UNIVERSIDD DE LOS NDES FCULTD DE INGENIERI ESCUEL DE INGENIERI ELECTRIC LBORTORIO DE COMUNICCIONES LBCOM TRNSMISION DE DTOS PROBLEMRIO José E. Briceño M., Dr. Ing. Profesor Titular, UL. Méria, 3
TRNSMISION DE DTOS PROBLEMS Y CUESTIONRIO Prof. J. Briceño M. Referencias: TEXTO : J. Briceño M., Transisión e Datos,Tercera Eición TEXTO : J. Briceño M., Principios e las Counicaciones,Tercera Eición Nota: Los Núeros e Capítulo están referios al TEXTO Ejeplos aicionales CPITULO I En este capítulo no hay probleas nuéricos CPITULO II Ejeplo. La palabra PI está coificaa en SCII sieno su velocia e bps. Esta palabra se aplica a un oulaor SK cuya frecuencia e portaora es e Hz. Vaos a ibujar la fora e ona a la salia el oulaor En SCII: P > ; I > Coo la frecuencia e portaora es igual a la velocia e transisión, entonces T b T c. Un ciclo e f c es igual a T b. la salia el oulaor SK la palabra PI tiene entonces la fora PI Entraa Tb Salia SK Ejeplo. La letra U está coificaa en SCII, sieno su velocia e bps. Esta letra se aplica a un oulaor FSK one f Hz y f Hz; vaos a ibujar la fora e ona a la
3 salia el oulaor. Verifique tabién las coniciones e ortogonalia e este oulaor (ver Problea.9). En SCII: U >. Tabién, f es igual a la velocia e transisión a la entraa el oulaor; por lo tanto, un ciclo e f es igual a un intervalo T b. La salia el oulaor FSK tenrá la fora Tb Letra U En cuanto a la ortogonalia, para f o Hz; f Hz; f b Hz, fo + f fc 8 Hz ; f fo f, e one f 6 Hz f fc > entero; n 3 > entero fb fb Puesto que y n son enteros y n >, el oulaor cuple con las coniciones e ortogonalia. El ancho e bana ínio el canal será B c ( + )f b 36 Hz Ejeplo.3 Las frecuencias e los óes prácticos pocas veces cuplen con las coniciones e ortogonalia. Por ejeplo, en el MODEM UIT-T V.3 se tiene f b 6 Hz; f Hz; f c 5; f 3 Hz; f 7 Hz. De one, f fc 3 entero; n 5 entero. Generalente n >> f 6 3 f 6 b b Puesto que no es entero, las señales s (t) y s (t) el MODEM V.3 no son perfectaente ortogonales. Por ejeplo, si haceos y ejaos n 5 con la isa frecuencia e señalización f b 6 Hz, las frecuencias que satisfacen las coniciones e ortogonalia son: f c 5 Hz; f 3 Hz; f Hz y f 8 Hz Ejeplo. Sobre un canal telefónico se transite atos binarios en FSK. El ancho e bana útil el canal es e 3 khz; las frecuencias e transisión son f 5 Hz y f Hz. Se utiliza un óe que trabaja a una velocia e oulación e 3 bauios. La relación S/N en el canal es e 6, B y la ensia espectral e potencia e ruio es igual a -8 W/Hz.
Vaos a eterinar la esviación e frecuencia, la frecuencia e portaora, el ancho e bana el filtro e entraa, el ancho e bana e los filtros e canal, la potencia e entraa y la probabilia e error tanto en coherente coo en no coherente. Verificar tabién si la separación e las frecuencias cuple con las coniciones e ortogonalia. Si B 3 khz; f 5 Hz; f Hz; f b 3 Hz; 6, B Ni 8 η x W/Hz De la figura, f (-5)/ "" "" f f 3 Hz B B f c 5 + 3 8 Hz fb fb f Filtro e entraa, 5 fc Bc B c (f b + f ) Hz Nótese que el ancho e bana e transisión es enos e la ita el ancho e bana útil el canal. En la práctica, para transitir a 3 bps, el canal telefónico se ivie en os subcanales e 5 Hz caa uno, lo cual perite la transisión en full úplex. Es el MODEM V.. Filtro e canal, B f b x3 6 Hz Si En FSK γ 8 Ni γ ηf FSK 8 ηf bγ xx b La potencia e entraa será < x x3x8 9,8 V (t) > Probabilia e error: En FSK Coherente, (9,8x 3 FSK ), W γ Pe erfc( ),339x γ En FSK No Coherente, Pe exp( ) 9,58x Veaos si cuple con las coniciones e ortogonalia. f x3 fc x8 entero; n f 3 f 3 b b entero Coo y n son enteros y n >, este óe cuple con las coniciones e ortogonalia. Ejeplo.5 La letra U está coificaa en SCII a la velocia e bps. Esta letra se aplica a un oulaor PSK cuya frecuencia e portaora es e Hz. 3 3
5 Vaos a ibujar la fora e la señal e salia el oulaor PSK. En SCII: U > Coo la frecuencia e portaora es e Hz, en un intervalo T b / habrá os ciclos e portaora. La salia el oulaor tenrá la fora Entraa Tb Salia PSK Letra U Ejeplo.6 Por un canal e icroonas cuyo ancho e bana es e 3 MHz se transite atos binarios a una velocia e Mbps. La ensia espectral e potencia el ruio es e - W/Hz. Vaos a eterinar, en PSK y en DPSK, las potencias proeio e portaora y e ruio a fin e que la probabilia e error sea P e. 6 6 b B c 3MHz; f Hz; T ; η x W / Hz b El ancho e bana para el cálculo e la potencia e ruio es B MHz. (a) En PSK Para Pe erfc( γ ), se tiene que γ 6,96 Puesto que γ T b, entonces S η S i 383, W, B 6 Ni Bη x x x x W -3,98 B Si 3, 58 5, 388 B N i (b) En DPSK Para P e i - f b γη fb 696, xx x exp( γ) ; se tiene que γ 8, 57 T b η 6
6 S 6 γη fb 8, 57x xx, 73 W,33 B Ni Bη x W-3,98 B S N i i, 58 6, 9 B En este ejeplo se verifica, coo ya lo habíaos señalao ás arriba, que el sistea DPSK requiere alreeor e B ás e potencia que el sistea PSK. Ejeplo.7 Un sistea DPSK -ario está caracterizao por el iagraa y e Fresnel e la figura. La secuencia binaria e entraa al oulaor tiene una velocia e transisión e bps. El ancho e bana el canal es e 3 khz; la aplitu e la portaora es e V y x la ensia espectral e ruio es e - W/Hz. Diagraa e Fresnel (a) Calcule la relación Si/Ni en el canal y la probabilia e error (a) Si la aplitu e la portaora se auenta al oble, Cuál será la nueva probabilia e error y en cuantos B auenta la relación Si/Ni? (b) Dibuje la señal oulaa DPSK e salia corresponiente a la entraa (el ígito e la izquiera es el LSB, el cual se transite e priero) Suponga que f c 8 Hz. (a) Vi bps; B c 3 khz; -3 V; M ; L ; η x - W/Hz En DPSK M-ario, Pe erfc( π Ts γs sen ( )), one γs M η 6 3 8 Si Si W; Ni ηbc 3x xx 6x W ; 8,3333 9,8 B Ni f b Hz; f s f b /L / Hz ó bps. La velocia e oulación en el canal es tabién e bauios. 6 s π π γ,8333; γ s sen ( ) x,8333x sen ( ) xx x M 8 Pe erfc(.7),77x -.7 6 (b) x -3 x ; γ s 83, 33; xx x Pe erfc( x83,3333x sen π ( ),8x 8 x Si 6 x 6 W; Ni 6x -8 W; Si Ni x 6x 6 8 33,33 5,3 B
7 El auento en la relación Si/Ni es e 5,3 9,8 6, B. Esto equivale a un auento e potencia e veces. (c) f s Hz; T s 8,333x - seg; f c 8 Hz; T c 5,556x - seg; T s,5 T c La señal M-DPSK tiene la fora s (t) a cos(πf ct φ ), y se supone que la señal e entraa está ya coificaa iferencialente. Para su coificación DPSK y coo L, los ígitos o bits se toan e os en os. De acuero con el iagraa e Fresnel, la coificación para la señal oulaa e salia será: o c + Para la upla (ibit): φ 5 ; s (t) cos( ω t 5 ) o c + (ibit): φ 35 ; s (t) cos( ω t 35 ) o 3 3 c (ibit): φ + 35 ; s (t) cos( ω t 35 ) o c + (ibit): φ + 5 ; s (t) cos( ω t 5 ) o o o o La señal oulaa DPSK -aria tenrá la fora siguiente + Ts Ts Ts Ts s ( t ) s ( t ) s3 ( t3 ) t s ( t ) - 3 5 6 t, t, t3, t Ejeplo.8 Vaos a representar la palabra b coo: () Una señal MI RZ, SCII, transisión sincrónica () Una señal MNCHESTER bipolar NRZ, SCII, transisión sincrónica En SCII: > ; b > () La coificación e la palabra b en MI RZ tiene la fora > b MI RZ
