactividades: 1 2 3 4 5 6 7 8 Conteounoauno:enestaestrategiaelniño,antelaexigenciadetotalizardoscantidadesdadas,cuenta uno a uno los elementos de ambas colecciones, determinando que la última palabra número pronunciadaeselresultadodelatotalizaciónpedida.podríadecirsequeelniñoquerealizaestetipode estrategiaestáenunaetapaenlaquenolograrepresentarseunacantidadcomountodoapartirdel cualsepuedereiniciarunnuevoconteo.porestarazónparahallareltotaldebecontarunoaunoambas cantidades. Completarapartirdeunadelascantidadesdadas:enestaestrategiaelniñotomacomobaseunadelas cantidadesdadasyrealizaunconteocompletandolasegundacantidadapartirdelaprimera.este conteocompletandoexigealniñoelrealizarundobleconteo:unoquelepermitirádeterminarel resultadofinalyelotro,queledicecuandopararelprimerconteo.asíporejemplo,paradeterminar cuántosecompletaaljuntardoscoleccionesde4y5carameloselniñopuedecompletarunconteode cincounidadesapartirde4,diciendoporejemplo5,6,7,8,9,encuyocaso5significaunomás,6dos más,7tresmás,8cuatromásy9cincomás,yporlotanto9eselresultado. 4 5 6 7 8 9 Conteo uno: Permite hallar el resultado. uno más dos más tres más cuatro más cinco más Conteo dos: Permite determinar cuando parar el conteo uno.
Comopuedenotarseenelgráfico,elniñopararádecontarcuandohayacompletadocincoítemsenel conteo2.ahorabien,segúncomoserealiceelsegundoconteosepuedentenerdiferentesnivelesde abstracción,quevandesdelanecesidaddetenerloscincoobjetosparacontarlos(conteoperceptual), pasandoporlaposibilidadderepresentarlosfiguralmente,hastaquepuedaserllevadoenlamente comoítemsdeconteoabstracto. Totalizaciónsinrealizarelconteo:enestecasoelniñolograrealizarlatotalizaciónsinnecesidadde recurriralconteo.estoquieredecirqueelniñoyahainteriorizadodichadescomposicióncomoun hechonumérico,alcualpuederecurrircadavezquelonecesite. Esdedestacarquelasanterioresestrategiasnorepresentanunaestructuraciónjerárquicaycreciente enelprocesodeabstraccióndelacomposición,sinoqueelniño,enfuncióndelcontextodelatarea,y delrangonuméricodelamisma,desarrollaráunauotra.estoes,sepuedenencontrarniñosquefrente aunatareaprocedandeunadeterminadaforma,yenotratarealohagandesarrollandoestrategiasde otroorden. Técnicasdeconteo:Ladescomposición Enlamedidaqueelniñoavanzaeneltrabajodelacomposición,seledebenproponeractividades tendientesaladescomposición,lacualessuoperacióninversa.portalrazónsilacomposicióngenerala suma,estagenerarálaresta. Ladescomposiciónsedaenactividadesenlascualesapartirdeunacantidaddadasedebenhallardos omáscantidades(nonecesariamenteiguales)talesquealjuntarlascompletenlacantidaddada.la descomposiciónsebasaenlacomposición,yenlamedidaqueelalumnoconstruyeestrategiasparala composición de dos cantidades, también podrá desarrollar estrategias para la realización de la descomposición. 9 8 7 6 5 4 Conteo descendente: Permite hallar el resultado uno menos dos menos tres menos cuatro menos cinco menos Conteo ascendente: Permite determinar cuando parar el conteo descendente Paraquedesdeladescomposiciónsepuedagenerarlaresta,sedebeproponeractividadesenlascuales elniñodadaunacantidadyunadelaspartesdebahallarelotro,oactividadesdesustraerunacantidad deotra.lasestrategiasqueelniñodesarrollaparasolucionarestastareassonsimilaresalasdescritas anteriormente para la composición, en tanto que pueden ser de tipo perceptual, cuando el niño necesitaderealizarlaactividadfísica,derealizarlasustracciónoelcompletar.enelcasodequeelniño sepuedarepresentarlascantidadesaoperar,puedeserquelatareaseasolucionadaapartirde completar,encuyocasosetratadeunacomposición,opuedeserqueserealicelasustracciónatravés de un conteo descendente que determina el resultado final y un conteo ascendente interno que
