Clases 8 y 9: Detección de una señal con ruido. Eytan Modiano. Departamento de aeronáutica y astronáutica

Transcripción

1 Clases 8 y 9: Detección de una señal con ruido Departamento de aeronáutica y astronáutica Slide 1

2 Ruido en los sistemas de comunicación S(t) Canal r(t) r(t) = S(t) + n(t) n(t) El ruido es la señal adicional "no deseada" que interfiere con la señal transmitida Generada por dispositivos electrónicos El ruido es un proceso aleatorio Cada muestra de n(t) es una variable aleatoria Generalmente, el proceso del ruido se considera aditivo blanco gaussiano (AWGN) Blanco: espectro de frecuencia plano Gaussiano: distribución del ruido Slide 2

3 Procesos aleatorios La autocorrelación de un proceso aleatorio x(t) se define como R xx (t 1,t 2 ) = E[x(t 1 )x(t 2 )] Un proceso aleatorio es estacionario en sentido amplio (WSS) si su media y autocorrelación son invariables en el tiempo. Esto es m x (t) = E[x(t)] = m R xx (t 1,t 2 ) = R x (τ), donde τ = t 1 -t 2 Si x(t) es WSS entonces: R x (τ) τ = R x (-τ) τ R x (τ) τ <= R x () (el máximo se logra en τ = ) El contenido de potencia de un proceso WSS es: 1 T / 2 1 T / 2 P x = E[lim x 2 ( t) dt = lim R x ()dt =R x () t T T / 2 t T T / 2 Slide 3

4 Espectro de potencia de un proceso aleatorio Si x(t) es WSS entonces la densidad espectral viene dada por: S x (f) = F[R x (τ)] τ La potencia total en el proceso tambien viene dada por: P x = S x ( f ) df = R x ( te ) j 2π ft dt df = R t e j ft df dt x () 2π = R t 2π x () e j ft df dt = R x ()δ( ) t t dt = R x () Slide 4

5 Ruido blanco El espectro de ruido es plano en todas las frecuencias relevantes La luz blanca contiene todas las frecuencias S n (f) N o /2 Observe que la potencia total en el rango completo de la frecuencia es infinita Pero en la práctica sólo nos importa el contenido de ruido en el ancho de banda de la señal, ya que el resto se puede filtrar Tras filtrar, la única potencia de ruido que permanece es la que contiene el ancho de banda del filtro (B) S BP (f) -f c N o /2 f c N o /2 Slide 5 B B

6 AWGN El contenido efectivo de ruido del ruido pasabanda es BN o Las medidas experimentales muestran que el pdf de las muestras de ruido puede modelarse como variable aleatoria gaussiana de promedio cero fx ( x ) AKA Normal r.v., N(,σσ 2 ) = 1 2πσ e x 2 / 2σ 2 σ 2 = P x = BN o El CDF de un R.V. gaussiano, F x ( α ) = P[X α] = f x (x)dx = α α 1 2πσ e x 2 / 2σ 2 dx Esta integral requiere evaluación numérica Disponible en tablas Slide 6

7 AWGN, (cont.) X(t) ~ N(,σσ 2 ) X(t 1 ), X(t 2 ) son independientes salvo que t 1 = t 2 R x ( τ ) EX [ (t + τ )] E[ X( t)] τ = E[ X(t + τ )X( t )] = EX [ 2 (t)] τ = τ = σ 2 τ = R x () = σ 2 = P x = BN o Slide 7

8 Detección de señales en AWGN Observe: r(t) = S(t) + n(t), t [,T] Decida cuáles de entre S 1,, S m se enviaron Filtro receptor Diseñado para maximizar la relación de potencia señal a ruido (SNR) r(t) Filtro h(t) y(t) muestra en t=t decidir Objetivo: hallar el h(t) que maximizó SNR Slide 8

9 Filtro receptor yt () = r ()* t h ( t ) = r(τ )h(t τ )dτ Muestreo en t = T yt ( ) = r(τ )h(t τ )dτ r( τ ) = s( τ ) + n( τ ) yt ( ) T t T T = s(τ )h(t τ )dτ + n( τ )h(t τ )dτ = Y s (T) + Y n (T T ) T 2 T s( τ )h(t τ )dτ h( τ )s(t τ )dτ Y 2 T s ( ) SNR = = = 2 T T EY [ n (T)] N h 2 T t)dt N ( h 2 ( 2 2 T t)dt 2 Slide 9