8 () La coificación e la palabra b en MNCHESTER bipolar NRZ tiene la fora > b t MNCHESTER Bipolar. Explique la relación entre la velocia e oulación, la velocia e inforación y el ancho e bana e un canal cuano se transite ipulsos binarios y -arios con o sin reunancia.. Explique por qué no se puee transitir señales e voz coificaas en PCM, oulaas o no, sobre un canal telefónico aún si éste está aconicionao. Se supone que el ancho e bana e las señales e voz es e khz..3 El ancho e bana e un canal telefónico se extiene ese 3 a 33 Hz. Para una buena recepción la relación S/N ebe ser coo ínio 3 B. (a) Cuál será la capacia el canal? (b) Si la capacia el canal es e bps, Cuál será la relación S/N corresponiente? (a) B 33 3 3 Hz; S/N 3 B. De la Fórula e Shannon-Hartley, C 3 log ( + ) 99,33 bps (b) C bps; B 3 Hz; log ( + S/N) C/B. De one (C / B) ( / 3) S/ N 6,858,9 B.. Por un canal telefónico cuyo ancho e bana útil es e 3 khz se transite atos binarios. La relación S/N e preetección es e 6, B y la ensia espectral e ruio blanco es e - W/Hz. Vaos a eterinar en SK coherente y no coherente: (a) la áxia frecuencia e señalización, las potencias iniviuales e portaora y e ruio, y la probabilia e error; (b) repetir si la velocia e inforación es e 3 bps. Recuérese que en un sistea binario la velocia e inforación (bps), la frecuencia e señalización (Hz) y la velocia e oulación (bauios) son iguales nuéricaente. (a) El ancho e bana útil el canal es B 3 khz, entonces B 3 f b ; f b 5 Hz; T b ; V i 5 bps; V b 5 bauios 5 La frecuencia áxia e señalización es e 5 Hz y se puee transitir inforación a una velocia áxia e 5 bps. Si Si Si 7-6, B ; γ 6 ; ; 96, x ; 9,8x N N N 8x5xx i Si,x -7 W -36, B; i i
9 N i Bη 3xx 6x 8 W, B En SK coherente: Pe erfc ( ), 37x 3 En SK no coherente: Pe exp( ) 958, x 3 (b) Si la velocia e inforación es e 3 bps, entonces f b 3 Hz, T b y B f b 6 Hz ; γ 3 7 Tb 96, x Si γ 8; 3 B η x3xx N i 7 8 Si,x W -36, B; N i Bη 6xx,x W -9,B En SK coherente: Pe erfc(,7),7x 9 En SK no coherente: Pe exp( ),3x Para las isas aplitu e portaora y ensia espectral e ruio, el coportaiento en SK coherente es superior al e SK no coherente; sin ebargo, el receptor no coherente es ucho ás siple y por eso este tipo e eoulación fue en su época el ás utilizao..5 Por un canal e RF se transiten atos binarios. El ancho útil el canal es e MHz. La velocia e inforación es e,8x 6 bps y se utiliza oulación SK. La aplitu e la portaora a la entraa el receptor es e V y la ensia espectral e ruio es e -5 W/Hz. (a) Calcule las probabiliaes e error en SK Coherente y No Coherente. (b) Calcule la corresponiente relación Si/Ni a la entraa el receptor. 3 (a) En SK: γ 5, 83333 5 6 ηf xx x,8x SK Coherente: b Pe erfc( γ ),67x γ SK No Coherente: Pe exp( ),7x 6 Si 5 6 ηb xx xx (c) [ / Ni],5,968 B 7 SK 6.
.6 Si la función e autocorrelación e una secuencia aleatoria binaria unipolar NRZ e períoo T b τ y aplitu viene aa por R ( τ ) + Λ( ), euestre que la potencia proeio e Tb una señal SK binaria es < x SK (t) >. [Nótese que T b /f b] La señal SK tiene la fora, ecuación (.6) el Texto, x SK (t) (t) cos(πf ct) one (t) es una secuencia binaria unipolar NRZ e aplitu y períoo T b, cuya función e τ autocorrelación es R ( τ ) + Λ( ) ; pero e la ecuación (.6) el TEXTO se Tb verifica que < x SK (t) > < (t) >, y e las propieaes e la función e autocorrelación, < (t) > R (), y por consiguiente < x SK (t) > Iportante: Coo una señal FSK se puee consierar coo la superposición e os sisteas SK en one la aplitu e las portaoras es, entonces la potencia proeio e la señal FSK será e os veces la potencia proeio e la señal SK, es ecir, < x FSK (t) > < x SK(t) >..7. (a) Si la función e autocorrelación e una secuencia aleatoria binaria bipolar NRZ e períoo τ T b y aplitues ± viene aa por R ( τ) Λ, euestre que la potencia proeio e Tb una señal PSK binaria es igual a < x PSK (t) >. (a) Deuestre tabién que la ensia espectral e potencia e una señal PSK es igual a S PSK f + fc f fc (f ) sinc ( ) + sinc ( ) f b f b f b (a) Una señal binaria PSK se puee escribir eiante la ecuación.58) el TEXTO, es ecir, x PSK (t) (t) cos(πf ct), one (t) es una secuencia aleatoria bipolar NRZ e τ períoo T b y aplitues ±, cuya función e autocorrelación es R ( τ ) Λ( ). Tb Coo se verifica que < (t) > R (), entonces la potencia proeio en PSK es < x PSK (t) >. La potencia en PSK es la ita e la potencia e SK.
Coo ese el punto e vista espectral no hay ninguna iferencia entre una señal PSK y una señal DPSK, se tiene tabién que < x DPSK (t) >. La potencia e señal en PSK y DPSK son iguales. (b) De la parte (a) y el Teorea e Wiener-Kintchine, se obtiene τ f R ( τ ) Λ sinc ( ), y eiante el Teorea e la Moulación para Señales Tb f b e Potencia, se verifica que f + fc f fc x PSK (t) (t) cos(πf ct) SPSK (f ) sinc ( ) + sinc ( ) f b f b f b S PSK (f) tiene la fora ostraa en la Fig.. el TEXTO, pero sin el ipulso a la frecuencia f c..8 En la ecuación (.6) y Fig.. el TEXTO, se a la ensia espectral e potencia e una señal SK para una secuencia binaria unipolar NRZ. La ensia espectral e ruio en el canal es η/ en W/Hz. (a) Deterine la potencia contenia entro el ancho e bana B f b, centrao en ±f c, en función e la potencia total e la señal SK. (b) Deuestre que el 5% e la potencia total e la señal SK se consue en la transisión e la portaora. (a) Coo se trata e calcular potencias (áreas positivas), la potencia contenia en el ancho e bana B f b se puee calcular refirieno S SK (f) al origen, es ecir, fb < y (t) > δ(f )f + f 6 6f b b < y (t) > 8 + f b f b sen ( πf ( πf / f b / f ) b f b f b sinc ( f f b )f ) f. Con el cabio e variables x πf/f b, f xf b /π, f (f b /π)x; líite inferior ; líite superior π. Entonces, π sen (x) < y (t) > + x. Calculeos la integral efinia 8 π x π sen (x) x,5. π (x) Entonces < y (t) > 8 +,5 ( +,5),95 Puesto que < x SK (t) >, se verifica entonces que < y (t) >,95 < x SK (t) >.