determinacuándopararelconteodescendente.porúltimo,puedeserqueelniñorealicelaoperación sinnecesidadderecurriralconteo. Ladescomposiciónesunaherramientamuyútilcuandoelniñoseveenfrentadoarealizarlasumade dosomáscantidades.porejemploparasumar4y3puededescomponerel4en3y1,porloquesu sumasetransformaen3+3+1,lacualesmásfácilderealizar.igualmentesucedesisetratade cantidadesderangosmásaltos.enestoscasoslaherramientaeconomizacálculos. Técnicasdeconteo:losconteosdeunidadesmúltiples Otrotipodeconteosdesumaimportancia,sonaquellosenlosquelaunidaddeconteonoeslaunidad (1):setratadelosconteosdedosendos,detresentres,etc.Estosconteospermitendesarrollar estrategiasmáseficientespararesolversituacionesaditivas(sumasorestas)queinvolucrennúmeros grandes,ysobretodo,porquesirvendebaseparainiciaraprendizajesrelacionadosconsituaciones multiplicativas(multiplicacionesodivisiones). Deespecialimportanciasonlosconteosdecincoencincoydediezendiez.Estosconteos,sonclaves paraunabuenacomprensióndelsistemadenumeracióndecimal,yparadesarrollarestrategiasde cálculomentaleficientes. Enestoscasos,cuandoelconteosepuedehaceryanosolodeunoenuno,sinodedosendos,tresen tres,etc.,yademás,deformaascendenteydescendente,entonces,sedisponedeunaherramienta importanteparainiciarlacomprensióndelamultiplicaciónyladivisión. 3.COMPRENSIÓNDELSISTEMADENUMERACIÓNDECIMAL ElSistemadeNumeraciónDecimalesantetodounsistemasimbólicoparalarepresentaciónescritade losnúmeros.perocontrarioaloquepuedenpensarmuchaspersonas,suaprendizajenoescuestión sólodememoria,sinoquerequieredelaestructuracióndeunaseriedereglaslógicasyrelaciones,que constituyenelentramadoconceptualdeéste.porestarazón,esmuycomúnencontrarseconquelas personasutilizanelsistemadenumeracióndecimaldemaneramecánicaperonocomprendenporqué funciona.estasituaciónsehacemásevidenteenlosalgoritmosconvencionales,enloscuales,lalógica quelossustentadescansafundamentalmenteenelsistemadenumeracióndecimal. ElSistemadeNumeraciónDecimal(SND),esunsistemaposicional,multiplicativoydebase10. Queseaposicional,significaquelascifrasqueseescribenenelnumeral,tienenunvalorsegúnellugar ocupadoenelmismo.así,porejemplo,enelnúmero4745,elcuatrodelaizquierdanotieneelmismovalor queelcuatrodeladerecha.elprimerosignifica4x10 3,estoes,4veces1000,locualesequivalentea4000, mientrasqueelotrocuatrosignifica4x10 1,esdecir4veces10,locualesequivalentea40. Elsermultiplicativoquedaexpresadoenelhechodequeelvalorrelativodeunadeterminadacifraes calculadoapartirdelamultiplicacióndelacifraporalgunodelosfactores10 0,10 1,10 2,10 3,etc.,segúnellugar ocupadoporlacifra.deestamanera,elvalortotalexpresadoenelnumeral,quedadeterminadoporlasuma delosvaloresrelativosdecadaunadelascifrasquelocomponen. Encuantoalcarácterdecimal,setienequesubasees10yporendemaneja10símbolosparaexpresar cantidades.además,realizaagrupacionesde10yenconsecuencia,seconstituyedelasunidadesdeorden 10 0 denotadascomounidades,lasunidadesdeorden10 1 denotadascomodecenas,etc.estasagrupaciones seestablecenenordencrecienteeinclusivo:cadaunadeellasseconformadeunidadesdelasdelorden inmediatamenteanterior.deestaformaseestableceunaregladeequivalenciaquelasrelacionaentresi: todaunidades10veceslaunidaddeordeninmediatamenteanterioryladécimapartedelaunidad inmediatamentesuperior.esteprocesodeequivalenciaesdegranimportanciaeneldesarrollodelcálculo mentalyaquepermitelacomposiciónodescomposicióndeunnúmeroenlasdiferentesunidadesdel sistema.nodebeconfundirsedichoprocesoconlaidentificacióndelvalordeposicióndeunacifra.
