UNIDAD II. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015
Tema 1. Conceptos Básicos de Probabilidades bilid d Introducción: los fenómenos que, generalmente son objeto de estudio, pueden describirse de dos maneras: Determinísticos: son aquellos que siguen una ley natural como por ejemplo las leyes de Newton, de Coulomb, de Ohm, de Kirchhoff, entre otras. Esto quiere decir, que si se estudian este tipo de fenómenos, bajo las mismas condiciones, siempre se obtendrá el mismo resultado.
Tema 1. Conceptos Básicos de Probabilidades bilid d Aleatorios: son aquellos fenómenos que no parecen responder a ninguna ley natural, por tal razón, si se estudian estos fenómenos, bajo las mismas condiciones, no necesariamente se obtiene el mismo resultado. Por esta razón, se indica que los resultados son aleatorios o que están sujetos al azar. Este tipo de fenómenos se estudian, estadísticamente, usando la teoría de las probabilidades. La disciplina llamada Probabilidades, trata de obtener leyes y hacer predicciones, sobre aquellos fenómenos que no parecen obedecer a ninguna ley de la naturaleza.
Experimento Los estadísticos utilizan este término para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos (observaciones). Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire, disparo de un proyectil y observar el comportamiento de la velocidad en el tiempo, p, resistencia de tubos circulares de acero, edad en que una mujer tiene a su primer hijo, entre otros.
Experimento Aleatorio En el caso de la estadística, interesan los resultados de experimentos que dependan del azar, y por lo tanto, no puedan pronosticarse con certidumbre.
Experimento Aleatorio En un estudio estadístico interesa, básicamente, la presentación e interpretación de resultados aleatorios que se obtienen en un estudio o investigación científica, como por ejemplo: Estudio de la cantidad de accidentes en una intersección, para justificar la instalación de un semáforo. Clasificación ió de los artículos de una línea de producción, como defectuosos o no defectuosos.
Experimento Aleatorio Conocer oce el volumen de gas que se libera en una reacción química, cuando la concentración de ácido varía. Nivel de colesterol en sangre. Efectividad de una prueba de embarazo. Longitud de las fisuras por fatiga en estructuras de concreto. Resistencia i a la compresión de un material empleado en la construcción de casas rurales.
Experimento Aleatorio Observando estos ejemplos se puede notar que los estadísticos frecuentemente manejan datos experimentales que representan: Conteos o mediciones. Datos categóricos que pueden clasificarse de acuerdo a algún criterio.
Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico y se denota como S. Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda únicamente se tienen dos posibles resultados, por lo cual el espacio muestral de este experimento aleatorio sería: S={cara, { sello}. }
Espacio Muestral Más de un espacio muestral puede utilizarse para describir los resultados del mismo experimento. En general, se desea utilizar el espacio muestral que En general, se desea utilizar el espacio muestral que proporcione la mayor cantidad de información posible.
Espacio Muestral Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda dos veces, se puede definir un espacio muestral como S={cc, { cs, sc, ss}, pero si en este mismo experimento se está interesado en contar la cantidad de caras obtenidas, el espacio muestral de interés sería: S={0, 1, 2}.
Punto Muestral Es cada resultado posible de un espacio muestral. En el ejemplo del lanzamiento de una moneda balanceada (S={cara, sello}), existen dos puntos muestrales: Cara y Sello.
Métodos para describir el espacio muestral de un experimento aleatorio Existen dos métodos para facilitar la escritura del espacio muestral: Diagrama de árbol. Enunciado o regla matemática.
Métodos para describir el espacio muestral de un experimento aleatorio Diagrama de árbol: se emplea para espacios muestrales no muy grandes y discretos. Ejemplo: escriba el diagrama de árbol para el lanzamiento de una moneda dos veces. c c s c s s S={CC,CS,SC,SS} se obtiene escribiendo, cada unas de las ramas del diagrama de árbol.
Métodos para describir el espacio muestral de un experimento aleatorio Enunciado o regla matemática: describe mejor los espacios muestrales que tienen una gran cantidad o infinita de puntos muestrales. Ejemplo: escriba el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar una flecha contra un blanco de diámetro D y se mide la distancia desde el punto de impacto hasta el centro del blanco.