La potencia contenia en el ancho e bana B f b es igual al 95,% e la potencia total e la señal SK. (b) Nótese que la potencia e portaora está representaa por los ipulsos en ±f c. Esta potencia Pcc es, el cálculo anterior (parte (a)), Pcc ( ) < x SK (t) >. Puee observarse 8 que la ita e la potencia total e la señal SK se consue en la transisión e la portaora..9. En el problea.7 obtuvios la ensia espectral e potencia e una señal PSK. Deterine la potencia contenia entro el ancho e bana B f b, centrao en ±f c, en función e la potencia total e la señal PSK. f + fc f fc Del problea.7, SPSK (f ) sinc ( ) + sinc ( ). Utilizano el iso f b f b f b proceiiento el problea anterior, poeos escribir: fb π < > f fb sen ( f / f b ) y (t) sinc ( )f xx f f f f f b b b ( πf / f ) π < y (t) >,5 b x,5,9 < x PSK (t) > b π sen (x) x x La potencia contenia en el ancho e bana B f b es igual al 9,% e la potencia total e la señal PSK. Nótese que en este caso toa la potencia es útil, pues no se consue potencia en la transisión e una portaora... Deuestre las siguientes relaciones en SK, FSK y PSK: Si Ni SK γ ; Si Ni FSK γ ; Si Ni PSK γ.. Sea las relaciones espectrales en FSK ostraas en la Fig.. el TEXTO. Sobre un canal telefónico, cuyo ancho e bana útil es e 3, khz, se esea transitir atos binarios utilizano los Moes UIT-T FSK V.3 y V.. La aplitu e la portaora en el Moe V.3 es e V y se reuce a la ita en el Moe V.. La ensia espectral e ruio en el sistea es e - W/Hz. Vaos a eterinar toos los paráetros asociaos tanto en FSK coherente coo en FSK no coherente. (a) Transisión con el Moe UIT-T V.3 El Moe V.3 transite y recibe a las frecuencias f 3 Hz y f o Hz, con una velocia e oulación e bauios. En este caso, f b Hz; T f -3 8 Hz; f y k b ; 3 El ancho e bana ínio el canal e transisión es, e (.7) TEXTO,
3 B c ( + 3 3 ) Hz Se puee efectuar la transisión, pues el ancho e bana e transisión necesario es igual al ancho e bana útil el canal isponible. Puesto que k <, e (.7) TEXTO, el ancho e bana e los canales ó es 6 - B f b + f + 6 Hz. Con V; η/ W/Hz, se tiene 7 Si 5x W -33, B ; Ni Bη 6xx -8 3,x W -,95 B e one, S N i i 7 5 x 5, 65, 938 B. 8 3, x Tabién, 6 T γ b η xxx,833 En FSK coherente: 6 Pe erfc( γ / ),55x En FSK no coherente: 5 Pe exp( γ / ),96x (b) Transisión con el Moe UIT-T V. El Moe UIT-T V. tiene os banas: por una recibe y por la otra transite. En la bana inferior las frecuencias e portaora son f 98 Hz y f o 8 Hz, ientras que en la bana superior f 65 Hz y f o 85 Hz. La velocia e oulación es e 3 bauios. Entonces, f b 3 b ; 3 En el presente ejeplo no vaos a utilizar fórulas para eterinar el ancho e bana e los filtros y canales, sino que istribuireos uniforeente los iferentes anchos e bana e acuero con las frecuencias e portaora el Moe V.. Se obtiene así una configuración coo la ostraa en la figura P.. El lector puee toar el ancho e bana e los filtros e canal en fora iferente, por ejeplo, un ancho e bana e Hz y centraos en las frecuencias e transisión. De la figura P., se tiene los siguientes anchos e bana: Para los filtros e canal: BI B I BS BS 335 Hz, que estarán centraos en las frecuencias f I 9,5 Hz; f 8 Hz; f 583 Hz; f 98 Hz Para los filtros e bana: f BI 8 Hz; f 75 Hz BS. I S S. B B 67 Hz, que estarán centraos en las frecuencias BI BS
Para el filtro e línea o ancho e bana total: frecuencia f c 5 Hz. B c 3 Hz, que estará centrao en la Bana Inferior Bana Superior "" "" "" "" 35 35 35 35 B I B I B S B S 75 98 8 8 5 65 75 85 Hz B BI B BS B c Fig. P.. Distribución e nchos e Bana en el Moe UIT-T V.. El ancho e bana para el cálculo e la potencia e ruio es el ancho e bana e los filtros e canal, es ecir, B 335 Hz. Entonces, 3 6 V; γ ηf xx3xx b,833 S i N i Si N i,5x 7 Bη 335xx 8, 66,7 B W -39,3B 6,7x 9 W -5,7 B Las probabiliaes e error son las isas que en el caso (a). El Moe V. es un oe que puee siultáneaente transitir por una bana y recibir por la otra. Puesto que por caa bana se puee transitir atos a 3 bps, el intercabio neto e atos en el Moe V. es realente e 6 bps... En un sistea binario PSK Coherente, la aplitu e la portaora a la entraa el receptor es e V, la ensia espectral e ruio es - W/Hz, la velocia e transisión es e 5 bps y el ancho e bana el canal es B c f b. Calcular: (a) La probabilia e error Pe. (b) La capacia el canal, C, en bps. (c) La velocia proeio Ve a la cual se proucen los bits en error, en bits erróneos/seguno. (a) -3 V; η/ - W/Hz; Vi f b 5 kbps; B c f khz 6 γ 3 ηf b xx x5x 5 PSK Coherente: Pe erfc( γ) 7,87x -
5 Si Si Si 5 (b) C Bc log ( + ). Pero en PSK γ Ni Ni, e one PSK Ni 5 C log ( + ),87x bps (c) Sea Ve la velocia proeio e los bits en error, en bits erróneos/seguno, Ne el núero e bits en error y N T el núero total e bits transitios. Es eviente que: Ne Ne / T Ve Pe one Pe es la probabilia e error y T el tiepo total e NT NT / T Vi transisión. Entonces, Ve Pe Vi 7,87x - x5x 3 3,9 bits erróneos por seguno.3. Sean los sisteas SK, FSK y PSK, e aplitu e portaora y frecuencia e señalización f b. El ruio en los tres sisteas es el iso. (a) Deuestre que para una isa probabilia e error Pe y en eoulación coherente se verifica que Si Si Si Ni SK Ni FSK Ni PSK (b) Si la relación Si/Ni en el canal es e B, la velocia e transisión e bps y la ensia espectral e ruio e - W/Hz, eterine la aplitu e la portaora y la probabilia e error Pe en SK, FSK y PSK Coherentes. (a) En Deoulación Coherente: SK: Pe erfc( γ ); Si γ Ni SK FSK: PSK: Pe Pe erfc( erfc( γ ); γ); Si γ Ni Si γ Ni FSK PSK Si las probabiliaes e error Pe son iguales, entonces los arguentos e Pe son iguales, es ecir, Si Ni SK Si Ni FSK Si Ni PSK, e one Si Ni SK Si Ni FSK Si Ni PSK (b) f b Hz; η x - W/Hz; [Si/Ni] B SK: γ [Si / Ni]. De aquí: 8ηf b [Si / Ni],38 V ηf b FSK: γ [Si / Ni]. De one ηf b [Si / Ni] 3,98 V
6 PSK: Igual que en FSK: 3,98 V..Un canal ieal tiene un ancho e bana útil e 3 khz. La potencia proeio áxia peritia e la señal es e 3 B y en el canal la ensia espectral e potencia el ruio es e x - W/Hz. (a) Deterine la capacia C teórica el canal, en bps. (b) Si se utilizan técnicas e oulación binaria FSK y PSK, Cuál será el valor áxio e la velocia e transisión, en bps? (c) Para el valor áxio e la relación S/N calculaa en (b), eterine las probabiliaes e error Pe en PSK y FSK Coherentes. (a) B c 3 Hz; Si -3 B; η xx - W/Hz Si -3 B -6 W; Ni ηb c 3xx - x -8 W -39,8 B 6 Si Si 8,333 9,8 B; C 3log ( ) 9667 8 + bps Ni x Ni (b) f b B c / 5 Hz; por lo tanto, en binario, Vi 5 bps Si (c) γ x8,333 6, 667 Ni γ 5 FSK: Pe erfc( ),7x ; PSK: Pe erfc( γ) 3,88x -9.5.Se ispone e un canal pasabana e frecuencias f inf 8 Hz y f sup 8 Hz. Por este canal se va a transitir inforación en FSK binaria. La relación S/N en el canal es e 3,3 B y la ensia espectral e ruio es e x - W/Hz. (a) Deterine los valores apropiaos e las frecuencias f c, f b, f, f, f y los anchos e bana e los canales iniviuales, en coniciones e ortogonalia ( ) (b) Deterine la aplitu e la portaora y la probabilia e error en FSK Coherente y No Coherente. (c) Cuál es la capacia teórica el canal, C, en bps? Canal f (a) Si BI BS B c 8 8 khz; 3,3 B f Ni 8 η x - f fc f 8 W/Hz. Bc Fig. P.5 Sea la Fig P.5: f c (8+8)/ 8 Hz