Porejemplo,unacosaesqueenelnúmero150,enellugardelascifrasdelasdecenashallauncinco,yotra cosaesverqueesenúmerotieneentotal15decenas(ynocincocomocomúnmenterespondenlosalumnos). Losdosaprendizajessonnecesarios,esdecir,losalumnostienenquecomprenderelvalordeposicióndelas cifras,perotambiéndebencomprenderlasequivalenciasdelacantidadexpresadaenlasdistintasunidades delsistema.estacomprensiónpermitegenerarmúltiplesestrategiasdecálculosnoconvencionales,los cualescomosehainsistidoampliamente,sonmuyimportantesparadesarrollaenpensamientomatemático, ycomosemostrará,masadelante,esunacomprensiónclaveparalacomprensióndelosalgoritmos convencionales. Adicionalmente,elSistemadeNumeraciónDecimal,estáenestrecharelacióncondosaspectosdel aprendizaje de los números muy importantes: Los algoritmos de las operaciones básicas, y el aprendizajedelaspalabrasnúmero. Conteo recurrente de unidades Grupos de orden a n Unidades de orden a n Grupos de orden 10 n Unidades de orden 10 n Otras bases Valor posicional En comparación y contraste con En relación con Sistemas de medida (métrico, pesos, etc.) Base 10 LosalgoritmosparalasoperacionesbásicasyelSND Valor relativo de las cifras Descomposición polinómica Unidades del sistema Tipos de Unidades Equivalencia entre unidades Descomposición de un número las unidades Equivalencia entre las descomposiciones Algoritmos de las operaciones En relación con El número, sus operaciones y relaciones En relación con ElaprendizajedelasoperacionesbásicassefundamentaenlaspropiedadesbásicasdelSistemade NumeraciónDecimal:lascomposiciones,lasdescomposicionesylasequivalenciasenlasunidadesdel sistema,yelvalordeposición.porejemplo,siunalumnoquenacióen1993debecalcularsuedadenel año2001,entoncesdeberestarde2001,1993,lacualsesabeesbiendifícilderealizarapartirdel algoritmoconvencional.perosilosalumnosestánacostumbradosapensarentérminosdelsistemade NumeraciónDecimal,entoncespuedenver,el2001como2000+1(otambién,2 1000+1)yel1993
como1000+900+90+3(otambién,1 1000+9 100+9 10+3 1).Estalecturadelnúmerolepermite,por ejemplo,escribir, 2000+1 menos, 1000+900+90+3, yportantorealizarlarestadeizquierdaaderecha,inclusomentalmente,porejemplo,atravésdeuna secuenciadeoperacionescomolasiguiente:20001000=1000;1000900=100;10090=10;103=7y 7+1=8. Nótese que es un procedimiento no convencional, pero que manifiesta una muy buena comprensióndelosnúmeros.estetipodeprocedimientos,atodaslucessonpreferiblesalaaplicación mecánicadealgoritmos,enloscualesunalumnopuedeobtenercomorespuesta1002,ynoinmutarse porelresultado. Unaspectocentralseríaentoncescómollevaralalumnodesdeesasdescomposicionesparticularesen las unidades del sistema, y de los algoritmos particulares que se han inventado sobre dichas descomposiciones,alacomprensiónysignificacióndelasreglasdelosalgoritmosconvencionales. Fundamentalmentelosalgoritmosexpresanunaeconomíadepensamiento.Poresosintetizanuna granvariedaddeconceptos,yenesoradicasuimportancia.loimportanteesquesuaprendizajese base sobre lo que el alumno ya sabe hacer, y no como una imposición que haga desechar la comprensiónganada. LaspalabrasnúmeroyelSND ElaprendizajedelaspalabrasnúmeroestáestrecharelaciónconelSistemadeNumeraciónDecimalen tantoqueéstas,sibientienenciertaregularidadconrespectoalalógicadelaescrituradelonumerales enelsistema,enalgunosmomentosrompenconlamisma.porejemplo,paralosnúmerosentre0y9, cadanuevonúmeroseobtienealagregarunaunidadalnúmeroinmediatamenteanterior.paracada unodeestosnúmeroshayundeterminadosímbolo,yporsupuestounapalabranúmerodistinta.a partirdel10seinicialarepeticióndelosdiezsímbolosiniciales,perolosnombressonpalabrasnuevas. Paralosnúmeros11,12,13,14y15aunquesondiezyuno,diezydos,etc.,susnombressonpalabras nuevasquenocorrespondealalógicadesuconstrucción.desdeel16hastael19,losnombresdelos númerosylamaneracomoseestructuranenelsistemadenumeracióndecimalsonidénticas:diezy seis,diezysiete,etc.enel20serompenuevamentelaregularidadentrelaspalabrasnúmeroyel SistemadeNumeraciónDecimal,lacualserecuperaentreel21yel29.Apartirdeallíserompela secuenciasóloenlasdecenascompletas.estehechodelrompimientodeambasestructurasesfactor dedificultadenelprocesodeaprendizajedelanumeración. Teniendoencuentaestaestructuraysus correspondientesrelaciones,elsistemadenumeración Decimal,brindaventajasencuantoa: Laeconomíadesímbolosutilizadosenlarepresentacióndecantidadesporgrandesqueestassean. Lacapacidaddeescribirnumeralesdeformaclaraysinlugaradudadeconfundirtalexpresiónconotra. Lafacilidadpararealizarcálculosescritospuesseestablecenreagrupacionesenlosórdenesquese requieran. Laestructuradelsistemadenumeracióneslabasedeotrossistemascomoelsistemamétricodecimal. Esuniversalpuesesreferenteencasitodaslasculturas. Ensíntesis,lasunidadesdelsistemasonpotenciasde10.Serelacionanentresiapartirdelareglaser diezveces oladécimapartede.elvalordecadacifraenelnumeralquedadeterminadoporsu posiciónenelmismo.sucomprensiónesnecesariaparaeldesarrollodelcálculomentalydelos algoritmos(convencionalesono)delasoperacionesbásicas.suaprendizajeestáenestrecharelación conelaprendizajedelaspalabrasnúmero,tantoporlassimetríasentreambossistemas,comoporlas rupturasdeunoaotro.
