PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Integral Profesional Teoría de Anillos Horas teóricas: 4 Horas prácticas: 1 Total de Horas: 5 Total de créditos: 9 Clave: F1104 Tipo : Asignatura Carácter de la Obligatoria asignatura Programa elaborado por: Dr. José Leonardo Sáenz Cetina L. M. Rodolfo Conde del Águila M.C. Jorge Enrique Valle Can Fecha de elaboración: Agosto 2004 Fecha de última actualización: Julio 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente Teoría de Grupos Si Asignatura subsecuente Seriación implícita No Presentación F1104 Teoría de Anillos 1/ 6
En los últimos cincuenta años el álgebra Abstracta ha alcanzado una importancia creciente no solo dentro de la propia matemática, sino también en otras disciplinas. En el curso del desarrollo prodigioso que ha tenido el álgebra se ha desembarazado de técnicas inadecuadas, para convertirse en una ciencia seductora por la elegancia de sus métodos y demostraciones, se aprecia en toda su pureza y razonamiento matemático y podemos afirmar que es un extraordinario producto de la imaginación humana. El curso forma parte del área sustantiva profesional de la estructura curricular de la y comprende en esencia el estudio detallado de la estructura algebraica que conocemos con el nombre de Anillo. Objetivo General Manejar las nociones fundamentales de la teoría de anillos: Dominio Entero, Ideal, Anillo Cociente, Operaciones con Ideales, Ideal Primo, Ideal Máximal, Homomorfismo de Anillos, Teoremas de Isomorfismo para Anillos, Anillos Euclideanos, en particular los Enteros Gausseanos y el anillo de Polinomios con coeficientes en un campo, y dominios de FACTORIZACION única para aplicarlos a la determinación de elementos irreducibles y criterios de irreducibilidad en anillos especiales como los enteros Gausseanos y los anillos de polinomios. Competencias (conocimientos, habilidades, actitudes, valores) que se desarrollaran en esta asignatura Desarrollo de la teoría de anillos y su relación con otras teorías. Competencias (conocimientos, habilidades, actitudes, valores) del perfil de egreso que apoya esta asignatura Desarrollo lógico de teorías matemáticas y sus relaciones entre ellas. Salón de clases, biblioteca. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciatura, Maestría o Doctorado en Matemáticas F1104 Teoría de Anillos 2/ 6
Contenido Temático Unidad No. 1 Introducción a la Teoría de Anillos Objetivo particular Familiarizar al alumno con la estructura algebraica de anillo. Hrs. estimadas 20 Temas 1.1. Definición de Anillo. 1.2. Tipos de anillos: asociativos, con elemento unitario, con división, conmutativos, dominios enteros, campos, etc. 1.3. Propiedades elementales de anillo. 1.4. Homomorfismos de anillos. 1.5. Núcleo e imagen de un homomorfismo. Resultados del aprendizaje Capacidad para comprender los conceptos básicos de la teoría de anillos así como sus propiedades y relaciones. Habilidad para establecer la inyectividad de un homomorfismo usando el núcleo. Capacidad para resolver problemas de la teoría de anillos que involucren el concepto de homomorfismo. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor, realizar ejercicios que permitan entender con claridad los conceptos. Revisar en cada clase los ejercicios propuestos con anterioridad. Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Realizar de dos a tres exámenes escritos parciales. Participación del alumno en clase. F1104 Teoría de Anillos 3/ 6
Unidad No. 2 Operaciones con Ideales Objetivo particular Familiarizar al alumno con las operaciones de ideales Hrs. estimadas 30 Temas 2.1. Ideales. 2.2. Anillo cociente. 2.3. Teoremas de isomorfismo. 2.4. Ideal maximal. 2.5. Ideal primo. 2.6. Teoremas relativos a ideales primos y maximales. 2.7. Operaciones entre ideales. 2.8. Característica de un dominio entero. 2.9. Campo de cocientes de un dominio entero. Resultados del aprendizaje Conocerá los conceptos de ideal, isomorfismo y los teoremas relativos a éstos. Habilidad para determinar cuando un subconjunto de un anillo es un ideal. Habilidad para resolver problemas que involucren el concepto de ideal y sus propiedades. Capacidad para calcular la característica de un dominio entero. Habilidad para describir el campo de cocientes de un dominio entero. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor, realizar ejercicios que permitan entender con claridad los conceptos. Revisar en cada clase los ejercicios propuestos con anterioridad. Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Realizar de dos a tres exámenes escritos parciales. Participación del alumno en clase. Unidad No. 3 Divisibilidad y Otros Ejemplos de Anillos Objetivo particular Comprender el concepto de divisibilidad en anillos. Hrs. estimadas 30 F1104 Teoría de Anillos 4/ 6
Temas 3.1. Anillo euclidiano. 3.2. Teoremas relativos a anillos euclidianos. 3.3. Divisibilidad, unidades, asociados, máximo común divisor y elemento primo en un anillo conmutativo. 3.4. Enteros Gausseanos (divisibilidad, unidades, asociados, primos gaussianos, algoritmo de la división, algoritmo de euclides, minimo común múltiplo, teorema de factorización única, etc.). 3.5. Anillos de polinomios. 3.6. Criterios de irreducibilidad. 3.7. Dominios de factorización única. Resultados del aprendizaje Capacidad para resolver problemas de divisibilidad en anillos. En particular conocerá los anillos Euclidianos, gaussianos y de polinomios. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor, realizar ejercicios que permitan entender con claridad los conceptos. Revisar en cada clase los ejercicios propuestos con anterioridad. Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Realizar de dos a tres exámenes escritos parciales. Participación del alumno en clase. Bibliografía básica 1. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra, 3 rd ed. USA: John Wiley & Sons Inc. F1104 Teoría de Anillos 5/ 6
2. Herstein, I. N. (1986). Algebra Abstracta. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 3. Herstein, I. N. (1970). Álgebra Moderna. México: Trillas. 4. Hilton, P. J. (1989). A Course in Modern Algebra. USA: John Wiley and Sons Inc. 5. Hungerford, T. W. (1990). Algebra. USA: Springer. 6. Neal, H. M. (1975). Introduction to Modern Algebra. USA: Allyn & Bacon. 7. Vargas, J. A. (1986). Álgebra Abstracta. México: Limusa. Bibliografía complementaria 1. Bahturin, Y. (1993). Basic Structures of Modern Algebra. Netherlands: Kluwer Academic Pub. 2. Birkhoff, G.; MacLane, S. A. (1977). A Survey of Modern Algebra. USA: McMillan. 3. Bob, P. B., Solomon, R., Ziolkowski, T. (2002). Abstract Algebra. USA: Thomson Learning. 4. Deskins, W. E. (1996). Abstract Algebra. USA: Dover Pubns. 5. Fraleigh, J. B. (1992). Álgebra Abstracta. México: Addison-Wesley. 6. Kaplansky, I. (1972). Fields and Rings. USA: The University of Chicago Press. 7. Kempf, G. R. (1995). Algebraic Structures. USA: American Mathematical Society. 8. Landin, J. (1990). An Introduction to Algebraic Structures. USA: Dover Pub. 9. Lang, S. (1967). Algebraic Structures. USA: Addison Wesley. F1104 Teoría de Anillos 6/ 6