7 En coniciones e ortogonalia la áxia velocia e transisión se obtiene cuano, en cuyo caso f b B c /3 /3 666,66 Hz. Tabién, V b 666,66 bauios. Tabién, f f b / 333,33 Hz; f f c f 66,66 Hz; f o f c + f 33,33 Hz Los ancho e bana e los filtros e canal son, e la Fig. P.5, B I f c 8 8 8 Hz B S (b) γ [Si/Ni] η f ; 8 f 6,98x η b V b γ FSK Coherente: Pe erfc( ),75x γ FSK No Coherente: Pe exp( ) 6,767x (c ) La capacia teórica e este canal es C B log ( + S/N) xlog ( + ) 37 bps.6. En la Fig. P.6. se uestra un Coificaor Diferencial. La secuencia e entraa tiene la fora. La flecha inica la irección el flujo e atos. Deterine la secuencia binaria coificaa y las fases corresponientes. Suponga que el prier bit e salia es un y la fase corresponiente raianes. fb Reloj Secuencia Binaria e Entraa clk Q D C Salia Coificaa B C B + B Fig. P.6. Se hace un cuaro coo el siguiente (se puee trabajar irectaente sobre el circuito): M ensaje Mensaje Coificao π π π π π π V alores rbitrarios Fig. P.6. ngulos e Fase El escoificaor corresponiente tiene la fora e la figura P.6.3 > El bit e salia el coificaor tiene que ser el iso que el el escoificaor, aunque sean arbitrarios. En la fora ostraa en la Fig..3 el TEXTO, uestre el ecaniso e fb Reloj D clk Q C X P.6.3 B C B + B
8 escoificación para la recuperación e la señal DPSK original..7. Con el coificaor ostrao en el Fig. P.9. se puee efectuar tabién coificación iferencial. Secuencia e Entraa Reloj fb D clk Q D D clk Q Fig. P.7. C Salia B Coificaa C B + B Deterine la salia coificaa en C y sus respectivas fases para la isa secuencia e entraa el problea anterior. Suponga que inicialente la salia es un ; Q Q y. Tabién: > π raianes y > raianes Se hace un cuaro coo el siguiente (o irectaente sobre el circuito) Mensaje B D C Mensaje Coificao π π π π ngulos e Fase Valores rbitrarios Fig. P.7. Nótese que la secuencia en B está retaraa en T b respecto a la secuencia e entraa..8. En la Fig. P.8. se uestra un coificaor que convierte una secuencia unipolar NRZ en bipolar NRZ para transisión en bana e base. El algorito e ecisión el coparaor se uestra en la tabla anexa en la isa figura. Suponga que antes e la entraa e la secuencia unipolar, X Y, y que el reloj actúa en el centro e caa bit e la entraa. X Y S Secuencia Unipolar Reloj Tb D Q clk D Q clk X Y Coparaor Fig. P.8. S Secuencia Bipolar +V -V + -V
9 Deterine la secuencia e salia cuano la secuencia e entraa es Se hace un cuaro coo el siguiente Secuencia Unipolar X Y S +V -V +V +V -V -V +V -V Valores rbitrarios La secuencia bipolar e salia tenrá entonces la fora +V -V Fig. P.8. t Secuencia Bipolar.9. El Coificaor Difase perite convertir una secuencia bipolar NRZ en otra secuencia bipolar RZ que perite con ás facilia la recuperación e la sincronización en el receptor. En la Fig. P.9. se uestra la Tabla e Vera el Coificaor Difase. (a) Deterine la secuencia bipolar e salia DIFSE RZ cuano la secuencia bipolar e entraa tiene la fora ostraa en la Fig. P.8. el problea anterior. Secuencia Bipolar +V NRZ E -Ve Coificaor DIFSE +Vs -V fb Reloj (ciclo e 5%) Fig. P.9. RZ S E Reloj S +V -Ve +V -Ve +Vs -Vs Tabla e Vera Hay que hacer un iagraa e tiepos e la fora, Fig. P.9. Entraa E +V -Ve Reloj (ciclo e 5%) Salia DIFSE +V -V Fig. P.9.
.. Sea un sistea PSK M-ario cuya potencia es P M y sea P B la potencia en PSK binario. Deuestre: BB (a) γ s γ log M y log M one B B es el ancho e bana en binario y B M el BM corresponiente en M-ario. (b) Que para una probabilia e error e - la relación entre las potencias es PM,9 P π B log Msen ( ) M Tb (a) En PSK binario, γ ηf b η T En PSK M-ario, γ s s, pero T s LT b T b log M. De one, η Tb γ s log M. Por consiguiente, γ s γ log M η f b f b En general, B B Kf b, one K es una constante. Pero fs L log M Entonces, BB Kfs log M ; pero Kf s B M y B B B M log M, e one B B log M. BM (b) En PSK binario: Pe erfc( γ) erfc(x) π En PSK M-ario: Pe erfc( γ S sen ( ) erfc(x) M Si la probabilia e error en abos casos es e -, entonces erfc(x) x > X,697, γ,697 y γ 6,95 π erfc(x) > X,75, γ sen s ( ), 75 M sen π Tb Tb Ts γ s ( ) 7,568 K. Tabién, γ PB PB 6,95 K M η η ηl Ts Ts Ts π γ s PM y PM sen ( ) 7,568 K η η η M Establecieno la relación K/K, obteneos π LPM sen ( ) M 7,568,9, pero L log M, entonces, P 6,95 B para una probabiliae error Pe -. P M,9 PB π sen ( ) log M M
.. Sea P MPSK la potencia e portaora en PSK M-ario y P MDPSK la corresponiente en DPSK M- ario. π sen ( ) (a) Para una Pe cualquiera euestre que PMDPSK M PMPSK π sen ( ) M (b) Verifique que si M >>, entonces PMDPSK PMPSK, es ecir, que para altos valores e M >, el requeriiento e potencia en DPSK M-ario es el oble (3B) que en PSK M- ario. (a) Para PSK M-ario: Pe erfc(k), one K es el iso el problea anterior. π Para DPSK M-ario: Pe erfc( γ s sen ( )) erfc(k3) M Si la probabilia e error es la isa en abos casos, entonces K K3. Reeplazano valores e K y K3 y rearreglano, se obtiene finalente π sen ( ) PMDPSK M PMPSK π sen ( ) M π π π π (b) Cuano M >>, entonces sen ( ) y sen ( ) ; M M M M En este caso, la expresión obtenia en la parte (a) será P MDPSK PMPSK ; P 3 + P y en B, [ MDPSK ] B [ MPSK ] B Por ejeplo, para M, se verifica que P MDPSK,99996 P MPSK. El sistea DPSK M-ario, para una isa probabilia e error Pe, requiere un auento e 3 B e potencia sobre el requerio para PSK M-ario. En otras palabras, la potencia en DPSK M-ario, para una isa probabilia e error Pe, eana el oble e potencia que en PSK M-ario... Se tiene un oulaor PSK 8-ario cuyo iagraa e Fresnel es igual al e la Fig..38 (c) el TEXTO. La frecuencia e portaora es e 6 Hz y la velocia e transisión e la secuencia binaria e entraa es e 8 bps. Dibuje con cuiao la fora e la señal oulaa corresponiente cuano la entraa es e la fora. PSK-8-ario; f c 6 Hz; Vi 8 bps; f b 8 Hz; M 8; L 3 ; T b /f b,8333x - ; T s 3T b 6,5x - ; T c /f c 6,5x - ; T s T c Nótese que la velocia e oulación en el canal es 6 bauios. Puesto que L 3, el oulaor toa e tres en tres bits, e oo que, e la Fig..38(c) el TEXTO, o Para la tripleta φ ; s(t) cos( ω t) c
φ -35 ; s(t) cos( ω t + 35 ) o La señal oulaa PSK 8-aria corresponiente a las tripletas y tiene la fora c o + x( s) y( t) o φ Ts Tc o φ 35 Ts Tc t -.5.5 Fig. P.. s, t.3. Por un canal e icroonas se quiere transitir una secuencia binaria cuya velocia e transisión es e 3x 6 bps. La ensia espectral e ruio es e - W/Hz. Deterine la relación Si/Ni, en B, cuano el sistea es QPSK y la probabilia e error es Pe. El ancho e bana el canal es B c f s. Vi 3x 6 bps; f b 3x 6 Hz; η x - W/Hz; M ; L ; Pe - En QPSK: γ s Pe erfc( ); γ s. Si Pe - γs, entonces, 75; e one, ηf s γ s 5,36 ; f s f b /,5x 6 Si Hz. Pero coo γ s, entonces Si γ sηfs, e one ηf 7 Si,58x W El ancho e bana en QPSK (para M ) es B QPSK f s, e oo que la potencia e ruio a 8 la entraa es Ni ηb 6x W. La relación Si/Ni en el canal será entonces, Si Ni QPSK,58x 8 6x 7 7,57 8,79 B.. El circuito e la Fig. P. se utiliza para la extracción e la teporización en óes Bell QPSK y QDPSK. s Filtro Pasaalto v(t) x(t) Filtro Pasabana fc 8 Hz fs Hz x(t) B 8 Hz B 8 Hz Filtro Pasabajo v(t) v3(t) Filtro Pasabana B3 Hz y(t) Fig. P..