4.LACOMPRENSIÓNDELASRELACIONESYLASOPERACIONES Lasrelacionesdeequivalenciaydeorden Larelacióndeequivalencia Eneltrabajoescolar,elsignoigualsepresentaalmenoscondossignificados:comooperadorycomo relacióndeequivalencia.unodeellos,elsegundo,esdesatendidoenlamayoríadepropuestasdeaula. El signo igual es entendido como un operador cuando éste expresa el resultado de realizar una determinadaoperación,porejemploen5+3=8.aquíelsímbolo igual significa8eselresultadode sumar5y3.odichodeotraforma,elsignoigualexpresaqueenseguidadeélsedebeescribirel resultadodeexpresarlaoperación,elcual,porsupuesto,debeserotronúmero. Elotrosentido, igualmenteimportante,eslaigualdadcomorelacióndeequivalencia(esdecirenelsentidomatemático derelacióndeequivalencia).enestecaso,elsignoigualexpresaquelasexpresionesacadaladodela igualdadsonlaunaequivalentealaotra,yportanto,puedensersustituidasunaalaotracuandosea necesario.estesentido,necesarioparaeltrabajoalgebraico,debeseriniciadodesdelosprimerosaños delaescolaridad,ydeestaformatenerbasessólidasparasucomprensiónenelcontextodeldesarrollo delpensamientovariación. Laigualdadcomorelacióndeequivalenciatienelassiguientespropiedades: Reflexiva: A=A Simétrica: SIA=BentoncesB=A Transitiva: SiA=ByB=CentoncesA=C Además,conlasoperacioneselementales(suma,resta,multiplicaciónydivisión)cumplelallamada propiedaddeuniformidad: Leyuniforme: SiA=BentoncesA*C=B*C Pero surge una pregunta, cómo lograr una estructura de trabajo en el aula que favorezca la comprensión de ambos sentidos de la igualdad?. Una opción es, en primer lugar, las actividades propuestasdebenfavorecerlareflexiónsobresusdiferentespropiedades,yensegundolugar,através delarelaciónqueestablecelapropiedaduniformeconlasdiferentesoperaciones,favorecereltrabajo conlascomposicionesydescomposicionesaditivasymultiplicativas. Asíporejemplo,atravésdeunjuegocomoelparqués,sepuedeanalizarlasdiferentesposibilidadesde obtener6utilizandolosdosdados. Seobtieneportantounasecuenciacomolasiguiente: 5+1;4+2;3+3;4+2y5+1 apartirdeloscualessepuedellegaraestablecerque5+1esequivalentecon4+2notantoporelhecho dequeambassumastienenelmismoresultado,sinofundamentalmente,porqueunodelossumandos (el5)hadisminuidoenunaunidad,yelotro,(el1)haaumentadoesamismaunidad.asípues,paraque se pueda reflexionar sobre el significado del signo igual como relación de equivalencia se deben proponeractividadesenlasqueelcontroldelamisma,esdecir,elestablecimientodelaequivalencia nodescanseúnicamenteenlasolucióndelaoperaciónindicada,sinoquesedebenpropiciarreflexiones sobrelasregularidadessubyacentesenlosprocesosdevariaciónnumérica. Adicionalmente, a partir del análisis de las regularidades numéricas presentes en los procesos de variación,sepuedenconceptualizarlaspropiedadesdelaigualdadcomorelacióndeequivalencia, fundamentalmentelapropiedadtransitiva,lacualeslamenosintuitivadelastres.