Métodos para describir el espacio muestral de un experimento aleatorio X: distancia medida desde el punto de impacto en el blanco, hasta el centro del mismo. S={x/0 x D/2} x D
Evento o Suceso Es un subcojunto del espacio muestral. Se denota usando letras en mayúscula. A cada evento se le asigna una colección de puntos muestrales, que hacen que el evento sea verdadero, es decir, son los resultados del experimento aleatorio que hacen que el evento ocurra.
Evento o Suceso Cuando se está realizando un estudio, generalmente lo que interesa es la ocurrencia de un evento específico (hecho en particular), y no todos los posibles resultados del experimento aleatorio. Un evento puede incluir a todos los elementos del espacio muestral o no contener ninguno (vacío).
Evento o Suceso Ejemplo: el experimento aleatorio consiste en lanzar al aire un dado balanceado. Espacio muestral: S={1, { 2, 3, 4, 5, 6}. } Se pueden definir los siguientes eventos: A: resultado sea par. A={2, { 4, 6}. } B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6}. C: resultado sea mayor que 5. C={6}. D: resultado sea entero. D={1, 2, 3, 4, 5, 6}. E: resultado se mayor que 6. E={ }. F: resultado sea menor que 3. F={1,2}.
Diagrama de Venn Permite expresar gráficamente la relación entre eventos y el espacio muestral, el cual se representa por un rectángulo y los eventos con círculos que se dibujan dentro del mismo. A C B S
Complemento de un Evento El complemento de un evento A con respecto a S, es el conjunto de todos los elementos de S que no pertenecen al evento A. Se denota como A c. A S Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}; A={2, 4, 6}; A c ={1, 3, 5}
Operaciones con eventos Intersección: La intersección de dos eventos A y B, que se presenta por el símbolo (A B), es el evento que contiene a todos los elementos comunes a A y B. A B S A B
Operaciones con eventos Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6} B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6} A B={4, 6} Ambos eventos ocurren simultáneamente, si se obtiene alguno de estos resultados. Por ejemplo, si sale el 4 es un resultado par y mayor a 3.
Operaciones con eventos Unión: La unión de dos eventos A y B, que se presenta por el símbolo (A B), es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A, ó a B ó a ambos. A B S A B
Operaciones con eventos Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6} B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6} A B={2, 4, 5, 6}
Operaciones con eventos Diferencia: La diferencia de dos eventos A y B, A - B, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. S A - B A B
Operaciones con eventos Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6} B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6} A - B={2}.
Eventos Mutuamente Excluyentes Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si A B =, esto es si A y B no tienen elementos en común. Esto quiere decir que los eventos A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el resultado del experimento aleatorio.
Eventos Mutuamente Excluyentes Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6} F: resultado sea menor que 3. F={1,2} {12} B F = Esto indica que al lanzar un dado no es posible obtener un resultado que sea divisible i ibl entre 3 y menor a dicho valor.
Ejemplos de espacios muestrales y eventos
Ocurrencia y Clasificación: conteo de puntos muestrales Uno de los factores que deben tomarse en cuenta cuando se lleva a cabo un experimento, es la aleatoriedad que está asociada a la ocurrencia de los eventos de interés.
Ocurrencia y Clasificación : conteo de puntos muestrales Dicho factor pertenece al campo de las Dicho factor pertenece al campo de las probabilidades, donde en muchas ocasiones es necesario realizar el conteo de la cantidad de elementos que tiene el espacio muestral del experimento, sin tener que anotar cada uno de ellos.
Ocurrencia y Clasificación : conteo de puntos muestrales Algunas de las técnicas de conteo de puntos muestrales son: Regla de la multiplicación. Regla de la suma. Permutaciones. Combinaciones.
Regla de la Multiplicación Si una operación puede llevarse a cabo en n1 formas diferentes, y si por cada una de estas una segunda operación puede llevarse a cabo de n2 formas diferentes, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n1x n2 formas.
Regla de la Multiplicación Ejemplo: lanzamiento de dos dados n1=6 y n2=6, por lo tanto, n1x n2=6x6=36 Por supuesto que esta regla puede generalizarse para k operaciones diferentes.
Regla de la Suma Si un suceso puede ocurrir de n1 formas diferentes, y otro suceso puede ocurrir de n2 formas diferentes, si no es posible que los dos sucesos ocurran simultáneamente, habrá n1+n2 formas de que ocurran los sucesos 1 ó 2.