3 La frecuencia e portaora es e 8 Hz, la velocia e transisión e bps y la frecuencia e señalización en el canal e Hz. (t) cos( ω t φ )cos( ω t) one f 6 Hz x c (a) Deuestre que la salia y(t) el sincronizaor viene aa por y(t) cos(πf st) cos(πt) one f s Hz 8 8 x(t) cos( ωct φ )cos( ωt) [ cos( φ )cos( ωct) + sen( φ )sen( ωct) ] cos( ωt) x(t) cos( φ )cos[( ωc + ω)t] + cos( φ )cos[( ωc ω )t] + + sen( φ )sen[( ωc + ω)t] + sen( φ )sen[( ωc - ω )t] Sea f c + f f a Hz; f c f f Hz; f a + f 36 Hz; f a f f s Hz La frecuencia f a pasa por el filtro pasaalto, ientras que la frecuencia f pasa por el filtro pasabajo. Entonces, a la salia e estos filtros se tiene v(t) cos( φ v (t) cos( φ )cos( ωat) + sen( φ )cos( ωt) + sen( φ )sen( ω a )sen( ω la salia el ultiplicaor, v3(t) v(t) v (t). Replazano térinos, efectuano las ultiplicaciones y pasano la señal por el filtro pasabana e salia, el cual eja pasar solaente las coponentes centraas en la frecuencia e Hz se obtiene: y(t) t) t) cos ( φ )cos[( ωa ω )t] + sen ( φ )cos[( ωa ω )t] ; pero f a f f s, e one y(t) cos(πf st) cos(πt) f s Hz 8 8 Esta es la señal e teporización e períoo T s /f s..5. Vaos a utilizar los iagraas e Fresnel e los Móes UIT-T V.9 y V.3, para observar las características e la señal oulaa: (a) Para el Móe V.9, Fig..58(f) el TEXTO, ibuje la señal oulaa cuano la secuencia e entraa es.
(b) Repetir para el Móe V.3, Fig..58(g) el TEXTO, cuano la secuencia e entraa es. (a) Móe V.9. f b 96 Hz; M 6; L ; f s 96/ Hz. La velocia e oulación en el canal es e bauios. T s,667x - ; f c 7 Hz; T c 5,88x - ; T s,78 T c. Puesto que L, el oulaor toa grupos e ígitos y los coifica en la fora φ φ φ φ ; π ; π; π ; s s s s (t) 5cos(πf π (t) cos(πf ct ) (t) 3cos(πf t π) (t) 3 c c t) π cos(πf ct + ) En la Fig. P.5. se uestra la fora e ona e la señal oulaa corresponiente. Ts Ts Ts Ts s( t ) s( t ) s3( t3 ) s( t ) 5 5 3 φ π 3 φ π φ π φ t 5.5.5.5 3 Fig. P.5. t, t, t3, t (b) Móe V.3. f b 96 Hz; M 6; L ; f s f b / Hz. La velocia e oulación en el canal es e bauios. T s,667x - ; f c 8 Hz; T c 5,5556x - ; T s,75 T c Puesto que L, el oulaor toa grupos e ígitos y los coifica en la fora π π φ ; s (t) 3 cos(πf ct ) φ φ φ π,3; π,3;,3; s s s (t) (t) (t) cos(πf t π +,3) c π cos(πf ct + +,3) cos(πf t +,3) c
5 En la Fig. P5. se uestra la corresponiente señal oulaa s( t ) s( t ) s3( t3 ) s( t ) 5 3 π φ φ π,3 φ π,3 φ,3 5.5.5.5 3 P.5. t, t, t3, t.6. En la Fig. P.6. se uestra un receptor QPSK en el instante e toar una ecisión. El algorito e ecisión e los coparaores es el siguiente: Para el Bit : Para el Bit B: Si v Si v Si v Si v B B (t), (t) <, sacar un "" sacar un "" (t), sacar un "" (t) <, sacar un "" v(t) v(t) π cos( ωct + ) v(t) π cos( ωct ) Filtro Pasabajo Sincro Filtro Pasabajo v(t) o vb(t) o o o Fig. P.9. DIBIT B BIT BIT B B Salia e Datos Convertior Serie/Paralelo v(t) cos( ω c t φ ) para φ, π/, π y - π/ (a) Calcule los ibits a la salia corresponientes a caa valor e φ. (b) Dibuje el iagraa e Fresnel inicano la posición e los ibits,, y. (c) Si la velocia e transisión es e bps y la frecuencia e portaora e 8 Hz, ibuje la fora e ona a la entraa el receptor que prouzca a la salia una secuencia e la fora. (a) π v(t) cos( ωct φ ); v(t) cos( ωct φ )cos( ωct + ) π π v(t) cos(ωct φ + ) + cos( φ + )
6 El filtro pasabajo eliina la coponente en f c, queano π v (t) cos( φ + ) > Prouce el BIT π v (t) cos( ωct φ )cos( ωct ), que al pasar por el filtro pasabajo nos quea π vb (t) cos( φ ) > Prouce el BIT B Veaos ahora los valores e v (t) y v B (t) para los iferentes valores e φ. Para φ : v v B (t) (t) π cos( ) π cos( ) Para φ π/: "" "" B Fasor y DIBIT B v π π (t) cos( + ) π π vb (t) cos( ) Para φ π: < "" "" B Fasor y DIBIT B v v B π (t) cos( π + ) (t) cos( π Para φ -π/: π ) < "" < "" B Fasor y DIBIT B v v B π π (t) cos( + ) (t) π π cos( ) "" < "" B Fasor y DIBIT B (b) El Diagraa e Fresnel Tiene entonces la fora Fig. P.6. Daa en la Fig. P.6.. (c) V i bps; f b Hz; f s Hz; T s 8,333x - ; f c 8 Hz; T c 5,556x - ; T s,5 T c.