El sentido y significado del signo igual trabajado desde esta perspectiva, presenta relaciones importantesconrespectoalpensamientonuméricoyelvariacional.conrespectoalpensamiento numéricosetienelarelaciónentrelasoperacionesylarelacióndeequivalencia,unaampliacióndel sentidodelconceptodenúmeroyunaampliacióndelsignificadomismodelasoperaciones 17. Conrespectoalpensamientovariacionalsetieneeliniciodeunprocesodeconceptualizacióndela relacióndeequivalencia,elreconocimientodeinvariantesatravésdelestudiodeprocesosdevariación, yporestavía,seiniciaelprocesodeconceptualizarlanocióndevariable. Larelacióndeorden Aunqueenlaescuelasehablededosrelacionesdeorden:lasrelaciones mayorque (>)y menorque (<),enelsentidoestrictodelapalabrabastatrabajarunadeellas.dehecho,desdeelpuntodevista formalsolosedefinelarelación mayorque ().Así,seríamuchomásconvenienteiniciareltrabajocon larelación mayorque,yluego,mostrar,queelotrosímbolo,(<),esunamaneradistintadeexpresarla mismarelaciónentrelosnúmeros,sóloqueenestaocasión,elmenorseescribedeprimero.apesarde decirquea>b,tieneunsentidoequivalenteadecirb<a,paralosalumnosestaequivalenciaenlos sentidosdeambasexpresionesnoestransparente.ladistinción mayorque, menorque,esmás pedagógica que matemática, y puede ser la fuente de las dificultades de los alumnos, no para determinarcuandounnúmeroesmayoromenorqueotro,sinoparalautilizacióndelosdossímbolos. En este sentido, un trabajo de manera simultánea en ambas relaciones puede aumentar las confusiones,yencontraste,unafuertesignificacióndelauna,ysobreesabase,estudiarlaotrapuede ayudarasureconocersusdiferenciasysimilitudes.larelacióndeorden,asícomolarelaciónde equivalencia,tienesuspropiedadesmatemáticas 18 : Antireflexiva: AnoesmayorqueA Antisimétrica: SeanAyBdosnúmeroscualesquiera,siA>ByB>A, entoncesa=b Tricotómica: SeanAyBdosnúmeroscualesquiera,entoncessolounadelastressituacionesse puedepresentar:a>b,óa<b,óa=b Transitiva: SiA>ByB>CentoncesA>C 17Ensentido,ysiguiendoelconceptodesistemapropuestoporelDr.CarlosEduardoVascoenlarenovacióncurricular,se establecequelosnúmeros,lasrelacionesylasoperacionestienenvínculosmuyestrechosentantodelasoperacionespermitenla construccióndenuevosobjetosenelsistemas(estoes,números)ylasrelacionespermitenlaconstruccióndeproposicionessobre losobjetosysusoperaciones.deestamaneraselograampliarelconceptodenúmero,trascendiendolaideaclásicadequeun númeroesunacoleccióndeobjetos,ysemuestraqueunnúmeroestaenrelaciónconlasoperacionesquesepuedenrealizarcon ellos(cinconosoloesunacolecciónde5objetos,sino4+1,3+2,etc.).igualmentelaspropiedadesdelarelacióndeequivalenciase veráncomoafirmacionessobrelosnúmeros,loscualestienencarácterdegeneralidad(sonválidasparacualquiernúmero),esdecir, laspropiedadessonproposiciones. 18Lacomprensióndeestaspropiedades,sobretodolaantisimétrica,esbastantedifícilparalosalumnos.Estosobretodoporque losalumnos,alpensarendosnúmeros,dehechoalserdos,sondiferentes,yportanto,unoesmayorqueelotro,yporsupuesto, nohayningunaposibilidadquedemanerasimultáneaesemismonúmerotambiénseamenorqueelotro,luegoentonces, cómo puedenllegaraseriguales?.estaesunacomprensiónquesólopuededarsedesdelaformalidaddelateoría.portanto,habría necesidaddepensarestrategias,oinclusoalternativasdeformulacióndeestaspropiedadesdetalformaquesehaganmás intuitivasparalosalumnos.porejemplo,eldr.vasco,proponeformulacionescomolassiguientesparalaspropiedadesanti simétricasytricotómica: Antisimétrica:SiunoescogeunnúmeroalazarylollamaA,yhacelomismoperoalnúmeroquesalgalollamaByademáslosdos númerossondistintos,entoncessibesmayorquea,bnuncaesmayorquea. Tricotómica:SiunoescogeunnúmeroalazarylollamaA,yhacelomismoperoalnúmeroquesalgalollamaB,entoncessiempre sucedeunadetrescosas:obesigualaa,obesmayorquea,obesbesmenorquea. Particularmente,unaformulacióntaldelapropiedadantisimétrica,sibienesmásintuitiva,debilitasusignificado.