Regla de la Suma Ejemplo: Para mañana puede decidir ir a la montaña a pie, en teleférico o en su carro, o puede decidir ir a la playa en bus, en moto, en bicicleta o en su vehículo. Cuántos planes hay para decidir lo que va a hacer mañana?
Regla de la Suma Ir a la montaña: 3 formas, n1=3 Ir a la playa: 4 formas, n2=4 Como no puede ir a la playa y a la montaña a la vez, en total hay 3+4=7 planes posibles de paseos para mañana.
Permutaciones Es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de objetos. Existen varios tipos de permutaciones: Permutación de n objetos distintos: Pn = n! Permutación de n objetos distintos, tomados en grupos de r objetos a la vez: n Pr = ( n n! r)!
Permutaciones Permutación circular: cu acomodar oda objetos os en círculo: cu Pn=(n-1)! Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, nk son de un k-ésimo n! tipo, es: n1! n2!... nk! Permutación de n objetos a ser repartidos en r celdas, con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda celda, con nr elementos en la r-ésima celda, es: n n! donde n=n1+n2+ +nr = n1, n2,... nr n1! n2!... nr!
Combinaciones Es la cantidad de posibles formas de seleccionar r objetos de un total de n, sin importar el orden de selección. Es como si se tomaran los r objetos al mismo tiempo. n = r n! r! ( n r)!
Noción de Muestreo Muestreo aleatorio con reemplazo: en este caso, generalmente importa el orden en el cual fueron seleccionados los objetos de la muestra (regla de la multiplicación: li ió n k ). Muestreo aleatorio sin reemplazo y teniendo en cuenta el orden de selección de la muestra (permutación). Muestreo aleatorio sin reemplazo sin tener en Muestreo aleatorio sin reemplazo sin tener en cuenta el orden de selección de la muestra (combinación).
Noción de Muestreo Ejemplo: en una caja hay 4 pelotas numeradas 1, 2, 3, 4. Cuántas muestras aleatorias se pueden obtener al seleccionar al azar 3 pelotas?: Con reemplazo: siempre hay 4 pelotas al momento de hacer la selección, por lo tanto se usa la regla de la multiplicación: 4 x 4x 4 = 64 muestras posibles.
Noción de Muestreo Sin reemplazo teniendo en cuenta el orden de extracción en la muestra: Si importa el orden se usa una permutación 4P3=4!/(4-3)! = 24 muestras Sin reemplazo sin tener en cuenta el orden en la muestra: Si no importa el orden se usa una combinación: Si no importa el orden se usa una combinación: 4C3=4!/(3!(4-3)!) = 4 muestras.
Ejemplos de conteo de puntos muestrales
Tema 2. Teoría de las Probabilidades bilid d El interés del hombre por los juegos de azar, fue lo que condujo al desarrollo de esta teoría. Se acudió a matemáticos para que hicieran estudios y propusieran estrategias óptimas para diversos juegos de este tipo. Algunos de los matemáticos que accedieron a este pedido fueron Pascal, Leibniz, Fermat y James Bernoulli.
Teoría de las Probabilidades Esta teoría se ha extendido mucho más allá de los juegos de azar para abarcar muchos otros campos que se relacionan con los sucesos aleatorios, como la política, los negocios, el pronóstico del tiempo y la investigación científica.
Teoría de las Probabilidades Para que las predicciones y generalizaciones sean lo Para que las predicciones y generalizaciones sean lo más exactas posibles, resulta esencial contar con un entendimiento claro de la teoría básica de la probabilidad, de la información que se tiene del pasado y de la comprensión de la estructura del experimento.
Concepto de Probabilidad Mide la frecuencia con la que aparece un resultado Mide la frecuencia con la que aparece un resultado específico, cuando se realiza un experimento aleatorio.
Tipos de probabilidades Según el conocimiento que se tiene antes de realizar un experimento aleatorio, las probabilidades puede clasificarse como: A priori: es necesario conocer, antes de realizar el experimento, cuáles son los posibles resultados y sus probabilidades de ocurrencia. A posteriori: se debe repetir el experimento varias veces para conocer los valores de las probabilidades de los posibles resultados.