7 Si la salia tiene igital tiene la fora, entonces, e acuero con los resultaos e la parte (a), la señal oulaa e entraa (noralizaa a ) será s( t ) s( t ) s3( t3 ) Ts Ts Ts π π φ π φ φ φ t s( t ) 3 5 6 Fig..6.3 t, t, t3, t.7. En la Fig. P.7 se uestra un receptor PSK binario. Suponga que v (t) cos( ω t φ ), one en un intervalo T b ao, φ φ c si se ha transitio un "" π si se ha transitio un "" c vc(t) Filtro Pasabana Elevaor al Cuarao v(t) Filtro Pasabana v(t) Divisor e Frecuencia fc : vc(t) v(t) v3(t) Filtro Pasabajo v(t) o o Sincro V Sincronizaor e Portaora "" "" Salia Fig. P.7 (a) Deuestre que la señal v (t) e entraa al coparaor, urante un intervalo T b, es 3 v (t) cos( φ ) (b) Establezca para el coparaor un algorito e ecisión apropiao. c c c φ El filtro pasabana rechaza el térino en continua y pasar solaente la señal centraa en f c, e one (a) v (t) v (t) cos ( ω t φ ) [ + cos(ω t )]
8 v (t) cos(ωct φ ). La operación e ivisión e frecuencia solaente afecta al térino ω c t y nó al térino e fase. Esto se puee eostrar a partir el siguiente esarrollo: v (t) cos(φ )cos(ωct) + sen(φ )sen(ωct) Los térinos cos(φ ) y sen(φ ) son constantes (en un intervalo T b ) y no son afectaos por la operación e ivisión e frecuencia. Entonces, a la salia el ivisor e frecuencia se tiene: v3(t) cos(φ )cos( ωct) + sen(φ )sen( ωct), que en fora polar es sen(φ ) v3 (t) cos (φ ) + sen (φ ) cos ωct arctg cos(φ ) sen(φ ) pero cos (φ ) + sen (φ ) y arctg φ ; entonces, cos(φ ) v3(t) cos( ωct φ ). Tabién, v (t) cos( ωct φ ) cos( ωct φ ) 3 3 v (t) cos(ωct 3φ ) + cos( φ ). El filtro pasabajo eliina la coponente en 3 f c y la entraa al coparaor en un intervalo T b ao es entonces v (t) cos( φ ). (c) Puesto que en un intervalo T b ao φ y φ cuano se ha transitio un "" π cuano se ha transitio un "", 3 entonces v (t) ±, y la coparación se hace respecto a cero, es ecir, el valor el V u el ubral ebe ser cero, es ecir, V u. El algorito e ecisión el coparaor en un intervalo e tiepo t n será: Si Si v v (t (t n n ), ) <, sacar un "" sacar un "".8. En la Fig. P.8. se uestra un receptor binario FSK en el cual se aplica el principio e la heteroinación. vc(t) Filtro vc(t) v(t) Pasabana cos( ω t) OL Oscilaor Local Filtro FI fi Filtro F fi Fig. P.8. Detector e Envolvente v(t) o Sincro "" "" Detector e v(t) o Envolvente o Coparaor o
9 Los filtros FI y F están centraos en las frecuencias intereias f I y f I, respectivaente, one f I > f I. Las frecuencias e transisión son las isas el Móe V.3 para 6 bauios. nalice el sistea y eterine los valores apropiaos e las frecuencias intereias f I y f I, sujeto a las siguientes coniciones: f I + f I. Que fc, one f c es la frecuencia e portaora. Que khz < [f f ] khz I I < Las frecuencias e transisión e un Móe V.3 para 6 bauios son: f 3 Hz cuano se transite un ; f 7 Hz cuano se transite un Para una señal FSK, e la expresión (.6a y b) el TEXTO, se tiene: v (t) cos[π(f c c ± f )t] De la Fig. P.8., F c 5 Hz; f Hz; tabién, f v(t) vc (t) cos( ωt) ; f es la frecuencia el Oscilaor Local. 3 5 7 f f"" fc f"" v(t) cos[π(f c± f )t]cos(πf t) Fig. P.8. v (t) cos[ π(fc + f ± f )t] + cos[ π(fc f ± f )t] Veos que las frecuencias presentes en la entraa e los filtro FI y F son: f f c + f + f ; f f c + f f ; f 3 f c f + f ; f f c f f De estas cuatro frecuencias hay que elegir os: f I y f I, que cuplan con las coniciones aas ás arriba. La conición iplica que f I y f I eben ser siétricas respecto a f c, con una separación enor que Hz y ayor que Hz (conición ). Reeplazano los valores e f c y f en f, f, f 3 y f, f 7 + f ; f 7 f ; f 3 3 + f ; f 3 f. Sea f f I f I ; ebe cuplirse entonces que Hz < f < Hz y hagaos la siguiente figura: Región e fi Hz Hz f Región e fi f f 5 fi 3 5 7 fi 5 f"" fc Fig. P.8.3 f"" f
3 En la Fig. P.8.3 poeos ver que 5 Hz < f I < Hz y Hz < f I < 5 Hz. f f Tabién: fi fc ; f I fc + ; f f"" f I fi f"" Por lo tanto, si se elige el valor e la separación f poeos eterinar f I, f I y f. Por ejeplo, sea la separación f Hz. Reeplazano ás arriba, obteneos: f I 5 9Hz; f I 5 + Hz. Poeos constatar que estos valores cuplen con las coniciones y. En efecto, f I + f f I f c 9 + 5 cuple con la conición I f I 9 Hz cuple con la conición. Nótese entonces que las coniciones () y (), para los atos el problea, se cuplen cuano 5 Hz < f I < Hz; Hz < f I < 5H; 3 Hz < f < 8 Hz La ventaja el sistea con heteroinación es que perite una ejor recuperación e las señales o frecuencias en la recepción y el iseño e los filtros se siplifica..9. En sisteas FSK binarios y -arios las señales s j (t) transitias eben cuplir con la propiea e ortogonalia. En efecto, este principio establece que el conjunto e señales s j (t) para j,, 3,...,M es ortogonal, es ecir, se verifica que T s s (t) s i j T (t) t s E s para i j para i j Las señales s j (t) son ortogonales en el intervalo T s, tienen uración T s y toas tiene la isa energía E s. En el caso binario las frecuencias instantáneas, Fig. P9., son f y f, sieno f f la separación y f la constante e esviación e frecuencia. La portaora es f c y la frecuencia e señalización es f b /T b. (a) Deuestre que en el caso binario, para que las señales s (t) y s (t) sean ortogonales, ebe cuplirse con las siguientes coniciones: n f f ; f f ; b b n + n f fb y fc fb Fig. P.9. one y n son enteros istintos e cero y n >. (b) El Móe V.3 (véase el problea anterior) trabaja a una velocia e oulación e 6 bauios. Verifique si este óe cuple con la propiea e ortogonalia. f f f f fc f f
3 (a) De la Fig. P.9., (t) cos(πf t) y s (t) cos(πf t) cos[π(f + f )t] De la propiea e ortogonalia, s T b T b cos(πft) cos[π(f + f )t]t { cos[ π(f + f )t] + cos(π ft) } t T b T b cos[π(f + f )t]t + cos(π ft)t Para que esta expresión se cupla, las integrales eben ser cero en el intervalo [, T b ], es ecir, ebe verificarse, coo se uestra en la Fig. P.9., que el área neta e caa integral en un intervalo T b cualquiera ebe ser cero. n Puee observarse en la Fig. P.9. que f + f y f, one y n son Tb Tb enteros istintos e cero; pero coo f f, entonces f f b. siiso, f +f nf b n y coo f c f + f, entonces f c f b. En la isa fora poeos eostrar que ciclos enteros en Tb frecuencia f t Tb n ciclos enteros en Tb n > frecuencia ( f + f ) t Fig. P.9. n n + f f b y f f b, one y n son enteros istintos e cero y n >. (b) Para el Móe V.3, f 3 Hz; f 7 Hz; f b 6 Hz. n Entonces: f 6; e one entero; fc 6, e one, 3 n 5 entero. Se verifica que n >. Coo no es entero, las señales s (t) y s (t) el Móe V.3 no son perfectaente ortogonales. Por ejeplo, si haceos y ejaos n 5 con la isa frecuencia e señalización f b 6 Hz, las frecuencias que satisfacen la propiea e ortogonalia son: f c 5 Hz; f Hz; f 8 Hz y f 3 Hz.3. En algunos sisteas, en vez e ipulsos rectangulares, se eplean ipulsos coseno elevao, coo se uestra en la Fig. P.3(a), aos por la ecuación
3 Tb Tb g(t) [ + cos( πfbt)] para - t Deuestre que el espectro G(f) e g(t) viene ao por fb fb f + f f G(f ) sinc( ) + sinc( ) + sinc( ) f b fb fb fb fb Dibuje la fora el espectro (frecuencias positivas solaente). Si el ancho e bana B e G(f) se puee consierar coo la istancia al prier cero e G(f), euestre que B,57 f. b g(t) G(f) g( t).5 g( t) g3( t3).5 G( f) B G(f ) para f,57 f b f B,57 f b Tb.5 Tb.5Tb Tb t, t, t3 (a) Ipulso Coseno Elevao t Fig. P.3.5 fb fb 3 fb fb (b) Espectro el Ipulso f Coseno Elevao t g(t) se puee expresar en la fora g(t) [ + cos( πf bt)] Π( ) Tb t t t f g(t) Π( ) + cos( πf bt) Π( ) ; pero Π ( ) sinc( ) y por el Teorea e la Tb Tb Tb fb f b Moulación, la ensia espectral e g(t) es fb fb f + f f G(f ) sinc( ) + sinc( ) + sinc( ) f b fb fb fb fb En la Fig. P.3(b) se grafica esta expresión. Nótese que el prier cero e G(F) ocurre cuano G (f ) para f,57 f b, es ecir, el ancho e bana e G(f) será B,57 f b.