Ahorabien,larelacióndeorden,enunprimermomentodesuconceptualizaciónestáunidaalordende lasecuenciadepalabrasnúmero,asíporejemplo,5esmayorque3porque5estádespuésde3enla secuencia(aquíelordendelasecuencianoespensadotantoelsentidodelasecuenciaverbal,sino,en elsentidodelaorganizaciónespacialdelosnúmerosatravésdeunarectanumérica).paraquela relaciónestéconstituidacomotal,sedebellegaraestablecerqueunnúmeroesmayorqueotroporque hayunadeterminadacantidaddeunidadesdediferenciaentreelmayoryelmenor.enesteprocesode cuantificacióndeladiferencia,lasoperaciones unomás y unomenos ; dosmás y dosmenos ; etc.,sonfundamentales. Valelapenaanotarqueenelpreescolar,setrabajaconlaoperación elsiguientede,o elanteriora, peroambasrelacionesquedanunidas,alasecuenciaverbaldelaspalabrasnúmero,locualtraeuna fuenteadicionaldedificultades:5esmayorque3noporquesepronunciedespuésdel3enlasecuencia verbal,puessilasecuenciasepronunciaenordendescendente,sellegaríaalaconclusióncontraria.5es mayorque3porqueespacialmentequedadespuésdeltres,perosobretodo,porquetienedosunidades másqueel3.siestetrabajosehaceunidoalosoperadores unomas o unomenos,entoncesse preparademaneraclaraelcaminoparalaconceptualizacióndelasrelacionesdeordenenelsentido anterior,ydelascomposicionesdescomposicionesbásicas. Lacomprensióndelasoperaciones 19 Tradicionalmentealaprendizajedelascuatrooperacionesbásicassedestinaunabuenapartedelos cuatro primeros años de la educación básica. Pero además, este aprendizaje prácticamente está reducidoalaprendizajedelosalgoritmosconvencionalesyalaaplicacióndeestosalgoritmosala solucióndeproblemastípicos,clasificadossegúnlaoperaciónqueseestéestudiandoenelmomento. Eltrabajoasírealizadonopermitealosalumnosdesarrollarhabilidadesydestrezasenelcálculo mental, en la comprensión y la solución de problemas, en la comprensión misma del sentido y significadodelasoperaciones. Porejemplo,losalumnosanteunlasolucióndeproblemageneralmentelepreguntanalmaestro(a) la operaciónquehayquehaceresunasumaounaresta?.unavezqueelalumnoobtienelarespuesta resuelvecorrectamenteelproblema.estetipodesituacionesponeenevidenciaquelosalumnosno comprendenelsentidoysignificadodelasoperacionessumaryrestar,quizástansolosabenlos algoritmosconvencionalesparacalcularlosresultados.esmas,situándoseenunaposiciónextremase podríadecirqueestosalumnos,nosabenlasoperacionessumarorestar,tansolosabenunmétodo paracalcularlosresultadosdehacerestasoperaciones:losalgoritmosconvencionales. Operarycalcular Comoseesbozóantes,eltrabajoescolarsecentraenlaenseñanzadelosalgoritmosdelascuatro operacionesbásicas.constancekamii,ensulibro,reinventandolaaritméticaiii,postulaqueeste énfasisenlaenseñanzadelosalgoritmos,perjudica,antesquebeneficiar,eldesarrollodelpensamiento matemáticodelosniños.estoentantoquelautilizacióndelosalgoritmosconvencionalesdesdelos primerosañosdelaeducaciónbásicainhibequelosniñosinventensuspropiasformasderealizarlos cálculosrelativosalasoperacionesquedebarealizar,yportanto,generaunaexcesivaconfianzaenlos resultados que obtiene a través de ellos, y así al obtener resultados erróneos no tiene ninguna herramientaadicionalparaestimarlaviabilidaddesuresultado,quelaaprobacióndesuprofesor.esto claramenteatentacontralaautonomíaintelectualdelosalumnos. 19 EstasecciónsirviócomobaseparaeldocumentoGeneralizaciónyConceptualización:ElCasodelasEstructurasAditivas. PublicadoenCuadernosPedagógicos.Nro.16.P7590.UniversidaddeAntioquia.FacultaddeEducación.2001.
De otra parte, como se describió antes, la comprensión de las reglas del funcionamiento de los algoritmos básicos se fundamenta sobre la comprensión de las reglas de sistema de numeración decimal,lascuales,paralosniñosantesdecuartooquintogrado,estánlejosdesusposibilidadesde comprensión.quizásseaestalarazónporlacuallosmaestrossevenenlanecesidaddeempleartanto tiempoyesfuerzoparaenseñarunosprocesosalgorítmicos,queelestudiante,enelmejordeloscasos, terminamecanizandosinningunacomprensión,yquefinalmenteterminaconfundiendoyolvidando consumafacilidad. Sehacepues,necesarialadistinciónentrelaoperaciónyelcálculo.Laoperacióncomportaantetodoel aspectoconceptualligadoalacomprensióndelsentidoysignificadomatemáticoyprácticodelas operaciones;mientrasqueporsuparteelcálculoestáligadoalasdistintasmanerasquepuedenexistir paraencontrarunresultado,entrelascualessepuedendestacar:losalgoritmosconvencionalesylosno convencionales,elcálculomental,lautilizacióndeunacalculadora,deunábaco,etc. Así,eltrabajoenlaescueladebeiniciarporelestudiodelasoperaciones(nodelosalgoritmos), apoyado sobre formas de cálculo no convencionales (tales como las inventadas por los propios alumnos, o a través de ábacos, calculadoras, etc.), para desde estas estrategias particulares, fundamentarelaprendizajedelosalgoritmosconvencionales,sobrelabasedeunabuenacomprensión delosnúmeros,lasoperacionesyelsistemadenumeracióndecimal.así,loasalgoritmosestaránenla escuelanocomolaúnicamaneradecalcular,sinocomounaformaentreotras,eficienteenunocasos (porejemplo,parahacercálculosconnúmerosmuygrandes)innecesariosenotros(porejemplo, cuandosetrabajaconnúmerospequeños,oconnúmerosseguidosdeceros,talescomo3500+2000) 