Probabilidades a Priori
Probabilidad de un evento La probabilidad de un evento A, es la suma de las probabilidades de cada uno de los puntos muestrales de A. Por lo tanto, 0 P(A) 1 P( ) = 0 P(S) = 1
Definición clásica de Probabilidad Definición clásica ó Regla de Laplace: Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes,,g igualmente factibles (equiprobables), y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad de A es: P ( A) = n N
Definición clásica de Probabilidad Esta definición se conoce como probabilidad a priori, ya que para aplicarla es necesario conocer, antes de realizar el experimento, cuáles son los posibles resultados y saber que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (equiprobables).
Definición clásica de Probabilidad Ejemplo: si se lanza al aire una moneda balanceada dos veces, cuál es la probabilidad de que caiga cuando menos una vez en cara? S={CC, CS, SC, SS} C: cara y S: sello. Evento: A: la moneda caiga cuando menos una vez en cara. A={CC, CS, SC}
Definición clásica de Probabilidad Para aplicar la definición clásica de probabilidad o Regla de Laplace, se debe conocer de antemano que los 4 posibles resultados de este experimento tienen la misma probabilidad de presentarse. Entonces, N = 4 resultados que tiene el espacio muestral. n = 3 resultados que pertenecen al evento A. P(A) = ¾
Definición clásica de Probabilidad Esta definición no puede usarse siempre, puesto que algunas veces los resultados posibles del experimento aleatorio, no son igualmente probables y otras veces puede existir una infinidad de resultados posibles.
Definición de Probabilidad frecuencial En estos casos puede usarse la definición de probabilidad frecuencial (probabilidad a posteriori): si al repetir un experimento N veces, el evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa de A es: n f ( A) = P( A) N
Definición de Probabilidad frecuencial Ejemplo: Se está interesado en estudiar la cantidad de veces que debe lanzarse una moneda, hasta que se obtenga una cara por primera vez. Todos los posibles resultados son 1,2,3,4, En este caso el resultado 1 tiene probabilidad ½ (salga cara en el primer lanzamiento), en cambio el resultado 4 (salga cara por primera vez en el cuarto lanzamiento) tiene probabilidad de 1/16.
Definición de Probabilidad frecuencial Por lo tanto los resultados del experimento NO son equiprobables, no puede usarse la Regla de Laplace sino la definición de probabilidad frecuencial.
Teoremas Básicos de las Probabilidades bilid d A continuación se presentan los teoremas básicos de las probabilidad a priori: Regla de Laplace. Sea S un espacio muestral y P una función de probabilidad definida sobre S, la probabilidad de que un evento A no ocurra (complemento de A c ) es: P(A c ) = 1 P(A)
Teoremas Básicos de las Probabilidades bilid d Sea S un espacio muestral con su función de probabilidad asociada P, entonces se cumple que 0 P(A) 1 para cualquier evento A en S. Sea S un espacio muestral con su función de probabilidad asociada P, si es el conjunto vacío o nulo, entonces P( ) = 0.
Reglas Aditivas Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad de un evento a partir de las probabilidades de otros eventos. Esto es cierto si el evento en cuestión puede presentarse como la unión de los otros dos eventos o como el complemento de alguno.
Reglas Aditivas 1. Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) 2. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces: P(A B) = P(A)+P(B) Demostración: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes A B=. Además se sabe que P( )=0, por lo tanto P(A B)=0.
Reglas Aditivas Estas reglas se pueden generalizar para 3 o más eventos. Por ejemplo para 3 eventos serían: 1. Regla 1: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(A C)- P(B C)+ P(A B C) 2. Regla 2: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C)
Ejemplos de cálculo de probabilidades y reglas aditivas
Probabilidad Condicional Una probabilidad condicional de un evento ocurre, cuando la probabilidad se afecta por el conocimiento de otras circunstancias. Una característica de todo problema de probabilidad condicional, es que implica una reducción del espacio muestral.
Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos de un espacio muestral S, tal que P(B)>0. La probabilidad condicional del evento A, cuando ha ocurrido el evento B, es: P( A/ B) = P( A B) P(B) ( )
Ejemplo Una universidad tiene 30000 estudiantes de los cuales 16000 son hombres y 14000 son mujeres. Se sabe que 270 hombres y 30 mujeres que estudian en esta universidad, tienen una estatura superior a 190 cm. a) Determine la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga una estatura superior a 190 cm. b) Si se sabe que el estudiante elegido al azar es un hombre, cuál es la probabilidad de que su estatura sea superior a 190 cm?
Ejemplo Parte a) 1. Entender el experimento aleatorio. 2. Definir los eventos de interés: A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm. P(A)=? 300 P ( A ) = n = = N 30000 0.01000100 Es muy poco probable que el estudiante tenga una estatura superior a 190 cm.
Ejemplo Parte b) Definir los eventos de interés: A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm. B: estudiante seleccionado es hombre. P(A/B)=? 270 P(A B)=270/30000 P( A/ B) = 30000 = 16000 30000 P(B)=16000/30000 Es muy poco probable que el estudiante que es hombre tenga una estatura superior a 190 cm. 0.0169
Reglas Multiplicativas Estas reglas permiten calcular la probabilidad de que dos eventos ocurran simultáneamente. Regla 1: Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces: P ( A B ) = P ( A ) P ( B / A ) como A B es equivalente a B A, entonces: P ( B A ) = P ( B ) P ( A / B )
Reglas Multiplicativas Regla 2: Dos eventos A y B son independientes, si y solo si: P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
Reglas Multiplicativas Dos eventos mutuamente excluyentes A y B, no pueden ser independientes (excluyendo el caso trivial cuando P(A)=0 ó P(B)=0). ) A B S A B = P(A B)=0 P(A B) P(A)P(B)
Ejemplos Ejemplos de cálculo de Probabilidades Condicionales y reglas multiplicativas
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i En el caso de que los resultados de un experimento aleatorio, no posean igual posibilidad de ocurrencia o que exista una infinidad de posibles resultados, el problema de asignar probabilidades ocurre a posteriori.
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Este cálculo de probabilidades se basa en la experiencia: cuando se realiza un experimento aleatorio una cantidad elevada de veces, las probabilidades de los diversos eventos empiezan a converger hacia ciertos valores, que son sus respectivas probabilidades a posteriori.
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i En estos casos puede usarse la definición de probabilidad frecuencial (probabilidad a posteriori): si al repetir un experimento N veces, el evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa de A es: n f ( A) = P( A) N
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Se observa experimentalmente que a medida que N aumenta, la relación n/n tiende a un valor estable p. Este valor p recibe el nombre de probabilidad del evento A: P(A).
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Cualquier problema de este tipo de probabilidades a posteriori, se puede resolver usando el: Teorema de la Probabilidad Total, ó Teorema de Bayes.
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Teorema de la Probabilidad Total. Este teorema permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionadas. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta que los eventos Bi, formen un sistema completo o partición del espacio muestral S, es decir, que contemplen todas las posibilidades, P(B 1 )+P(B 2 )+ +P(B k )=1
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Teorema e de la Probabilidad Total: : Si los eventos B1, B2,, Bk constituyen una partición del espacio muestral S, de tal forma que P(Bi) 0 para i=1,2,,k, entonces para cualquier evento A de S: P k ( A ) = P ( B = A i ) i= 1 i= 1 k P ( B i ) P ( A/ B i ) B1 B3 A B2 B4
Tema 3. Probabilidades a Posteriori i Teorema de Bayes Este teorema surge al seguir el proceso inverso que se sigue en el Teorema de la Probabilidad Total: a partir de que ha ocurrido el evento A (p.e. ha ocurrido un accidente), se deducen las probabilidades de los eventos Bi ( estaba lloviendo ó estaba soleado?)
Tema 3. Probabilidades a P t i i Posteriori Teorema de Bayes: Si los eventos B1, B2,, Bk eo e a de ayes: S os eve os,,, constituyen una partición del espacio muestral S, de tal forma que P(Bi) 0 para i=1,2,,k, entonces para cualquier evento A de S: = = r r r B A P B P A B P A B P ) / ( ) ( ) ( ) / ( = = k i i i k i i r B A P B P A B P A B P 1 1 ) / ( ) ( ) ( ) / ( B1 B3 A B2 B4
Ejemplos de cálculo de Probabilidades a Posteriori