33.3. Repetir el problea anterior cuano los ipulsos son trapezoiales, Fig. P.3(a). G(f) g(t).5 G(f ) para f,333 f b G( f) B f B,33 f b t -Tb/ -Tb/ Tb/ Tb/ (a) Ipulso Trapezoial Fig. P.3.5 3 (b) Espectro el Ipulso f Trapezoial fb fb fb fb Deuestre que en este caso el espectro el ipulso trapezoial tiene la fora f f G(f ) sinc ( ) sinc ( ). Deuestre tabién que B,33 fb f f f f b b b b La señal g(t) se puee representar coo la iferencia e os triángulos. En efecto, t t g(t) Λ( ) Λ( ), cuya Transforaa e Fourier es Tb / Tb / πf πf sen ( ) sen ( ) f f f b f b G(f ) sinc ( ) sinc ( ) f f b f b f b f b f π b f πf b ( ) ( ) f b f b En la Fig. P.3(b) se grafica esta expresión (frecuencias positivas solaente). El prier cero e G(f) ocurre para f,33 f b, es ecir, el ancho e bana e G(f) es B,33 f b..3. Sea el circuito e la Fig. P.3(a) que representa el circuito e salia e un oulaor M-PSK o M-QM, coo se uestra en la Fig..5 el TEXTO. X Y c(t) s(t) x (t) y(t) (a) R R R >> R x(t) R Filtro Pasabana Centrao en fc ooo y(t) oo o Fig. P.3. c(t) -Tc -Tc/ Tc/ Tc s(t) -Tc Tc/ Tc (b) ooo t ooo t c(t) y s(t) tienen la fora aa en la Fig. P.3.(b). Suponga que Y y X son las coponentes e un fasor cualquiera en el iagraa e Fresnel.
3 Deuestre que y(t) es una señal oulaa PSK e la fora aa por la expresión (.65) el TEXTO. Sugerencia: Exprese c(t) y s(t) coo esarrollos en Serie e Fourier. Por la raa e X : x (t) X c(t). Pero c(t) se puee esarrollar en Serie e Fourier e la fora c(t) C exp( jπnf t); f / T. De la expresión (.5) el TEXTO, con el n n c c n nπ esarrollo en Serie e Fourier se obtiene C n sinc( ) sen( ) ; e one, nπ (n ) / Cn ( ) para n ipar; C n para n par y n. nπ Tabién, C para n ; C es la coponente continua e c(t). Coo C n es real, el esarrollo e Fourier e c(t) es una serie e cosenos e la fora c(t) x C + C cos( ω t) + C cos(3ω t) + C cos(5ω t)...; e one (t) X c 3 c 5 c + C + X C cos( ω t) + X C c cos(3ω t) + X C cos(5ω c 3 c 5 c + Por la raa e Y : y (t) Y s(t), one nπ Hacieno Sn Cn exp( j ), entonces s (t) n t)... Tc nπ s (t) c(t ) Cn ( j )exp(jπnfct). n Sn exp( jπnf ct) Desarrollano el exponencial e S n y rearreglano, se obtiene: S n j para n ipar; S n para n par y n. Tabién S y Cn Sn nπ Coo S n es iaginario, el esarrollo en Serie e Fourier e s(t) es una serie e senos e la fora s(t) S + S sen( ω t) + S sen(3ω t) + S sen(5ω t)..., e one y (t) Y S c 3 c 5 c + + Y S sen( ω t) + Y S sen(3ω t) + Y S sen(5ω c 3 c 5 c + t)... El circuito e entraa al filtro pasabana tiene la configuración ostraa en la Fig. P.3.. Poeos eostrar, aplicano el Teorea e Superposición, que R R x(t) [ x (t) + y (t)] R(R + R ) + RR pero si R >> R, entonces x(t) [x (t) + y (t)] x (t) y(t) R R R >> R Fig. P.3. R x(t)
35 Reeplazano los esarrollos e x (t) y e y (t), y hacieno S n C n, se obtiene: x (t) C (X + Y ) + X C cos( ωct) + YC sen( ωct) + X C + YC3 sen(3ωc t) + Térinos e frecuencia superiores a 3f 3 c cos(3ω t) El filtro pasabana e salia eja pasar solaente las coponentes centraas en f c, e one y(t) y(t) C (X + Y )[cos( ω t) + sen( t)], que expresaa en fora polar es c ωc C X + Y cos[ ω t ], one φ c φ Y arctg X Si haceos C X + Y, entonces y(t) cos( ω c t φ ), que representa la expresión general e una señal oulaa en fase. c +.33. Sea el circuito e la Fig. P.33. El filtro pasabana está centrao en f c. Las señales c(t) y s(t) son las isas el problea anterior. Si z(t) es una señal PSK e la fora z(t) cos( ωct φ ), eterine las señales ' ' ' y (t) y x (t) y euestre que φ y (t) arctg x (t). Nótese que el circuito ostrao en la Fig. P.33 correspone al circuito e entraa e un eoulaor PSK o M-QM, coo se uestra en la Fig..53 el TEXTO. ' x (t) z(t)c(t). plicano el iso proceiiento el problea anterior, poeos obtener: z(t) Filtro Pasabana Fig. P.3 z(t) c(t) x (t) y (t) s(t) Filtro Pasabajo Filtro Pasabajo x ' (t) y ' (t) x x (t) (t) + cos( ω C C cos( ω 3 c t φ c cos(ω t φ c [ C + C cos( ω t) + C cos(3ω t) +... + ] ) t φ ) + ) + C cos(ω C 3 c c cos(ω t φ c 3 φ ) + c C cos( φ ) +... El filtro pasabajo eja pasar solaente la coponente continua, es ecir, x ' (t) C cos( φ ) Hacieno el iso proceiiento para la raa inferior, obteneos: y (t) C sen( φ ) ) + ' ' y (t) sen( φ ) Diviieno estos os térinos: tg( φ ), e one ' x (t) cos( φ ) φ y arctg x ' ' (t) (t)
36 Nótese que, conocio el ángulo φ, se puee eterinar la cobinación e los ígitos e salia. Por ejeplo, en un Móe Bell 8, si φ la salia será, y si φ π la salia será un..3. Deuestre, eiante un iagraa e tiepos, que el circuito e la Fig. P.3. perite generar las señales c(t) y s(t) e los probleas anteriores. RELOJ Frecuencia a fc D cl FF Q _ Q D clk FF Q _ Q c(t) Fig. P.37. D clk FF Q _ Q s(t) Se hace un iagraa e tiepos coo el ostrao en la siguiente página, Fig. P.33.. Tc/ RELOJ _ c(t) s(t) Tc Tc Tc Fig. P.33.. t t t t t Suponga que para t <, c(t) s(t). El prier ipulso e reloj ocurre para t..35. En la Fig P.35. se uestra un coificaor e línea que transfora señales NRZ unipolares a señales NRZ bipolares e aplitu ±V. Deterinar la salia cuano a la entraa se aplica una secuencia unipolar NRZ e la fora Entraa e Datos Reloj fb D FF clk Q D FF clk Q Fig. P.35. B + C _ Suaor S + - S B - C. Suponga que inicialente (t < ) ; B C S
37 Se hace un iagraa e tiepo coo el e la Fig. P.35.. RELOJ B Tb t t t C t S +V -V Fig. P.35. t Nótese el parecio e este coificaor con el coificaor el problea.8; sin ebargo, trabajan en fora iferente..36. En la Fig. P.36. se uestra un coificaor e línea que convierte una secuencia binaria NRZ unipolar en otra secuencia binaria NRZ unipolar. Se a la tabla e vera el coparaor. Inicialente, Q. Deterine la secuencia e salia cuano la secuencia NRZ e entraa tiene la fora. Entraa e Datos Reloj fb C B + B C C Salia B Q B Coparaor Fig. P.36. C B Qn+ Qn Qn Qn _ Qn Se hace un iagraa e tiepo coo el e la Fig. P.36.. RELOJ B C Q Tb Fig. P.36.. t t t t