20. EneldocumentodelMENsobreloslineamientoscurricularesenmatemáticas(1988),seexpresalo siguienteapropósitodelacomprensióndelasoperaciones: Losaspectosbásicosquesegúnvariosinvestigadores(porejemplo,NTCM,1989;Dickson, 1991;Rico,1987;McIntosh,1992)sepuedentenerencuentaparaconstruirelsignificado delasoperacionesyquepuedendarpautasparaorientarelaprendizajedecadaoperación tienequevercon: Reconocerelsignificadodelaoperaciónensituacionesconcretas,delascualesemergen; Reconocerlosmodelosmásusualesyprácticosdelasoperaciones; Comprenderlaspropiedadesmatemáticasdelasoperaciones; Reconocerelefectodecadaoperaciónylasrelacionesentreoperaciones. Enelprocesodeaprendizajedecadaoperaciónhayquepartirdelasdistintasaccionesy transformaciones que se realizan en los diferentes contextos numéricos y diferenciar aquellosquetienenrasgoscomunes,queluegopermitanserconsideradasbajounmismo conceptooperatorio.porejemplo,lasaccionesmáscomunesquedanlugaraconceptos deadiciónysustracciónsonagregarydesagregar,reuniryseparar,accionesquetrabajan simultáneamenteconlaideadenúmero. Aldestacarlosaspectoscuantitativosdelasaccionesendondeelniñodescribelascausas, etapasyefectosdeunadeterminadaacción,enunasegundaetapaestáabstrayendolas diferentesrelacionesytransformacionesqueocurrenenloscontextosnuméricoshaciendo usodediversosesquemasoilustracionesconloscualesseestádandounpasohaciala expresióndelasoperacionesatravésdemodelos. MEN,1998 20 LaNCTM,ensusStandares2000,planteanquenotienesentidoutilizarlosalgoritmosconvencionales,porejemploeldelasuma, parasumarcantidadestalescomo8+5,o50+20.enestoscasossedebepromoverestrategiasdecálculo,comoelcálculomental. Peroestonoesposibledelograr,siloprimeroqueseleenseñaalniñosobrelasuma,eselalgoritmoconvencional.
Sentidodenúmeroyestimación Atravésdelcálculomentaldesdeestaperspectiva,sepuedenexplorarlasdistintaspropiedadesdelas operaciones,elsentidoysignificadodelasreglasbajolascualesoperanloscálculosabreviados,por ejemplo,lasreglasparamultiplicarpor10,100,1000,etc.,tambiéndesdeelcálculomentalsepuede estimularformasparticularesdehacerloscálculos. Además,esimportanteresaltarqueelcálculomentalnosolosedesarrollacuandoseoperaenla mente.tambiénsehacecálculomentalconlaayudainstrumentoscomoellápizyelpapel,ola calculadora.enestesentidomásgeneral,elcálculomentalhacereferenciaatodasaquellassituaciones en las que los alumnos tengan que hacer uso de los recursos del intelecto para solucionar una determinadasituaciónproblemayenlaquepuedenutilizarmúltiplesestrategias,procedimientosy herramientas. Conlosaprendizajesbásicosdelosprimerosañosdeescolaridadnoterminaeldesarrollodelsentido numérico. Este se hará más profundo en la medida que se disponga de nuevas herramientas matemáticasparapensaryrepresentarsemássignificativamentelosnúmeros. Porejemplo,losniñosmuyprontoaprendenquelosnúmerosnaturalessoninfinitos,locualsignifica unamultituddecosasparaellos:quesonmuchos,quenotienenfin,quesiemprehabráunomásgrande que otro cualquiera dado, etc. pero, todas estas ideas expresan el mismo sentido de número? Claramenteno.Cadaideaexpresaunniveldepensamientodistinto.Másaun,cuandolosalumnos puedanpensarlasimplicacionesmatemáticas 21 quetieneelhechodequelosdistintosconjuntos numéricosseaninfinitos,tendránunanuevaperspectivaparapensarelnúmero.obviamenteestas conceptualizacionesrelacionadasconlainfinituddelosdistintosconjuntosnuméricosnopuedenser pensadasconéxitoporlosalumnosdelosprimerosañosdelaeducaciónbásica. Conrespectoalaestimaciónvalelaresaltarqueesunaspectomuypocotratadoennuestrocurrículo. Prueba de ello son los bajos resultados obtenidos en la evaluación TIMSS en este aspecto. La estimaciónimplicaunpensamientoflexibleyunbuenconocimientodelosnúmeros,susoperaciones, sus propiedades, y sus relaciones. Sowder, 1992, plantea que existen tres procesos claves que caracterizanlosbuenosestimadores: Lareformulación:eselprocesodealterardatosnuméricosparaproducirunformamás manejablementalmenteperodejandolaestructuradelproblemaintacta. Latraslación:secambialaestructuramatemáticadelproblemaaotramentalmentemás manejable. Lacompensación:serealizanajustenquereflejanlasvariacionesnuméricasresultadodela reformulaciónotraslaciónrealizada. losbuenosestimadoressonindividuosquetienenlahabilidaddeusarlostresprocesos, tienen un buen conocimiento de hechos básicos numéricos, valor de posición, y las propiedadesaritméticas;sonhábilesenelcálculomental;sonconscientesytolerantesdel error;ypuedenusarunagranvariedaddeestrategiasycambianfácilmentedeestrategias. Sowder,1992 Laestimaciónseconstituyeentoncesenunaherramientadecálculopotente,sobretodoenaquellas situaciones en las que no se necesita un resultado exacto. La estimación también nos permite determinarlorazonabledeuncálculodeterminado. 21 Porejemplopodercomprenderquehaytantosnúmerosnaturalescomonúmerospares,esdecirqueelconjuntodetodoslos númerosnaturalestienelamismacantidaddeelementosqueelconjuntodetodoslosnúmerospares.oqueexistentantos númerosnaturalescomoenteros.