10 Filtro adaptado: maximiza SNR Desigualdad Caushy - Schwartz : 2 1 () t dt (g t g t g 2 () 1 ( ))2 (g 2 (t)) 2 Lo anterior cabe para la paridad si, y sólo si: g1 () t = cg 2 () para una constante arbitraria c t 2 T T s( τ ) h(t τ )dτ ((τ s ))2 dτ h 2 ( T τ )d τ T SNR = T T = 2 ((τ s ))2 dτ = 2E s N h T t)dt N h T t)dt N N 2 ( 2 ( 2 2 Slide 1 El máximo anterior se obtiene si, y sólo si: h(t-τ) = cs(τ) => h(t) = cs(t-t) = S(T-t) h(t) se dice que está ajustado a la señal S(t)

11 Ejemplo: PAM S m (t) = A m g(t), t [,T] A m es una constante: Binaria PAM A m {,1} El filtro adaptado se ajusta a g(t) A g(t) g(t-t) filtro adaptado A T T Slide 11

12 Ejemplo, continuación t Ys ( t) = S(τ )h(t τ )dτ, h(t ) = g(t t ) h(t τ ) = g(t +τ t) Y t t t s ( ) = g(τ )g(t + τ t)dτ = g( τ )g(t t + τ )dτ T Ys ( T ) = g2 ( τ)dτ A 2 T Y s (t) Slide 12 Muestra en t=t para obtener el máximo valor T t

13 Receptor de filtro adaptado Muestra en t=kt U(t) r x (t) g(t-t) r x (kt) 2Cos(2πf c t) Muestra en t=kt U(t) r y (t) g(t-t) r y (kt) 2Sin(2πf c t) Slide 13

14 Ejemplo PAM binario, (cont.) => S 1 = g(t) 1 => S 2 = -g(t) A g(t) S(t) S 1 (t) T S 2 (t) Y(t) 2T 3T Y 1 (t) Y 2 (t) T 2T Slide 14 T T 2T

15 Implementación alternativa: receptor correlacionado r(t) = S(t) + n(t) T r(t) () Muestra en t=kt Y(kT) S(t) YT ( ) T T T = r( t) S() t = S 2 () t + nts () () t =Y s (T) + Y n (T) Observe el parecido con el filtro adaptado Slide 15

16 Detección de señales Tras el filtro adaptado recibimos r = S m + n S m {S 1,..S M } Cómo determinamos a partir de r cuál de los M símbolos posibles se envió? Sin presencia de ruido recibiríamos lo que enviamos, pero el ruido pude transformar un símbolo en otro Prueba de hipótesis Objetivo: minimizar la probabilidad de un error de decisión Regla de decisión: Escoja S m de modo que P(S m enviado r recibido) se maximice Es el modelo clásico de Máximo a Posteriori (MAP) Regla MAP: maximizar la probabilidad condicional de que S m se enviase dado que se recibió r Slide 16

17 Detector de MAP la regla Map se convierte : en: Notas: La regla MAP requiere probabilidades anteriores MAP minimiza la MAP detector : max PS ( m r) S 1...S M PS PS m r) = (,r) Pr P S m ) probabilidad de un error ( m ( S m ) ( = de decisión Pr () Pr () La regla ML supone símbolos con iguales probabilidades f PS m ) = rs ( r S m ) P ( S ( r m ) Con símbolos con iguales fr ( r ) probabilidades MAP y ML M f r r ( )= f r s (r S m )P(S m ) m=1 Cuando P(S m ) = 1 M son iguales max fr ( S m ) (o la regla de decisión de la Máxima Verosimilitud (ML)) S 1...S M Slide 17

18 Detección en AWGN (constelaciones unidimensionales) 1 ( S m ) = e (r S m )2 / N f r πn ln( f( r S m )) = ln( π N ) (r S m )2 d rs = (r S m ) 2 m N La decodificación de máxima verosimilitud equivale a mimimizar d rs = (r S m ) 2 m También conocida como decodificación de distancia mínima Expresión similar para constelaciones multidimensionales Slide 18

19 Detección de PAM binario S1(t) = g(t), S2(t) = -g(t) S1 = - S2 => señalización opuesta Las señales opuestas con energía Eb pueden representarse geométricamente como S2 S1 E b E b Si se envió S1, entonces la señal recibida r = S1 + n Si se envió S2 entonces la señal recibida r = S2 + n Slide 19 f rs ( r f rs ( r 1 s1) = πn s2) = 1 πn E b ) 2 / N e (r + E b ) 2 / N e (r