38.37. Deuestre que el circuito ostrao en la Fig. P.37. perite escoificar, es ecir, recuperar la secuencia original a partir e la salia Q el problea anterior. Inicialente (t < ), B. Se hace un iagraa e tiepo coo el ostrao en la Fig. P.37. Entraa e Datos fb Reloj clk D FF Q Fig. P.37. B C Salia C B + B B RELOJ Tb t t t C Fig. P.37. t Nótese que esta salia es igual a la entraa el circuito el problea anterior..38. Utilizano el étoo visto en la Sección.7. el TEXTO, euestre que los paráetros e iseño e los siguientes óes e la Serie V el UIT-T son (hacer R 5K y R + R + R 3 K): (a) Móe UIT-T V.7, 8 bps. Nota: x y xy + xy; x y xy + x y; x(y z) + x(y z) x y z S S R x y B [ + ]; [ + ]; 5K; R U U x y,7k; C( B); C( B); R 3 V V x y 3,53K; (b) Móe UIT-T V.3, 96 bps. S S R x y B [ + ]; [ + ]; 5K; R U U x y K; 3 R 5 K; 3 B C; V R R x ; W C( B) + D( B); C( B) + D( B); Hacer R 5K; R + R + R 3 K 3 y V V x ; y W x y ; U x x C( B) C( B) + D( B); C( B) + D( B); W W x y x y
39 (a) Móe V.7, 8 bps, 6 bauios. En la Fig. P.38. se uestra el iagraa e Fresnel e este óe y la tabla e coificación corresponiente. Y u o o v -u o -v v B o o u X -v o o -u o (a) Diagraa e Fresnel, Móe V.7 Fig. P.38. B C X Y v v u -v v -u -v -v -u v -v u (b) Tabla e Coificación De la tabla e coificación se puee ver que Sx B [ ] Signo e X : ; Signo e Y : S B [ + ] Móulo e X : u U v V x x x BC + B C C(B + B) C( B) S S y y [ ] [ + ] B C + B C + B C + B C (B C + BC) + (B C + B C) (B C) + (B C) x B C + B C C( B + B) C( B) Coo el iagraa solaente tiene os coponentes u y v, entonces W x. Móulo e Y : u U v V y y W y B C + B C C(B + B) C( B) B C + B C + B C + B C (B C + B C) + (B C + B C) (B C) + (B C) B C + B C C( B + B) C( B) y Cálculo e las Resistencias: e la figura R 3 R + R 3 v V; u V R + R + R 3 R + R + R 3 v u u R + R 3 ; R R + R v R 3 Tabién: R 5K ; R + R 3 5 K 3 3 R + R + R 3 K y R3 R v u R o o o+v
v π u R + R 3 Del Diagraa e Fresnel, cos( ) ; u v R 5 Pero R + R 3 + 5K; R 3 3536 Oh ; R 5-3536 56 Oh. Entonces, R 5 K; R 6 Oh; R 3 3536 Oh. El Convertior XY el Móe V.7 tiene entonces la configuración aa en la Fig. P.37.. 3 Vx Ux o x o o o o o o o o o X R5 osx R5 >>R + R + R3 -V o R R R3 R3 R R o o o o o -u -v v u o +V R5 K o o o o osy o o R5 Vy Uy y Fig. P.38. o o o o Y (b) Móe V.3, 96 bps, bauios, 6-QM. Del iagraa e Fresnel el Móe V.3 se construye la Tabla e Coificación coo se uestra en la Fig. P.37.3: Y BCD o u o o o v o o o o v u -u -v o o -v o o o o -u o o X (a) Diagraa e Fresnel, Móe V.3 Fig. P.38.3 B C D X Y -v -u -v -v -u -u -v -u v v -v -u u -u u -v v u u v -v v v u u v -v u -u u -u v (b) Tabla e Coificación De la Tabla e Coificación: B [ ] [ ] S x ; S y B [ + ] [ + ]
Móulo e X : v V B C D + B C D + B C D + B C D + x u U x + B C D + B C D + B C D + B C D D( B) + C ( B) B C D + B C D + B C D + B C D + + B C D + B C D + B C D + B C D D( B) + C( B) W x Móulo e Y : v V y u U y W B C D + B C D + B C D + B C D + + B C D + B C D + B C D + B C D C( B) + D( B) B C D + B C D + B C D + B C D + y + B C D + B C D + B C D + B C D C( B) + D( B) Cálculo e las resistencias: v R R + R 3 + R 3 R + R 3 V; u R + R + R 3 V R3 R R o o ov v u v R u u R + R 3. Del Diagraa e Fresnel: 3; R R 3 v R 3 R + R 3 R 5K; R + R + R 3 K; R + R 3 5K; e one R 5K; R (/3)K; R 3 (5/3)K; R ; R 5 K El Convertior XY para el Móe V.3 6-QM tiene la siguiente configuración: 3 o o o X Vx Ux R5 o o o o o o o Sx R5 >>R + R + R3 -V o R R R3 R3 R R o o o o o -u -v v u o +V R5 K o o o o o o o Vy Uy Fig. P.38. o o Sy R5 o Y
CPITULO III No hay probleas para este capítulo Ejeplos aicionales Ejeplo. CPITULO IV Vaos a representar la palabra bq3 eiante el Cóigo SCII (con el LSB a la izquiera, paria par) tanto en transisión asincrónica coo en sincrónica. Transisión asincrónica, paria par Los caracteres conservan los ígitos e arranque, paria y pare En SCII: > ; b > ; Q > ; 3 > bq3 en Cóigo SCII > Transisión sincrónica, sin ígitos reunantes > ; b > ; Q > ; 3 > bq3 en Cóigo SCII > Ejeplo. Vaos a coparar la velocia neta e inforación en os sisteas, uno asincrónico y otro sincrónico, para una isa velocia e transisión en el eio, por ejeplo, V i 96 bps. La cantia neta e inforación a transitir es I n bits La velocia neta e transisión se puee efinir eiante la expresión Cantia e Inforación neta transitia (bits) V in bps Tiepo Total e Transisión (segunos) Operación sincrónica: Carácter e Cóigo e un ígito e arranque, ocho e inforación y os e pare. Entre carácter y carácter habrá un intervalo e tiepo (gap) igual a la uración e un ígito. Operación Sincrónica: La traa tiene la fora e la Fig..3 el Texto. No hay gaps entre caracteres. Se pie:
3 Ejeplo.3 (a) La velocia neta e inforación en Moo sincrónico (b) La velocia neta e inforación en Moo Sincrónico Moo sincrónico Coo los caracteres tienen 8 bits e inforación neta caa uno, los bits cabrán en N caracteres, one N /8 8 caracteres. Sea T b la uración e un ígito y coo la velocia en el eio es V i, entonces T b /V i /96. La sua e los gaps e uración T b ará un tiepo T g (N - )T b El tiepo total T será igual a T N T b + (N )T b N V T,6 seg. La velocia neta e inforación en Moo sincrónico será In Vin 6,7 bps T,6 Nótese que la velocia neta e inforación es enor que la velocia e transisión en el eio. Moo Sincrónico Habrá N 8 caracteres e inforación ás caracteres reunantes (SYN, SYN, SOH y EOT). El tiepo total será La velocia neta e inforación será (N + ) TS N Tb + x Tb V V In T ins S i 677,5,53seg Nótese que la velocia neta e inforación en oo asincrónico es enor que en oo sincrónico. Sea el Protocolo HDLC: Se han recibio tres secuencias coificaas en HDLC. Exaine cuiaosaente estas secuencias y iga qué tipo e inforación contienen. La coificación utilizaa en las traas está en EBCDIC; los 6 ígitos xxxx...xx corresponen al FCS, que suponeos están correctos, es ecir, que no hay error. Nota: Estas secuencias no son transparentes. (a) xxxxx...xx (b) xxxxx...xx (c) xxxxx...xx bps i