Trascenderlosnúmerosnaturales Elaprendizajedelconceptodenúmeronoseagotaconlosaspectosrelativosalconceptodelnúmero natural,yporendeseextiende,almenos,alolargodetodalaeducaciónbásica.enelcurrículose puedenidentificar,segmentosdedicadosalestudiodelosdiferentessistemasnuméricos,loscualesse encuentranseparadoseneltiempodeacuerdoanivelescrecientesdecomplejidadlógicaformal.pero apesardeestetrabajodiferenciado,losnivelesdeconceptualizaciónquesealcanzansonmuypobres, locualponeenevidenciaquerealmentelosalumnosnolograntrascenderunniveldepensamiento matemáticomásalládelosnúmerosnaturales 22. Trascenderlosnúmerosnaturalesdebeentenderseenelsentidodelanecesidaddeproveeralos estudiantesdeunconjuntoamplioycomplejodesituacionesatravésdeloscualespuedarealizarlas comprensionesconceptualesrelativasalosotrossistemasnuméricos,fundamentalmentelosenteros, losracionalesylosreales.sibienesciertoqueelestudioformaldealgunosdeestossistemassolo puededarsehacialosúltimosañosdelaeducaciónbásica,oincluso,enlaeducaciónmedia,tambiénlo esqueexistenmúltiplescontextosysituacionesatravésdelascualeslosestudiantepuedendesarrollar intuicionesprimariassobrelosenterosylosracionales,inclusodesdeelpreescolar.deestamanerase elaprendizajedelnúmeronaturalestáacompañadodeuntrabajoquemuestralaexistenciadeotros sistemasnuméricospreparándoseasíelcaminoparasuestudioformalenmomentosposteriores. Peroademás,eltrabajoformalenotrossistemasnuméricosdiferentesalosnúmerosnaturalesdebe ser desarrollado a partir de situaciones que permitan la construcción de los múltiples sentidos y significadosdecadaunodeellos.asíporejemplo,elestudiodelosnúmerosracionalesdebepermitirla construcción de los sentidos y significados relativos a medida, fracciones, razones, proporciones, porcentajes,campodecocientes.deigualforma,elestudiodelosnúmerosenterosdebedarseapartir desituacionesqueinvolucrenlasmedidasrelativas,yelcambiodemedidas,contextosdentrodelos cualessedanlasbasesfenomenológicasdeéstos. Deestamaneraselograqueelestudiodelosaspectosformalesdecadaunodelossistemasnuméricos, incluidoslosnaturales,estésustentadosobreunabasefenomenológicafuentedesentidoysignificado paracadaunodeellos. Bibliografía ALVAREZG,Jairo;TORRES,Ligia;GUACANEMEEdgar.Tercerestudiointernacionaldematemáticasy ciencias.análisisyresultadospruebadematemáticas.santafédebogota.1997 DECORTE,Lieven;VERSCHAFEL,Eric.NumberandArithmetic.InternationalHandbookofMathematics Education,1996,p. DICKSON,L.;BROWN,M.yGIBSON,O.,Elaprendizajedelasmatemáticas,Barcelona,EditorialLabor,S.A., 1991. DUVAL,Raimond.semiosisypensamientohumano:RegistrossemióticosyAprendizajesintelectualesPeter LangS.A.Editionsscientifiqueseuropéennes,1995.TraducciónalespañoldeMyranVegaRestrepo.1999. GARCÍA, Gloria, SERRANO, Celly. La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva cultural. Cuadernosdematemáticaeducativa.AsociaciónColombianadeMatemáticaeducativa.1999. GREER,Brain.MultiplicationandDivisiónasModelsofSituation.p276295. KAMII,Constance.ReinventandolaAritméticaIII.ImplicacionesdelaTeoríadePiaget.TraduccióndeGenís SánchezBeltrán.EdiciónVisor.1994. 22 Pruebadeello,seevidenciaenquelosestudiantesalfinaldelaeducaciónbásicanotienenunacomprensióndelossentidosy significadosdelosnúmerosracionalesoreales,oinclusodelosnúmerosnegativos.