20 Detección de PAM binario S2 S1 E b E b Regla de decisión: MLE => decodificación de distancia mínima => r > decide enviar S1 => r < decide enviar S2 Probabilidad de error Cuando se envía S2 la probabilidad de error es la probabilidad de que el ruido exceda (Eb) 1/2, del mismo modo cuando se envía S1 la probabilidad de error es la probabilidad de que el ruido exceda - (Eb) 1/2 P(e S1) = P(e S2) = P[r< S1) Slide 2

21 Probabilidad de error para PAM binario P e = f r s ( r 1 b s1)dr = e (r πn E ) 2 / N dr 1 E b e r 2 / N = dr πn 1 E b / N 2 e r 2 / 2 = dr 2π 1 e r 2 / 2 = dr 2π / N 2 E b = Q( E / N 2 b ) donde, Qx ( ) 1 2π x e r 2 / 2 dr Slide 21 Q(x) = P(X>x) para X gaussiano con media cero y σ 2 = 1 Q(x) require evaluación numérica y se tabula en muchos manuales matemáticos (Tabla 4.1 del libro de texto)

22 Más sobre la función Q Notas sobre Q(x) Q() = 1/2 Q(-x) = 1-Q(x) Q( ) =, Q(- )=1 Si X es N(m,σ 2 ) Entonces P(X>x) = Q((x-m)/ σ) Ejemplo: Pe = P[r< S1 fue enviado) f rs ( r s1) ~ N( E b, N / 2) => m = E b,σ = N / 2 Eb P e = 1 P[r > s1] = 1 Q( ) = 1 Q( 2E b / N ) = Q( 2E b / N ) N / 2 Slide 22

23 Análisis de error (cont.) En general, la probabilidad de error entre dos símbolos separados por una distancia d viene dada por: P ( e d ) 2 = Q( d 2N ) Para PAM binario d = 2 E b. De ahí, P e = Q( 2E N b ) Slide 23

24 Señales ortogonales Representación de señalización ortogonal (bidimensional) E b 2E b E b P e = Q( 2 d 2 N = Q( Eb / N o ) Slide 24

25 Señales ortogonales frente a opuestas Observe a partir de la función Q que la señalización ortogonal requiere el doble de energía en bits que la opuesta para la misma tasa de error Esto se debe a la distancia entre puntos de señal 1-1 ortogonal P e opuesta 3dB 1-5 E b /N (db) Slide 25

26 Probabilidad de error para M-PAM S 1 S 2 S i S M S M = A M E g, A M = (2m 1 M) τ i d ij = 2 Eg for i j = 1 Slide 26 Regla de decisión: elegir s de forma que d(r, s i i )se maximiza P[error s i ] = P[decode s i 1 s i ] + P[decode s i +1 s i ] = 2P[decode s i +1 s i ] 2 d ii, + 1 2E g Pe Pe = 2Q = 2Q, P eb = 2N N Log 2 ( M) Notas: 1) La probabilidad de error para s 1 y s M es menor porque el error sólo ocurre en una dirección 2) Con la codificación Gray la tasa de error de bit es P e /log 2 (M)

27 Probabilidad de error para M-PAM E av = M 2 1 M 2 1 E g => E bav = 3 3Log2 ( M ) E g E = 3Log 2( M ) g M 2 1 E bav 6Log2 ( M) Pe P e = 2Q 2 E bav, P eb = ( M 1) N Log 2 ( M ) si nos fijamos en el efecto de S 1 y S M obtenemos: M 1 6Log2 ( M ) 2 ( M 1)N E P e = 2 bav M Q, Slide 27

28 Probabilidad de error para PSK El PSK binario es exactamente igual que el PAM binario 4-PSK puede contemplarse como dos conjuntos de señales PAM binarias Para un valor M grande (p. ej., M>8) una buena aproximación supone que se dan errores entre puntos de señal adyacentes E s θ θ = 2π/M d ij = 2 π E s Sin( ), i j M = 1 Slide 28

29 Probabilidad de error para PSK P[error s i ] = P[decode s i 1 s i ] + P[decode s i +1 s i ] = 2P[decode s i +1 s i ] 2 d ii, + 1 2E s P es = 2Q = 2Q sin(π / M) 2 N N E b = E s / Log 2 (M) 2 Log ( M ) E 2 b Pes P es = 2Q sin(π / M), P eb = N Log 2 ( M) Slide 29